第21章 二次函数 培优专题 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 以数形结合与最值应用为双主线，通过分层题型构建二次函数从概念理解到实际建模的逻辑链条，培养几何直观与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数形结合|9题（含3道中考题）|图象与系数关系判断、多函数图象共存、含参函数值比较|从图象性质（顶点、交点）到多函数综合，再到动态参数分析，层层递进| |最值应用|3题（含2道中考题）|线段和最值、面积最值、实际产量模型|从几何图形最值到新定义“吸收函数”，再到实际问题建模，体现数学应用拓展|

二次函数培优专题 培优专题一 二次函数之数形结合——以形助数、以数解形 类型一 图象与字母系数之间的关系 1.如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.（与特殊三角形的综合）（2026·山东·中考）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 3.（二次函数与最值）（2026·四川·中考）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型二 图象共存问题 4.已知反比例函数 (k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2 - bx + k－1的图象可能为( ) 5.如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝a(x－1)(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 6.函数y=ax2+bx与y=bx-a(a，b是常数，且ab≠0)的图象在同一平面直角坐标系中可能是( ) 类型三 含参二次函数比较函数值大小 7.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线y=ax2-2 ax+c(a>0)上的两点，其中t-1<x1<t,t+1<x2<t+2。下列说法错误的是( ) A.当t≤0时，都有y1>y2 B.当t≥1时，都有y1<y2 C.当0<t≤1时，都有y1=y2 D.当t=时，存在y1=y2 8.已知点A(a,2),B(b,2),C(c,7)都在抛物线y=(x-1)2 -2上,点A在点B左侧,下列选项正确的是( ) A.若c<0,则a<c<b B.若c<0,则a<b<c C.若c>0,则a<c<b D.若c>0,则a<b<c 9.（2026·福建·中考）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 培优专题二 二次函数与最值的综合应用 类型一 二次函数与线段和的最值问题 10.如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值． 类型二 二次函数与面积的最值问题 11.将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． (1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值； (2)已知二次函数对一次函数“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值． 类型三 二次函数在实际问题中的最值问题 12.（2026山西中考）问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 参考答案 1. D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.C 10.（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴将点代入，则 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点作轴交、轴于点， 由（2）知， ∵ ∴， ∴，为等腰直角三角形 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 设，则， 同理设，则 ∴ ∴， 将点代入， 则， 整理得，， ∵ ∴ 整理得， 设抛物线顶点为点，对称轴与线段的交点为点， ∵ ∴， 同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴当点与点重合时，则点Q与抛物线顶点重合，则点D为抛物线对称轴与线段的交点， ∴， ∵ ∴当时，取得最大值， ∴最大值为． 11.（1）解：由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得， 解得； （2）解：①， 的最小值为． 由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得． ， ， ，即， 为一次函数的系数即， 考虑到当时，， 但当时，， 故可取， 综上所述，； ②如图，过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为． 根据题意，列出方程组为 把②代入①得：， 即． 解得． ∴点的横坐标分别是 ， 为“吸收函数”的顶点， ， ． ． 的面积． 的面积为， ， 解得． 12.（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $