3.1 列代数式表示数量关系第1课时导学案 2026-2027学年数学人教版七年级上册

该初中数学导学案聚焦“列代数式表示数量关系”，通过智能采摘机器人识别苹果的情境导入，从10秒、60秒的具体面积计算过渡到用字母t表示时间的5t，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接小学用字母表示数与初中代数式概念。 资料以情境激发兴趣，通过机器人识别时间、工程队铺设管道等多问题探究培养数学抽象与逻辑推理，例题涵盖折扣、面积等实际问题强化书写规范与代数式多义性，综合问题提升建模意识，助力学生形成符号意识与分析推理能力，便于教师教学与学生自主学习。

3.1 列代数式表示数量关系 第1课时 课题 3.1 列代数式表示数量关系 第1课时 课型 新授课 备课人 授课班级 核心素养目标：1. 数学抽象：通过用字母表示数，体会从具体到一般的数学思维方法，培养符号意识 2. 逻辑推理：通过分析实际问题中的数量关系，培养分析推理能力 3. 数学运算：能正确列出代数式，掌握代数式的书写规范 4. 数学建模：用代数式表示实际问题中的数量关系，初步建立模型意识 教学重难点：重点：理解用字母表示数的意义，掌握代数式的概念和书写规范 难点：正确列出代数式表示实际问题中的数量关系，理解同一代数式的不同实际意义 突破策略：通过机器人识别苹果等实例引入，从具体到抽象，通过例题和练习逐步巩固 一、情境导入 【过渡语】同学们，在小学阶段我们学过用字母表示数。今天我们将在此基础上，进一步学习如何用代数式来表示数量关系。让我们从一个实际情境开始。 情境引入：在现代农业中，智能采摘机器人已经广泛应用于果园中。假设一个机器人在苹果园中以每秒5平方米的速度识别苹果。 教师提问：该机器人10 s能识别多大范围内的苹果？60 s呢？t s呢？请同学们思考并回答。 学生回答：机器人10 s能识别=50平方米的苹果。 即： 学生回答：机器人60 s能识别=300平方米的苹果。 即： 学生回答：机器人t s能识别5t平方米的苹果。 即：（平方米） 教师引导：请同学们观察上面的三个式子。和表示机器人在两个具体时间内完成的工作量，它们都是具体的数值。而含有字母t的式子5t表示机器人在任意时间t内完成的工作量。 教师追问：用字母t代替具体的数字，有什么好处？学生思考后回答：用字母代替数，可以表示任意时间内的识别范围，不需要每次都重新计算。一个式子就能代表一类问题。 【知识点】用字母表示数的意义：用字母代替数使我们的表达从一个具体问题推广到一类问题，更具有一般性。这是数学中从具体到抽象的重要飞跃，也是代数学习的基础。 设计意图：通过机器人识别苹果的实际情境引入，从具体的数字计算（, ）自然过渡到字母表示（5t），让学生直观感受用字母表示数的一般性和优越性。情境贴近现代生活，激发学习兴趣。 二、探究新知 1. 探究一：用字母表示数 【过渡语】刚才我们用字母t表示了时间，现在我们继续用字母来表示其他问题中的数量关系。 教师引导：让我们继续研究机器人识别苹果的问题。 问题(2)：该机器人识别n平方米范围内的苹果需要多少秒？ 教师分析：机器人每秒识别5平方米，识别n平方米需要的时间就是n除以5。 学生回答：需要秒。 教师追问：如果识别10平方米需要多少秒？学生回答：=2秒。如果识别15平方米呢？学生回答：=3秒。用字母n表示后，一个式子就能表示任意面积所需的识别时间。 教师引导：接下来看另一个问题。 问题(3)：某工程队负责铺设一条长2 km的地下管道，经过d天完成，用式子表示这支工程队平均每天铺设的管道长度。 教师分析：总长度除以天数就是平均每天铺设的长度。总长度是2 km，天数为d天。 学生回答：平均每天铺设km。 教师追问：如果d=4，平均每天铺设多少？学生回答：=0.5 km，即500 m。如果d=5呢？学生回答：=0.4 km，即400 m。用字母d表示天数后，一个式子就能表示任意天数对应的日均铺设长度。 教师引导：再看一个几何问题。 问题(4)：一个正方形的边长是a，这个正方形的周长l是多少？面积S呢？ 教师分析：正方形的周长等于边长乘以4，面积等于边长的平方。 学生回答：周长，面积。 教师追问：当a=2时，周长和面积分别是多少？学生回答：周长==8，面积==4。当a=3时呢？学生回答：周长==12，面积==9。用字母a表示边长后，周长和面积的公式简洁且通用。 教师总结：通过以上三个问题，我们发现用字母表示数后，可以把具体的数字计算推广为一般的数量关系表达式。这种从具体到一般的方法是数学中非常重要的思维方式。 学生活动：请同学们再举一个用字母表示数的例子。学生举例：如果一支铅笔的价格是x元，买10支铅笔需要10x元。教师点评：很好！这就是用字母表示数的应用。 【知识点】用字母表示数的意义：①用字母可以表示任意的数，使表达具有一般性；②用字母表示数后，可以把具体的数字计算推广为一类问题的通用公式；③从具体到一般是数学思维的重要方法。 设计意图：通过三个不同类型的问题（机器人识别时间、工程队铺设管道、正方形周长面积），让学生从多角度感受用字母表示数的意义。每个问题都从具体数值代入验证，帮助学生理解字母的一般性。 2. 探究二：代数式的概念 【过渡语】我们刚才列出了5t、、、4a、等式子。这些式子有什么共同特点？让我们来定义它们。 教师引导：观察我们刚才得到的这些式子：5t、、、4a、。它们有什么共同特点？ 学生回答：它们都含有字母和数字，并且用运算符号连接起来。 教师讲解：像这样，用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。 教师强调：关于代数式概念，需要注意以下几点。 第一，单独的一个数或一个字母也是代数式。例如，5、a、0等都是代数式。 第二，代数式中不含等号（=）、不等号（<、>、≤、≥）等关系符号。含有等号的式子是等式，不是代数式。 第三，代数式中的运算符号包括加（+）、减（−）、乘（×）、除（÷）、乘方等。 教师提问：判断下列式子哪些是代数式：3a+2b、x=5、+b、2x−1>0、5。 学生回答：3a+2b是代数式，x=5不是（含等号），+b是代数式，2x−1>0不是（含不等号），5是代数式（单独一个数也是）。 教师追问：+b=5是不是代数式？学生回答：不是，因为它含有等号，是一个等式而不是代数式。但等号两边的+b和5分别都是代数式。 代数式书写规范 ① 数字与字母相乘：乘号通常省略，数字写在字母前面。 如 a×5 写成 ，不写成 a5。 ② 字母与字母相乘：乘号通常省略。 如 a×b 写成 。 ③ 除法运算：通常写成分数形式。 如 a÷b 写成 。 ④ 结果带单位：代数式需用括号括起来。 如 ，不写成 。 ⑤ 1乘以字母：1通常省略不写。如1×a写成a。 ⑥ 带分数与字母相乘：带分数要化为假分数。 【知识点】代数式的概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。书写规范：数字在前字母在后、乘号省略、除法写分数、带单位加括号。 设计意图：从学生已有的式子（5t、等）出发，归纳出代数式的概念，再通过判断练习加深理解。书写规范以提示框形式呈现，醒目且便于记忆。概念辨析题帮助学生区分代数式和非代数式。 3. 探究三：例题精讲——列代数式 【过渡语】理解了代数式的概念和书写规范后，我们来看例1，学习如何从实际问题中列出代数式。 例1 用代数式表示下列各题 (1) 苹果原价是p元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价。 审题分析 本题是折扣问题。"九折"意味着售价是原价的90%，即0.9倍。原价为p元/kg，售价为0.9p。 解题过程 解：苹果的售价为。 教师强调：注意书写规范。数字0.9写在字母p前面，乘号省略。结果带单位时，由于0.9p是单项式，不需要加括号。 (2) 一个长方形的长是0.9 m，宽是p m，用代数式表示这个长方形的面积。 审题分析 长方形面积=长×宽。长为0.9 m，宽为p m，面积为0.9×p。 解题过程 解：这个长方形的面积为。 教师追问：请同学们比较(1)和(2)的结果。学生回答：(1)的结果是0.9p元/kg，(2)的结果是0.9p 。它们的代数式都是0.9p，但表示的实际意义不同。 (3) 某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量。 审题分析 "前年产量的2倍"是2n，"少10件"是减去10。去年产量=2n−10。 解题过程 解：去年的产量为。 教师强调：注意"比...少"用减法。结果含有加减运算时，带单位需要加括号，如(2n−10)件。 (4) 一个长方体水池底面的长和宽都是a m，高是h m，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积。 审题分析 水池容积=底面积×高=底面的长×宽×高=a×a×h=h。水的体积是容积的三分之一，即()×h。 解题过程 解：池内水的体积为。 教师强调：a×a写成，乘号省略。三分之一写成分数形式。注意乘方的书写。 教师追问：如果水的体积占容积的三分之二呢？学生回答：那就是()×h，即(h 。方法一样，只是系数变了。 方法总结 解题技巧 列代数式的步骤： ① 认真审题，找出已知量和未知量； ② 明确各量之间的关系（如：面积=长×宽，容积=底面积×高等）； ③ 将文字语言转化为数学符号，按运算顺序列出代数式； ④ 检查书写规范：数字在前、乘号省略、除法写分数、带单位加括号。 设计意图：例1设计了四个小题，涵盖了折扣问题、面积问题、产量问题和体积问题。第(1)(2)题使用相同的代数式0.9p但表示不同含义，为后续探究代数式的多义性做铺垫。每题按照"审题分析→解题过程"的规范流程展开，培养良好的解题习惯。 4. 探究四：代数式的多义性 【过渡语】从例1的第(1)(2)题中我们发现，同一个代数式可以表示不同的实际意义。让我们进一步探讨这个现象。 教师引导：在例1中，0.9p既可以表示苹果打折后的售价，也可以表示长方形的面积。这说明用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系。 教师提问：你还能举出0.9p可以表示的其他实际意义吗？请同学们思考。 学生回答：一辆汽车的行驶速度是p km/h，行驶了0.9小时，行驶的路程可以用代数式0.9p km表示。 教师总结：代数式可以表示——苹果售价（元/kg）、长方形面积（）、汽车路程（km）等不同实际意义。 教师引导：接下来看另一组对比。请同学们举例说明2a+3和2(a+3)所表示的实际问题中的数量关系。 学生举例：一根棍子的长度是a cm，而另一根棍子的长度是这根棍子的2倍还多3 cm，用代数式表示另一根棍子的长度。 列式：（cm）。 学生举例：一根棍子的长度是a cm，而另一根棍子的长度是这根棍子加3 cm之后的2倍，用代数式表示另一根棍子的长度。 列式：（cm）。 教师追问：2a+3和2(a+3)有什么区别？学生回答：2a+3是先把a乘以2再加3，而2(a+3)是先把a加3再乘以2。运算顺序不同，结果也不同。 教师追问：当a=5时，两者的值分别是多少？学生回答：+3=13，2×(5+3)=16。确实不同。 教师总结：不同的代数式表示不同的数量关系。列代数式时，要准确理解题意，按照正确的运算顺序列式。同时，同一个代数式可以有不同的实际意义，体现了代数式的一般性和抽象性。 【知识点】代数式的多义性：同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量关系。例如0.9p可以表示售价、面积、路程等。不同的代数式（如2a+3和2(a+3)）表示不同的数量关系，运算顺序不同则结果不同。 思考拓展 代数式 可以表示哪些实际意义？ ① 正方形的周长（边长为a） ② 4个苹果的质量（每个a kg） ③ 4天的工作量（每天a件） ④ 速度为a km/h的汽车4小时行程 设计意图：通过0.9p的多义性和2a+3与2(a+3)的对比，让学生理解代数式的两个重要特性：一般性（一个式子代表多种情境）和精确性（不同式子代表不同关系）。思考拓展框引导学生发散思维，加深对代数式实际意义的理解。 5. 探究五：列代数式解决实际问题 【过渡语】下面我们来解决一个更复杂的实际问题，综合运用本节课所学的知识。 问题：若该机器人搭载了m个机械手（m>1），它与采摘工人同时工作1 h，已知工人平均5 s可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 审题分析 本题需要分别计算机器人和工人在1小时内采摘的苹果数量，再求差值。 机器人每秒识别5个苹果（根据5t的规律），搭载m个机械手后，每秒可以采摘5m个苹果。 工人每5秒采摘1个苹果，即每秒采摘个苹果。 1小时=3600秒。 解题过程 第一步：计算机器人1小时采摘的苹果数。 机器人每秒采摘个苹果，1小时（3600秒）采摘： （个） 第二步：计算工人1小时采摘的苹果数。 工人1小时采摘：（个） 第三步：计算机器人比工人多采摘的苹果数。 机器人比工人多采摘：（个） 答：机器人可比工人多采摘。 教师追问：当m=2时，机器人比工人多采摘多少个？学生回答：−720=36000−720=35280个。 教师追问：当m=3时呢？学生回答：−720=54000−720=53280个。m越大，机器人采摘的效率优势越明显。 教师追问：如果不搭载机械手（m=1），机器人比工人多采摘多少个？学生回答：−720=17280个。但题目要求m>1，所以至少搭载2个机械手。 教师强调：在列代数式解决实际问题时，关键是要分清各个量之间的关系，按照"先分别计算、再求差值"的步骤进行。同时注意单位的统一和代数式的书写规范。 【知识点】列代数式解决实际问题的方法：①分析题意，明确各个量及其关系；②分别用代数式表示各个量；③按题目要求进行运算（求和、差、积、商等）；④注意书写规范和单位标注。 解题技巧 列代数式解决实际问题的步骤： ① 认真审题，找出所有已知量和未知量； ② 明确各量之间的数量关系； ③ 用字母表示未知量，按运算顺序列出代数式； ④ 检查书写规范和单位标注； ⑤ 代入特殊值验证是否合理。 设计意图：机器人m个机械手的问题是本节课的综合应用。通过分步计算的方式，让学生学会将复杂问题分解为简单步骤。代入特殊值验证的环节，帮助学生检验代数式的正确性，培养反思意识。 课堂小结 【过渡语】今天这节课我们学习了用字母表示数和代数式的概念，让我们一起来回顾本节课的主要内容。 1. 用字母表示数的意义 用字母代替数可以使表达从一个具体问题推广到一类问题，更具有一般性。这是从具体到抽象的重要飞跃。 2. 代数式的概念 用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 3. 代数式的书写规范 数字与字母相乘时乘号省略且数字在前；字母与字母相乘乘号省略；除法写成分数形式；结果带单位时代数式加括号。 4. 代数式的多义性 同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量关系。不同的代数式（如2a+3和2(a+3)）表示不同的数量关系，运算顺序不同则结果不同。 【知识点】本节课核心知识：1. 用字母表示数——从具体到一般；2. 代数式的概念——运算符号连接数和字母；3. 书写规范——数字在前、乘号省略、除法写分数、带单位加括号；4. 代数式多义性——一个式子多种含义。 归纳总结 用字母表示数口诀： 字母代数一般化，具体问题推广它； 运算符号连数和字，代数式概念要记下； 数字在前乘号省，除法写成分数啦； 结果带单位加括号，书写规范不能差； 同一式子多含义，不同式子不同法； 先读先写定顺序，列式审题细观察。 易错提示 ① 数字写在字母前面，如5a不写成a5。 ② 除法写成分数形式，如 不写成a÷b。 ③ 结果带单位时，代数式要加括号，如(2a+3b)元。 ④ "和的平方"(a+与"平方和"+不同。 ⑤ 单独一个数或一个字母也是代数式。 ⑥ 含等号或不等号的式子不是代数式。 5. 易错点提醒 学生活动：请同学们回顾自己在本节课中的收获和困惑，整理笔记，标记不理解的地方，课后向老师或同学请教。 教师追问：请同学们想一想，用字母表示数和小学学过的列算式有什么相同点和不同点？学生回答：相同点是都需要审题、确定数量关系。不同点是算式中只有数字，代数式中既有数字也有字母，更具有一般性。 教师追问：如果题目改为"a的2倍与b的3倍的和"，该怎么列式？学生回答：a的2倍是2a，b的3倍是3b，和是2a+3b。注意数字写在字母前面。 教师追问：0.9p还可以表示什么实际意义？学生回答：还可以表示速度为p km/h的汽车行驶0.9小时的路程，或者每千克0.9元的p千克苹果的总价等。 设计意图：通过知识回顾、口诀总结和易错点提醒三个层次，帮助学生系统梳理本节课内容。口诀便于记忆，学生活动促进自我反思。易错提示框强化对书写规范和概念辨析的认识。 学科网（北京）股份有限公司 $