第21章 二次函数 培优专题 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

二次函数培优专题

培优专题一   二次函数之数形结合——以形助数、以数解形

类型一  图象与字母系数之间的关系

1.如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2.（与特殊三角形的综合）（2026·山东·中考）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ）

A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④

3.（二次函数与最值）（2026·四川·中考）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x

的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

类型二  图象共存问题

4.已知反比例函数 (k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2 - bx + k－1的图象可能为(      )          

5.如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝a(x－1)(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(      )

      

6.函数y=ax2+bx与y=bx-a(a，b是常数，且ab≠0)的图象在同一平面直角坐标系中可能是(    )

 

       

 

类型三  含参二次函数比较函数值大小

7.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线y=ax2-2 ax+c(a>0)上的两点，其中t-1<x1<t,t+1<x2<t+2。下列

说法错误的是(     )

A.当t≤0时，都有y1>y2            B.当t≥1时，都有y1<y2

C.当0<t≤1时，都有y1=y2                D.当t=时，存在y1=y2

8.已知点A(a,2),B(b,2),C(c,7)都在抛物线y=(x-1)2 -2上,点A在点B左侧,下列选项正确的是(  ) A.若c<0,则a<c<b                  B.若c<0,则a<b<c

C.若c>0,则a<c<b                  D.若c>0,则a<b<c

9.（2026·福建·中考）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ）

A．0 B．1 C．2 D．3

 

培优专题二  二次函数与最值的综合应用

类型一  二次函数与线段和的最值问题

10.如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接，．

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图2，动点在线段上，过点作的垂线，与二次函数在第二象限的图象交于点，求的最大值．

 

类型二  二次函数与面积的最值问题

11.将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”．

(1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐