第02讲：归纳进阶与递推建模【从奥数到思维】-2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）通用版

2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「通用版」 第02讲：归纳进阶与递推建模【从奥数到思维】 专题名称 第02讲：归纳进阶与递推建模 专题导引 本专题主要讲解直观计数递推和场景建模递推中的一些常用方法，比如归纳法、整体法、对应法、递推法等。 思维解读 通过递推关系，利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法。一般情况下，从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系。斐波那契数列是常见的递推关系。对于某些比较复杂的问题，可以通过数学建模将其抽象为一般的计数问题，然后找出其相邻数之间的递推关系，再进行求解。 讲解建议 本讲作为归纳推理的进阶内容，训练的是递推逻辑推导和模型化思维，难度极大，建议作为奥数进阶内容进行讲解。 考点数量 五大考点 【考点一】斐波那契兔子问题 【典型例题】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子。如果一个人在1月份买了一对小兔子，那么12月份的时候他共有多少对兔子? 【对应练习1】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”。这在生物学上称为“鲁德维格定律”。那么十年后这棵树上有多少条树枝? 【对应练习2】 用1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法？ 【对应练习3】 用1×3的小长方形覆盖3×8的方格网，共有多少种不同的盖法? 【考点二】爬楼梯问题 【典型例题】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同的走法? 【对应练习1】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同的走法？ 【对应练习2】 一堆苹果共8个，如果规定每次取1~3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同的取法？ 【对应练习3】 一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同的取法？ 【考点三】蜜蜂爬蜂巢问题 【典型例题】 如图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法? 【对应练习1】 小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间。问：小蜜蜂由A房间到达B房间有多少种方法？ 【对应练习2】 如图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法? 【对应练习3】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1时操作停止。问经过9次操作变为1的数有多少个？ 【考点四】洗碗摞碗（进出栈模型） 【典型例题】 小可和小乐一起洗5个互不相同的碗(顺序固定)，小可洗好的碗一个一个往上摞，小乐再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，小可一边洗，小乐一边拿，那么小乐摞好的碗一共有多少种不同的摞法？ 【对应练习1】 小阳和小轩一起洗4个互不相同的碗（顺序固定），小阳洗好的碗一个一个往上撂，小轩再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，小阳一边洗，小轩一边拿，问小轩摞好的碗一共有多少种不同的摞法？ 【对应练习2】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张。现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱，有多少种排队方法可以使售票员总能找得开零钱？ 【对应练习3】 一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么2列纵队有多少种不同排法？ 【考点五】传球模型 【典型例题】 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，有多少种传球方法? 【对应练习1】 五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中，那么共有多少种传球方式？ 【对应练习2】 设A、E为正八边形ABCDEFGH的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除顶点E外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点A出发恰好跳10次后落到点E的方法总数为多少种？ 【对应练习3】 有10个木箱，编号为1，2，3，…，10，每个箱子有一把钥匙，10把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好。先撬开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把10把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有多少种？ 1. 小宁有14块糖，如果每天吃奇数块糖，直到吃完，共有多少种吃法? 2. 有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法? 3. 如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”,按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“Einstein”? 4. 一条直线分一个平面为两部分，两条直线最多分这个平面为四部分。5条直线最多分这个平面为多少部分? 5. 如图，从A点到B点的最近路线有多少条？ 6. 禁有20个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个、2个或3个，但是每次取完之后不能留下质数个，有多少种方法取完石子?(石子之间不作区分，只考虑石子个数) 7. 禁用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字。这样的九位数共有多少个? 8. 在一次小组长选举中，小月与小南两人作为候选人参加竞选，一共得了7张选票。在将7张选票逐一唱票的过程中，小南的得票始终没有超过小月。那么这样的唱票过程有多少种不同的情况? 9. 汉诺塔游戏：有三根相邻的柱子，最左边柱子从下到上按金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘，若游戏的目标都是把最左边柱子上的圆盘移至最右边的柱子上(不一定要经过中间柱子),且移动过程要遵守“大盘在下，小盘在上”的规则，一次只能移动1个圆盘，那么若左边柱子上有10层圆盘，最少需要挪几步? 10. 禁一个九位数，它只由数字1、2和3组成，而且它的任意连续两位数都不等于12、21、22或31，这样的自然数有多少个?如果还要求数字1、2和3每个数字都至少出现一次，则这样的九位数有多少个? 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「通用版」 第02讲：归纳进阶与递推建模【从奥数到思维】 专题名称 第02讲：归纳进阶与递推建模 专题导引 本专题主要讲解直观计数递推和场景建模递推中的一些常用方法，比如归纳法、整体法、对应法、递推法等。 思维解读 通过递推关系，利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法。一般情况下，从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系。斐波那契数列是常见的递推关系。对于某些比较复杂的问题，可以通过数学建模将其抽象为一般的计数问题，然后找出其相邻数之间的递推关系，再进行求解。 讲解建议 本讲作为归纳推理的进阶内容，训练的是递推逻辑推导和模型化思维，难度极大，建议作为奥数进阶内容进行讲解。 考点数量 五大考点 【考点一】斐波那契兔子问题 【典型例题】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子。如果一个人在1月份买了一对小兔子，那么12月份的时候他共有多少对兔子? 解析： 第一个月，有1对小兔子；第二个月，小兔子长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，所以共有3对；第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，所以共有5对……每月的大免子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加。 列表如下： 答：12月份的时候他共有144对兔子。 【对应练习1】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”。这在生物学上称为“鲁德维格定律”。那么十年后这棵树上有多少条树枝? 解析： 列表如下： 答：十年后这棵树上有89条树枝。 【对应练习2】 用1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法？ 解析：89。 【对应练习3】 用1×3的小长方形覆盖3×8的方格网，共有多少种不同的盖法? 解析：13种。 【考点二】爬楼梯问题 【典型例题】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同的走法? 解析： 从第1级开始递推，脚落到第1级只有从地上1种走法；第2级有两种可能，从地跨过第1级或从第1级直接迈上去；登上第3级，分两类，要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来，所以方法数是前两级的方法数的和；以此类推，以后的每一级的方法数都是前两级方法数的和；直到10级，每一级的方法数都求出，因此得解。 列表如下： 答：共有89种不同的走法。 【对应练习1】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同的走法？ 解析：28种。 【对应练习2】 一堆苹果共8个，如果规定每次取1~3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同的取法？ 解析：81种。 【对应练习3】 一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同的取法？ 解析：927种。 【考点三】蜜蜂爬蜂巢问题 【典型例题】 如图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法? 解析： 蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻大号码的蜂房。明确了行走路径的方向，就可以运用标数法进行计算。 如图所示： 答：共有89种回家的方法。 【对应练习1】 小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间。问：小蜜蜂由A房间到达B房间有多少种方法？ 解析： 如图所示： 答：小蜜蜂由A房间到达B房间有13种方法。 【对应练习2】 如图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法? 解析： 如图所示： 答：共有286种回家的方法。 【对应练习3】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1时操作停止。问经过9次操作变为1的数有多少个？ 解析：34个。 【考点四】洗碗摞碗（进出栈模型） 【典型例题】 小可和小乐一起洗5个互不相同的碗(顺序固定)，小可洗好的碗一个一个往上摞，小乐再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，小可一边洗，小乐一边拿，那么小乐摞好的碗一共有多少种不同的摞法？ 解析： 方法一：假设有1、2、3、4、5五个碗，按照小乐摞好的碗从上往下可以表示为42种不同的摞法： 5-4-3-2-1,4-5-3-2-1,3-5-4-2-1,5-3-4-2-1,3-4-5-2-1,5-4-2-3-1,4-5-2-3-1,2-5-4-3-1,5-2-4-3-1,2-4-5-3-1,5-2-3-4-1,2-5-3-4-1,2-3-5-4-1,2-3-4-5-1,5-4-3-1-2,4-5-3-1-2,5-3-4-1-2,3-5-4-1-2,3-4-5-1-2,5-4-1-3-2,4-5-1-3-2,1-5-4-3-2,5-1-4-3-2,1-4-5-3-2,5-1-3-4-2,1-5-3-4-2,1-3-5-4-2,1-3-4-5-2,5-4-1-2-3,4-5-1-2-3,1-5-4-2-3,5-1-4-2-3,1-4-5-2-3,1-2-5-4-3,5-1-2-4-3,1-5-2-4-3,1-2-4-5-3,1-2-3-5-4,1-2-5-3-4,1-5-2-3-4,5-1-2-3-4,1-2-3-4-5。 方法二：我们把小可洗5个碗的过程看成从起点向右走5步(即洗几个碗就代表向右走几步)，小乐拿5个碗的过程看成是向上走5步(即拿几个碗就代表向上走几步)，摞好碗的摞法，就代表向右、向上走5步到达终点最短路线的方法。由于洗的碗要多于拿的碗，所以向右走的路线要多于向上走的路线，所以我们用斜三角形进行标数。一共有42种不同的摞法。 【对应练习1】 小阳和小轩一起洗4个互不相同的碗（顺序固定），小阳洗好的碗一个一个往上撂，小轩再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，小阳一边洗，小轩一边拿，问小轩摞好的碗一共有多少种不同的摞法？ 解析：14种。 【对应练习2】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张。现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱，有多少种排队方法可以使售票员总能找得开零钱？ 解析：604800种。 【对应练习3】 一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么2列纵队有多少种不同排法？ 解析：14种。 【考点五】传球模型 【典型例题】 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，有多少种传球方法? 解析： 由于第n次传球后，球不在甲手中的传球方法，第(n+1)次传球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种。 从表中可以看出经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60种。 答：有60种传球方法。 【对应练习1】 五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中，那么共有多少种传球方式？ 解析：52种。 【对应练习2】 设A、E为正八边形ABCDEFGH的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除顶点E外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点A出发恰好跳10次后落到点E的方法总数为多少种？ 解析：96种。 【对应练习3】 有10个木箱，编号为1，2，3，…，10，每个箱子有一把钥匙，10把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好。先撬开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把10把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有多少种？ 解析：725760种。 1. 小宁有14块糖，如果每天吃奇数块糖，直到吃完，共有多少种吃法? 解析：377种。 2. 有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法? 解析：7种。 3. 如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”,按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“Einstein”? 解析：60种。 4. 一条直线分一个平面为两部分，两条直线最多分这个平面为四部分。5条直线最多分这个平面为多少部分? 解析：16部分。 5. 如图，从A点到B点的最近路线有多少条？ 解析：20条。 6. 禁有20个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个、2个或3个，但是每次取完之后不能留下质数个，有多少种方法取完石子?(石子之间不作区分，只考虑石子个数) 解析：25种。 7. 禁用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字。这样的九位数共有多少个? 解析：256个。 8. 在一次小组长选举中，小月与小南两人作为候选人参加竞选，一共得了7张选票。在将7张选票逐一唱票的过程中，小南的得票始终没有超过小月。那么这样的唱票过程有多少种不同的情况? 解析：35种。 9. 汉诺塔游戏：有三根相邻的柱子，最左边柱子从下到上按金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘，若游戏的目标都是把最左边柱子上的圆盘移至最右边的柱子上(不一定要经过中间柱子),且移动过程要遵守“大盘在下，小盘在上”的规则，一次只能移动1个圆盘，那么若左边柱子上有10层圆盘，最少需要挪几步? 解析：1023步。 10. 禁一个九位数，它只由数字1、2和3组成，而且它的任意连续两位数都不等于12、21、22或31，这样的自然数有多少个?如果还要求数字1、2和3每个数字都至少出现一次，则这样的九位数有多少个? 解析：79个。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网 众里寻他千百度。 www.zxxk.com 让教与学更高效 蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。 一宋·辛弃疾《青玉案·元夕》 第1页共9页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「通用版」 第02讲：归纳进阶与递推建模【从奥数到思维】 学 思维 ⑧的专题名称 第02讲：归纳进阶与递推建模 本专题主要讲解直观计数递推和场景建模递推中的一些常用方法，比如归纳 专题导引 法、整体法、对应法、递推法等。 通过递推关系，利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法。一般 情况下，从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系， ©思维解读 归纳出一般情况下的数量关系。斐波那契数列是常见的递推关系。对于某些比 较复杂的问题，可以通过数学建模将其抽象为一般的计数问题，然后找出其相 邻数之间的递推关系，再进行求解。 本讲作为归纳推理的进阶内容，训练的是递推逻辑推导和模型化思维，难度极 白讲解建议 大，建议作为奥数进阶内容进行讲解。 回考点数量 五大考点 讲 思维 原【考点一】斐波那契免子问题 吕【典型例题】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子。如果一个 人在1月份买了一对小兔子，那么12月份的时候他共有多少对兔子？ 第2页共9页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习1】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。 一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝：此后，老枝与“休 息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”。这在生物学上称为“鲁德维格定律”。 那么十年后这棵树上有多少条树枝？ 肥【对应练习2】 用1×2的小长方形（横的竖的都行）覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法？ 即【对应练习3】 用1×3的小长方形覆盖3×8的方格网，共有多少种不同的盖法？ 原【考点二】爬楼梯问题 吕【典型例题】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同的走法？ 40 第3页共9页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习1】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同的走法？ A A10 A.9 肥【对应练习2】 一堆苹果共8个，如果规定每次取13个，那么取完这堆苹果共有多少种不同的取法？ 即【对应练习3】 一堆火柴共12根，如果规定每次取1~3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同的取法？ 原【考点三】蜜蜂爬蜂巢问题 吕【典型例题】 如图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不 准逆行，共有多少种回家的方法？ B 第4页共9页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习1】 小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间。问：小蜜蜂由A房间到达B房间 有多少种方法？ 即【对应练习2】 如图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不 准逆行，共有多少种回家的方法？ 肥【对应练习3】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1 时操作停止。问经过9次操作变为1的数有多少个？ 貝【考点四】洗碗摞碗（进出栈模型） 吕【典型例题】 小可和小乐一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），小可洗好的碗一个一个往上摞，小乐再从最 上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，小可一边洗，小乐一边拿，那么小乐摞好的碗一共有 多少种不同的摞法？ 第5页共9页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习1】 小阳和小轩一起洗4个互不相同的碗（顺序固定)，小阳洗好的碗一个一个往上撂，小轩再从 最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，小阳一边洗，小轩一边拿，问小轩摞好的碗一共有 多少种不同的摞法？ 职【对应练习2】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张。现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有 1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱，有多少种排队方法可以 使售票员总能找得开零钱？ 即【对应练习3】 一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列 的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的 人要矮，那么2列纵队有多少种不同排法？ 原【考点五】传球模型 吕【典型例题】 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作 为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，有多少种传球方法？ 第6页共9页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【对应练习1】 五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中，那 么共有多少种传球方式？ 即【对应练习2】 设A、E为正八边形ABCDEFGH的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除顶点E外青蛙可以从 正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，则青 蛙从顶点A出发恰好跳10次后落到点E的方法总数为多少种？ 职【对应练习3】 有10个木箱，编号为1,2,3，，10，每个箱子有一把钥匙，10把钥匙各不相同，每个箱 子放进一把钥匙锁好。先撬开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把10 把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有多少种？ 第7页共9页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 练 思维 1.小宁有14块糖，如果每天吃奇数块糖，直到吃完，共有多少种吃法？ 2.有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？ 3.如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”,按图中箭头所示方向有多少种 不同的方法拼出英文单词“Einstein”? 4.一条直线分一个平面为两部分，两条直线最多分这个平面为四部分。5条直线最多分这个平 面为多少部分？ 5.如图，从A点到B点的最近路线有多少条？ 第8页共9页 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 6.禁有20个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个、2个或3个，但是每次取完之后不 能留下质数个，有多少种方法取完石子？（石子之间不作区分，只考虑石子个数） 7.禁用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字 要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字。这样的九位数共有多少个？ 8.在一次小组长选举中，小月与小南两人作为候选人参加竞选，一共得了7张选票。在将7 张选票逐一唱票的过程中，小南的得票始终没有超过小月。那么这样的唱票过程有多少种不同 的情况？ 9.汉诺塔游戏：有三根相邻的柱子，最左边柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的 圆盘，若游戏的目标都是把最左边柱子上的圆盘移至最右边的柱子上（不一定要经过中间柱子）， 且移动过程要遵守“大盘在下，小盘在上”的规则，一次只能移动1个圆盘，那么若左边柱子 上有10层圆盘，最少需要挪几步？ 10.禁一个九位数，它只由数字1、2和3组成，而且它的任意连续两位数都不等于12、21、 22或31，这样的自然数有多少个？如果还要求数字1、2和3每个数字都至少出现一次，则这 样的九位数有多少个？ 第9页共9页品学科网 众里寻他千百度。 www.zxxk.com 让教与学更高效 蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。 一宋·辛弃疾《青玉案·元夕》 第1页共10页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「通用版」 第02讲：归纳进阶与递推建模【从奥数到思维】 学 思维 ⑧的专题名称 第02讲：归纳进阶与递推建模 本专题主要讲解直观计数递推和场景建模递推中的一些常用方法，比如归纳 专题导引 法、整体法、对应法、递推法等。 通过递推关系，利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法。一般 情况下，从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系， ⊙思维解读 归纳出一般情况下的数量关系。斐波那契数列是常见的递推关系。对于某些比 较复杂的问题，可以通过数学建模将其抽象为一般的计数问题，然后找出其相 邻数之间的递推关系，再进行求解。 本讲作为归纳推理的进阶内容，训练的是递推逻辑推导和模型化思维，难度极 白讲解建议 大，建议作为奥数进阶内容进行讲解。 回考点数量 五大考点 讲 思维 原【考点一】斐波那契免子问题 吕【典型例题】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子。如果一个 人在1月份买了一对小兔子，那么12月份的时候他共有多少对兔子？ 解析： 第2页共10页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第一个月，有1对小兔子；第二个月，小兔子长成大兔子，所以还是1对：第三个月，大免子 生下一对小兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又 生下一对小兔子，所以共有3对：第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，所以共有5对… 每月的大免子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所 以每月的兔子数为上月的免子数与上上月的兔子数相加。 列表如下： 经过月数 2 8 12 兔子对数 2 3 d 13 21 34 55 89 144 答：12月份的时候他共有144对兔子。 肥【对应练习1】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。 一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝：此后，老枝与“休 息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”。这在生物学上称为“鲁德维格定律”。 那么十年后这棵树上有多少条树枝？ 解析： 列表如下： 经过年数 1 2345678910 树枝条数123581321345589 答：十年后这棵树上有89条树枝。 肥【对应练习2】 用1×2的小长方形（横的竖的都行）覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法？ 解析：89。 即【对应练习3】 用1×3的小长方形覆盖3×8的方格网，共有多少种不同的盖法？ 解析：13种。 第3页共10页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 泉【考点二】爬楼梯问题 吕【典型例题】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同的走法？ 4/10 :3 A12 解析： 从第1级开始递推，脚落到第1级只有从地上1种走法：第2级有两种可能，从地跨过第1 级或从第1级直接迈上去；登上第3级，分两类，要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来， 所以方法数是前两级的方法数的和：以此类推，以后的每一级的方法数都是前两级方法数的和： 直到10级，每一级的方法数都求出，因此得解。 列表如下： 台阶级数 1234 56 8 910 方法数 123581321345589 答：共有89种不同的走法。 0【对应练习1】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同的走法？ A10 A89 43 A, 解析：28种。 第4页共10页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习2】 堆苹果共8个，如果规定每次取1~3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同的取法？ 解析：81种。 即【对应练习3】 一堆火柴共12根，如果规定每次取1~3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同的取法？ 解析：927种。 原【考点三】蜜蜂爬蜂巢问题 吕【典型例题】 如图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不 准逆行，共有多少种回家的方法？ B 解析： 蜜峰“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的峰房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的峰房 爬进相邻大号码的峰房。明确了行走路径的方向，就可以运用标数法进行计算。 如图所示： 3 58729 2 4s618B 答：共有89种回家的方法。 肥【对应练习1】 小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间。问：小蜜蜂由A房间到达B房间 有多少种方法？ 第5页共10页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 解析： 如图所示： 答：小蜜峰由A房间到达B房间有13种方法。 肥【对应练习2】 如图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的峰房而不 准逆行，共有多少种回家的方法？ 解析： 如图所示： 4 62 5 920 61 答：共有286种回家的方法。 肥【对应练习3】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1 时操作停止。问经过9次操作变为1的数有多少个？ 解析：34个。 貝【考点四】洗碗摞碗（进出栈模型） 吕【典型例题】 小可和小乐一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），小可洗好的碗一个一个往上摞，小乐再从最 上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，小可一边洗，小乐一边拿，那么小乐摞好的碗一共有 多少种不同的摞法？ 解析： 第6页共10页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 方法一：假设有1、2、3、4、5五个碗，按照小乐摞好的碗从上往下可以表示为42种不同的 摞法： 5-4-3-2-1,4-5-3-2-1,3-5-4-2-1,5-3-4-2-1,3-4-5-2-1,5-4-2-3-1,4-5-2-3-1,2-5-4-3-1,5 -2-4-3-1,2-4-5-3-1,5-2-3-4-1,2-5-3-4-1,2-3-5-4-1,2-3-4-5-1,5-4-3-1-2,4-5-3-1-2,5 3-4-1-2,3-5-4-1-2,3-4-5-1-2,5-4-1-3-2,4-5-1-3-2,1-5-4-3-2,5-1-4-3-2,1-4-5-3-2,5-1 3-4-2,1-5-3-4-2,1-3-5-4-2,1-3-4-5-2,5-4-1-2-3,4-5-1-2-3,1-5-4-2-3,5-1-4-2-3,1-4 5-2-3,1-2-5-4-3,5-1-2-4-3,1-5-2-4-3,1-2-4-5-3,1-2-3-5-4,1-2-5-3-4,1-5-2-3-4,5-1-2 -3-4,1-2-3-4-5。 方法二：我们把小可洗5个碗的过程看成从起点向右走5步（即洗几个碗就代表向右走几步）， 小乐拿5个碗的过程看成是向上走5步（即拿几个碗就代表向上走几步），摞好碗的摞法，就代 表向右、向上走5步到达终点最短路线的方法。由于洗的碗要多于拿的碗，所以向右走的路线 要多于向上走的路线，所以我们用斜三角形进行标数。一共有42种不同的摞法。 42 A 42 5 14 28 25 9 14 即【对应练习1】 小阳和小轩一起洗4个互不相同的碗（顺序固定），小阳洗好的碗一个一个往上撂，小轩再从 最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，小阳一边洗，小轩一边拿，问小轩摞好的碗一共有 多少种不同的摞法？ 解析：14种。 即【对应练习2】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张。现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有 1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱，有多少种排队方法可以 使售票员总能找得开零钱？ 解析：604800种。 即【对应练习3】 第7页共10页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列 的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的 人要矮，那么2列纵队有多少种不同排法？ 解析：14种。 只【考点五】传球模型 吕【典型例题】 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作 为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，有多少种传球方法？ 解析： 由于第次传球后，球不在甲手中的传球方法，第(+1)次传球后球就可能回到甲手中，所以 只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种。 第n次传球 传球的方法 球在甲手中的传球方法 球不在甲手中的传球方法 3 0 2 9 3 6 3 27 6 21 4 81 21 60 5 243 60 183 从表中可以看出经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60种。 答：有60种传球方法。 肥【对应练习1】 五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中，那 么共有多少种传球方式？ 解析：52种。 0【对应练习2】 设A、E为正八边形ABCDEFGH的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除顶点E外青蛙可以从 正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，则青 蛙从顶点A出发恰好跳10次后落到点E的方法总数为多少种？ 解析：96种。 肥【对应练习3】 第8页共10页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 有10个木箱，编号为1,2,3，.，10，每个箱子有一把钥匙，10把钥匙各不相同，每个箱 子放进一把钥匙锁好。先撬开1,2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把10 把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有多少种？ 解析：725760种。 练 思维 1.小宁有14块糖，如果每天吃奇数块糖，直到吃完，共有多少种吃法？ 解析：377种。 2.有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？ 解析：7种。 3.如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”,按图中箭头所示方向有多少种 不同的方法拼出英文单词“Einstein”? 解析：60种。 4.一条直线分一个平面为两部分，两条直线最多分这个平面为四部分。5条直线最多分这个平 面为多少部分？ 解析：16部分。 5.如图，从A点到B点的最近路线有多少条？ 解析：20条。 6.禁有20个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个、2个或3个，但是每次取完之后不 能留下质数个，有多少种方法取完石子？（石子之间不作区分，只考虑石子个数） 解析：25种。 7.禁用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字 要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字。这样的九位数共有多少个？ 解析：256个。 8.在一次小组长选举中，小月与小南两人作为候选人参加竞选，一共得了7张选票。在将7 第9页共10页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 张选票逐一唱票的过程中，小南的得票始终没有超过小月。那么这样的唱票过程有多少种不同 的情况？ 解析：35种。 9.汉诺塔游戏：有三根相邻的柱子，最左边柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的 圆盘，若游戏的目标都是把最左边柱子上的圆盘移至最右边的柱子上（不一定要经过中间柱子）， 且移动过程要遵守“大盘在下，小盘在上”的规则，一次只能移动1个圆盘，那么若左边柱子 上有10层圆盘，最少需要挪几步？ 解析：1023步。 10.禁一个九位数，它只由数字1、2和3组成，而且它的任意连续两位数都不等于12、21、 22或31，这样的自然数有多少个？如果还要求数字1、2和3每个数字都至少出现一次，则这 样的九位数有多少个？ 解析：79个。 第10页共10页