期中练习卷（二）2026—2027学年九年级数学人教版上册

**基本信息** 九年级数学期中卷以一元二次方程、二次函数、反比例函数为核心，通过工厂产值增长、注射器气体压强等真实情境，融合基础运算与综合应用，体现用数学思维解决实际问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|方程求解、函数图像变换|基础概念辨析，如二次函数平移| |填空题|5题/15分|根与系数关系、反比例函数性质|聚焦易错点，如二次函数最值条件| |解答题|8题/75分|方程解法、函数综合应用、几何面积问题|分层设计，如解答题（二）注射器实验考查反比例函数建模，解答题（三）结合抛物线与几何求面积最值，体现数学语言表达现实问题|

—学年九年级数学人教版第一学期期中练习卷 九年级数学（二） （范围：第—章　时长：分钟　满分：分） 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．方程的解是（　　） ．₁₂　　．₁₂　　．₁₂　　．₁₂ ．一元二次方程的根的情况是（　　） ．有两个相等的实数根 ．没有实数根 ．有两个不相等的实数根 ．只有一个实数根 ．用配方法将二次函数化为的形式，结果是（　　） ．　　．　　．　　． ．对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） ．图象位于第二、第四象限 ．图象位于第一、第三象限 ．当＞时，随的增大而增大 ．点在该函数的图象上 ．将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为（　　） ．　　．　　．　　． ．已知₁、₂是方程的两个实数根，则₁₂的值为（　　） ．　　．　　．　　． ．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） ．＜　　．　　．＜且　　．＞ ．某商品原价为元，连续两次降价后，该商品的售价为（　　） ．元　　．元　　．元　　．元 ．已知点、在反比例函数的图象上，且₁＜₂＜，则（　　） ．₁＜₂　　．₁＞₂　　．₁₂　　．₁与₂的大小无法确定 ．无论取何值，二次函数的图象的顶点都在（　　） ．轴上　　．轴上　　．直线上　　．直线上 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．若关于的方程有两个相等的实数根，则______． ．已知₁、₂是方程的两个实数根，则₁₂______． ．已知反比例函数的图象经过点，则当＞时，的取值范围是______． ．抛物线与轴的两个交点之间的距离为______． ．已知二次函数，当时，的最大值为，则______． 三、解答题（一）（本大题共小题，每小题分，共分） ．解下列方程： 　； 　． ．已知₁、₂是关于的方程的两个实数根，求下列代数式的值： 　₁₂与₁₂； 　． ．已知抛物线经过、、三点． 求该抛物线的解析式； 求该抛物线的顶点坐标与对称轴； 当＜＜时，直接写出的取值范围． 四、解答题（二）（本大题共小题，每小题分，共分） ．某工厂去年月份的产值为万元，月份的产值达到万元． 求该厂产值的月平均增长率； 照这样的增长速度，去年月份的产值是多少万元？ ．小明用注射器进行小实验：封闭一定量的气体，气体压强（单位：）与气体体积（单位：）成反比例．已知当时，． 求关于的函数解析式； 当气体体积 时，求气体压强； 若要求气体压强不超过 ，求气体体积的取值范围． ．如图，某小区有一块长为米、宽为米的矩形空地，计划在其中修建两条宽度相同的小路（一条水平、一条竖直，均为矩形），其余部分种植草坪．若草坪的总面积为平方米，求小路的宽度． 五、解答题（三）（本大题共小题，第题分，第题分，共分） ．已知二次函数． 求该函数图象与轴、轴的交点坐标； 当时，求的最大值和最小值； 当时，的最小值为，直接写出的取值范围． ．如图，抛物线与轴交于、两点（在左），与轴交于点，对称轴为直线． 求、、三点的坐标及直线的解析式； 点是直线上方抛物线上一动点（不与点、重合），求面积的最大值及此时点的坐标； 点是抛物线对称轴上一动点，求的最小值及此时点的坐标． —学年九年级数学人教版第一学期期中练习卷（二） （参考答案与解析） 选择题、填空题每小题分． 一、选择题 ．　．　．　．　．　．　．　．　．　． 二、填空题 ．　．　．＜＜　．　． 三、解答题 ．₁₂；₁₂ 【分析】用因式分解法；用配方法，先把常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方． 【详解】，因式分解，得， ₁₂； ，移项，得， 配方，得，即， 直接开平方，得₁₂． 【评分标准】正确分解得分，两个根各得分（共分）；移项、配方正确得分，开平方得分，两个根各得分（共分）． ．₁₂₁₂； 【分析】先由根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再把用₁₂与₁₂表示出来，整体代入求值． 【详解】由根与系数的关系，得₁₂₁₂； ₁₁₂₂₁₂． 【评分标准】两根之和、两根之积各得分（共分）；正确变形为₁₂得分，代入求值得分（共分）． ．；顶点坐标为，对称轴为直线；＜ 【分析】设交点式，把代入求；用配方法化为顶点式；由函数在＜＜上的增减性求范围，注意开区间两端是否取到． 【详解】抛物线经过、设． 把代入，得，解得， 该抛物线的解析式为； 顶点坐标为，对称轴为直线； 当＜＜时，随的增大而减小；当＜＜时，随的增大而增大． 当时，取最小值；当→时，→，但取不到，且时， 当＜＜时，＜． 【评分标准】正确设出交点式得分，求出得分，写出解析式得分（共分）；配方正确得分，顶点坐标与对称轴各得分（共分）；写出＜得分（仅写或＜等错误范围不得分）． ．月平均增长率为；去年月份的产值是万元 【分析】设月平均增长率为，由月份产值万元、月份产值万元，经过两次增长，列一元二次方程求解；用月份产值乘以． 【详解】设该厂产值的月平均增长率为，根据题意，得 ，则， 直接开平方，得，解得₁₂（不合题意，舍去）． 答：该厂产值的月平均增长率为． （万元）． 答：去年月份的产值是万元． 【评分标准】设未知数列对方程得分，正确解得得分，检验作答得分（共分）；列式正确得分，结果万元及作答得分（共分）． ．； ； 【分析】由与成反比例，可设，把、代入求出；把代入解析式求；由列出不等式，注意＞且随的增大而减小． 【详解】与成反比例，设（）． 把代入，得， 关于的函数解析式为（＞）； 当时，， 当气体体积为 时，气体压强为 ； 由，得． ＞不等式两边同乘，得，解得． 答：气体体积的取值范围为 ． 【评分标准】设出解析式得分，求出得分（共分）；代入计算正确得分，结果及单位得分（共分）；列出不等式得分，解得并作答得分（共分）． ．小路的宽度为米 【分析】设小路的宽度为米，把两条小路平移到矩形的一边，则草坪可看作一个长为米、宽为米的矩形，由草坪面积为平方米列方程求解． 【详解】设小路的宽度为米，则草坪的长为米，宽为米． 根据题意，得， 整理，得，因式分解，得， 解得₁₂． 小路的宽度不能超过矩形的宽米，不合题意，舍去，． 答：小路的宽度为米． 【评分标准】正确表示草坪的长与宽得分，列对方程得分，正确解方程得分，检验并作答得分（共分）． ．与轴的交点为、，与轴的交点为；最大值为，最小值为； 【分析】分别令与解方程；由抛物线开口向上，在对称轴处取最小值，再比较区间端点处的函数值求最大值；抛物线的最小值只在顶点处取得，由顶点横坐标落在内列不等式求解． 【详解】令，得，因式分解，得，解得₁₂， 图象与轴的交点为、；令，得图象与轴的交点为； ，对称轴为直线，且在内， 当时，取最小值，最小值为； 当时，随的增大而减小（＜），随的增大而增大（＜）， 最大值在区间端点处取得：时，；时，最大值为； ，当且仅当时，， 当时，的最小值为，即顶点横坐标必须在内， 且，解得． 【评分标准】与轴的两个交点各得分，与轴的交点得分（共分）；最小值得分，最大值得分（共分）；得出得分，解得得分（共分，全题共分）． ．，直线的解析式为；面积的最大值为，此时点的坐标为；的最小值为，此时点的坐标为 【分析】令、求交点，用待定系数法求直线的解析式；过点作轴交直线于点，把分割为与，用表示面积，再配方求最值；点关于对称轴的对称点恰好是点，由求最小值，当在线段上时取等号． 【详解】令，得，因式分解，得，解得₁₂， ；令，得． 设直线的解析式为，把、代入，得， 解得直线的解析式为； 设点的坐标为（＜＜）． 过点作轴，交直线于点，则的坐标为， ． ． ＜，且＜＜在其中，当时，最大，最大值为， 此时点的坐标为； 设点关于对称轴直线的对称点为，则，与点重合． 点在对称轴上，， ， 当且仅当点在线段上时取等号，此时点为直线与线段的交点． 把代入，得． 的最小值为，此时点的坐标为． 【评分标准】、、坐标各得分，直线的解析式得分（共分）；表示出得分，用表示出并配方得分，最值与点坐标得分（共分）；说明的对称点与重合得分，得出最小值得分，求出点的坐标得分（共分）． 学科网（北京）股份有限公司 $