5.2 三角函数的概念 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数概念，从单位圆定义正弦、余弦、正切入手，衔接任意角知识，通过定义推导、象限符号及诱导公式构建知识支架，为三角函数图像与性质学习奠定基础。 其亮点在于融合思维导图梳理知识，分层练习（基础到拔高）对接高考，结合黄金分割构图、人脸识别等新情境题，培养学生数学眼光与思维。教师可通过一体化教学资源提升效率，学生能在实例中深化理解，发展应用意识。

高一数学●2024人教A版必修一 第五章 三角函数 5.2 三角函数的概念 本节借助单位圆理解正弦、余弦、正切的定义，掌握三角函数在各象限的符号，会求任意角的三角函数值，体会数形结合思想，为研究三角函数图像与性质打好基础。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括100张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 任意角的三角函数 1 利用单位圆定义任意角的三角函数 设 是一个任意角，,它的终边与单位圆相交于点 . 三角函数 定义 记作 符号表示 正弦函数 点的纵坐标 余弦函数 点的横坐标 正切函数 点的纵坐标与横坐标的比值 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 特别提醒 要明确 是一个整体，不是与 的乘积，它是正弦函数，就如 表示自变量的函数一样，离开自变量的“”“”“ ”在数学中是没有意义的. 4 2 用角的终边上的点的坐标表示三角函数 图5.2-1 如图5.2-1，设 是一个任意角，它的终边上任意一点 （不与原点 重合）的坐标为,点与原点的距离为,则, , . 5 图5.2-2 证明：如图5.2-2，设角 的终边与单位圆交于点 . 分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为， ，则 ,,,, . 于是,即 . 因为与同号，所以,即 . 特别提醒 三角函数值是比值，是一个实数.由相似三角形的性质可知，任意角 的 三角函数值只与 的大小有关，与点 在终边上的位置无关. 同理可得, . 6 例1 ［教材改编P178例1］利用定义求 的正弦、余弦和正切值. 图5.2-4 【解析】如图5.2-4所示，的终边与单位圆的交点为，过点 作 轴于点，在中， ， , 则，，则 . 所以, , . 7 教材深挖 此处是对教材第179页【练习】第1题的深挖. 部分特殊角的三角函数值#6 0 0 1 1 0 0 1 不存在 8 0 0 0 1 0 不存在 0 续表 9 知识点2 三角函数的定义域和函数值的符号 1 三角函数的定义域 三角函数 定义域 } } , } 知识剖析（1）任意角的三角函数是在直角坐标系中定义的,一 般将角的范围表示为使函数有意义的实数集（此时角的单位为 弧度）． （2）当时， 的终边在轴上，这时点 的 横坐标，所以 无意义. 10 2 三角函数值在各象限的符号 根据三角函数的定义，知正弦函数、余弦函数、正切函数 的值 在各个象限内的符号如图5.2-3所示． 图5.2-3 11 教材深挖 三角函数值的符号记忆口诀 （此处是对教材第180页【探究】的深挖） 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负. 简要记作：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 12 例2 函数 的定义域为________________． ,} 【解析】函数与的定义域为 ， 要使函数有意义，必须使有意义，且 ， 所以有 ,( ) ,( ) 所以函数的定义域为, }. 13 例3 ［教材改编P181例4］确定下列各三角函数值的符号： （1） ; 【解析】因为 是第三象限角，所以 . （2） ; 【解析】因为是第四象限角，所以 . （3） . 【解析】因为是第三象限角，所以.（, 为第三象限角） 14 知识点3 诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到 一组公式（公式一）： ， ， ， 其中 . （ 还可以写成, , ,其中 .） 15 知识剖析 1.公式一可统一概括为 的形式. 2.公式一的实质是：角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. 3.利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求 （或 角 的三角函数值.（负化正，大化小） 16 例4 ［教材改编P181例5］求下列各式的值. （1） ; 【解析】 . （2） ; 【解析】 . （3） . 【解析】 . 17 知识点4 同角三角函数的基本关系 1 同角三角函数的基本关系 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 , 同一个角 的正弦、余弦的商等于角 的正切. 18 知识剖析（1）注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意” 一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表达形式无关，如 成立，但是 就不一定成立. （2） 是的简写，读作“ 的平方”，不能将 写成 ，前 者是 的正弦的平方，后者是 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能 正确书写. 19 2 基本关系式的常用变形公式 （由 终边所在象限确定正负.） ; . 20 （由关系式及变形，知道 , , 中的一个值，就可以求出另外两个值， 即“知一求二”） 例5 ［教材改编P185 T6］ （1）已知 是第二象限角，，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为 是第二象限角，所以 ， 又，所以 . 22 （2）已知 是第二象限角，且，则 的值是( ) D A. B. C. D. 【解析】方法1： 为第二象限角， , . 方法2： , 角 终边上点的坐标为，点到原点的距离为，则, ,由 及 是第二象限角得 角 终边上一点的坐标为，则 . 23 方法帮丨解题突破 题型1 三角函数的定义及应用 类型1 对三角函数的定义的理解 例6 有下列命题： ①终边相同的角的同名三角函数值相等；②终边不同的角的同名三角函数值不等； ③若，则 是第一象限角；④若 是第二象限角，且 是其终边上 一点，则 . 其中真命题的个数是( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 24 【解析】 序号 结论 理由 ① 正确 由任意角的三角函数的定义可判断. ② 不正确 举反例，如与的终边不同，但 . ③ 不正确 由 ，可知 ， . 当时， 是第一象限角；当时, 是第三象限角. ④ 不正确 . 25 类型2 已知角的终边经过某一定点，求其三角函数值 例7 ［教材改编P180 T3］已知角 的终边经过点，求角 的三角函数值． 【解析】因为，，所以点到原点的距离 . 于是,, . 26 例8 (2026·天津市第五十五中学质检)已知角 的终边与单位圆的交点 ，则 ( ) C A. B. C. D. 27 【解析】 角 的终边与单位圆的交点，单位圆半径 ， ，解得 . 当时， 为第二象限角，，， ； 当时， 为第三象限角，，， . 综上， . （【快解】点 在单位圆上，由三角函数的定义可知 ） 28 有时不用求出具体的三角函数值，可根据三角函数之间的关系化简 求解. 29 类型3 已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值 例9 已知角 的终边在直线上，则 _ _____. 给什么 得什么 由角 的终边在直线上，可知角 的终边在第一象限或第三象限. 求什么 想什么 要求 的值，想到，因此只需要知道角 的终边上的点的纵 坐标和该点到原点的距离 即可. 30 差什么 找什么 当角 的终边在第一象限时，在角 的终边上取一点,则 , ,,;当角 的终边在第三象限时，在角 的终边上取一点，则,, , .综上可知，或 . 角的终边是一条射线，而非直线，因此，需分两种情况讨论，切勿 只选取直线上一点进行求解. 续表 31 解题通法 任意角的三角函数值的求解思路 一般地，在默认始边与 轴的非负半轴重合，顶点为原点的条件下，利用三角函数的 定义求一个角的三角函数值有以下几种情况： （1）若已知角 的大小，只需确定出角 的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的 交点坐标，即可求出角 的各三角函数值； （2）若已知角 终边上一点 是以坐标原点为圆心的单位圆上的点， 则,, ； （3）若已知角 终边上一点 不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点， 应先根据求出，然后根据三角函数定义求角 的三角函数值，即 ，， ; （4）若角 终边上点的坐标含参数，则需对参数进行分类讨论. 32 练变式1 (2026·陕西省渭南高级中学期末)已知角 的终边过点 , 则 的值是( ) C A.1 B. C. D. 【解析】因为角 的终边过点 ,所以 为坐标原点 ， 所以, , 所以 . 33 题型2 三角函数值在各象限的符号 类型1 由角所在象限判断三角函数值的符号 例10 ［教材改编P185 T8］根据角所属的象限，判断下列各式的符号： （1） ； 【解析】 是第三象限角，即 ， 又 ,所以 是第一象限角， 即，所以 . （2） ； 【解析】 ，故4位于第三象限，故， 位于第三象限，故 ，所以 . 34 （3） ； 【解析】由 是第三象限角，所以, ，所以 . （4） . 【解析】因为是第二象限角，所以，因为 是第四象限角，所以 ，故 . 35 例11 ［多选题］(2026·吉林省白山市第二中学期末)已知, ，则函 数 的值可以为( ) BD A. B.3 C.1 D. 36 【解析】当为第一象限角时，,, 均为正值， . 当为第二象限角时，为正值，, 为负值， . 当为第三象限角时，，为负值, 为正值， . 当为第四象限角时，，为负值, 为正值， . 综上，的值可以为 ,3. 37 类型2 由三角函数式符号确定角所在象限 例12 (2026·河南省安阳市期中)已知点在第二象限，则 的终边在 ( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 点在第二象限，，， 的终边在第 三象限． 38 解题通法 对于已知角 的终边所在的象限来判断角 的三角函数值的符号问题，则常依据三角 函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”（全正切余）来解决. 对于确定角 是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后 依据上述三角函数值的符号来确定角 是第几象限角，则它们的公共部分即为所求. 39 练变式2 (2026·天津市耀华中学期末)已知 是第三象限角，，则 是 的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 是第三象限角时， ，充分性成立； 时， 的终边在第二或第三象限或终边在 轴负半轴上，必要性不成立. 所以是 的充分不必要条件． 40 题型3 诱导公式一的应用 例13 计算下列各式的值: （1） ; 【解析】原式 . （2） . 【解析】原式 . 41 题型4 根据同角三角函数的基本关系求值 类型1 已知某个三角函数值，求其余三角函数值 例14 ［教材改编P185 T11］若，则 的值为_______. 6或 42 【解析】因为，（【易错点】此处易忽略对角 的终边所在象限的讨论， 从而直接认为）所以 是第一或第二象限角. 当是第一象限角时， ， 所以 ； 当是第二象限角时， ， 所以 . 43 解题通法 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论； 第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值. 注意:熟记下面几组勾股数，有时可快速解决这类问题：， ， ， . 44 练变式3 [多选题]已知， ，则下列结论正确的是( ) ABD A., B. C. D. 【解析】因为，，所以 ， 所以， ， 则 ， ， 则.故选 . 45 类型2 齐次式的求值问题 例15 ［教材改编P186 T15］已知 ，则 （1）____;（【看清题】分子和分母均是关于 , 的一次齐次 式） 【解析】由题意得 ， 所以 . 46 （2）__;（【看清题】分子和分母均是关于 , 的二次齐次 式） 【解析】因为 ， 所以 . 47 （3） ___. 1 【解析】 （【关键点】“1”的灵活运用，使得分子分母均为二次齐次 式） 48 思路1 由得 ,将该式代入分式可直接解出前 两小题. 思路2 注意到分式的分子和分母均是关于 , 的齐次式，由题意得 ，所以可将分子分母同时除以 的相关量，然后把 代入即可. 这里用思路2解答. 49 子题 (2026·天津中学月考)设 ，且 ，则 的值是( ) C A. B.2 C. 或2 D.不存在 50 【解析】 ， , 即 ， 化简得 ， , , 即 , 解得或 . 51 解题通法 弦化切求齐次式的值的方法 （1）已知角 的正切值， ①求形如的分式的值，可将分子、分母同时除以 ；（一次齐次式 除以 ） 求形如的分式的值，可将分子、分母同时除以 . （二次齐次式除以 ） 将正、余弦转化为正切，从而求值. 52 ②求形如 的整式的值，可将整式看成分母为1的分式， 再将分母1变形为 ，转化为形如 的分式求解. （2）若已知由 和 构成的代数式（通常是分式或整式的齐次式）的值， 求角 的正切值，则用上述方法将等式化为关于 的方程求解即可. 53 练变式4 若，则 ( ) C A. B. C. D. 54 【解析】原式 . 55 类型3 利用 与 之间的关系求值 例16 已知, ,求下列各式的值. （1） ; （2） ; （3） . 56 【解析】方法1：（方程组法） , , , 由 解得或 （舍去）. （1） . 57 （2） . （3） . 方法2：（整体代换法）（1） , ,即 , , . （2） , , 又,, , , . （3）, , . 方法3：设 , 则 , 即,解得 . ,,,，即 . 由解得 . . 由 , ,可知：如果已知 , ， 三个式子中任何一个的值，那么就可以利用平方关系求出其余的两个. 子题 (2026·福建省厦门第六中学检测)已知关于的方程 的 两根为 和 , ，求： （1） 的值; 【解析】由①式两边平方得 , 即 . 结合②式得,即 , 由③式得 , 而,故 . 61 （2）方程的两根及 的值. 【解析】由知，原方程为,解得, . 故或 又,所以或 . 62 【解析】由题意得 （1）先利用根与系数的关系列出关于 , 的式子，再利用 与 的关系求 ; （2）利用（1）中的值，求解方程得 及 ，利用 的范围确定 的值. 63 练变式5 已知，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由得，得 ，所以 ．化为，即切化弦 64 题型5 三角函数式的化简 例17 ［教材改编P186 T16］化简： （1） ; 【解析】原式 . （2） . 【解析】因为 ，所以 . 原式 . 65 解题通法 三角函数式的化简思路 1.化简原则：三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能简单，也就 是项数尽可能少，次数尽可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求 值的一定要求值. 2.化简常用的方法： （1）对于含有根号的，常把被开方数（式）化成完全平方数（式），然后去根号达 到化简的目的; （2）化切为弦，从而减少函数种类，达到化简的目的； （3）对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造 ，以 降低次数，达到化简的目的. 66 题型6 三角恒等式的证明 例18 求证: . 67 【解析】方法1：（因为右边分母为，故可将左边分子分母同乘以 ） 左边 右边. 方法2：（因为左边分母是，故可将右边分子分母同乘以 ） 右边 左边. 方法3：（只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母 变为相同） 因为左边 ， 右边 ， 所以左边 右边，原等式成立. 68 方法4：（只需证明左边-右边 即可） 因为 ， 所以 . 例19 已知，求证： . 【解析】由，可得 ，即 ， 故有 ， 整理得 ， 即 ， 展开得，即 . 70 解题通法 证明三角恒等式的基本方法 三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有： （1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； （2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子； （3）化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异； （4）变更命题法，如要证明，可证或证 等； （5）比较法，即证明“左边-右边”或“ ”. 证明含有条件的三角恒等式时应注意条件的利用，常用方法有：①直推法——从条 件直推到结论；②代入法——将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；③ 换元法. 71 练变式6（1）求证： ； 【答案】右边 分子和分母同时乘以 左边， 故原等式成立. 72 （2）已知,求证： . 【答案】, ， ，（分离出 ，然后化弦为切） ， 等式成立. 73 高考帮丨考向追踪 考向1 同角三角函数基本关系的应用 例20 (2023·全国甲卷)设甲:,乙: ,则( ) B A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 【解析】甲等价于 ，等价于 ， 所以由甲不能推导出 ，所以甲不是乙的充分条件； 由，得 ，平方可得 ，即 ， 所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件. 综上，甲是乙的必要不充分条件. 74 例21 (2023·全国乙卷)若,,则 _ ____. 【解析】由且，解得 故 . 75 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1. 的值等于( ) A A. B. C. D. 【解析】 . 76 2.若，且 为第三象限角，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】为第三象限角， , 故 ． 77 3.［教材改编P185 T5］下列函数值中，符号为负的为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 ， 是第一象限角，则 ； 是第四象限角, ； 是第二象限角，,, ; ,是第三象限角， .故选C. 78 图5.2-1 4.［新情境·黄金分割构图］ 随着智能手机的普及，手 机摄影越来越受到人们的喜爱，要得到美观的照片， 构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉 更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种 形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1： 为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图5.2 B A. B. C. D. -1，分别用，，，表示黄金分割点,若照片长、宽比例为8：，设 ， 则 ( ) 79 【解析】依题意，所以 ， 所以. 80 5.［多选题］ 已知角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合， ，是 终边上一点，则下列结论正确的是( ) BC A. B. C.若 是弧长为的扇形的圆心角， ，则扇形的半径为2 D. 81 【解析】因为，是 终边上一点，所以，且 为第二象限角， 所以 ， ，A错误； ，B正确； 若 是弧长为的扇形的圆心角， ，则 ，故扇形的半径 ，C正确； ，D错误．故选 ． 82 6.已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边落在 直线上，则 的值是________. 或 【解析】若终边与射线重合，取终边上一点，则 ， 故,，（角 终边上一点不是单位圆上的点，先求点 到原点 的距离，根据定义求, ） 故 . 若终边与射线重合，取终边上一点，则 ，故 , ， 故 . 83 7.（1）求证： . 【答案】右边 左边， 原等式成立． （2）已知，求证： . 【答案】 , 故等式成立. 84 8.（1）已知 是关于的方程的一个实根，且 是第一象限角， 求 的值. 【答案】解方程，得， ， 是关于的方程的一个实根，且 是第一象限角， , ． 85 （2）已知，且，求 的值． 【答案】， , , ,,,即, , , ． 86 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 图5.2-2 9.［新情景·弦图］ (2026·重庆市第十八中学月考)《周髀算经》 中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正 方形拼成一个大的正方形.如图5.2-2中直角三角形两锐角分别为 ， ，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法错误的 是( ) C A.每一个直角三角形的面积为 B. C. D. 87 图D 5.2-1 【解析】如图D 5.2-1，由题意可得，小正方形边长为2，大 正方形边长为3. 设,，依题意， 解得 因此 ， . 88 对于A，每个直角三角形的面积为 ，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C， ，C错误； 对于D， ，D正确. 故选C. 89 10.［多选题］ (2026·湖北省十堰市期中)已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的 非负半轴重合，终边经过点，若 ，则下列各式的符号不能确定的是 ( ) AC A. B. C. D. 90 【解析】由三角函数的定义可知， , , 当时, , , 当时, , , 当时, , , 故 符号不确定, 故A符合题意; 因为, 所以, 符号确定, 故B不符合题意; , 当时, , , 当时, , , 91 当时, , , 故 符号不能确定, 故C符合 题意; , 故 符号确定, 故D不符合题意．故选 ． 11.［多选题］ 已知， ，则下列说法中正确的有 ( ) BD A.是第二象限角 B. C. D. 或3 93 【解析】对于A， ， ， ，， 为第三象限角， ， ， 当为偶数时，为第二象限角，当为奇数时，为第四象限角， 可能为第二或第四 象限角，故A错误； 对于B， ， ，， ， ，故B正确； 94 对于C，由 ， ，， 可能为正，也可能为负， ，故C错误； 对于D，当， 时， ，，故 ， 当， 时， ，，故 , 故或3，故D正确．故选 ． 95 12.(2026·江苏省盐城市滨海县明达中学月考)若角 的终边上有一点 ， 则 的值为_ __________. 或 【解析】因为角 的终边上有一点 , 所以 . 当时， ； （角 的终边在第一象限） 当时， . （角 的终边在第三象限） 96 13.［新情境·人脸识别］ (2026·山东省日照实验高级中学月考)人脸识别技术应用在 各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者 图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为 了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距 离和余弦距离．假设二维空间两个点， ，曼哈顿距离 ． 余弦相似度： ． 余弦距离： ． 97 （1）若，，，求，之间的 和余弦距离； 【答案】因为,, ), 所以 , , 所以余弦距离 ． 98 （2）已知，，，若 ， ，求 的值． 【答案】由 ，可得 , 同理，由，可得 , 故 , 则 ，可得 ． 99 C 培优练丨能力提升 14.［新定义·正割余割］ (2026·山东省邹城市实验中学月考)在三角中，定义正割 ，余割．已知为正实数，且 对任意的 实数，均成立，则 的最小值为___. 4 【解析】依题意得，, , 因为 , 所以,当且仅当 时等号成立,即 的最小值为 , 所以,解得,即 的最小值为4． 100 $