第01讲：归纳入门与数形规律【从奥数到思维】-2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）通用版

2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「通用版」 第01讲：归纳入门与数形规律【从奥数到思维】 专题名称 第01讲：归纳入门与数形规律 专题导引 本专题主要研究数列、图形、数表等不同形式的规律探索。 ①数列规律主要是探究整数列、小数列和分数列的变化规律； ②图形规律主要探究图形数量变化、位置变换、排列变化等规律； ③数表规律主要探究三角形数与正方形数在图形规律与数表规律中的应用。 思维解读 ①逻辑推理主要通过数之间的前后联系，推理出数列和数表中的规律，并解决问题。 ②数形结合主要根据图形与数之间的对应关系，“以数解形”或“以形助数”,归纳出数与数之间的关系，进而解决问题。 讲解建议 本讲作为归纳推理的基础入门，训练的是“看得见、找得到”的观察归纳能力，建议作为奥数入门内容进行讲解，要求全体学生掌握。 考点数量 八大考点 【考点一】数列规律探究 【典型例题1】整数列规律探究 按规律填数：1，3，5，7，( )，11，( )…。 【对应练习1】 向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1，2，3，5，8，13，21，34，55，( )，…。 【对应练习2】 找规律：1，3，2，6，4，9，8，( )，( )，15，32，18，…。 【对应练习3】 将从1开始的自然数分组如下：（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），（10，11，12，13，14，15，16），按此规律第45组第72个数是( )。 【典型例题2】小数列规律探究 找规律，填数：0.012，0.06，0.3，1.5，( )，( )。 【对应练习1】 按规律填数。 (1)1.5，3.5，5.5，( )，9.5，( )。 (2)0.4，0.8，1.6，( )，6.4，( )。 【对应练习2】 找规律填数： （1）6.25，2.5，1，( )， ( )，0.064； （2）7，3.5，1.75，( )，( )，0.21875。 【对应练习3】 找出规律，直接填写。 (1)1.5，3.5，5.5，( )，9.5，( )。 (2)0.4，0.8，1.6，( )，6.4，( )。 (3)100，25，6.25，( )，( )。 【典型例题3】分数列规律探究 先找规律，再填数。 ，1，( )，，( )，…这组数据越来越接近( )。 【对应练习1】 按规律填空：，，，( )，。 【对应练习2】 根据规律填数。 1，，，，，( )… 【对应练习3】 根据这列数的规律填空：，，，，( )，…。 【考点二】图形规律探究其一：一般规律 【典型例题】 按下图的规律摆下去。 第7幅图需要( )个点，第n幅图需要( )个点。 【对应练习1】 根据下面的方式摆棋子，摆第5个图案需要( )枚棋子，摆第n个图案需要( )枚棋子。 【对应练习2】 同学们用围棋子按照下面的规律摆图形，第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( )枚棋子。 【对应练习3】 摆一摆，找规律。 如果照这样排列下去，第9个图形是( )形，第18个图形是( )形，摆第11个图形需要用( )根小棒。由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加( )根小棒，则搭n个这样的三角形要( )根小棒。 【考点三】图形规律探究其二：图形与算式的结合 【典型例题】 先观察，再按规律填一填。 1＝12               1＋3＝22             1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝( )2 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝( )2 【对应练习1】 照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？ 32－1＝8          42－22＝12       52－32＝16 【对应练习2】 按要求做一做。 1＝12       l＋2＋1＝22   1＋2＋3＋2＋1＝32 (1)利用上面的规律直接写一写。 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝( )2 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝( )2 ＝72 (2)利用上面的规律算一算。 1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝( ) 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝( ) 【对应练习3】 探索规律。 （1）观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是22－12＝2＋1 图②空白部分小正方形的个数是＝4＋3 图③空白部分小正方形的个数是52－42＝( )＋( ) （2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：( )。 （3）运用规律计算。202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12。 【考点四】图形规律探究其三：图形与数字含义 【典型例题】 如图的每个图形都是由△、□、〇中的两个组成的，观察各个图形，根据规律，画出表示“57”的图形是( )，表示“76”的图形的是( )。 【对应练习】 根据下面给出的信息，231可以用( )表示。 A． B． C． D． 【考点五】图形规律探究其四：运动与变化规律 【典型例题】 观察下图中的规律，第四个图案右下角的图形应该是( )。 A．○ B．□ C．△ 【对应练习1】 ……按照这样的规律，第4个图形是：( )。 A．   B．   C．   D．   【对应练习2】 观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为( )。 A． B． C． 【对应练习3】 观察下图，请选择最适合的一个填入问号处，能使之呈现出一定的规律性的是( )。 A．   B．   C．   D．   【考点六】图形规律探究其五：排列规律与周期规律 【典型例题】 ☆△△○○○☆△△○○○……照这样顺序依次摆下去，第100个图形是( )。 【对应练习1】 △△□☆★△△□☆★△△□☆★……左起第30个是( )；△是12个时，其它三种图形（□☆★）一共是( )个。 【对应练习2】 ▲▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲△△▲……第25个三角形是( )，摆80个三角形，有( )个是白色的。 【对应练习3】 △△□☆○△△□☆○△△□☆○……左起第30个是( )，当△至少有( )个时，其他三种图形一共是18个。 【考点七】数表规律探究其一：三角形数表 【典型例题】 如图，将从1开始的连续自然数按下面的方式排列起来，222是第几行左起第几个数? 【对应练习1】 将从1开始的连续自然数按下图规律排列，那么第17行左起第8个数是多少? 【对应练习2】 将非零自然数按一定的规律排成了下面的三角形数表，根据这个排列规律，数表中第20行左起第3个数是多少? 【对应练习3】 一个从1开始的自然数表如下，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最后一个数是( )。 第一行 1 第二行 2 3 第三行 4 5 6 7 …… …… 【考点八】数表规律探究其二：正方形数表 【典型例题】 如图，把从1开始的连续自然数按下面的规律排列起来，以横为行，以纵为列，那么第7行第13列的数是多少? 【对应练习1】 找规律，写得数。 假设所有自然数如下图排列起来，35、48、78、2022应分别排在哪个字母下面？ A    B     C    D                   1    2     3    4                   8    7     6    5     9   10    11   12                 … 35在( )下面；48在( )下面；78在( )下面；2022在( )下面。 【对应练习2】 将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第( )行第( )列。 一、填空题。 1．给出一列按规律排列的数：，，，，……，则这列数的第8个数是( )。 2．△□□★★△□□★★……从左起前2024个中，★一共有( )个。 3．先找规律，再涂出最后一个图形的阴影部分。 4．小明用面积为1的正方形卡纸拼摆图形，像这样拼下去，第（5）个图形要用( )张小正方形卡纸。 5．按照一定的规律画正方形，如图。当画出2个正方形时，可以得到4个直角三角形，当画出3个正方形时，可以得到8个直角三角形……当画出5个正方形时，可以得到( )个直角三角形，当画出n个正方形时，可以得到( )个直角三角形。 6．小军用围棋子摆图案（如下图），按照这样的规律第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( )枚棋子。 7．按这个规律，摆n个八边形，需要( )根小棒。用36根小棒可以摆出( )个八边形。 8．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。 (1)1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1＝( )。 (2)1＋2＋3＋…＋（n－1）＋n＋（n－1）＋…＋3＋2＋1＝( )。 9．将奇数1，3，5，…如图排列，各项分别用A，B，C，D，E表示，则2025所在的行、列分别为第( )行、第( )列。 10．杨辉三角是我国宋代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个数字三角形阵（如图），观察图中数字的排列规律，第7行，从左数第3个数字是( )。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网 众里寻他千百度。 www.zxxk.com 让教与学更高效 蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。 一宋·辛弃疾《青玉案·元夕》 第1页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「通用版」 第01讲：归纳入门与数形规律【从奥数到思维】 学 思维 的专题名称 第01讲：归纳入门与数形规律 本专题主要研究数列、图形、数表等不同形式的规律探索。 ①数列规律主要是探究整数列、小数列和分数列的变化规律： 钮专题导引 ②图形规律主要探究图形数量变化、位置变换、排列变化等规律： ③数表规律主要探究三角形数与正方形数在图形规律与数表规律中的应用。 ①逻辑推理主要通过数之间的前后联系，推理出数列和数表中的规律，并解决 问题。 ©思维解读 ②数形结合主要根据图形与数之间的对应关系，“以数解形”或“以形助数”， 归纳出数与数之间的关系，进而解决问题。 本讲作为归纳推理的基础入门，训练的是“看得见、找得到”的观察归纳能力， 户讲解建议 建议作为奥数入门内容进行讲解，要求全体学生掌握。 回考点数量 八大考点 讲 思维 原【考点一】数列规律探究 吕【典型例题1】整数列规律探究 按规律填数：1,3,5,7，( ),11,( 第2页共13页 可学科网 www.zxxk com 0【对应练习1】 向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1,2,3,5,8,13， 肥【对应练习2】 找规律：1,3,2,6,4,9,8，( ),( ),15,32 肥【对应练习3】 将从1开始的自然数分组如下：（1)，(2,3,4)，(5,6,7， 13,14,15,16),按此规律第45组第72个数是( ) 吕【典型例题2】小数列规律探究 找规律，填数：0.012,0.06,0.3,1.5，（ ),( 肥【对应练习1】 按规律填数。 (1)1.5,3.5,5.5,( ),9.5,( )。 (2)0.4,0.8,1.6,( ),6.4,( )。 肥【对应练习2】 找规律填数： (1)6.25,2.5,1,( ),( ),0.064: (2)7,3.5,1.75,( ),( ),0.21875。 即【对应练习3】 找出规律，直接填写。 (1)1.5,3.5,5.5,( ),9.5,( (2)0.4,0.8,1.6,( ),6.4,( ) (3)100,25,6.25,( ),( )。 吕【典型例题3】分数列规律探究 先找规律，再填数。 1,( 9 ,6( ),.这组数据越来越接近( 第3页共13页 让教与学更高效 21,34,55,( ),0 18,.。 8,9),(10,11,12, ) 丽学科网 www.zxxk.com 肥【对应练习1】 按规律填空：号，片，号，( ),11 肥【对应练习2】 根据规律填数。 1,3京8( 即【对应练习3】 根粥这列致的越律筑空：子片员·( ),0 原【考点二】图形规律探究其一：一般规律 吕【典型例题】 按下图的规律摆下去。 品.品 ● ●●● (1) (2) (3) 第7幅图需要( )个点，第n幅图需要( )个点 即【对应练习1】 根据下面的方式摆棋子，摆第5个图案需要( )枚棋子 枚棋子。 88 888 8888 第1个 第2个 第3个 即【对应练习2】 同学们用围棋子按照下面的规律摆图形，第5幅图用( 枚棋子。 ● ● ● ● 第1幅图 第2幅图 第3幅图 第4页共13页 让教与学更高效 摆第n个图案需要( )枚棋子，第n幅图用( 888888 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习3】 摆一摆，找规律。 如果照这样排列下去，第9个图形是( )形，第18个图形是( )形，摆第11个 图形需要用( )根小棒。由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加( )根小棒， 则搭n个这样的三角形要( )根小棒。 只【考点三】图形规律探究其二：图形与算式的结合 吕【典型例题】 先观察，再按规律填一填。 1=12 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=( )2 1+3+5+7+9+11+13=( )2 职【对应练习1】 照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个。？第8个图形呢？ 32-1=8 42-22=12 52-32=16 0【对应练习2】 按要求做一做。 第5页共13页 命学科网 www.zxxk com 1=121+2+1=221+2+3+2+1=32 (1)利用上面的规律直接写一写。 1+2+3+4+3+2+1=( 为 1+2+3+4+5+4+3+2+1=( )2 =72 (2)利用上面的规律算一算。 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=( 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=( 职【对应练习3】 探索规律。 ① ② ③ (1)观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是22一12=2+1 图②空白部分小正方形的个数是42-32=4+3 图③空白部分小正方形的个数是52一4？=( )+( ) (2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式： (3)运用规律计算。202-192+182-172+162-152+..+22-12。 第6页共13页 让教与学更高效 ( ) 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点四】图形规律探究其三：图形与数字含义 吕【典型例题】 如图的每个图形都是由△、口、O中的两个组成的，观察各个图形，根据规律，画出表示57 的图形是( ),表示76的图形的是( )。 55 56 75 肥【对应练习】 根据下面给出的信息，231可以用( )表示 ☆=1 O△△☆☆☆ △=10 表示123 O=100 A.OO△△△☆B.OOO☆☆☆△ C.△△OOO☆D.☆☆OOO△ 原【考点五】图形规律探究其四：运动与变化规律 吕【典型例题】 观察下图中的规律，第四个图案右下角的图形应该是( )。 A.o B. C.△ 肥【对应练习1】 按照这样的规律，第4个图形是：( ) 第7页共13页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B D 肥【对应练习2】 观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为( ) A. B C. 肥【对应练习3】 观察下图，请选择最适合的一个填入问号处，能使之呈现出一定的规律性的是( ) ● ●● ● ●●● ●●● ●●● ●●● D ●●●● 原【考点六】图形规律探究其五：排列规律与周期规律 侣【典型例题】 ☆△△ooo☆△△ooo..照这样顺序依次摆下去，第100个图形是( )。 【对应练习1】 △△口☆★△△口☆★△△口☆★...左起第30个是( ):△是12个时，其它三种图形 (口☆★)一共是( )个。 第8页共13页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习2】 ▲▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲△△▲...第25个三角形是( ),摆80个三角形，有 )个是白色的。 肥【对应练习3】 △△口☆0△△口☆o△△口☆o...左起第30个是( ),当△至少有( )个时，其 他三种图形一共是18个。 原【考点七】数表规律探究其一：三角形数表 吕【典型例题】 如图，将从1开始的连续自然数按下面的方式排列起来，222是第几行左起第几个数？ 1 2 3 6 5 4 78910 1514131211 0 职【对应练习1】 将从1开始的连续自然数按下图规律排列，那么第17行左起第8个数是多少？ 1 3 4 5 6 8910 0044440e44。 即【对应练习2】 将非零自然数按一定的规律排成了下面的三角形数表，根据这个排列规律，数表中第20行左 起第3个数是多少？ 1 35 7 911 13151719 。e000000e。e 第9页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习3】 一个从1开始的自然数表如下，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最 后一个数是( ) 第一行 1 第二行 23 第三行 456 1 原【考点八)数表规律探究其二：正方形数表 吕【典型例题】 如图，把从1开始的连续自然数按下面的规律排列起来，以横为行，以纵为列，那么第7行第 13列的数是多少？ 12510… 43611… 98712… 16151413… 肥【对应练习1】 找规律，写得数。 假设所有自然数如下图排列起来，35、48、78、2022应分别排在哪个字母下面？ A BCD 1234 8765 9101112 35在( )下面；48在( )下面：78在( )下面：2022在( )下面。 第10页共13页 可学科网 www Zxxk.com 0【对应练习2】 将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第( 第一列第二列第三列第四列·· 第一行 1 2 10·… 第二行 4 3 P 11··… 第三行 6 12 ·0 第四行 16 15 14 13 。e 第五行 17 第11页共13页 让教与学更高效 )行第( )列。 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 练 思维 一、填空题。 1.给出一列按规律排列的数：方子名，， ,则这列数的第8个数是( ) 2.△口口★★△口口★★...从左起前2024个中，★一共有( )个。 3.先找规律，再涂出最后一个图形的阴影部分。 4.小明用面积为1cm的正方形卡纸拼摆图形，像这样拼下去，第(5)个图形要用( 张小正方形卡纸。 (1) (2) (3) 5.按照一定的规律画正方形，如图。当画出2个正方形时，可以得到4个直角三角形，当画 出3个正方形时，可以得到8个直角三角形...当画出5个正方形时，可以得到( )个 直角三角形，当画出n个正方形时，可以得到( )个直角三角形。 6.小军用围棋子摆图案（如下图），按照这样的规律第5幅图用( )枚棋子，第n幅 图用( )枚棋子。 田1 图2 图3 .○C0○X0X0 ·…按这个规律，摆n个八边形，需要 )根小棒。用36根小棒可以摆出( )个八边形。 8.我国著名数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形 之间的对应关系，先想一想，再填一填。 第12页共13页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 治 ●●●● ●●/● 1+2+1=41+2+3+2+1=91+2+3+4+3+2+1=16 (1)1+2+3+..+9+10+11+10+9+..+3+2+1=( ) (2)1+2+3+..+(n-1)+n+(n-1)+..+3+2+1=( 9.将奇数1,3,5，.如图排列，各项分别用A,B,C,D,E表示，则2025所在的行、列 分别为第( )行、第( )列。 A B C D E 135 7 15 13 119 1719 21 23 31 2927 25 10.杨辉三角是我国宋代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个数字三角形阵（如 图)，观察图中数字的排列规律，第7行，从左数第3个数字是( 第1行 第2行 第3行 第13页共13页品学科网 众里寻他千百度。 www.zxxk.com 让教与学更高效 蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。 一宋·辛弃疾《青玉案·元夕》 第1页共28页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「通用版」 第01讲：归纳入门与数形规律【从奥数到思维】 学 思维 的专题名称 第01讲：归纳入门与数形规律 本专题主要研究数列、图形、数表等不同形式的规律探索。 ①数列规律主要是探究整数列、小数列和分数列的变化规律： 钮专题导引 ②图形规律主要探究图形数量变化、位置变换、排列变化等规律： ③数表规律主要探究三角形数与正方形数在图形规律与数表规律中的应用。 ①逻辑推理主要通过数之间的前后联系，推理出数列和数表中的规律，并解决 问题。 ©思维解读 ②数形结合主要根据图形与数之间的对应关系，“以数解形”或“以形助数”， 归纳出数与数之间的关系，进而解决问题。 本讲作为归纳推理的基础入门，训练的是“看得见、找得到”的观察归纳能力， 户讲解建议 建议作为奥数入门内容进行讲解，要求全体学生掌握。 回考点数量 八大考点 讲 思维 原【考点一】数列规律探究 吕【典型例题1】整数列规律探究 按规律填数：1,3,5,7，( ),11,( 【答案】 9 13 第2页共28页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】这组数的规律：3一1=2,5-3=2,7-5=2，发现后一个数比前一个数大2，据此 解答。 【详解】7+2=9 11+2=13 按规律填数：1,3,5,7,9,11,13。 肥【对应练习1】 向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1,2,3,5,8,13,21,34,55，( 【答案】89 【分析】观察这些数的排列规律：从第3个数起，每个数等于它前面两个数的和，据此解答。 【详解】1+2=3 2+3=5 3+5=8 5+8=13 8+13=21 13+21=34 21+34=55 34+55=89 因此向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1,2,3,5,8,13,21,34,55， 89, 0 0【对应练习2】 找规律：1,3,2,6,4,9,8，( ),( ),15,32,18,.。 【答案】 12 16 【分析】通过观察可得：这列数可拆分为两组，第一组是奇数项的数：1,2,4,8，，规律 是后一个奇数项上的数都是前一个奇数项上的数的2倍；第二组是偶数项上的数：3,6,9，， 规律是后一个偶数项上的数都比前一个偶数项上的数增加3。据此解答。 【详解】根据分析可得： 1,3,2,6,4,9,812,16,15,32,18,。 肥【对应练习3】 第3页共28页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将从1开始的自然数分组如下：（1)，（2,3,4)，(5,6,7,8,9)，（10,11,12， 13,14,15,16),按此规律第45组第72个数是( ) 【答案】2008 【分析】观察可知，第一组只有1个数，1=1？，第二组的最后一个数是4,4=22，第三组的 最后一个数是9,9=3？，由此可知，第几组的最后一个数就是几的平方，据此确定第44组的 最后一个数，用第44组的最后一个数加上72，就是第45组第72个数，据此分析。 【详解】442=44×44=1936 1936+72=2008 按此规律第45组第72个数是2008。 【点睛】本题关键是找出规律，先求出第44组的最后一个数，再求第45组第72个数比较简 单，而不是求出第45组的最后一个数，再求第45组第72个数。 吕【典型例题2】小数列规律探究 找规律，填数：0.012,0.06,0.3,1.5，( ),( 【答案】 7.5 37.5 【分析】观察已知的前4个数，发现规律：前一个数乘5等于后一个数，据此规律解答。 【详解】0.012×5=0.06 0.06×5=0.3 0.3×5=1.5 1.5×5=7.5 7.5×5=37.5 填数：0.012,0.06,0.3,1.5，(7.5)，(37.5)。 即【对应练习1】 按规律填数。 (1)1.5,3.5,5.5,( ),9.5,( (2)0.4,0.8,1.6,( ),6.4,( ) 【答案】(1) 7.5 11.5 (2) 3.2 12.8 【分析】(1)观察小数的排列规律，前一个小数+2=后一个小数，据此分析： (2)前一个小数×2=后一个小数，据此分析。 第4页共28页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)5.5+2=7.5、9.5+2=11.5 1.5,3.5,5.5,7.5,9.5,11.5。 (2)1.6×2=3.2、6.4×2=12.8 0.4,0.8,1.6,3.2,6.4,12.8。 0【对应练习2】 找规律填数： (1)6.25,2.5,1,( ),( ),0.064: (2)7,3.5,1.75,( ),( ),0.21875。 【答案】 0.4 0.16 0.875 0.4375 【分析】(1)6.25÷2.5=2.5,2.5÷1=2.5，所以用前一个数除以2.5可以得到后一个数： (2)7÷3.5=2,3.5÷1.75=2,所以用前一个数除以2可以得到后一个数：据此解答。 【详解】根据分析： (1)1÷2.5=0.4,0.4÷2.5=0.16,0.16÷2.5=0.064,所以6.25,2.5,1,0.4,0.16,0.064： (2)1.75÷2=0.875,0.875÷2=0.4375,0.4375÷2=0.21875,所以7,3.5,1.75,0.875,0.4375 0.21875。 即【对应练习3】 找出规律，直接填写。 (1)1.5,3.5,5.5,( ),9.5,( (2)0.4,0.8,1.6,( ),6.4,( ) (3)100,25,6.25,( ),( ) 【答案】（①） 7.5 11.5 (2) 3.2 12.8 (3) 1.5625 0.390625 【分析】(1)3.5-1.5=2,5.5-3.5=2，即前一个数加上2，等于后一个数： (2)0.8÷0.4=2,1.6÷0.8=2,即前一个数乘2，等于后一个数： (3)100÷25=4,25÷6.25=4,即前一个数除以4，等于后一个数；据此解答。 【详解】(1)5.5+2=7.5 9.5+2=11.5 即1.5,3.5,5.5,7.5,9.5,11.5。 第5页共28页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)1.6×2=3.2 6.4×2=12.8 即0.4,0.8,1.6,3.2,6.4,12.8。 (3)6.25÷4=1.5625 1.5625÷4=0.390625 即100,25,6.25,1.5625,0.390625。 二【典型例题3】分数列规律探究 先找规律，再填数。 3,1,( 9 )16,（ ),.这组数据越来越接近( 【答案】 3 27 0 4 64 【分析】由题意可知， 1,1子，子子名…由此可知，前面的数乘就等于它 34 后面的数，据此规律写出这组数，再根据规律判断这组数据越来越接近多少；据此解答。 【详解】根据分析： 339、327 1×4=4'16*464 所以这组数是1，子。·品，观察发现数字由假分数变为，再变为真分数，所以这 3927 组数据越来越接近0。 0【对应练习1】 按规律填空： 13119 3’5’7,( 【答案】 【分析】根据题意，后面的分数的分子依次比前面分数的分子少2，后面的分数的分母依次比 前面分数的分母多2，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 9-27 7+29 1311975 按规律填空：3,5,7’9’11 肥【对应练习2】 第6页共28页 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 根据规律填数。 【答案】吉 【分析】把1看成，可以发现，相邻的三个分数的前两个分数的分母的和等于第三个分数的 分母，这列分数的分子都是1，据此解答。 【详解】5+8=13 所以这列数是1，片，专京名占 肥【对应练习3】 根据这列数的规律填空：了，。，， 2’8’4’32'( 【答案】日 【分析】观察已知的四个分数，第1个数、第3个数是号：：第2个数、第4个数是、最 发现：奇数项的分子都是1，分母从2开始依次乘2：偶数项的分子从3开始依次加2，分母 从8开始依次乘4：据此规律解答。 【详解】根据规律可得：第5个数是奇数项，分子是1，分母是4×2=8，即8： 填空如下： 原【考点二】图形规律探究其一：一般规律 吕【典型例题】 按下图的规律摆下去。 ●● ●●● (1) (2) (3) 第7幅图需要( )个点，第n幅图需要( )个点。 【答案】 24 3+31 【分析】第一幅图点的数量：3×2=6（个），第二幅图点的数量：3x3=9(个)，第三幅图点 的数量：3×4=12（个），，第n幅图点的数量：3(+l1)个，据此解答即可。 第7页共28页 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】第7幅图需要：3×(7+1)=3x8=24(个) 第n幅图需要：3(n+1)=3+3n(个) 所以第7幅图需要24个点，第n幅图需要(3+3n)个点。 肥【对应练习1】 根据下面的方式摆棋子，摆第5个图案需要( )枚棋子，摆第n个图案需要( 枚棋子。 88 888 8888 … 第1个 第2个 第3个 【答案】 17 3n+2 【分析】观察发现： 第一个有5枚棋子。 第二个图案在原来的图案上增加了3个棋子，即5+3=8（枚） 第三个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5+3×2=11（枚） 第四个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5+3×3=14（枚） 第五个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5+3×4=17（枚） 第n个图案在原来的图案上的棋子数就是在5个的棋子的基础上增加（一1）组3个的棋子。 最后将带有字母的式子化简得出最后的式子。 【详解】5+3×4 =5+12 =17(枚) 5+3(n-1) =5+3n-3 =3m+2 摆第5个图案需要17枚棋子，摆第n个图案需要(3n+2)枚棋子。 肥【对应练习2】 同学们用围棋子按照下面的规律摆图形，第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( 第8页共28页 而学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 枚棋子。 ● ● ● ● 85年885 ● ● ● 第1幅图 第2幅图 第3幅图 【答案】 31 6n+1 【分析】观察发现，每增加一个图形，黑色的点就在外面多一圈，也是多6个。 第一幅图：7个 第二幅图：7+6=13（个） 第三幅图：7+6×2=19（个） 第n幅图：7+6(n一1) 据此规律解答。 【详解】7+6×(5-1) =7+6×4 =7+24 =31(枚) 7+6(n-1) =7+6-6 =6n+1 第5幅图用31枚棋子，第n幅图用(6n+1)枚。 肥【对应练习3】 摆一摆，找规律。 如果照这样排列下去，第9个图形是( )形，第18个图形是( )形，摆第11个 图形需要用( )根小棒。由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加( )根小棒， 则搭n个这样的三角形要( )根小棒。 【答案】 梯 平行四边 23 2 2m+1 第9页共28页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】图形按三角形、平行四边形、梯形、平行四边形、梯形..的顺序排列，发现规律： 从第2个图形开始，偶数个图形是平行四边形，奇数个图形是梯形。 第1个图形用3根小棒，第2个图形用5根小棒，第3个图形用7根小棒，第4个图形用9 根小棒..；发现规律：3=1×2+1,5=2×2十1,7=3×2+1,9=4×2+1...；发现：每增 加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找到规律并解答。 【详解】9是奇数，所以第9个图形是梯形；18是偶数，所以第18个图形是平行四边形： 第1个图形用3根小棒，3=1×2+1： 第2个图形用5根小棒，5=2×2+1： 第3个图形用7根小棒，7=3×2+1： 第4个图形用9根小棒，9=4×2+1： 摆第11个图形需要用小棒： 11×2+1 =22+1 =23(根) 由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加2根小棒： 规律：摆第n个图形需要用(2n十1)根小棒。 填空如下： 如果照这样排列下去，第9个图形是（梯）形，第18个图形是（平行四边）形，摆第11个图 形需要用(23)根小棒。由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加(2)根小棒，则搭n个 这样的三角形要(2n+1)小棒。 原【考点三】图形规律探究其二：图形与算式的结合 吕【典型例题】 先观察，再按规律填一填。 1=12 1+3=22 1+3+5=3 第10页共28页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1+3+5+7=( ) 1+3+5+7+9+11+13=( 【答案】 7 【分析】结合图与算式，先找出算式与计算结果的规律，算式中加数的大小规律是：第一个加 数是1，第二个加数是3，后面每个加数增加2，计算结果的规律是加数个数的平方。 【详解】通过观察图形及图形对应的算式可以发现：算式左边是从1开始连续奇数的和，算式 右边数是左边有几个奇数，它们的和就是几的平方。 1+3+5+7相加，有4个奇数，所以为4的平方，1+3+5+7+9+11+13相加，有7个奇数， 所以为7的平方。 综上所述：1+3+5+7=4 1+3+5+7+9+11+13=72 【点睛】本题是探索算数规律的题目，关键是利用数形结合的思想寻找算式中的规律。 肥【对应练习1】 照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个o？第8个图形呢？ 32-1=8 42-22=12 52-32=16 【答案】24个：36个 【分析】如下图，第1个图中o和·一共有32个，●的个数有12个，o的个数有32-12=8（个）： 第2个图中o和·一共有42个，·的个数有22个，o的个数有42一22=12（个）：第3个图中o 和。一共有52个，●的个数有32个，o的个数有52-32=16（个）；..由此发现规律：第n 个图中o和·一共有(n+2)2个，●的个数有n个，o的个数有[(n+2)2-n]个。 【详解】(5+2)2-52 =72-53 第11页共28页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =49-25 =24(个) (8+2)2-82 =102-82 =100-64 =36(个) 答：第5个图形中有24个o,第8个图形36个o。 【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计 算方法，进行计算。 肥【对应练习2】 按要求做一做。 1=121+2+1=221+2+3+2+1=32 (1)利用上面的规律直接写一写。 1+2+3+4+3+2+1=( )2 1+2+3+4+5+4+3+2+1=( =72 (2)利用上面的规律算一算。 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=( 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=( 【答案】(1) 4 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1 (2) 36 81 【分析】第一个图中小正方形个数是1：第二个图中从对角线的方向观察，小正方形个数是左 下角1个、涂色的2个、右上角1个的和即1+2+1，其结果等于2的平方；同理第三个图中 小正方形个数等于1+2+3+2+1的结果即3的平方，据此规律解答。 【详解】(1)根据分析： 第12页共28页 命学科网 www.zxxk.com 1+2+3+4+3+2+1=(4)3 1+2+3+4+5+4+3+2+1=(5)3 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=72 (2)1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=62=6×6=(36) 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=92=9×9= 【点睛】考查应用数形结合方法探求规律，本题规律是：算式左边的 形图中包含的小正方形个数。 即【对应练习3】 探索规律。 ① ② ③ (1)观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是22一12=2+1 图②空白部分小正方形的个数是4-32=4+3 图③空白部分小正方形的个数是5？一4？=( )+( (2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出 (3)运用规律计算。202-192+182-172+162-152+..+22-12。 【答案】(1)5；4 (2)72-6=7+6 (3)210 【分析】观察算式规律可得：相邻两个数的平方差等于这两个数的和 【详解】(1)52-42=5+4 (2)72-62=7+6(答案不唯一) (3)202-192+182-172+162-152+..+22-12 =20+19+18+17+..+3+2+1 =(20+1)×20÷2 第13页共28页 让教与学更高效 (81) 加数加起来，和就是正方 道算式：( )。 由此按规律解答即可。 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =21×20-2 =420÷2 =210 【点睛】此题考查数与形结合的规律，进一步培养学生的观察能力和总结能力。 原【考点四】图形规律探究其三：图形与数字含义 吕【典型例题】 如图的每个图形都是由△、口、O中的两个组成的，观察各个图形，根据规律，画出表示57 的图形是( ),表示76的图形的是( 55 56 75 解析： △代表5，o代表7，口代表6，表示57的图形是△o,表示76的图形是口。 肥【对应练习】 根据下面给出的信息，231可以用( )表示。 ☆=1 O△△☆☆☆ △=10 表示123 ○=100 A. OO△△△☆B.OOO☆☆☆△ C.△△OOO☆ D.☆☆OOO△ 解析： 观察可知，o表示100，△表示10，☆表示1,231由2个百、3个十、1个一组成，据此用对 应图形表示出各数位上的数即可。 2个百用oo表示，3个十用△△△表示，1个一用☆表示，231可以用oo△△△☆表示。 原【考点五】图形规律探究其四：运动与变化规律 吕【典型例题】 观察下图中的规律，第四个图案右下角的图形应该是( ) 第14页共28页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A. B C.△ 【答案】A 【分析】根据题意可知，三角形是按照左上→右上→右下→左下的规律，第四个图形三角形在 左下；正方形是按照右上→右下→左下→左上的规律，第四个图形是在左上；长方形是按照右 下→左下→左上→右上的规律，第四个图形在右上：圆是按照左下→左上→右上→右下的规律， 第四个图形在右下，据此解答。 【详解】根据分析可知，观察下图中的规律，第四个图案右下角的图形应该是O。 故答案为：A 【点睛】找出每个图形运动的规律是解答本题的关键。 肥【对应练习1】 按照这样的规律，第4个图形是：( 【答案】A 【分析】观察题意可知，每个圆被平均分成8格，黑色的小圆每次按顺时针跳2格，据此解答。 【详解】 按照这样的规律，第4个图形是 故答案为：A 【点睛】观察图形中的位置规律是解答本题的关键。 即【对应练习2】 第15页共28页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为( ) A. B C 【答案】A 【分析】根据图示可知，每一行每一列都有一个长方形、一个三角形和一个圆形，依此可知， 空格里少的是长方形。 【详解】由分析得：在空格内画上合适的图形应为■。 故答案为：A 【点晴】本题考查图形的排列规律。 即【对应练习3】 观察下图，请选择最适合的一个填入问号处，能使之呈现出一定的规律性的是( )。 ● ● ●● ●● ●●● ●●● ●●● ●●● ●●● ●●●● 【答案】C 【分析】观察可知，方框中的圆点数量如 2 4 6 中间4圆点可以呈现出一定 3 6 第16页共28页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 的规律性，再根据圆点的呈现方式进行选择。 ● ● ● 【详解】如图 ●0 ●● 具有一定的规律性。 ●●● ●●● ●●● 故答案为：C 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化 规律。 原【考点六】图形规律探究其五：排列规律与周期规律 吕【典型例题】 ☆△△ooo☆△△ooo...照这样顺序依次摆下去，第100个图形是( 【答案】o 【分析】由题意可知，按照☆△△ooo为一个循环，用100除以循环周期6，计算出商和余数， 余数是几就从左边第一个图形数几即可。 【详解】100÷6=16（个）……4（个） 则照这样顺序依次摆下去，第100个图形是o。 【点睛】本题考查了简单的周期现象，找出循环周期是几是解题的关键。 肥【对应练习1】 △△口☆★△△口☆★△△口☆★...左起第30个是( ):△是12个时，其它三种图形 (口☆★)一共是( )个。 【答案】 ★ 15(答案不唯一) 【分析】把△△口☆★看作一个周期，每个周期中有5个图形，前30个图形刚好是6个周期， 所以第30个图形就是周期中的最后一个图形：△为12个时，可以是5个周期多2个△，每个 周期中口☆★有3个图形，最后乘5求出图形的总个数，据此解答。 【详解】分析可知，△△口☆★一共有5个图形。 30÷5=6 所以，30个图形是6个周期，左起第30个是★。 每个周期中有2个△。 第17页共28页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2×5+2 =10+2 =12(个) 每个周期中口☆★一共有3个图形。 3×5=15(个) 所以，△是12个时，其它三种图形（口☆★）一共是15个。（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查周期问题，找出这组图形排列的周期是解答题目的关键。 肥【对应练习2】 ▲▲△△▲△▲▲△△A△▲▲△△▲...第25个三角形是( ),摆80个三角形，有 )个是白色的。 【答案】 黑色的 39 【分析】从图中可以看到▲▲△△▲△这六个三角形为一个周期，因为25÷6=4..1，所以 第25个三角形是周期的第一个三角形，是黑色的；摆80个三角形，用806=13...2，得到 循环了13个周期，还余下2个三角形，因为一个周期有3个白色的三角形，所以13个周期有 (13×3)个三角形，又因为余下2个三角形就是周期的第一、二个三角形，都是黑色的，所 80个三角形，有(13×3)个是白色的： 【详解】25÷6=4（个）1（个） 所以第25个三角形是黑色的。 806=13(个)...2（个） 13×3=39(个) 所以摆80个三角形，有39个是白色的。 【点睛】此题考查到了找规律的问题，重点是要找到图形的循环周期。 肥【对应练习3】 △△口☆o△△口☆o△△口☆o..左起第30个是( ),当△至少有( )个时，其 他三种图形一共是18个。 【答案】 12 【分析】根据题干可得这组图形的排列规律是：5个图形一个循环周期，分别按照：△△口☆© 的顺序依次排列，由此只要计算得出第30个图形是第几个周期的第几个图形即可解决问题： 一个周期中有2个△，和另外三个图形，此题可以逆推：已知其他三种图形一共是18个，所 第18页共28页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 以是经过了18÷3=6个周期，由此即可求得△的个数。 【详解】30÷5=6，所以第30个图形是第6周期的最后一个图形，与第一个周期的最后一个图 形相同是o; 18÷3=6,6×2=12(个)，则△是12个时，其他三种图形一共是18个。 【点睛】本题考查周期问题。根据题干得出这组图形的排列周期规律，是解决此类问题的关键。 原【考点七】数表规律探究其一：三角形数表 吕【典型例题】 如图，将从1开始的连续自然数按下面的方式排列起来，222是第几行左起第几个数？ 2 65 4 78 910 15 14 1312 11 8888事0年8gg事 解析： 前20行数的总个数：1+2+3++20=210（个） 前21行数的总个数：1+2+3++21=231（个） 210<222<231,所以222在第21行。 222一210=12（个），即222为第21行右起第12个数，相当于左起第21一(12一1)=10（个）数。 答：222是第21行左起第10个数。 0【对应练习1】 将从1开始的连续自然数按下图规律排列，那么第17行左起第8个数是多少？ 1 23 45 6 78910 004444404444 解析： 前16行数的个数：1+2+3+..+16=136（个） 136+8=144 答：第17行左起第8个数是144。 第19页共28页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习2】 将非零自然数按一定的规律排成了下面的三角形数表，根据这个排列规律，数表中第20行左 起第3个数是多少？ 1 3 5 7911 13151719 4e。00e40e0e 解析： 前19行数的个数：1+2+3++19=190（个） 190+3=193(个) 数表中第20行左起第3个数是第193个数。观察可知，第n个数是2n一1。 第193个数是2×193一1=385。 答：数表中第20行左起第3个数是385。 肥【对应练习3】 一个从1开始的自然数表如下，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最 后一个数是( ) 第一行 1 第二行 23 第三行 4 5 6 7 。。。。。 解析： 通过观察分析可知，表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍，所以第行的数字的 个数为21个，又每一行中最后一个数为前边从第一行到这一行中所有字的个数，如第三行中 最后一个数为7，则一至三行中共有7个数字，由此可知，到第行中最后一个数字为1+2 +4+.+2-1。 2-1=2-1=25=2×2×2×2×2=32 1+2+4+8+16+32=63 第20页共28页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点八】数表规律探究其二：正方形数表 吕【典型例题】 如图，把从1开始的连续自然数按下面的规律排列起来，以横为行，以纵为列，那么第7行第 13列的数是多少？ 12510 43611 98712… 16151413… 。0ee。。。。。。 解析： 13>7 第1行第13列的数：122+1=145 145+(7-1)=151 答：第7行第13列的数是151。 0【对应练习1】 找规律，写得数。 假设所有自然数如下图排列起来，35、48、78、2022应分别排在哪个字母下面？ A B CD 1234 8765 9101112 … 35在( )下面；48在( )下面；78在( )下面；2022在( )下面。 解析： 35÷8=4..3 由此可知35应排在字母C的下面。 48÷8=6 由此可知48应排在字母A的下面。 第21页共28页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 78÷8=9..6 由此可知78应排在字母C的下面。 2022÷8=252...6 由此可知2022应排在字母C的下面。 即【对应练习2】 将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第( )行第( )列 第一列第二列第三列第四列… 第一行 1 2 9 10 第二行 4 3 8 11 第三行 5 6 12 第四行 16 15 14 13 第五行 17 0。。 解析： 观察不难发现，奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数 相同的行止，偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的 列止，根据此规律求出与2011最接近的平方数，然后找出所在的列数与行数即可。 观察发现，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每 行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的 平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为452=2025,2025一2011+1=15所 以自然数2011在左起第45列，上起第15行。 第22页共28页 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 练 思维 一、填空题。 1. 给出一列按规律排列的数：，3， 57 2’4’6’8’ ,则这列数的第8个数是( 【答案】8 【分析】根据题意可知，分母分别是2,4,6,8...，可以写成2×1,2×2,2×3,2×4， 第n个数的分母是2：分子分别是1,3,5,7.，可以写成：2×1-1,2×2-1,2×3-1， 2×4-1.,第n个数的分子是2m-1,即第n个数就是20， 据此求出第8个数。 2n 【详解】根据分析可知，第n个数是2 2n 当n=8时： 2×8-115 2×816 2.△口口★★△口口★★...从左起前2024个中，★一共有( )个。 【答案】809 【分析】观察图形可知，这图形是“△口口★★5个一组的排列，用2024除以5，得到的商是 这样排列的组数，这样一组中有2个★，用组数乘2，再加上余数中★的个数，即可算出前2024 个图形中有几个★，据此解答。 【详解】2024÷5=404（组）...4（个） 2024个图形中，有404组“△口口★★”，余下4个图形中，有1个★； 404×2+1 =808+1 809(个) △口口★★△口口★★...从左起前2024个中，★一共有809个。 3.先找规律，再涂出最后一个图形的阴影部分。 【答案】规律：阴影沿着圆圈逆时针转动，每次移动1格。 第23页共28页 学科网 www.zxxk .com 让教与学更高效 【分析】观察图中阴影部分的位置 第1个图：阴影部分在左上 第2个图：阴影部分在左下 第3个图：阴影部分在右下 可以发现规律：阴影沿着圆圈逆时针转动，每次移动1格。 按照规律继续往上转一格，最后一个图形阴影涂在右上格。 即第4个图：阴影部分在右上。 【详解】略 4.小明用面积为1cm的正方形卡纸拼摆图形，像这样拼下去，第(5)个图形要用( 张小正方形卡纸。 (1) (2) (3) 【答案】16 【分析】看图，第(1)个图形需要8张小正方形，第(2)个图形需要10张小正方形，第(3) 个图形需要12张小正方形。每次需要的小正方形数量都在上一个图形的基础上加2张。所以， 第(4)个图形需要14张小正方形，第(5)个图形需要16张小正方形。 【详解】12+2+2=16（张） 5.按照一定的规律画正方形，如图。当画出2个正方形时，可以得到4个直角三角形，当画 出3个正方形时，可以得到8个直角三角形..当画出5个正方形时，可以得到( )个 直角三角形，当画出n个正方形时，可以得到( )个直角三角形。 【答案】 16 4n-4 【分析】观察图形，画2个正方形时有4个直角三角形，画3个正方形时有8个直角三角形， 画4个正方形时有12个直角三角形。以后每多画1个正方形，就多得到4个直角三角形，所 第24页共28页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 以直角三角形个数是正方形个数比1多的个数乘4。 【详解】5-1=4 4×4=16(个) 所以画出5个正方形时，可以得到16个直角三角形。 n一1表示比1多画的正方形个数：4×(n一1)=4n一4 所以画出n个正方形时，可以得到(4n一4)个直角三角形。 6.小军用围棋子摆图案（如下图），按照这样的规律第5幅图用( )枚棋子，第n幅 图用( )枚棋子。 ● ● ● ● 田1 图2 图3 【答案】 17 3n+2/5+3×(n-1) 【分析】从图中观察可知图1：5枚棋子； 图2：5+3枚棋子： 图3：5+3+3=5+3×2枚棋子： 。。 以此类推 图：5+3×（一1）枚棋子，化简式子后，将数字代入可求出第5幅图用几枚棋子。 【详解】5+3×(n-1) =5+3n-3 =3n+2 第5幅图用： 3×5+2 =15+2 =17(枚) 按照这样的规律第5幅图用17枚棋子；第n幅图用3n+2枚棋子。 。·····按这个规律，摆n个八边形，需要 )根小棒。用36根小棒可以摆出( )个八边形。 【答案】 1+7n 5 第25页共28页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】由图可知，摆1个八边形需要8根小棒，8=1+7×1： 摆2个八边形需要15根小棒，15=1+7×2： 摆3个八边形需要22根小棒，22=1+7×3： 由此得出规律，摆n个八边形需要(1+7m)根小棒。 令1+7n=36,根据等式的性质求出n的值即可。 【详解】分析可知，摆n个八边形，需要(1+7m)根小棒。 1+7m=36 解：1+7m-1=36-1 7n=35 7n÷7=35÷7 n=5 用36根小棒可以摆出5个八边形。 8.我国著名数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形 之间的对应关系，先想一想，再填一填。 /●/●/9 ●/●/●/● 汾 ●●● 1 1+2+1=41+2+3+2+1=91+2+3+4+3+2+1=16 (1)1+2+3+..+9+10+11+10+9+..+3+2+1=( ) (2)1+2+3+..+(n-1)+n+(n-1)+..+3+2+1=( 【答案】(1)121 (2)n2/×n 【分析】观察给出的等式：1=12；1+2+1=4=22：1+2+3+2+1=9=32：1+2+3+4+3 +2+1=16=42:可以发现规律：从1开始连续加到某一个数1，再倒着连续加到1，所得的 和等于n2,即1+2+3+..十n+..+3+2+1=n2。 【详解】(1)观察算式1+2+3+..+9+10+11+10+9+..+3+2+1，是从1开始连续加 到11，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于112,112=11×11=121，所以1 +2+3+.+9+10+11+10+9+..+3+2+1=121。 (2)观察算式1+2+3+..+(n-1)+n+(n一1)+..+3+2+1=，是从1开始连续加 第26页共28页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 到n,再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于n2,所以1+2+3+..++..+ 3+2+1=n2。 9.将奇数1,3,5，.…如图排列，各项分别用A,B,C,D,E表示，则2025所在的行、列 分别为第( )行、第( )列。 A B C D E 1 5 7 15 13 119 17 19 21 23 31 29 2725 0●●●00 【答案】 254 D 【分析】先看奇数的排列规律，用2025加1再除以2，求出它是第几个奇数。再用这个序号 除以4，根据商和余数确定它在第几行第几个。最后根据行数是奇数还是偶数，对照每行的排 列顺序，判断出它在第几列。 【详解】求2025是第几个奇数：(2025+1)÷2 =2026÷2 =1013(个) 求行数和余数：1013÷4=253..1 确定行数：253+1=254（行） 第254行为偶数行，从D列开始排，即在D列。 所以2025所在的行、列分别为第254行、第D列。 10.杨辉三角是我国宋代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个数字三角形阵（如 图)，观察图中数字的排列规律，第7行，从左数第3个数字是( ) 第1行 第2行 第3行 10 10 【答案】15 第27页共28页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】每行的首尾数字都是1；除首尾外，每个数等于它上方两个相邻数的和，根据规律逐 步推导。 【详解】第1行：1； 第2行：1,1： 第3行：1,2,1： 第4行：1,3,3,1： 第5行：1,4,6,4,1： 第6行：1,5,10,10,5,1： 第7行：1,6,15,20,15,6,1。 从上面写出的第7行数字中，我们可以看到从左数第3个数是15。 第28页共28页 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「通用版」 第01讲：归纳入门与数形规律【从奥数到思维】 专题名称 第01讲：归纳入门与数形规律 专题导引 本专题主要研究数列、图形、数表等不同形式的规律探索。 ①数列规律主要是探究整数列、小数列和分数列的变化规律； ②图形规律主要探究图形数量变化、位置变换、排列变化等规律； ③数表规律主要探究三角形数与正方形数在图形规律与数表规律中的应用。 思维解读 ①逻辑推理主要通过数之间的前后联系，推理出数列和数表中的规律，并解决问题。 ②数形结合主要根据图形与数之间的对应关系，“以数解形”或“以形助数”,归纳出数与数之间的关系，进而解决问题。 讲解建议 本讲作为归纳推理的基础入门，训练的是“看得见、找得到”的观察归纳能力，建议作为奥数入门内容进行讲解，要求全体学生掌握。 考点数量 八大考点 【考点一】数列规律探究 【典型例题1】整数列规律探究 按规律填数：1，3，5，7，( )，11，( )…。 【答案】 9 13 【分析】这组数的规律：3－1＝2，5－3＝2，7－5＝2，发现后一个数比前一个数大2，据此解答。 【详解】7＋2＝9 11＋2＝13 按规律填数：1，3，5，7，9，11，13。 【对应练习1】 向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1，2，3，5，8，13，21，34，55，( )，…。 【答案】89 【分析】观察这些数的排列规律：从第3个数起，每个数等于它前面两个数的和，据此解答。 【详解】1＋2＝3 2＋3＝5 3＋5＝8 5＋8＝13 8＋13＝21 13＋21＝34 21＋34＝55 34＋55＝89 因此向日葵中心，种子的排列符合斐波那契数列，也就是1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…。 【对应练习2】 找规律：1，3，2，6，4，9，8，( )，( )，15，32，18，…。 【答案】 12 16 【分析】通过观察可得：这列数可拆分为两组，第一组是奇数项的数：1，2，4，8，…，规律是后一个奇数项上的数都是前一个奇数项上的数的2倍；第二组是偶数项上的数：3，6，9，…，规律是后一个偶数项上的数都比前一个偶数项上的数增加3。据此解答。 【详解】根据分析可得： 1，3，2，6，4，9，8，12，16，15，32，18，…。 【对应练习3】 将从1开始的自然数分组如下：（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），（10，11，12，13，14，15，16），按此规律第45组第72个数是( )。 【答案】2008 【分析】观察可知，第一组只有1个数，1＝12，第二组的最后一个数是4，4＝22，第三组的最后一个数是9，9＝32，由此可知，第几组的最后一个数就是几的平方，据此确定第44组的最后一个数，用第44组的最后一个数加上72，就是第45组第72个数，据此分析。 【详解】442＝44×44＝1936 1936＋72＝2008 按此规律第45组第72个数是2008。 【点睛】本题关键是找出规律，先求出第44组的最后一个数，再求第45组第72个数比较简单，而不是求出第45组的最后一个数，再求第45组第72个数。 【典型例题2】小数列规律探究 找规律，填数：0.012，0.06，0.3，1.5，( )，( )。 【答案】 7.5 37.5 【分析】观察已知的前4个数，发现规律：前一个数乘5等于后一个数，据此规律解答。 【详解】0.012×5＝0.06 0.06×5＝0.3 0.3×5＝1.5 1.5×5＝7.5 7.5×5＝37.5 填数：0.012，0.06，0.3，1.5，（7.5），（37.5）。 【对应练习1】 按规律填数。 (1)1.5，3.5，5.5，( )，9.5，( )。 (2)0.4，0.8，1.6，( )，6.4，( )。 【答案】(1) 7.5 11.5 (2) 3.2 12.8 【分析】（1）观察小数的排列规律，前一个小数＋2＝后一个小数，据此分析； （2）前一个小数×2＝后一个小数，据此分析。 【详解】（1）5.5＋2＝7.5、9.5＋2＝11.5 1.5，3.5，5.5，7.5，9.5，11.5。 （2）1.6×2＝3.2、6.4×2＝12.8 0.4，0.8，1.6，3.2，6.4，12.8。 【对应练习2】 找规律填数： （1）6.25，2.5，1，( )， ( )，0.064； （2）7，3.5，1.75，( )，( )，0.21875。 【答案】 0.4 0.16 0.875 0.4375 【分析】（1）6.25÷2.5＝2.5，2.5÷1＝2.5，所以用前一个数除以2.5可以得到后一个数； （2）7÷3.5＝2，3.5÷1.75＝2，所以用前一个数除以2可以得到后一个数；据此解答。 【详解】根据分析： （1）1÷2.5＝0.4，0.4÷2.5＝0.16，0.16÷2.5＝0.064，所以6.25，2.5，1，0.4， 0.16，0.064； （2）1.75÷2＝0.875，0.875÷2＝0.4375，0.4375÷2＝0.21875，所以7，3.5，1.75，0.875，0.4375，0.21875。 【对应练习3】 找出规律，直接填写。 (1)1.5，3.5，5.5，( )，9.5，( )。 (2)0.4，0.8，1.6，( )，6.4，( )。 (3)100，25，6.25，( )，( )。 【答案】(1) 7.5 11.5 (2) 3.2 12.8 (3) 1.5625 0.390625 【分析】（1）3.5－1.5＝2，5.5－3.5＝2，即前一个数加上2，等于后一个数； （2）0.8÷0.4＝2，1.6÷0.8＝2，即前一个数乘2，等于后一个数； （3）100÷25＝4，25÷6.25＝4，即前一个数除以4，等于后一个数；据此解答。 【详解】（1）5.5＋2＝7.5 9.5＋2＝11.5 即1.5，3.5，5.5，7.5，9.5，11.5。 （2）1.6×2＝3.2 6.4×2＝12.8 即0.4，0.8，1.6，3.2，6.4，12.8。 （3）6.25÷4＝1.5625 1.5625÷4＝0.390625 即100，25，6.25，1.5625，0.390625。 【典型例题3】分数列规律探究 先找规律，再填数。 ，1，( )，，( )，…这组数据越来越接近( )。 【答案】 0 【分析】由题意可知，×＝1，1×＝，×＝…，由此可知，前面的数乘就等于它后面的数，据此规律写出这组数，再根据规律判断这组数据越来越接近多少；据此解答。 【详解】根据分析： 1×＝，×＝ 所以这组数是，1，，，…，观察发现数字由假分数变为1，再变为真分数，所以这组数据越来越接近0。 【对应练习1】 按规律填空：，，，( )，。 【答案】 【分析】根据题意，后面的分数的分子依次比前面分数的分子少2，后面的分数的分母依次比前面分数的分母多2，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 按规律填空：，，，，。 【对应练习2】 根据规律填数。 1，，，，，( )… 【答案】 【分析】把1看成，可以发现，相邻的三个分数的前两个分数的分母的和等于第三个分数的分母，这列分数的分子都是1，据此解答。 【详解】5＋8＝13 所以这列数是1，，，，，… 【对应练习3】 根据这列数的规律填空：，，，，( )，…。 【答案】 【分析】观察已知的四个分数，第1个数、第3个数是，；第2个数、第4个数是、；发现：奇数项的分子都是1，分母从2开始依次乘2；偶数项的分子从3开始依次加2，分母从8开始依次乘4；据此规律解答。 【详解】根据规律可得：第5个数是奇数项，分子是1，分母是4×2＝8，即； 填空如下： ，，，，，…。 【考点二】图形规律探究其一：一般规律 【典型例题】 按下图的规律摆下去。 第7幅图需要( )个点，第n幅图需要( )个点。 【答案】 24 3＋3n 【分析】第一幅图点的数量：（个），第二幅图点的数量：（个），第三幅图点的数量：（个），……，第n幅图点的数量：个，据此解答即可。 【详解】第7幅图需要：（个） 第n幅图需要：（个） 所以第7幅图需要24个点，第n幅图需要（3＋3n）个点。 【对应练习1】 根据下面的方式摆棋子，摆第5个图案需要( )枚棋子，摆第n个图案需要( )枚棋子。 【答案】 17 3n＋2 【分析】观察发现： 第一个有5枚棋子。 第二个图案在原来的图案上增加了3个棋子，即5＋3＝8（枚） 第三个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5＋3×2＝11（枚） 第四个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5＋3×3＝14（枚） 第五个图案在原来的图案上又增加了3个棋子，即5＋3×4＝17（枚） …… 第n个图案在原来的图案上的棋子数就是在5个的棋子的基础上增加（n－1）组3个的棋子。最后将带有字母的式子化简得出最后的式子。 【详解】5＋3×4 ＝5＋12 ＝17（枚） 5＋3（n－1） ＝5＋3n－3 ＝3n＋2 摆第5个图案需要17枚棋子，摆第n个图案需要（3n＋2）枚棋子。 【对应练习2】 同学们用围棋子按照下面的规律摆图形，第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( )枚棋子。 【答案】 31 【分析】观察发现，每增加一个图形，黑色的点就在外面多一圈，也是多6个。 第一幅图：7个 第二幅图：7＋6＝13（个） 第三幅图：7＋6×2＝19（个） …… 第n幅图：7＋6（n－1） 据此规律解答。 【详解】7＋6×（5－1） ＝7＋6×4 ＝7＋24 ＝31（枚） 7＋6（n－1） ＝7＋6n－6 ＝6n＋1 第5幅图用31枚棋子，第n幅图用（6n＋1）枚。 【对应练习3】 摆一摆，找规律。 如果照这样排列下去，第9个图形是( )形，第18个图形是( )形，摆第11个图形需要用( )根小棒。由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加( )根小棒，则搭n个这样的三角形要( )根小棒。 【答案】 梯 平行四边 23 2 2n＋1 【分析】图形按三角形、平行四边形、梯形、平行四边形、梯形……的顺序排列，发现规律：从第2个图形开始，偶数个图形是平行四边形，奇数个图形是梯形。 第1个图形用3根小棒，第2个图形用5根小棒，第3个图形用7根小棒，第4个图形用9根小棒……；发现规律：3＝1×2＋1，5＝2×2＋1，7＝3×2＋1，9＝4×2＋1……；发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找到规律并解答。 【详解】9是奇数，所以第9个图形是梯形；18是偶数，所以第18个图形是平行四边形； 第1个图形用3根小棒，3＝1×2＋1； 第2个图形用5根小棒，5＝2×2＋1； 第3个图形用7根小棒，7＝3×2＋1； 第4个图形用9根小棒，9＝4×2＋1； …… 摆第11个图形需要用小棒： 11×2＋1 ＝22＋1 ＝23（根） 由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加2根小棒； 规律：摆第n个图形需要用（2n＋1）根小棒。 填空如下： 如果照这样排列下去，第9个图形是（梯）形，第18个图形是（平行四边）形，摆第11个图形需要用（23）根小棒。由上图可看出，每多摆1个三角形就要增加（2）根小棒，则搭n个这样的三角形要（2n＋1）小棒。 【考点三】图形规律探究其二：图形与算式的结合 【典型例题】 先观察，再按规律填一填。 1＝12               1＋3＝22             1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝( )2 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝( )2 【答案】 4 7 【分析】结合图与算式，先找出算式与计算结果的规律，算式中加数的大小规律是：第一个加数是1，第二个加数是3，后面每个加数增加2，计算结果的规律是加数个数的平方。 【详解】通过观察图形及图形对应的算式可以发现：算式左边是从1开始连续奇数的和，算式右边数是左边有几个奇数，它们的和就是几的平方。 1＋3＋5＋7相加，有4个奇数，所以为4的平方，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13相加，有7个奇数，所以为7的平方。 综上所述：1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72 【点睛】本题是探索算数规律的题目，关键是利用数形结合的思想寻找算式中的规律。 【对应练习1】 照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？ 32－1＝8          42－22＝12       52－32＝16 【答案】24个；36个 【分析】如下图，第1个图中○和●一共有32个，●的个数有12个，○的个数有32－12＝8（个）；第2个图中○和●一共有42个，●的个数有22个，○的个数有42－22＝12（个）；第3个图中○和●一共有52个，●的个数有32个，○的个数有52－32＝16（个）；……由此发现规律：第n个图中○和●一共有（n＋2）2个，●的个数有n2个，○的个数有[（n＋2）2－n2]个。 【详解】（5＋2）2－52 ＝72－52 ＝49－25 ＝24（个） （8＋2）2－82 ＝102－82 ＝100－64 ＝36（个） 答：第5个图形中有24个○，第8个图形36个○。 【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。 【对应练习2】 按要求做一做。 1＝12       l＋2＋1＝22   1＋2＋3＋2＋1＝32 (1)利用上面的规律直接写一写。 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝( )2 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝( )2 ＝72 (2)利用上面的规律算一算。 1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝( ) 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝( ) 【答案】(1) 4 5 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 (2) 36 81 【分析】第一个图中小正方形个数是1；第二个图中从对角线的方向观察，小正方形个数是左下角1个、涂色的2个、右上角1个的和即1＋2＋1，其结果等于2的平方；同理第三个图中小正方形个数等于1＋2＋3＋2＋1的结果即3的平方，据此规律解答。 【详解】（1）根据分析： 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝（4）2 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝（5）2 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝72 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝62＝6×6＝（36） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝92＝9×9＝（81） 【点睛】考查应用数形结合方法探求规律，本题规律是：算式左边的加数加起来，和就是正方形图中包含的小正方形个数。 【对应练习3】 探索规律。 （1）观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是22－12＝2＋1 图②空白部分小正方形的个数是＝4＋3 图③空白部分小正方形的个数是52－42＝( )＋( ) （2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：( )。 （3）运用规律计算。202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12。 【答案】（1）5；4 （2）72－62＝7＋6 （3）210 【分析】观察算式规律可得：相邻两个数的平方差等于这两个数的和，由此按规律解答即可。 【详解】（1）52－42＝5＋4 （2）72－62＝7＋6（答案不唯一） （3）202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12 ＝20＋19＋18＋17＋…＋3＋2＋1 ＝（20＋1）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝420÷2 ＝210 【点睛】此题考查数与形结合的规律，进一步培养学生的观察能力和总结能力。 【考点四】图形规律探究其三：图形与数字含义 【典型例题】 如图的每个图形都是由△、□、〇中的两个组成的，观察各个图形，根据规律，画出表示“57”的图形是( )，表示“76”的图形的是( )。 解析： △代表5，○代表7，□代表6，表示57的图形是△○，表示76的图形是○□。 【对应练习】 根据下面给出的信息，231可以用( )表示。 A． B． C． D． 解析： 观察可知，○表示100，△表示10，☆表示1，231由2个百、3个十、1个一组成，据此用对应图形表示出各数位上的数即可。 2个百用○○表示，3个十用△△△表示，1个一用☆表示，231可以用○○△△△☆表示。 【考点五】图形规律探究其四：运动与变化规律 【典型例题】 观察下图中的规律，第四个图案右下角的图形应该是( )。 A．○ B．□ C．△ 【答案】A 【分析】根据题意可知，三角形是按照左上→右上→右下→左下的规律，第四个图形三角形在左下；正方形是按照右上→右下→左下→左上的规律，第四个图形是在左上；长方形是按照右下→左下→左上→右上的规律，第四个图形在右上；圆是按照左下→左上→右上→右下的规律，第四个图形在右下，据此解答。 【详解】根据分析可知，观察下图中的规律，第四个图案右下角的图形应该是○。 故答案为：A 【点睛】找出每个图形运动的规律是解答本题的关键。 【对应练习1】 ……按照这样的规律，第4个图形是：( )。 A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】观察题意可知，每个圆被平均分成8格，黑色的小圆每次按顺时针跳2格，据此解答。 【详解】……按照这样的规律，第4个图形是：。 故答案为：A 【点睛】观察图形中的位置规律是解答本题的关键。 【对应练习2】 观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为( )。 A． B． C． 【答案】A 【分析】根据图示可知，每一行每一列都有一个长方形、一个三角形和一个圆形，依此可知，空格里少的是长方形。 【详解】由分析得：在空格内画上合适的图形应为。 故答案为：A 【点睛】本题考查图形的排列规律。 【对应练习3】 观察下图，请选择最适合的一个填入问号处，能使之呈现出一定的规律性的是( )。 A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】观察可知，方框中的圆点数量如，中间4圆点可以呈现出一定的规律性，再根据圆点的呈现方式进行选择。 【详解】如图，具有一定的规律性。 故答案为：C 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 【考点六】图形规律探究其五：排列规律与周期规律 【典型例题】 ☆△△○○○☆△△○○○……照这样顺序依次摆下去，第100个图形是( )。 【答案】○ 【分析】由题意可知，按照☆△△○○○为一个循环，用100除以循环周期6，计算出商和余数，余数是几就从左边第一个图形数几即可。 【详解】100÷6＝16（个）⋯⋯4（个） 则照这样顺序依次摆下去，第100个图形是○。 【点睛】本题考查了简单的周期现象，找出循环周期是几是解题的关键。 【对应练习1】 △△□☆★△△□☆★△△□☆★……左起第30个是( )；△是12个时，其它三种图形（□☆★）一共是( )个。 【答案】 ★ 15（答案不唯一） 【分析】把△△□☆★看作一个周期，每个周期中有5个图形，前30个图形刚好是6个周期，所以第30个图形就是周期中的最后一个图形；△为12个时，可以是5个周期多2个△，每个周期中□☆★有3个图形，最后乘5求出图形的总个数，据此解答。 【详解】分析可知，△△□☆★一共有5个图形。 30÷5＝6 所以，30个图形是6个周期，左起第30个是★。 每个周期中有2个△。 2×5＋2 ＝10＋2 ＝12（个） 每个周期中□☆★一共有3个图形。 3×5＝15（个） 所以，△是12个时，其它三种图形（□☆★）一共是15个。（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查周期问题，找出这组图形排列的周期是解答题目的关键。 【对应练习2】 ▲▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲△△▲……第25个三角形是( )，摆80个三角形，有( )个是白色的。 【答案】 黑色的 39 【分析】从图中可以看到▲▲△△▲△这六个三角形为一个周期，因为25÷6＝4……1，所以第25个三角形是周期的第一个三角形，是黑色的；摆80个三角形，用80÷6＝13……2，得到循环了13个周期，还余下2个三角形，因为一个周期有3个白色的三角形，所以13个周期有（13×3）个三角形，又因为余下2个三角形就是周期的第一、二个三角形，都是黑色的，所80个三角形，有（13×3）个是白色的。 【详解】25÷6＝4（个）……1（个） 所以第25个三角形是黑色的。 80÷6＝13（个）……2（个） 13×3＝39（个） 所以摆80个三角形，有39个是白色的。 【点睛】此题考查到了找规律的问题，重点是要找到图形的循环周期。 【对应练习3】 △△□☆○△△□☆○△△□☆○……左起第30个是( )，当△至少有( )个时，其他三种图形一共是18个。 【答案】 ○ 12 【分析】根据题干可得这组图形的排列规律是：5个图形一个循环周期，分别按照：△△□☆○的顺序依次排列，由此只要计算得出第30个图形是第几个周期的第几个图形即可解决问题； 一个周期中有2个△，和另外三个图形，此题可以逆推：已知其他三种图形一共是18个，所以是经过了18÷3＝6个周期，由此即可求得△的个数。 【详解】30÷5＝6，所以第30个图形是第6周期的最后一个图形，与第一个周期的最后一个图形相同是○； 18÷3＝6，6×2＝12（个），则△是12个时，其他三种图形一共是18个。 【点睛】本题考查周期问题。根据题干得出这组图形的排列周期规律，是解决此类问题的关键。 【考点七】数表规律探究其一：三角形数表 【典型例题】 如图，将从1开始的连续自然数按下面的方式排列起来，222是第几行左起第几个数? 解析： 前20行数的总个数：1+2+3+…+20=210(个) 前21行数的总个数：1+2+3+…+21=231(个) 210<222<231，所以222在第21行。 222—210=12(个)，即222为第21行右起第12个数，相当于左起第21—(12—1)=10(个)数。 答：222是第21行左起第10个数。 【对应练习1】 将从1开始的连续自然数按下图规律排列，那么第17行左起第8个数是多少? 解析： 前16行数的个数：1+2+3+…+16=136(个) 136+8=144 答：第17行左起第8个数是144。 【对应练习2】 将非零自然数按一定的规律排成了下面的三角形数表，根据这个排列规律，数表中第20行左起第3个数是多少? 解析： 前19行数的个数：1+2+3+…+19=190(个) 190+3=193(个) 数表中第20行左起第3个数是第193个数。观察可知，第n个数是2n－1。 第193个数是2×193—1=385。 答：数表中第20行左起第3个数是385。 【对应练习3】 一个从1开始的自然数表如下，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最后一个数是( )。 第一行 1 第二行 2 3 第三行 4 5 6 7 …… …… 解析： 通过观察分析可知，表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍，所以第n行的数字的个数为个，又每一行中最后一个数为前边从第一行到这一行中所有字的个数，如第三行中最后一个数为7，则一至三行中共有7个数字，由此可知，到第n行中最后一个数字为1＋2＋4＋…＋。 ＝＝＝2×2×2×2×2＝32 1＋2＋4＋8＋16＋32＝63 【考点八】数表规律探究其二：正方形数表 【典型例题】 如图，把从1开始的连续自然数按下面的规律排列起来，以横为行，以纵为列，那么第7行第13列的数是多少? 解析： 13>7 第1行第13列的数：12²+1=145 145+(7-1)=151 答：第7行第13列的数是151。 【对应练习1】 找规律，写得数。 假设所有自然数如下图排列起来，35、48、78、2022应分别排在哪个字母下面？ A    B     C    D                   1    2     3    4                   8    7     6    5     9   10    11   12                 … 35在( )下面；48在( )下面；78在( )下面；2022在( )下面。 解析： 35÷8＝4……3 由此可知35应排在字母C的下面。 48÷8＝6 由此可知48应排在字母A的下面。 78÷8＝9……6 由此可知78应排在字母C的下面。 2022÷8＝252……6 由此可知2022应排在字母C的下面。 【对应练习2】 将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第( )行第( )列。 解析： 观察不难发现，奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，根据此规律求出与2011最接近的平方数，然后找出所在的列数与行数即可。 观察发现，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为452＝2025，2025－2011＋1＝15所以自然数2011在左起第45列，上起第15行。 一、填空题。 1．给出一列按规律排列的数：，，，，……，则这列数的第8个数是( )。 【答案】 【分析】根据题意可知，分母分别是2，4，6，8……，可以写成2×1，2×2，2×3，2×4，……，第n个数的分母是2n；分子分别是1，3，5，7……，可以写成：2×1－1，2×2－1，2×3－1，2×4－1……，第n个数的分子是2n－1，即第n个数就是，据此求出第8个数。 【详解】根据分析可知，第n个数是。 当n＝8时： ＝ 2．△□□★★△□□★★……从左起前2024个中，★一共有( )个。 【答案】809 【分析】观察图形可知，这图形是“△□□★★”5个一组的排列，用2024除以5，得到的商是这样排列的组数，这样一组中有2个★，用组数乘2，再加上余数中★的个数，即可算出前2024个图形中有几个★，据此解答。 【详解】2024÷5＝404（组）……4（个） 2024个图形中，有404组“△□□★★”，余下4个图形中，有1个★； 404×2＋1 ＝808＋1 ＝809（个） △□□★★△□□★★……从左起前2024个中，★一共有809个。 3．先找规律，再涂出最后一个图形的阴影部分。 【答案】规律：阴影沿着圆圈逆时针转动，每次移动1格。 【分析】观察图中阴影部分的位置 第1个图：阴影部分在左上 第2个图：阴影部分在左下 第3个图：阴影部分在右下 可以发现规律：阴影沿着圆圈逆时针转动，每次移动1格。 按照规律继续往上转一格，最后一个图形阴影涂在右上格。 即第4个图：阴影部分在右上。 【详解】略 4．小明用面积为1的正方形卡纸拼摆图形，像这样拼下去，第（5）个图形要用( )张小正方形卡纸。 【答案】16 【分析】看图，第（1）个图形需要8张小正方形，第（2）个图形需要10张小正方形，第（3）个图形需要12张小正方形。每次需要的小正方形数量都在上一个图形的基础上加2张。所以，第（4）个图形需要14张小正方形，第（5）个图形需要16张小正方形。 【详解】12＋2＋2＝16（张） 5．按照一定的规律画正方形，如图。当画出2个正方形时，可以得到4个直角三角形，当画出3个正方形时，可以得到8个直角三角形……当画出5个正方形时，可以得到( )个直角三角形，当画出n个正方形时，可以得到( )个直角三角形。 【答案】 16 4n－4 【分析】观察图形，画2个正方形时有4个直角三角形，画3个正方形时有8个直角三角形，画4个正方形时有12个直角三角形。以后每多画1个正方形，就多得到4个直角三角形，所以直角三角形个数是正方形个数比1多的个数乘4。 【详解】5－1＝4 4×4＝16（个） 所以画出5个正方形时，可以得到16个直角三角形。 n－1表示比1多画的正方形个数：4×（n－1）＝4n－4 所以画出n个正方形时，可以得到（4n－4）个直角三角形。 6．小军用围棋子摆图案（如下图），按照这样的规律第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( )枚棋子。 【答案】 17 3n＋2/5＋3×（n－1） 【分析】从图中观察可知图1：5枚棋子； 图2：5＋3枚棋子； 图3：5＋3＋3＝5＋3×2枚棋子； …… 以此类推 图n：5＋3×（n－1）枚棋子，化简式子后，将数字代入可求出第5幅图用几枚棋子。 【详解】5＋3×（n－1） ＝5＋3n－3 ＝3n＋2 第5幅图用： 3×5＋2 ＝15＋2 ＝17（枚） 按照这样的规律第5幅图用17枚棋子；第n幅图用3n＋2枚棋子。 7．按这个规律，摆n个八边形，需要( )根小棒。用36根小棒可以摆出( )个八边形。 【答案】 1＋7n 5 【分析】由图可知，摆1个八边形需要8根小棒，8＝1＋7×1； 摆2个八边形需要15根小棒，15＝1＋7×2； 摆3个八边形需要22根小棒，22＝1＋7×3； 由此得出规律，摆n个八边形需要（1＋7n）根小棒。 令1＋7n＝36，根据等式的性质求出n的值即可。 【详解】分析可知，摆n个八边形，需要（1＋7n）根小棒。 1＋7n＝36 解：1＋7n－1＝36－1 7n＝35 7n÷7＝35÷7 n＝5 用36根小棒可以摆出5个八边形。 8．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。 (1)1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1＝( )。 (2)1＋2＋3＋…＋（n－1）＋n＋（n－1）＋…＋3＋2＋1＝( )。 【答案】(1)121 (2)/n×n 【分析】观察给出的等式：1＝；1＋2＋1＝4＝；1＋2＋3＋2＋1＝9＝；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝；可以发现规律：从1开始连续加到某一个数n，再倒着连续加到1，所得的和等于，即1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝。 【详解】（1）观察算式1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到11，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于，＝11×11＝121，所以1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1＝121。 （2）观察算式1＋2＋3＋…＋（n－1）＋n＋（n－1）＋…＋3＋2＋1＝，是从1开始连续加到n，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于，所以1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝。 9．将奇数1，3，5，…如图排列，各项分别用A，B，C，D，E表示，则2025所在的行、列分别为第( )行、第( )列。 【答案】 254 D 【分析】先看奇数的排列规律，用2025加1再除以2，求出它是第几个奇数。再用这个序号除以4，根据商和余数确定它在第几行第几个。最后根据行数是奇数还是偶数，对照每行的排列顺序，判断出它在第几列。 【详解】求2025是第几个奇数：（2025＋1）÷2 ＝2026÷2 ＝1013（个） 求行数和余数：1013÷4＝253……1 确定行数：253＋1＝254（行） 第254行为偶数行，从D列开始排，即在D列。 所以2025所在的行、列分别为第254行、第D列。 10．杨辉三角是我国宋代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个数字三角形阵（如图），观察图中数字的排列规律，第7行，从左数第3个数字是( )。 【答案】15 【分析】每行的首尾数字都是1；除首尾外，每个数等于它上方两个相邻数的和，根据规律逐步推导。 【详解】第1行：1； 第2行：1，1； 第3行：1，2，1； 第4行：1，3，3，1； 第5行：1，4，6，4，1； 第6行：1，5，10，10，5，1； 第7行：1，6，15，20，15，6，1。 从上面写出的第7行数字中，我们可以看到从左数第3个数是15。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $