专题05 二次函数培优拔高压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建二次函数培优体系，提炼4大核心通法，覆盖5类中考高频题型，实现从方法迁移到综合应用的递进式突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|4大通法|待定系数法（3种形式）、动点四步法（设点-翻译-列方程-检验）、水平宽-铅垂高法、区间最值三步法|从解析式求解到复杂几何问题，构建“方法-应用”逻辑链| |题型归纳|5类题型（含典例12道+变式14道）|面积问题考法（最值/定值）、线段周长转化策略、区间分类讨论模板、图像变换规则、实际应用公式（总利润=单件利润×销量）|按“基础培优-难点突破”分层，题型与通法精准对应| |压轴挑战|18道综合题|高难压轴题融合多知识点，强化复杂情境下的模型构建与推理|衔接中考命题趋势，提升综合解题与创新意识|

专题05 二次函数培优拔高压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、面积综合问题（基础培优必考） 题型二、线段、周长最值问题 题型三、区间最值问题（中考压轴难点） 题型四、函数图像变换（平移、对称） 题型五、实际应用压轴题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：待定系数法求解析式（大题第1问必拿分） 根据题干已知条件，择优选择解析式形式，简化计算，核心三种形式： 一般式：，适用于已知抛物线上任意三个点坐标 顶点式：，适用于已知顶点坐标、对称轴、函数最值 交点式：，适用于已知抛物线与x轴两个交点（需满足） 解题原则：所有压轴题优先求解析式，再求解后续问题，全程牢记，避免基础性扣分。 通法2：动点问题通用四步法（压轴核心） 所有抛物线上动点、直线动点题型，统一遵循四步解题，杜绝思路混乱、漏解问题： 1.设点：抛物线上动点统一设为 （为参数），直线上动点直接代入对应直线解析式设坐标； 2.几何条件翻译：水平/竖直距离直接坐标相减；斜线段长度用两点距离公式 ；垂直转化为斜率乘积为-1或勾股定理，平行转化为斜率相等； 3.列方程：将题目中的几何等量关系，全部转化为关于参数的代数方程； 4.求解检验：解方程后，舍去超出图像范围、点重合、不符合题意的增根。 通法3：面积问题——水平宽‑铅垂高法（安徽中考高频） 此方法规避复杂的三角函数、相似三角形计算，是二次函数面积题最优解法： 水平宽：三角形两个定点横坐标之差的绝对值（固定不变）； 铅垂高：动点与定点连线对应竖直线上的纵坐标差值（动态变化）； 适用场景：任意斜三角形面积求解、面积最值、面积定值问题。 通法4：区间最值三步法（压轴重灾区，高频易错） 二次函数最值≠顶点最值，自变量有取值范围时，必须按区间判断，三步通用： 1.求出抛物线对称轴 ； 2.判断对称轴位置：在自变量区间内、区间左侧、区间右侧； 3.分类求最值：对称轴在区间内，顶点取一个最值，另一最值在区间端点；对称轴不在区间内，函数单调增减，最值直接取区间端点。 核心警示：顶点不在自变量取值范围内，绝对不能用顶点最值。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、面积综合问题（基础培优必考） 【典例1】．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）二次函数的图象过点，与轴相交于点A，B，且点在点的左边，与轴交于点C (1)求的值及点的坐标； (2)求的面积； 【典例2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为，求的面积． 题型模版 核心考法：已知面积求动点坐标、三角形/四边形面积最值、面积倍数/面积相等问题。 【变式1-1】．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定，的值； (2)若该二次函数的图象与轴交于，两点其中点在点的左侧，试求的面积． 【变式1-2】．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，若，求点的坐标． 【变式1-3】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线 （）与 轴交于 、 两点，与 轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一动点，且点在直线的下方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，过点作 轴于点 ，交直线于点，点是抛物线上一动点，点是直线上一动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二、线段、周长最值问题 【典例3】．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且图象经过点，，连接AC． (1)求的值． (2)点D是轴上一动点，过点D作轴，交直线于点，交抛物线于点E，设点D的横坐标为． ①当点D在线段（点D不与点重合）上运动时，过点E作，垂足为F，求周长的最大值及此时点E的坐标． ②当时，直接写出的取值范围． 【典例4】．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点． ①求的最大值； ②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标． 题型模版 水平/竖直线段最值：直接用横坐标/纵坐标差值，转化为二次函数求最值； 【变式2-1】．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【变式2-2】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)当线段长等于2时，求点的坐标． (3)直接写出线段长的最大值是________． 【变式2-3】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，抛物线与坐标轴交于点和点B（点B位于x轴正半轴），点在抛物线上，D，E为线段上的动点（点D在点E的左侧），，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的长； (3)如图2，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G，连接，，求四边形周长的最小值． 题型三、区间最值问题（中考压轴难点） 【典例5】．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知二次函数（是常数且）． （1）若，该函数图象的顶点坐标为_____． （2）若函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，则的值为_____． 【典例6】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线． (1)求证：不论为何值，抛物线与轴都有两个交点； (2)若该抛物线的对称轴为，当时，求的取值范围． 题型模版 1.定轴定区间：直接判断对称轴与区间位置关系，求最值； 2.动轴定区间：对对称轴位置分类讨论（区间左侧、区间内、区间右侧）； 【变式3-1】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知二次函数的表达式为． (1)若点在该二次函数的图象上，求t的值； (2)当时，函数有最大值m和最小值n，求证：． 【变式3-2】．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知关于的二次函数，（实数为常数）． (1)若二次函数的图像经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； (2)若，当时，二次函数的最小值12，求的值； (3)记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图像上，点在函数的图像上，若当时，始终满足，求的取值范围． 【变式3-3】．（25-26九年级上·安徽池州·期末）已知抛物线的顶点坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)当时，抛物线的最大值与最小值的差记为；当时，抛物线的最大值与最小值的差记为； （i）若，比较与的大小关系并说明理由； （ii）若，且，求的值． 题型四、函数图像变换（平移、对称） 【典例7】．（2024九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是______．    【典例8】．小嘉说：将二次函数的图像平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ③向下平移4个单位长度；④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度． 你认为小嘉说的方法中正确的个数有________个． 【典例9】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）若将抛物线的对称轴向右平移一个单位，则与抛物线（为常数）的对称轴重合 (1)求的值； (2)当时，若点在抛物线上，点在抛物线上，求的范围． 题型模版 平移变换：左加右减自变量，上加下减常数项，二次项系数a保持不变； 【变式4-1】．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，抛物线：与轴交于点，与轴交于点，将抛物线沿轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线． (1)求的解析式； (2)在抛物线的第一象限内的图像上有一点，求的面积的最大值． 【变式4-2】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线． (1)抛物线的对称轴是________； (2)当时，若将平面内一点向右平移个单位长度，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位长度，则与抛物线上的点重合，求的值； (3)在（2）的条件下，对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围． 【变式4-3】．（2026·安徽池州·二模）已知二次函数的图象与y轴交于点A，顶点为点M． (1)求点A的坐标及该二次函数图象的对称轴； (2)若原函数为，该二次函数图象沿x轴翻折，得到的新二次函数．点在上，点在上； ①当时，求函数的解析式； ②若对于任意的、满足，且，都有，求a的取值范围． 【变式4-4】．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求直线的解析式及抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大； (3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式． 题型五、实际应用压轴题 【典例10】．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． (1)求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ (2)求w关于x的函数表达式，并求当A款纪念币售价x为多少时，总利润w最大，求出此时总利润w的最大值 【典例11】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）安徽是中国重要的茶叶产区，名茶辈出，中国十大名茶中安徽就占了四种，分别是黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁、六安瓜片；某茶叶公司销售某种茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，设该茶叶的日销售利润为w元． (1)请直接写出y与x，w与x之间的函数表达式； (2)若该茶叶的日销量不低于80千克，当单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【典例12】．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）某商场购进一批单价为元的商品，在商场试销发现：每天销售量（件）与销售单价（元件）之间满足如图所示的函数关系： (1)求与之间的函数关系式； (2)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；售价定为多少时，才能使每天的利润最大？每天的最大利润是多少？ 题型模版 1.核心公式：总利润=单件利润×销售量 2.关键注意点：必须标注自变量实际取值范围，若顶点不在取值范围内，最值只能取区间端点，严禁直接套用顶点最值。 【变式5-1】．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）某水果超市销售一种苹果，这种苹果的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种苹果的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该种苹果每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示； (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式； (3)当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式5-2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是某百货商场销售的一款马年吉祥物，进价为15元，售价为35元，每天可售出50个．为了迎接春节的到来，商场决定采取降价促销活动，减少库存，增加市场利润．如果每个吉祥物降价2元，平均每天可多售出10个，设每个吉祥物降价元． (1)每天销量是________，（用含有的式子表示） (2)当每个吉祥物售价为多少元时，平均每天可获得1080元的利润？ (3)每个吉祥物售价为多少元时，平均每天获得利润最大，最大利润是多少元？ 【变式5-3】．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）项目学习 项目主题：金丝琥珀蜜枣的最优销售单价 项目背景：金丝琥珀蜜枣是安徽省歙县特产，以当地马枣为原料，经八道传统工序制成．某校学习小组以探究“金丝琥珀蜜枣的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究歙县某特产超市金丝琥珀蜜枣销售总利润与销售单价的关系．研究步骤： ①学习小组通过咨询该特产超市了解到购进金丝琥珀蜜枣的成本价为40元/千克． ②该特产超市在试营业期间，不断调整销售单价，并对金丝琥珀蜜枣的销售量进行统计（不考虑其他因素，本题默认为散装销售）． ③数据分析，得出结论． 收集数据： 金丝琥珀蜜枣销售价/（元/千克） ．．． 50 55 60 65 70 ．．． 每月销售数量/千克 ．．． 500 450 400 350 300 ．．． 问题解决： (1)根据表中信息，金丝琥珀蜜枣每月的销售数量（单位：千克）关于它的销售单价（单位：元/千克）的函数解析式为___________． (2)现计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ (3)通过计算说明金丝琥珀蜜枣的销售单价定为多少时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润（单位：元）最大，并求出最大利润． 【变式5-4】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题． 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集． 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是． 小冉：该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示． 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为（其中）． 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量=每日生产量）． 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中． (1)任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式． (2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量． (3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解答题 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为元，每天可售出件，根据市场调查发现，销售单价每增加元，每天销售量会减少件． (1)若超市每天销售这种玩具可获利元，则销售单价增加了多少元？ (2)若市场规定该种玩具每件的利润不能超过元，那么当销售单价增加了多少元时每天销售这种玩具可获利最大？最大利润是多少？ 2．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？ 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． (1)用含有的代数式表示边的长为______m； (2)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 4．如图，若二次函数图象的对称轴为，且与x轴交于A、B，与y轴交于点C，直线经过点B、C． 求二次函数的解析式； 若将二次函数沿x轴翻折，翻折后的图象的顶点为D，求的面积． 5．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当自变量的取值范围为，则的取值范围为______． 6．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，，的坐标； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的动点，连接、、、，如图，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； 7．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)抛物线的顶点为D，连接、、，求的面积． 8．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线． (1)若抛物线的对称轴为直线，求的值． (2)若抛物线经过点，顶点坐标为． （ⅰ）求关于的函数表达式； （ⅱ）当顶点纵坐标取最大值时，求的值． 9．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求的值； (2)若点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求的值； (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 10．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）若抛物线（为常数）的顶点的横坐标比抛物线的顶点的横坐标大． (1)求的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （）若，求的最大值； （）当，且时，始终有，求的值． 11．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． (1)若该抛物线经过点和，求该抛物线的顶点坐标； (2)设，为该抛物线上两点，且． （ⅰ）若当时，，求的取值范围； （ⅱ）若当时，总有，求的最小值． 12．如图，抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C，对称轴为直线．    (1)点B的坐标为__________． (2)求抛物线的解析式． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．综合与探究 如图，已知抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，对称轴是直线，且与轴交于点． (1)求点A，，，的坐标； (2)若点是该抛物线对称轴上的个动点，求周长的最小值； (3)若点是线段上的一个动点（与不重合），过点作轴的垂线，与抛物线交于点，与轴交于点则在点运动的过程中，是否存在？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）定义：对于一个函数，当自变量，对应函数值时，则实数叫做这个函数的一个降一点值．例如：求正比例函数的降一点值． 解：当时，， 解得： 正比例函数的降一点值为； 根据定义完成下列问题： 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a，b，c为常数，且）与y轴交于点A． (1)若，该二次函数有和1两个降一点值，且抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C左边）． ①求该二次函数的表达式； ②过线段上一点D作轴于E，的延长线交抛物线于F，若，求的值． (2)已知点P在该抛物线上，且直线经过该抛物线的顶点，设与x轴，y轴所围成的三角形面积为，，且，求的最小值． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为，已知图像经过点． (1)求、、三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过、、三点，其中，该函数图像与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）． ①若点的坐标为，求的值； ②设，直接写出的最大值． 16．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）【项目背景】 在校园创业实践活动中，你的小组计划经营一家“鲜鱼小丸子”小店，销售手工制作的鱼丸．经测算，每千克鱼丸的成本为元．试营业期间，定价元/千克时，每月可售出千克．市场调研发现，售价每上涨1元，销售量减少千克；每下降1元，销售量增加千克．作为项目财务负责人，请你完成以下利润分析任务． 【任务1】若售价定为元/千克，求月销售量和月销售利润； 【任务2】设售价为元/千克，月销售利润为元．建立关于的函数关系式，并求月销售利润的最大值及此时的售价； 【任务3】如果小店每月还需支付元摊位租金，并且希望每月利润不低于元，请结合图形，直接写出售价的取值范围______． 17．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知抛物线． (1)当，时，求y的最小值； (2)若抛物线的顶点在x轴上，且经过点，求a的值； (3)当时，，为此抛物线上的两点，若时，总有，求a的取值范围． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，抛物线（a，b是常数且a≠0）与x轴交于点A和点B，点A位于原点左侧，点B位于原点右侧，与y轴交于点C，连接，，已知． (1)求抛物线的解析式； (2)若是该抛物线的对称轴，点D是抛物线的顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点． （i）如图2，连接，，若的面积为3，求点P的坐标； （ii）如图3，设与交于点G，连接，求的最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数培优拔高压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、面积综合问题（基础培优必考） 题型二、线段、周长最值问题 题型三、区间最值问题（中考压轴难点） 题型四、函数图像变换（平移、对称） 题型五、实际应用压轴题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：待定系数法求解析式（大题第1问必拿分） 根据题干已知条件，择优选择解析式形式，简化计算，核心三种形式： 一般式：，适用于已知抛物线上任意三个点坐标 顶点式：，适用于已知顶点坐标、对称轴、函数最值 交点式：，适用于已知抛物线与x轴两个交点（需满足） 解题原则：所有压轴题优先求解析式，再求解后续问题，全程牢记，避免基础性扣分。 通法2：动点问题通用四步法（压轴核心） 所有抛物线上动点、直线动点题型，统一遵循四步解题，杜绝思路混乱、漏解问题： 1.设点：抛物线上动点统一设为 （为参数），直线上动点直接代入对应直线解析式设坐标； 2.几何条件翻译：水平/竖直距离直接坐标相减；斜线段长度用两点距离公式 ；垂直转化为斜率乘积为-1或勾股定理，平行转化为斜率相等； 3.列方程：将题目中的几何等量关系，全部转化为关于参数的代数方程； 4.求解检验：解方程后，舍去超出图像范围、点重合、不符合题意的增根。 通法3：面积问题——水平宽‑铅垂高法（安徽中考高频） 此方法规避复杂的三角函数、相似三角形计算，是二次函数面积题最优解法： 水平宽：三角形两个定点横坐标之差的绝对值（固定不变）； 铅垂高：动点与定点连线对应竖直线上的纵坐标差值（动态变化）； 适用场景：任意斜三角形面积求解、面积最值、面积定值问题。 通法4：区间最值三步法（压轴重灾区，高频易错） 二次函数最值≠顶点最值，自变量有取值范围时，必须按区间判断，三步通用： 1.求出抛物线对称轴 ； 2.判断对称轴位置：在自变量区间内、区间左侧、区间右侧； 3.分类求最值：对称轴在区间内，顶点取一个最值，另一最值在区间端点；对称轴不在区间内，函数单调增减，最值直接取区间端点。 核心警示：顶点不在自变量取值范围内，绝对不能用顶点最值。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、面积综合问题（基础培优必考） 【典例1】．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）二次函数的图象过点，与轴相交于点A，B，且点在点的左边，与轴交于点C (1)求的值及点的坐标； (2)求的面积； 【答案】(1)，点B的坐标为 (2)12 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程，二次函数的面积问题，准确理解二次函数的相关运算是解题的关键． （1）先求出，得到二次函数的解析式为，然后将代入求值即可解答； （2）先求出点坐标，再求出，然后根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时， ， ， 解得， ∵且点在点的左边， ∴． （2）当时，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数，掌握相关知识是解题的关键． （1）将、、代入，可求出、、的值，进而可得抛物线的解析式； （2）将二次函数的一般式化为顶点式，可得点坐标，进而可求出的面积． 【详解】（1）解：将、、代入得： ， ， ； （2）解：， ， ，， ． 题型模版 核心考法：已知面积求动点坐标、三角形/四边形面积最值、面积倍数/面积相等问题。 【变式1-1】．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定，的值； (2)若该二次函数的图象与轴交于，两点其中点在点的左侧，试求的面积． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和与x轴的交点坐标的求法，关键是根据点的坐标求三角形的面积． （1）把，代入，列出方程组，即可求出的值； （2）先根据已知条件求出两点的坐标，再求出的长，根据点的纵坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴解得：，； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为：， ∵二次函数的图象与轴交于，两点其中点在点的左侧， ∴当时，得， 解得：，， ∴，， ∴． ∵点的坐标是， ∴． 【变式1-2】．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得直线的表达式为，过点作交轴于点，连接，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：点，点， ， ． ， ， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的表达式为， 如图，过点作交轴于点，连接， ， ， ， ∴， 同理可得的表达式为， 联立得：， 解得，， 或． 【变式1-3】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线 （）与 轴交于 、 两点，与 轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一动点，且点在直线的下方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，过点作 轴于点 ，交直线于点，点是抛物线上一动点，点是直线上一动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积最大为，此时 (3)存在，点坐标为或或或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，将、、代入，求出、、的值，进而可求出抛物线的解析式； （2）过点作 轴于点 ，交直线于点，则，设点，则点，用含的代数式表示后，可求出面积，化为顶点式后即可求出面积最大值及点的坐标； （3）分是平行四边形的边与对角线两种情况考虑；设，用含的代数式表示后，根据平行四边形对边相等及对角线互相平分，建立关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：将、、代入得： ， ， ； （2）解：过点作 轴于点 ，交直线于点， 则， ，点是抛物线上一动点， 设点， 设直线， 将点，代入得： ， ， ， 点， ， ， ， 时，取得最大值，此时， 面积的最大值为，此时； （3）解：由（2）可得，， ， 当点、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 若是四边形的边，则且， 设，则， ， 得， ①时，， ，， ，， ②时，， ，， ，， 若是平行四边形的对角线，则的中点为， 设，则， 则， 整理得：， 解得：，， ，， 综上，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、铅垂法求三角形的面积、平行四边形存在性问题、抛物线与坐标轴的交点，掌握相关知识是解题的关键． 题型二、线段、周长最值问题 【典例3】．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且图象经过点，，连接AC． (1)求的值． (2)点D是轴上一动点，过点D作轴，交直线于点，交抛物线于点E，设点D的横坐标为． ①当点D在线段（点D不与点重合）上运动时，过点E作，垂足为F，求周长的最大值及此时点E的坐标． ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①的周长的最大值为，此时点的坐标为；②的取值范围为或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、等腰三角形的性质和判定、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）把点，代入，再进一步求解即可. （2）①求出，再利用待定系数法得出直线的解析式为，由题意可得，，，，则，证明为等腰直角三角形，结合对顶角相等得出，从而可得为等腰直角三角形，求出周长为： ，再由二次函数的性质即可得出结果； ②由①可得，，则，结合题意可得，从而得出或，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为. （2）解：①在中，当时，，即， 当时，， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点的横坐标为． ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴周长为： ， ∵， ∴当时，周长的最大值为， 此时， ∴的周长的最大值为，此时点的坐标为； ②由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 当时，可得：或， 解时，可得：， 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—周长问题，等腰三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【典例4】．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点． ①求的最大值； ②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①的最大值为；②点的坐标为． 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①设点坐标为，结合题意分别求出，进而可得，运用二次函数的性质求解即可； ②延长交轴于点，设点横坐标为，结合题意分别求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设点的横坐标为，则点坐标为， ∵是线段下方， ∴， ∵设直线表达式为， 把，代入得，解得， 直线表达式为， ∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴， ∵将代入，解得， ∴点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为； ②延长交轴于点，设点横坐标为，则点坐标为， ∴点坐标为，由①得， ∵， ∴， ∵ ∴， 整理得：，即：， 解得，（舍去） 当时，， ∴点的坐标为 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形的面积，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用方程思想是解题的关键． 题型模版 水平/竖直线段最值：直接用横坐标/纵坐标差值，转化为二次函数求最值； 【变式2-1】．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)①；②该矩形周长的最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据矩形的性质求线段长、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数与几何综合； （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B点坐标，设，则，表示出和， ①根据列方程求出m，进而可得点坐标； ②易得直线解析式，则可知，，用含m的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设，则， ，， ①， ， 解得：（舍去）或， ； ②∵ ∴直线解析式为， ∴， ， 设矩形周长为， 则， ∴当时，的最大值为． 【变式2-2】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)当线段长等于2时，求点的坐标． (3)直接写出线段长的最大值是________． 【答案】(1)；点的坐标为 (2)或 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，线段问题，求出函数解析式，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）运用待定系数法求出解析式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，设点的横坐标为，可得，求出，由可得结论； （3）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴可得， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 直线的解析式为； 轴，点的横坐标为， ， ， 解得或， ， 或； （3）解：， ，， 当时，取最大值，最大值为． 长度的最大值是． 故答案为：． 【变式2-3】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，抛物线与坐标轴交于点和点B（点B位于x轴正半轴），点在抛物线上，D，E为线段上的动点（点D在点E的左侧），，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的长； (3)如图2，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G，连接，，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)四边形周长的最小值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据矩形的性质与判定求线段长、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点E作轴交于P点，过点D作交于Q点，则，由，得到，设，则，由，可知D是的中点，则，求出E点坐标为，即可求得； （3）过E点作交于M点，则四边形是矩形，，作A点关于x轴的对称点，连接，则，过作，且，则四边形是平行四边形，连接，当F、C、共线时，的值最小，此时四边形周长最小，求出，则，据此即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， 解得或， ∴， ∴直线的解析式为， 过点E作轴交于P点，过点D作交于Q点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴D是的中点， ∴， 解得， ∴E点坐标为， ∴； （3）解：过E点作交于M点， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 作A点关于x轴的对称点，连接，则， 过作，且，则四边形是平行四边形， ∴， 连接，当F、C、共线时，的值最小，此时四边形周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形周长 ， ∴四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 题型三、区间最值问题（中考压轴难点） 【典例5】．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知二次函数（是常数且）． （1）若，该函数图象的顶点坐标为_____． （2）若函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，则的值为_____． 【答案】 3或8 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将代入即可得二次函数的解析式，再将二次函数的解析式化成顶点式即可得其顶点坐标； （2）先将点代入求出二次函数的解析式为，再分两种情况：①和②，利用二次函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：将代入中， 得， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：由题意得， 将点代入中， 得， 解得， ∵， ∴， ∴该函数解析式为． 当时，， 当时，． ①当时，最大值为12， ∴，解得； ②当时，最大值为， ∴，解得或（舍去）． 综上所述，的值为3或8． 【典例6】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线． (1)求证：不论为何值，抛物线与轴都有两个交点； (2)若该抛物线的对称轴为，当时，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：当时，得：， ∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根， 即不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数与轴，轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）令，则，再证明即可； （2）先确定抛物线的解析式，再结合函数图像开口方向，得到最值即可得解； 【详解】（1）略 （2）解：抛物线的对称轴为，解得， ， 时，取得最大值，最大值为； ， 时，取得最小值，最小值为； 综上，． 题型模版 1.定轴定区间：直接判断对称轴与区间位置关系，求最值； 2.动轴定区间：对对称轴位置分类讨论（区间左侧、区间内、区间右侧）； 【变式3-1】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知二次函数的表达式为． (1)若点在该二次函数的图象上，求t的值； (2)当时，函数有最大值m和最小值n，求证：． 【答案】(1)0或4 (2) 证明：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，且当时函数有最大值，最大值为， ∵顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∴ ∴ ， ∴． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式得到开口方向，对称轴和顶点坐标，则可得离对称轴越远，函数值越大，据此根据未知数的取值范围，确定函数的最大值和最小值，再求出的结果，根据偶次方的非负性即可证明结论． 【详解】（1）解：∵点在该二次函数的图象上， ∴， ∴ 解得或； （2）略 【变式3-2】．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知关于的二次函数，（实数为常数）． (1)若二次函数的图像经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； (2)若，当时，二次函数的最小值12，求的值； (3)记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图像上，点在函数的图像上，若当时，始终满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)4或 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】（1）由二次函数的图像经过点得到，由对称轴为直线得到即可解答； （2）分①当时，即，②当时，即，③当时，即三种情况分别根据二次函数的性质求最小值并列方程求解即可； （3）分别求出的最小值，的最大值，由题意得到求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）解：当时，， ∴函数的表达式为，对称轴为直线， 根据题意可知，需要分三种情况： ①当时，即，在内，y随着x的增大而增大， 当时，二次函数的最小值为12， ∴，解得（不合题意舍去）； ②当时，即，在内， 当时，二次函数最小值为12， ∴，解得（舍）（舍）； ③当时，即，在内，y随着x的增大而减小， ∴时，二次函数的最小值为12， ∴，解得（舍）或． 综上，的值为4或． （3）解：由（1）得：， 当时，则时，的最小值为1， ∵， ∴当时，则时，的最大值为， ∵，时，始终满足， ∴，解得：． 【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式3-3】．（25-26九年级上·安徽池州·期末）已知抛物线的顶点坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)当时，抛物线的最大值与最小值的差记为；当时，抛物线的最大值与最小值的差记为； （i）若，比较与的大小关系并说明理由； （ii）若，且，求的值． 【答案】(1) (2) （i）， 理由：∵对称轴为直线， ∴抛物线在时，随的增大而减小；抛物线在时，随的增大而增大. ∴当时，，，，， ∴当时，抛物线的最大值为当时，即；抛物线的最小值为当时，即，此时最大值与最小值的差； 当时，抛物线的最大值为当时，即；最小值为为当时，即，此时最大值与最小值的差为， ∴； （ii）或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）利用顶点坐标公式求出抛物线表达式中的系数和，即可得出结果； （2）（i）当时，确定两个区间，分别计算最大值与最小值的差和，再比较大小； （ii）当时，分情况讨论与对称轴的位置关系，分别求出和，根据列方程求解． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点坐标为得：，， 解得，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：（i）略 （ii）若，分三种情况讨论： ①当时，即时， 当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差； 当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差， ∵， ∴，解得，不符合条件，舍去； ②当且，即时， 当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差； 当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差， ∵， ∴，解得（舍去），； ③当且，即时， 当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差； 当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差， ∵， ∴，解得（舍去），； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式与一般式的转化，二次函数的性质，二次函数的最值问题及方程的求解． 题型四、函数图像变换（平移、对称） 【典例7】．（2024九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是______．    【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】求出二次函数与x轴相交于，先求出当经过点时m的值，再求出 与只有一个交点时m的值，即可解答． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴二次函数与x轴相交于， 当经过点时，如图： 把代入得：， 解得：，    ∵将二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方， ∴当时，， 当与只有一个交点时，方程有两个相等的实数根， 整理得：， 则，解得：，    ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握根据图象求一元二次方程解的方法． 【典例8】．小嘉说：将二次函数的图像平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ③向下平移4个单位长度；④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度． 你认为小嘉说的方法中正确的个数有________个． 【答案】4 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移和翻折，正确求得翻折、平移后的解析式成为解题的关键． 先分别求得平移或翻折后的解析式，然后将代入判定即可． 【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； 综上所述：正确的个数为4个； 故答案为：4． 【典例9】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）若将抛物线的对称轴向右平移一个单位，则与抛物线（为常数）的对称轴重合 (1)求的值； (2)当时，若点在抛物线上，点在抛物线上，求的范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由抛物线，得抛物线的对称轴向右平移一个单位得对称轴为，从而得，求解即可； （2）由点在抛物线上，得，由点在抛物线上，，得，从而根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴， ∴抛物线的对称轴向右平移一个单位得对称轴为， ∵抛物线的对称轴向右平移一个单位，则与抛物线（为常数）的对称轴重合， ∴， 解得； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵点在抛物线上，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为 当时，有最小值为． ∴的范围为． 题型模版 平移变换：左加右减自变量，上加下减常数项，二次项系数a保持不变； 【变式4-1】．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，抛物线：与轴交于点，与轴交于点，将抛物线沿轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线． (1)求的解析式； (2)在抛物线的第一象限内的图像上有一点，求的面积的最大值． 【答案】(1)（或）. (2)6 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，需要综合运用待定系数法确定函数关系式，二次函数图象与几何变换，坐标与图形性质，二次函数最值的求法以及三角形面积公式等知识点，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）根据二次函数几何图象的变换规律求得的解析式即可； （2）设，由图形知，，由此得到二次函数关系式，根据二次函数最值的求法解答． 【详解】（1）解：将抛物线：沿轴翻折后得到， 即． ， 将其向右平移1个单位，再向上平移1个单位， 得到抛物线：， ． （2）如图，过点作轴于， 抛物线：， ． 抛物线：， 令，则，解得或， ，． 设， ，，，． ． 即. 当时，． 的面积的最大值是6． 【变式4-2】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线． (1)抛物线的对称轴是________； (2)当时，若将平面内一点向右平移个单位长度，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位长度，则与抛物线上的点重合，求的值； (3)在（2）的条件下，对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)6 (3) 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据二次函数的对称轴性质代入可得； （2）根据平移可得，，关于对称轴对称，可得求值即可； （3）二次函数图象的对称轴直线开口向上，当时y随x值增大而减小，可知的最小值，然后分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴二次函数图象的对称轴直线为， ∴对称轴是直线， 故答案为：； （2）解：当时，得，对称轴是直线． ∵点向右平移个单位长度，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位长度，则与抛物线上的点重合， ∴，． 由抛物线的对称性，得， 解得， ∴，即． 把代入，得， ∴的值为6． （3）解：当，时，均满足，则． 将，分别代入，得，， ∴，即． ∵抛物线的对称轴是直线，开口向上， ∴当时，随值的增大而减小． ∵， ∴当时，有最小值是10， ∴， ∴，即， ∴或， 解得． 当时，则，解得， 当时，则，解得． 综上，的取值范围为． 【变式4-3】．（2026·安徽池州·二模）已知二次函数的图象与y轴交于点A，顶点为点M． (1)求点A的坐标及该二次函数图象的对称轴； (2)若原函数为，该二次函数图象沿x轴翻折，得到的新二次函数．点在上，点在上； ①当时，求函数的解析式； ②若对于任意的、满足，且，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)；对称轴为直线 (2)①的解析式为；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）将代入，即可得A点坐标；根据对称轴公式可求二次函数图象的对称轴； （2）①原函数通过配方法化为顶点式，再根据二次函数图象沿x轴翻折，则开口相反，顶点关于x轴对称，即可得的解析式； ②将代入的解析式，作差令，再根据，通过配方得，然后分类讨论，根据二次函数的性质求最小值，求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 因此A点坐标：； 二次函数的对称轴为直线， 即该二次函数对称轴为直线； （2）解：①当时，原函数为：， 通过配方法将其化为顶点式：， 二次函数图象沿x轴翻折，即开口相反，顶点关于x轴对称， 可得的解析式为； （换个角度，图象上所有点的纵坐标取相反数，因此的解析式为：整理为一般式：，即函数的解析式为．） ②上的点：， 上的点：， 将代入得：， 令， 通过配方得， ∵， ∴， 分两种情况讨论： （ⅰ）若，则当时，， 解得，不合题意，舍去； （ⅱ）若，则当或2时，， 解得， 综上所述，a的取值范围为． 【变式4-4】．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求直线的解析式及抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大； (3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式． 【答案】(1)，； (2)点的横坐标为时，有最大值； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）设点的横坐标为，则，，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而得到，根据二次函数的性质即可求解； （）设平移后抛物线的解析式，联立函数解析式得，整理得，，设，，则，是方程的两根，由为的中点可得，求出即可求解； 本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：设点的横坐标为，则，，， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 轴， 为等腰直角三角形， ， ∴， 当时，有最大值， 即点的横坐标为时，有最大值； （3）解：由（）可知，直线的解析式为， 抛物线为：， 设平移后抛物线的解析式， 联立函数解析式得，， ， 整理得，， 设，，则，是方程的两根， ， ∵为的中点， ∴， ∴， 解得， 抛物线的解析式． 题型五、实际应用压轴题 【典例10】．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． (1)求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ (2)求w关于x的函数表达式，并求当A款纪念币售价x为多少时，总利润w最大，求出此时总利润w的最大值 【答案】(1)A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； (2)；当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）根据题意列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚， 由题意得， 解得， 答：A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； （2）解： ， ， 抛物线开口向下，当时，w随x的增大而增大， ， 当时，w有最大值，最大值为（元）． 答：当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 【典例11】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）安徽是中国重要的茶叶产区，名茶辈出，中国十大名茶中安徽就占了四种，分别是黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁、六安瓜片；某茶叶公司销售某种茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，设该茶叶的日销售利润为w元． (1)请直接写出y与x，w与x之间的函数表达式； (2)若该茶叶的日销量不低于80千克，当单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)；． (2)当单价定为80元时，每天获取的利润最大，最大利润是1600元． 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出一次函数解析式，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式； （2）利用二次函数求最值即可； 【详解】（1）设一次函数的解析式为， 把代入函数解析式，得：，解得， ∴； ∴； （2）由题意，， ∴， ∴ ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，为； 答：当单价定为80元时，每天获取的利润最大，为1600元； 【典例12】．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）某商场购进一批单价为元的商品，在商场试销发现：每天销售量（件）与销售单价（元件）之间满足如图所示的函数关系： (1)求与之间的函数关系式； (2)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；售价定为多少时，才能使每天的利润最大？每天的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)；140元；1600元 【知识点】求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数的应用和二次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． （1）设函数关系式为，将和代入求解即可； （2）由题意可得，每件的利润为，再列出二次函数的解析式并根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 图象过，， ， ，， ； （2）解：由（1）得，销售量， 每件的利润为， ， ， 当时，为最大值， 售价定为元时，才能使每天的利润最大，最大为元． 题型模版 1.核心公式：总利润=单件利润×销售量 2.关键注意点：必须标注自变量实际取值范围，若顶点不在取值范围内，最值只能取区间端点，严禁直接套用顶点最值。 【变式5-1】．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）某水果超市销售一种苹果，这种苹果的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种苹果的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该种苹果每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示； (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式； (3)当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)销售价为20元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）由图象得，y与x之间满足一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； （2）根据销售利润销售量每一件的销售利润，即可得到w和x的函数关系式； （3）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图象得，y与x之间满足一次函数关系， 设y与x之间的函数关系式为， 把，代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式为； （3）解：由（2）知， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，． ∴当销售价为20元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 【变式5-2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是某百货商场销售的一款马年吉祥物，进价为15元，售价为35元，每天可售出50个．为了迎接春节的到来，商场决定采取降价促销活动，减少库存，增加市场利润．如果每个吉祥物降价2元，平均每天可多售出10个，设每个吉祥物降价元． (1)每天销量是________，（用含有的式子表示） (2)当每个吉祥物售价为多少元时，平均每天可获得1080元的利润？ (3)每个吉祥物售价为多少元时，平均每天获得利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当每个吉祥物售价为27元时，平均每天可获得1080元的利润； (3)每个吉祥物售价为30元时，平均每天获得利润最大，最大利润是1125元． 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，二次函数的最值问题，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． （1）因为每个吉祥物降价1元，那么平均可多售出2个，则降价x元，则多售出个，根据销售量=原销售量+多售出的个数，列式即可； （2）根据总利润=每个利润乘以销售数量，列方程求解可得； （3）根据总利润=每个利润乘以销售数量，列得关于的二次函数关系式，利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：每个吉祥物降价x元时，每天可销售个； 故答案为：； （2）解：根据题意得： ， 整理得， 解得：，， ∵扩大销售量，减少库存， ∴不合题意，舍去， ∴， 答：当每个吉祥物售价为27元时，平均每天可获得1080元的利润； （3）解：设平均每天盈利为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，平均每天盈利最大，最大利润是1125元． ∴， 答：每个吉祥物售价为30元时，平均每天获得利润最大，最大利润是1125元． 【变式5-3】．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）项目学习 项目主题：金丝琥珀蜜枣的最优销售单价 项目背景：金丝琥珀蜜枣是安徽省歙县特产，以当地马枣为原料，经八道传统工序制成．某校学习小组以探究“金丝琥珀蜜枣的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究歙县某特产超市金丝琥珀蜜枣销售总利润与销售单价的关系．研究步骤： ①学习小组通过咨询该特产超市了解到购进金丝琥珀蜜枣的成本价为40元/千克． ②该特产超市在试营业期间，不断调整销售单价，并对金丝琥珀蜜枣的销售量进行统计（不考虑其他因素，本题默认为散装销售）． ③数据分析，得出结论． 收集数据： 金丝琥珀蜜枣销售价/（元/千克） ．．． 50 55 60 65 70 ．．． 每月销售数量/千克 ．．． 500 450 400 350 300 ．．． 问题解决： (1)根据表中信息，金丝琥珀蜜枣每月的销售数量（单位：千克）关于它的销售单价（单位：元/千克）的函数解析式为___________． (2)现计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ (3)通过计算说明金丝琥珀蜜枣的销售单价定为多少时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润（单位：元）最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)销售单价应定为80元/千克 (3)当时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润最大，最大利润为9000元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用等，正确求出函数解析式，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）根据数据变化特点可知是一次函数，再通过待定系数法将数值代入求出关系式即可； （2）根据（1）中的销售量表达式，结合总利润每千克利润销售量，得到一元二次方程，结合月销售成本排除不合理的单价即可； （3）同（2）得到利润的二次函数关系式，配方得到顶点式，再利用二次函数的性质得出最值． 【详解】（1）解：观察表格可知金丝琥珀蜜枣每月的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数．设一次函数关系式为， 代入，，得 ， 解得， ∴金丝琥珀蜜枣每月的销售数量（单位：千克）关于它的销售单价（单位：元/千克）的函数解析式为， 故答案为：． （2）解：月销售成本不超过10000元，成本价为40元/千克， ，解得 由题意得， 解得（舍去）， 答：销售单价应定为80元/千克． （3）解： ， 当时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润最大，最大利润为9000元． 【变式5-4】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题． 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集． 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是． 小冉：该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示． 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为（其中）． 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量=每日生产量）． 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中． (1)任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式． (2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量． (3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 【答案】(1)， (2)30千克 (3)当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确找到相关的等量关系是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据题意列方程，即可解答； （3）设该菜品日销售利润为元．．，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设与x之间的函数关系式为， 将，代入， 得 解得 与x之间的函数关系式为． 当时，设与x之间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）解：根据题意，得，即， 解得，（不合题意，舍去）． 答：当日该菜品的生产量为30千克． （3）解：设该菜品日销售利润为元． ． ， 当时，有最大值，最大值为1350． 答：当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解答题 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为元，每天可售出件，根据市场调查发现，销售单价每增加元，每天销售量会减少件． (1)若超市每天销售这种玩具可获利元，则销售单价增加了多少元？ (2)若市场规定该种玩具每件的利润不能超过元，那么当销售单价增加了多少元时每天销售这种玩具可获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)元 (2)当销售单价增加了元时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是元 【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，准确列出方程和二次函数的解析式是解题的关键． （1）设销售单价增加了元．超市每天销售这种玩具可获利元，据此列出方程并解方程即可； （2）根据（1）中的方程列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求出答案即可． 【详解】（1）解：若超市每天销售这种玩具可获利元，设销售单价增加了元， 根据题意得， 整理得，， 解得， 答：销售单价增加了元． （2）解：根据题意得， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当每件利润为元时，每天销售这种玩具可获利最大， 当时， ， ∴最大利润是元． 答：当销售单价增加了元时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是元 2．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) 当售价定为元时，获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用——营销利润问题，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，运用“利润=售价-成本”列出二次函数关系式，二次函数的最大值，是解题的关键． （1）设，将、代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题意可得：，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【详解】（1）解：设， 将、代入， 得， 解得， ∴（）； （2）解： 由题意可得： ， ∴当时，W取得最大值为1800，答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． (1)用含有的代数式表示边的长为______m； (2)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】(1) (2)当时，矩形花圃面积最大，最大值为 【分析】本题主要考查矩形的性质，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据矩形的性质，用代数式表示即可； （2）根据题意，列式子，运用二次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门，设垂直于墙的一边为，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设矩形花圃面积为， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，矩形花圃面积最大，最大值为． 4．如图，若二次函数图象的对称轴为，且与x轴交于A、B，与y轴交于点C，直线经过点B、C． 求二次函数的解析式； 若将二次函数沿x轴翻折，翻折后的图象的顶点为D，求的面积． 【答案】（1）；（2）9． 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）通过直线求得点B、C坐标，再由对称轴为联立即可求解； （2）确定翻折后的图象的顶点为D坐标，按照即可求解． 【详解】（1）直线经过点B、C，则令，令，则，即：、，函数的对称轴，把点B、C坐标代入函数解析式，与联立，解得：、、，函数顶点坐标为：，故函数的表达式为：； （2）翻折后的图象的顶点为D为，把点C、D代入一次函数表达式并解得：． 设直线CD与x轴的交点为E，则． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和几何变换，是一道基本题． 5．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当自变量的取值范围为，则的取值范围为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）直接把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可； （2）先求出二次函数的顶点坐标，对称轴，开口向上，根据顶点得到最小值，再结合，距离对称轴越远，函数值越大，从而求得最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， 则该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为， ∵， ∴抛物线的图象开口向上，且当时，有最小值， ∵对称轴为，图象开口向上， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∵，，，， ∴当时，有最大值，其最大值为， ∴当时，的取值范围为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，，的坐标； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的动点，连接、、、，如图，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； 【答案】(1)，，； (2)点D坐标为 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）令可求得点C坐标，令可求得点A、B坐标； （2）设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质可求解． 【详解】（1）解：当时，， 令，由解得，， ∴，，； （2）解：设， 由（1）知，，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 此时，， ∴点D坐标为． 7．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)抛物线的顶点为D，连接、、，求的面积． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定等知识，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求出直线与对称轴的交点，即可得出，再用面积之和即可得出结论． 【详解】（1）解：将、、代入抛物线中，得： 解得：， ∴抛物线的解析式：； （2）解：∵抛物线的解析式：； ∴， ∴顶点D的坐标为， 设直线BC的解析式为， 将、代入上式，得：，解得：， ∴直线BC的函数关系式， 设直线BC交抛物线对称轴于点N， ∴当时，， ∴． ∴，， ∴． 8．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线． (1)若抛物线的对称轴为直线，求的值． (2)若抛物线经过点，顶点坐标为． （ⅰ）求关于的函数表达式； （ⅱ）当顶点纵坐标取最大值时，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）b、c的值分别为2、1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识，掌握这些知识是关键． （1）根据对称轴的表达式即可求解； （2）（ⅰ）把点M的坐标代入中，得到b、c的关系，再根据顶点坐标即可求解； （ⅱ）求出关于的函数表达式的最大值即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， 即， ∴； （2）解：（ⅰ）∵抛物线经过点， ∴把点M的坐标代入中，得， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴； 即关于的函数表达式为； （ⅱ）， ∴当顶点纵坐标取最大值时，函数的顶点为， ∴，， 即b、c的值分别为2、1． 9．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求的值； (2)若点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求的值； (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2)4 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、点坐标的平移、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据，，利用待定系数法求出的值，由此即可得； （2）先根据点坐标的平移可得点平移后的坐标，再代入二次函数的解析式求解即可得； （3）先求出当时的函数值与当时的函数值相等，据此分三种情况：①，②和③，再利用二次函数的增减性求出最大值与最小值，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：把，代入二次函数得：， 解得， 则． （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 将点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后所得到的点的坐标为，即， ∵点恰好落在抛物线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为4． （3）解：当时，， 当时，， 将二次函数化成顶点式为， ∴二次函数的对称轴为直线；当时，， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ①当时，在内，随的增大而减小， 则此时当时，取得最大值8；当时，取得最小值， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得，与题设不符，舍去； ②当时， 则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时当时，取得最大值8；当时，取得最小值， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； ③当时， 则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时当时，取得最大值；当时，取得最小值， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得或（不符合，舍去）； 综上，的取值范围为． 10．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）若抛物线（为常数）的顶点的横坐标比抛物线的顶点的横坐标大． (1)求的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （）若，求的最大值； （）当，且时，始终有，求的值． 【答案】(1)； (2)（）；（）． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （）由二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，得，然后求解即可； （）（）先求出，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （）由（）可知，又，则，从而得到，所以，整理可得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为， ∴， ∴； （2）解：（）∵点在二次函数的图象上，， 又点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值为； （）由（）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，整理可得：， 解得：或， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． (1)若该抛物线经过点和，求该抛物线的顶点坐标； (2)设，为该抛物线上两点，且． （ⅰ）若当时，，求的取值范围； （ⅱ）若当时，总有，求的最小值． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)（ⅰ）或 （ⅱ）最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）（ⅰ）根据推出抛物线的表达式为，进而得到，解之即可得到答案； （ⅱ）根据得到．则可推出，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点和， ， 解得：， 该抛物线的表达式为， 该抛物线的顶点坐标为； （2）解：（ⅰ）∵， ， 抛物线的表达式为， 当时，， ，为该抛物线上两点，且当时，总有， 当时，可得：，， ， 整理可得：， 或， 解得：或； （ⅱ）当时，， ， ， ，即， 根据题意得：， ，且 ， 当时，最小，最小值为． 12．如图，抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C，对称轴为直线．    (1)点B的坐标为__________． (2)求抛物线的解析式． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)抛物线的解析式 (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点关于对称轴对称求解即可； （2）根据对称轴和点A坐标，列出方程组，解之即可； （3）首先判断出最小时，的周长最小，连接BC交对称轴于点P，可得此时最小，求出直线的解析式，求出与的交点即可． 【详解】（1）解：∵交x轴于点，点B，对称轴为直线， ∴， 即； （2）由题意知， 解得 ∴抛物线的解析式； （3）∵是定值， ∴最小时，的周长最小， ∵点A，点B关于对称轴对称， 连接交对称轴于点P，此时最小， 由（1）（2）知点，点， 设的解析式为， 得，解得：， ∴所在直线解析式为， 令，则， ∴点P坐标为．    【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、待定系数法、最短路径等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 13．综合与探究 如图，已知抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，对称轴是直线，且与轴交于点． (1)求点A，，，的坐标； (2)若点是该抛物线对称轴上的个动点，求周长的最小值； (3)若点是线段上的一个动点（与不重合），过点作轴的垂线，与抛物线交于点，与轴交于点则在点运动的过程中，是否存在？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A（，0），B（1，0），C（0，3），D（，4） (2) (3)存在点E（，1），使得 【分析】（1）当时，，求解即可得到点A、点B的坐标，当x=0时，，即可求点C的坐标，把二次函数解析式化成顶点式，即可求出点D的坐标； （2）的周长为，为定值，当最小时，的周长最小．即可求解； （3）设点E坐标为（x，），点F（x，），则，，即可求解． 【详解】（1）解：当y=0时，， 解得，， ∴点A坐标为（，0），点B坐标为（1，0）． 当x=0时，y=3， ∴点C坐标为（0，3）． ∵， ∴点D坐标为（，4）； （2）解：的周长为，∵为定值， ∴当最小时，的周长最小． ∵点A，点B关于抛物线的对称轴l对称，∴连接，交l于点P，点P即为所求的点． ∵， ∴． ∵A（，0），B（1，0），C（0，3）， ∴，， ∴周长的最小值为； （3）设直线的解析式为，得 ． 解得，． ∴直线的解析式为． 设点E坐标为（x， ），点F（x， ）， 则，． 当时，有． 解得，（舍去） 当时，点E坐标为（，1）． ∴存在点E（，1），使得． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 14．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）定义：对于一个函数，当自变量，对应函数值时，则实数叫做这个函数的一个降一点值．例如：求正比例函数的降一点值． 解：当时，， 解得： 正比例函数的降一点值为； 根据定义完成下列问题： 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a，b，c为常数，且）与y轴交于点A． (1)若，该二次函数有和1两个降一点值，且抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C左边）． ①求该二次函数的表达式； ②过线段上一点D作轴于E，的延长线交抛物线于F，若，求的值． (2)已知点P在该抛物线上，且直线经过该抛物线的顶点，设与x轴，y轴所围成的三角形面积为，，且，求的最小值． 【答案】(1)①；②1或 (2) 【分析】本题考查新定义问题、二次函数，熟练掌握二次函数的表达式和性质是解题的关键． （1）①当时，该二次函数的表达式为，根据二次函数有和1两个降一点值，列出方程组，得出、的值即可； ②由①可知，抛物线的表达式为，则点的坐标为，，直线的表达式为，假设，则，根据，解出或，分情况讨论，当时或当时，计算的值即可； （2）假设直线的表达式为，该抛物线的顶点为，根据直线经过该抛物线的顶点，得出，令，解得，根据三角形面积公式得到，分析发现当时，取得最大值，进而得到取最小值． 【详解】（1）解：①当时，该二次函数的表达式为 二次函数有和1两个降一点值 解得、 因此该二次函数的表达式为 答：该二次函数的表达式为； ②抛物线的表达式为 点的坐标为， 可得直线的表达式为 设，则 解得或 当时，， ； 当时，， 的值为1或； （2）解：由题意，设直线的表达式为 该抛物线的顶点为 直线经过该抛物线的顶点 解得 直线AP的表达式为 令，解得 又 的对称轴为直线，开口向上 离对称轴越远，的值越大 当时，取得最大值 此时取最小值，最小值为． 答：的最小值为． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为，已知图像经过点． (1)求、、三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过、、三点，其中，该函数图像与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）． ①若点的坐标为，求的值； ②设，直接写出的最大值． 【答案】(1)，， (2)①，②最大值为4 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质； （1）先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据顶点式可得，然后，求出x即可得到、的坐标； （2）①根据抛物线过，得出对称轴为，然后利用抛物线的对称性可得的值； ②利用二次函数的对称性表示出点D坐标，求出，，然后利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴； 令， 解得或， ∴，； （2）①由题意知，该函数过点，，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∵，， ∴点，关于对称轴对称， ∴， ∴， 故答案为：5； 【点睛】设二次函数的解析式为：， 将，两点代入，得， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为， ∵，两点关于对称轴对称，点， ∴， ∵点在线段上，且与端点不重合， ∴， ∴， ∵时，过点，，三点的二次函数不存在， ∴且； ∵，， ∴， ∵且， ∴时，有最大值，最大值为4． 16．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）【项目背景】 在校园创业实践活动中，你的小组计划经营一家“鲜鱼小丸子”小店，销售手工制作的鱼丸．经测算，每千克鱼丸的成本为元．试营业期间，定价元/千克时，每月可售出千克．市场调研发现，售价每上涨1元，销售量减少千克；每下降1元，销售量增加千克．作为项目财务负责人，请你完成以下利润分析任务． 【任务1】若售价定为元/千克，求月销售量和月销售利润； 【任务2】设售价为元/千克，月销售利润为元．建立关于的函数关系式，并求月销售利润的最大值及此时的售价； 【任务3】如果小店每月还需支付元摊位租金，并且希望每月利润不低于元，请结合图形，直接写出售价的取值范围______． 【答案】【任务1】月销售量为千克，月销售利润为元； 【任务2】关于的函数关系式为，月销售利润的最大值为元，此时售价为元/千克； 【任务3】售价的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数在营销问题中的应用，包括利润计算、函数关系式建立与最值求解．关键是根据售价与销量的变化关系建立函数模型，结合二次函数的性质分析利润问题． 【任务一】根据售价的上涨幅度计算销量的减少量，进而得到月销售量；再通过“利润售价-成本销售量”计算月销售利润． 【任务二】分售价上涨和下降两种情况分析销量，统一得到销量与售价的关系式，再结合成本建立利润函数；利用二次函数的顶点式求最值，确定对应的售价． 【任务三】在原有利润函数基础上扣除租金，根据利润等于元的条件建立方程，求解方程并结合二次函数的性质确定售价的取值范围． 【详解】【任务1】 解：∵售价从元/千克涨至元/千克，上涨了元，且每上涨1元销售量减少千克， ∴月销售量为千克； 月销售利润为元； 答：月销售量为千克，月销售利润为元． 【任务2】 解：设售价为元/千克，则销售量为； ∵销售量不能为负， ∴，即， 又， ∴． 月销售利润， 二次函数开口向下，其对称轴为， ∴当时，取得最大值，最大值为元； 答：关于的函数关系式为，月销售利润的最大值为元，此时售价为元/千克． 【任务3】 解：当每月利润为元时， 根据题意得， 即， 解得， ∵二次函数开口向下， ∴当时，售价的取值范围为 故答案为：． 17．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知抛物线． (1)当，时，求y的最小值； (2)若抛物线的顶点在x轴上，且经过点，求a的值； (3)当时，，为此抛物线上的两点，若时，总有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、求二次函数的最值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）将代入抛物线解析式，然后再化成顶点式即可解答； （2）由抛物线的顶点在x轴上，则对应方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式可得，即，再将代入得到关于a的方程求解即可； （3）当时，抛物线为：，即抛物线对称轴为直线，抛物线开口方向向上；再根据M、N的不同位置分类讨论即可解答． 【详解】（1）解：当时，抛物线为：， 所以当时，y的最小值为． （2）解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴，即， ∴， ∴抛物线为：， 代入点得：，解得，． （3）解：当时，抛物线为：， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口方向向上， 当，点都在对称轴右侧时， ∵时，总有， ∴，解得：； 当，点在对称轴右侧，点在对称轴左侧时，即， ∵时，总有， ∴，解得：，与矛盾，舍去； 当时，点在对称轴左侧，点关于对称轴的对称点的横坐标为， ∵时，总有， ∴，解得：． 综上：或． 18．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，抛物线（a，b是常数且a≠0）与x轴交于点A和点B，点A位于原点左侧，点B位于原点右侧，与y轴交于点C，连接，，已知． (1)求抛物线的解析式； (2)若是该抛物线的对称轴，点D是抛物线的顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点． （i）如图2，连接，，若的面积为3，求点P的坐标； （ii）如图3，设与交于点G，连接，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）点的坐标为；（ii）最大值为3 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，三角形面积的计算，理解二次函数的性质、正确计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）（i）先求出的解析式，过点作轴交于点．设点，则点．根据公式求解即可；（ii）先求直线的解析式，设直线交于点，设点，然后求出直线的解析式为，最后根据，利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：在抛物线中， 当时，，即点， ∴， ∵， ∴， ∴点，点， ∴抛物线将点代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为，即； （2）解：（i）设所在直线的解析式为， 把点代入，得解得， ∴直线的解析式为， 如答图1，过点作轴交于点， 设点，则点， ∴， 由题意，得， 整理，得．解得（舍去）或， ∴， ∴点的坐标为； （ii）由抛物线知，顶点的坐标为， 由（i）知直线的解析式为，则点， ∴， 如答图2，设直线交于点，设点， 由直线经过点，可设直线的解析式为， 把点代入，得， 解得（舍去）或，即， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $