第10讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（4大知识点+11大题型）讲义-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版）

第10讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线与圆的位置关系 3 知识点二：圆的切线方程的求法 3 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 4 知识点四：圆与圆的位置关系 4 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：无参直线与圆位置判定 6 题型 2：含参直线与圆位置判定 6 题型 3：由位置关系求参与交点 7 题型 4：切线与切线长计算 7 题型 5：圆的弦长计算 8 题型 6：圆与圆位置关系判定 9 题型 7：由圆位置关系求参 9 题型 8：公共弦与切点弦求解 10 题型 9：公切线问题求解 10 题型 10：圆中范围与最值 11 题型 11：圆系方程应用 12 04 过关测试 13 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点四：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 题型 1：无参直线与圆位置判定 例1．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 例2．（2026·高二·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 例3．（2026·高二·湖南衡阳·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 变式1．（2026·高二·浙江宁波·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 变式2．（2026·高二·海南儋州·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心 题型 2：含参直线与圆位置判定 例4．（2026·高二·内蒙古锡林郭勒·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 例5．（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 例6．（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 变式3．（2026·高二·浙江杭州·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 变式4．（2026·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 题型 3：由位置关系求参与交点 例7．（2026·高二·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或2 B．6或 C． D．2 例8．（2026·高二·安徽·期末）已知圆：，且圆上到直线的距离为1的点恰有3个，则的值为（    ） A． B．或9 C．1或9 D．9 例9．（2026·高二·福建厦门·期末）若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式5．（2026·高三·四川南充·阶段检测）若直线与圆有两个交点，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高二·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7．（2026·高二·四川成都·阶段检测）已知圆，直线，若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 4：切线与切线长计算 例10．（2026·江苏南通·三模）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例11．（2026·高二·广东深圳·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 例12．（2026·高二·云南·期中）过点作的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 变式8．（2026·高三·安徽·开学考试）已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（    ） A． B． C． D． 变式9．（2026·高二·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 变式10．（2026·高二·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 题型 5：圆的弦长计算 例13．（2026·高二·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 例14．（2026·北京石景山·一模）直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 例15．（2026·高二·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 变式11．（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知直线被圆所截得的弦长为4，则（   ） A． B． C． D． 变式12．（2026·四川成都·模拟预测）设直线与圆：相交于，两点，若，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 变式13．（2026·高二·山东菏泽·期中）以点为圆心的圆截直线所得弦长为，则该圆的半径为（   ） A．2 B． C．4 D． 变式14．（2026·高二·广西南宁·期中）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 题型 6：圆与圆位置关系判定 例16．（2026·高二·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 例17．（2026·高二·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 例18．（2026·高二·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 变式15．（2026·高二·湖南岳阳·期末）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．内含 C．相交 D．外离 变式16．（2026·高二·贵州遵义·期末）圆与圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 题型 7：由圆位置关系求参 例19．（2026·高二·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例20．（2026·高二·陕西渭南·期末）已知与圆外切，则的取值为（   ） A． B． C． D．3 例21．（2026·高二·广东东莞·期末）已知圆与圆，若圆完全覆盖圆，，则圆的半径的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 变式17．（2026·高二·江苏扬州·期末）若圆与圆相交，则正整数的值为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 变式18．（2026·高二·江苏徐州·期末）若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式19．（2026·高二·陕西渭南·期末）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C． D． 题型 8：公共弦与切点弦求解 例22．（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 例23．（2026·天津滨海新区·三模）圆与圆的公共弦长为__________． 例24．（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 变式20．（2026·高二·江苏南京·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程是______. 题型 9：公切线问题求解 例25．（2026·高三·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 例26．（2026·高二·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 例27．（2026·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程______． 变式21．（2026·高二·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程________. 题型 10：圆中范围与最值 例28．（多选题）（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 例29．（多选题）（2026·高二·云南·期中）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 例30．（多选题）（2026·高二·山东济南·阶段检测）已知圆，点为直线上任意一点，过点的直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值为2 B．没有最大值 C．有最小值为 D．有最大值 变式22．（多选题）（2026·高二·广东梅州·期末）已知点是圆上一点，其中，则（    ） A．圆C与轴相交 B． b的最大值是5 C．的最小值是 D．的最小值是 变式23．（多选题）（2026·高二·湖北·阶段检测）已知圆，点是圆上的任意一点，则以下说法错误的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 题型 11：圆系方程应用 例31．若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ． 例32．已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 例33．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 1．（2026·高一·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．（2026·辽宁·三模）已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知是的等差中项，若圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．2或-2 D．或 6．（2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知直线过点且与圆交于A，B两点，若是钝角三角形，则直线的斜率可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（多选题）（2026·高二·广东江门·期末）已知圆，直线，则（   ） A．直线过定点 B．圆心到直线的距离的最大值为2 C．直线被圆截得的弦长的取值范围是. D．当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程是 9．（多选题）（2026·高二·湖北·期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．当直线平分圆的周长时， C．圆心到直线距离的最大值是 D．若点在圆上，则的取值范围为 10．（2026·高二·北京·阶段检测）不全为0的实数对满足关系式，则这样的实数对共有_________组. 11．（2026·高二·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 12．（2026·高二·云南昆明·阶段检测）过点A作圆C：的两条切线，两切点为D，E，则=__________． 13．（2026·天津西青·三模）已知直线与圆交于A，B两点，且．过点A，B分别作直线的垂线与轴交于C，D两点，则______． 14．（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 15．（2026·高二·上海·期中）已知直线，与圆． (1)证明：圆与直线一定会相交； (2)求直线被圆截得的线段长度的最小值． 16．（2026·高二·上海·期中）已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 17．（2026·高二·江西萍乡·期中）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 18．（2026·高二·上海·阶段检测）已知直线与直线 (1)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (2)若点，点为直线过的定点，点为直线过的定点，圆是以为直径的圆.求过点的直线与圆相交的斜率范围. 19．（2026·高二·上海·阶段检测）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线与圆的位置关系 3 知识点二：圆的切线方程的求法 3 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 4 知识点四：圆与圆的位置关系 4 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：无参直线与圆位置判定 6 题型 2：含参直线与圆位置判定 7 题型 3：由位置关系求参与交点 8 题型 4：切线与切线长计算 11 题型 5：圆的弦长计算 13 题型 6：圆与圆位置关系判定 15 题型 7：由圆位置关系求参 17 题型 8：公共弦与切点弦求解 19 题型 9：公切线问题求解 20 题型 10：圆中范围与最值 23 题型 11：圆系方程应用 27 04 过关测试 29 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点四：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 题型 1：无参直线与圆位置判定 例1．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【解析】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 例2．（2026·高二·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【解析】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 例3．（2026·高二·湖南衡阳·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【解析】由圆可知：圆心为，半径， 圆心到直线的距离为，由，则直线与圆相交. 故选：A. 变式1．（2026·高二·浙江宁波·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【解析】圆，则圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系是相交. 故选：B 变式2．（2026·高二·海南儋州·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心 【答案】D 【解析】圆的圆心坐标为，圆心在直线上， 所以直线与圆的位置关系是相交且过圆心. 故选：D. 题型 2：含参直线与圆位置判定 例4．（2026·高二·内蒙古锡林郭勒·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】因为直线：， 所以直线经过定点. 因为，所以点在圆：内， 所以直线与圆：相交. 故选：A 例5．（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为2． 因为圆心到的距离为，所以与圆相离． 例6．（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【解析】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 变式3．（2026·高二·浙江杭州·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 【答案】C 【解析】由直线，可化为，可得直线恒过定点， 又由圆，可得圆心为， 所以直线过圆心，此时直线与圆一定相交. 故选：C. 变式4．（2026·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【解析】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 题型 3：由位置关系求参与交点 例7．（2026·高二·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或2 B．6或 C． D．2 【答案】C 【解析】将圆的方程化成标准方程为， 因为圆与直线相切， 则有，解得． 例8．（2026·高二·安徽·期末）已知圆：，且圆上到直线的距离为1的点恰有3个，则的值为（    ） A． B．或9 C．1或9 D．9 【答案】B 【解析】由题意可知，圆的圆心，圆的半径， ∵圆上到直线的距离为1的点恰有3个，如图所示， ∴圆心到直线的距离为1，即解得或. 故选：B. 例9．（2026·高二·福建厦门·期末）若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于圆的半径，即，即，解得. 故选：C 变式5．（2026·高三·四川南充·阶段检测）若直线与圆有两个交点，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆即的圆心为，半径为， 若直线与圆有两个交点， 则，即，解得， 所以m的取值范围为. 故选：A 变式6．（2026·高二·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，表示圆的上半部分，且含端点， 由直线恒过定点，一般方程为， 作出图象： 由图知，当与半圆左上部相切时， 可得且，解得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D. 变式7．（2026·高二·四川成都·阶段检测）已知圆，直线，若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆的方程为 ，因此圆心为 ，半径 ， 因为直线 可化为 ， 所以圆心 到直线的距离为， 又因为圆上恰有两个点到直线的距离为1， 所以，代入 ， 得， 即，整理得， 解得. 故选：D. 题型 4：切线与切线长计算 例10．（2026·江苏南通·三模）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 例11．（2026·高二·广东深圳·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点满足圆的方程，所以点在圆上， 又由圆，即，可得圆心， 设过点的切线为，则， 因为，所以 ，所以直线的方程为， 即，所以切线方程为. 故选：A. 例12．（2026·高二·云南·期中）过点作的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 因为平分，且，， 所以， 故选：D. 变式8．（2026·高三·安徽·开学考试）已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】变形为， 故圆心为，半径为2，所以点到圆心的距离为， 则切线长为，所以，则. 故选：D． 变式9．（2026·高二·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 变式10．（2026·高二·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，半径， 则. 故选：A 题型 5：圆的弦长计算 例13．（2026·高二·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【解析】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 例14．（2026·北京石景山·一模）直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由，可得标准方程：， 则圆心坐标为，圆的半径. 由直线的方程为，得圆心到直线的距离：， 所以. 例15．（2026·高二·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】将圆方程化为标准方程，，所以圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离为，所以弦长为， 所以，解得，所以圆的半径为. 变式11．（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知直线被圆所截得的弦长为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆可化为， 圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为. 由弦心距公式可知，，即，解得. 变式12．（2026·四川成都·模拟预测）设直线与圆：相交于，两点，若，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：的圆心为，半径为， 到直线的距离为， ，，，， 圆的面积为. 故选：A. 变式13．（2026·高二·山东菏泽·期中）以点为圆心的圆截直线所得弦长为，则该圆的半径为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意可知：圆心到直线的距离， 所以圆的半径为. 故选：B 变式14．（2026·高二·广西南宁·期中）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由圆，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得. 故选：A. 题型 6：圆与圆位置关系判定 例16．（2026·高二·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解析】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 故选：B. 例17．（2026·高二·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，因， 即两圆相交， 故选：D. 例18．（2026·高二·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【解析】圆的半径为. 圆， 所以该圆的半径为，圆心坐标为. 因为， 所以两圆相外切. 故选：C 变式15．（2026·高二·湖南岳阳·期末）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．内含 C．相交 D．外离 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 圆心距为，故，故两圆外切. 故选：A. 变式16．（2026·高二·贵州遵义·期末）圆与圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解析】由圆可知，则圆心坐标为，设半径为， 圆可知圆心坐标为，设半径为， 所以两圆圆心距， 又因为， 所以两圆相交， 故选：B. 题型 7：由圆位置关系求参 例19．（2026·高二·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，两圆有公共点，则， 即，解得． 例20．（2026·高二·陕西渭南·期末）已知与圆外切，则的取值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】由题意可知，，半径；，半径， 因为两圆外切，所以，得. 故选：B 例21．（2026·高二·广东东莞·期末）已知圆与圆，若圆完全覆盖圆，，则圆的半径的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆相交， 因圆覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：B 变式17．（2026·高二·江苏扬州·期末）若圆与圆相交，则正整数的值为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径为，圆，所以， 所以圆心，半径为， 所以， 由圆与圆相交，所以， 即，解得，又，所以， 故选：B. 变式18．（2026·高二·江苏徐州·期末）若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于圆，其圆心坐标为，半径， 对于圆，其圆心坐标为，半径为. 两圆的圆心距， 因为两圆有公共点，所以，即， 解得，因此的取值范围为. 故选：D 变式19．（2026·高二·陕西渭南·期末）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径， 由圆，得， 所以圆的圆心，半径， 由圆与圆外切，得，则， 所以. 故选：D. 题型 8：公共弦与切点弦求解 例22．（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【解析】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 例23．（2026·天津滨海新区·三模）圆与圆的公共弦长为__________． 【答案】 【解析】由圆与圆， 两圆的方程相减，可得，即， 即圆与的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 例24．（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【解析】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 变式20．（2026·高二·江苏南京·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程是______. 【答案】 【解析】由，得，即， 又，两圆方程相减得，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故答案为：. 题型 9：公切线问题求解 例25．（2026·高三·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【解析】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 例26．（2026·高二·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 【答案】，，，(写一条即可） 【解析】圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 圆心距， 两圆外离，因此存在四条公切线. 设所求直线的方程为 ，化为一般式为：， 依题意得：， 解得：或或或， 故公切线方程为：，，，. 故答案为：，，，（写一条即可）. 例27．（2026·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题设，圆心、，则，即两圆外切， 设切点为，，得，所以， 又过与垂直的直线为两圆的内公切线，斜率为， 该公切线方程为，整理得． 设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为， 连接，作，垂足为（如图）， 则， 所以， 所以直线，即直线的斜率为， 设直线为，则， 所以，故为． 由图易知，另一条外公切线的方程为． 故两圆的公切线方程为或或（填其中之一即可）． 故答案为：（答案不唯一） 变式21．（2026·高二·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程________. 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为. 故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 题型 10：圆中范围与最值 例28．（多选题）（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【解析】整理圆方程可得，因此圆心，半径. 选项A，整理直线的方程可得：， 令，解得，即直线恒过定点， A正确. 选项B，由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离： ， 解得：，B正确. 选项C，如图所示，当时，直线， 则圆心到直线的距离为：. ，C错误. 选项D，如图所示，从点向圆引切线，设一个切点为，连接、，则， 切线长， 因此当且仅当最小时最小，， 代入得：，D正确. 例29．（多选题）（2026·高二·云南·期中）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 【答案】ACD 【解析】 对于A，如图,圆：的圆心为，半径为2， 由题意可得，， 所以， 圆心到直线的距离为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，当最小时，，为以为直径的圆与圆的交线，，即平行于直线，所以斜率为1，D正确． 例30．（多选题）（2026·高二·山东济南·阶段检测）已知圆，点为直线上任意一点，过点的直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值为2 B．没有最大值 C．有最小值为 D．有最大值 【答案】AB 【解析】过点作圆的切线，为切点， 则由切割线定理知， 又原点到直线的距离为，故， 故的最小值为； 又没有最大值，则没有最大值，故选项A，B正确. 故选：AB 变式22．（多选题）（2026·高二·广东梅州·期末）已知点是圆上一点，其中，则（    ） A．圆C与轴相交 B． b的最大值是5 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BD 【解析】圆，可化为，故圆心，半径， 对于A，圆心到轴的距离，则圆C与轴相离，故A错误； 对于B，点在圆上，则， ，解得，即b的最大值是5，故B正确； 对于C，令，即，又点在圆上， 所以，解得，则的最小值是，故C错误； 对于D，因为圆心到原点的距离为， 所以的最小值是，故D正确． 故选：BD． 变式23．（多选题）（2026·高二·湖北·阶段检测）已知圆，点是圆上的任意一点，则以下说法错误的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】由题可知圆的圆心为，半径为1， 设，则，又点是圆C上的任意一点， 所以，解得， 所以的最大值为，最小值为，故A正确； 设，， 则， 当时，取最大值，故B错误； 表示点P到点的距离， 因为圆心到点的距离为， 故的最大值为，最小值为，故C错误； ，表示点P到直线距离的倍， 因为圆心到直线的距离为， 故点P到直线距离的最小值为， 故的最小值为，故D正确. 故选：BC 题型 11：圆系方程应用 例31．若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可设经过点的圆的方程为， 整理得，则圆心为． 圆①，圆②， 由①-②得，，即直线的方程为． 因为为直径，圆心在直线上，所以，解得， 故以为直径的圆的方程为． 故答案为：． 例32．已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 【答案】 【解析】圆心坐标为，所以圆心在直线上， 设圆的切线为，即， 所以两直线间的距离为圆的半径，，所以直线方程为. 故答案为: . 例33．圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 1．（2026·高一·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【解析】显然圆圆心为，半径为，直线到圆心距离为：， 因在圆内部，则，从而，则直线与圆相离. 2．（2026·辽宁·三模）已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线，由，得， 显然无论取什么实数，直线都过点， 将化为标准形式， 因为，所以点在圆内， 而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值， 又直线的斜率，所以. 3．（2026·高三·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆C的圆心为，半径，圆O的圆心为， 因为，所以在圆C内部， 因为两圆有两条公切线，且垂直，所以两圆相交， 设圆C与两切线分别交于点A、B，圆O与两切线分别交于点D、E，两切线交于点F， 连接CA、CB、OD、OE、OC，过O作，如图所示， 则四边形与四边形均为正方形， 则四边形为矩形，且，， 在中，，所以， 则，即，解得或（舍）， 4．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 5．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知是的等差中项，若圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．2或-2 D．或 【答案】D 【解析】由题意可得圆的圆心为，半径， 若圆上到直线距离为的点恰好有个， 则圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式，圆心到的距离： ，又因为， 所以，整理得，即，， 所以 直线的斜率，因此，即. 6．（2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以点在以为直径的圆上， 又因为点在圆上，所以， 即， 所以，解得. 7．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知直线过点且与圆交于A，B两点，若是钝角三角形，则直线的斜率可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】的圆心为，半径为2， 当直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 圆心到直线的距离为， 故直线与圆无交点，不合要求，舍去； 设直线，要使得是钝角三角形，则需为钝角， 则圆心到直线的距离， 其中，即，故， 解得，其中，解得，只有B满足要求. 8．（多选题）（2026·高二·广东江门·期末）已知圆，直线，则（   ） A．直线过定点 B．圆心到直线的距离的最大值为2 C．直线被圆截得的弦长的取值范围是. D．当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程是 【答案】BCD 【解析】对于A，将直线化为， 联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A错误； 对于B，由圆，可得圆心为，半径， 因为直线过定点，当时，圆心到直线的距离取得最大值， 又因为，所以圆心到直线的距离的最大值为，所以B正确； 对于C，由B项知，圆心到直线的距离的取值范围为， 由圆的弦长公式，当，可得； 当，可得， 所以直线被圆截得的弦长的取值范围是，所以C正确； 对于D，当直线被圆截得的弦长最短时，即时， 因为，所以， 则直线的方程为，即，所以D正确. 故选：BCD. 9．（多选题）（2026·高二·湖北·期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．当直线平分圆的周长时， C．圆心到直线距离的最大值是 D．若点在圆上，则的取值范围为 【答案】AB 【解析】已知圆，得圆心，半径， 直线整理得， 选项A，由直线方程可知，无论取何值，时恒有，因此直线恒过定点，A正确； 选项B，直线平分圆周长，说明直线过圆心，将代入直线方程得：，解得，B正确； 选项C，直线恒过定点，圆心到直线的距离满足， ，即的最大值为，C错误； 选项D，是点到原点的距离平方，原点到圆心的距离， 因此点到原点的距离范围是，故，D错误. 故选：AB. 10．（2026·高二·北京·阶段检测）不全为0的实数对满足关系式，则这样的实数对共有_________组. 【答案】 【解析】由，得， 根据点到直线的距离公式，可知点与点到直线的距离都为， 分别以，为圆心，半径作圆、圆， ，，所以两圆外离， 根据圆的位置关系，外离的两圆有条公切线 结合图形，可知这条公切线对应的直线都满足点、到直线的距离为，且每条公切线对应一组实数对， 因此，满足条件的实数对共有对. 11．（2026·高二·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【解析】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 12．（2026·高二·云南昆明·阶段检测）过点A作圆C：的两条切线，两切点为D，E，则=__________． 【答案】 【解析】设，圆的圆心为，半径，两切点为， 如下图所示，则， 易知， ， 即. cos    ，=2 13．（2026·天津西青·三模）已知直线与圆交于A，B两点，且．过点A，B分别作直线的垂线与轴交于C，D两点，则______． 【答案】4 【解析】圆 的圆心为 ，半径 ， 根据弦长公式 （其中 为圆心到直线的距离），， 得，解得， 圆心 到直线 的距离公式为 两边平方并化简得， 所以直线方程是，即， 联立直线 与圆的方程，解得或 则， 因为直线 的垂线斜率为 ， 过 的垂线方程：，令 ，得 , 过 的垂线方程：，令 ，得 , 所以. 14．（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【解析】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 15．（2026·高二·上海·期中）已知直线，与圆． (1)证明：圆与直线一定会相交； (2)求直线被圆截得的线段长度的最小值． 【解析】（1）变形为， 令 ，解得，即直线恒过定点， 圆的圆心为，半径，点到圆心的距离平方：， 故点在圆内部，因此圆与直线恒相交． （2）因为直线过圆内定点，圆心到直线的距离， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最小， ，由垂径定理可得最短弦长为 ． 16．（2026·高二·上海·期中）已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）圆，即， 则圆心，半径，又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得； （2）， 解得，则， 解得或， 则直线的方程为或． 17．（2026·高二·江西萍乡·期中）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【解析】（1）联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 （2）因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 18．（2026·高二·上海·阶段检测）已知直线与直线 (1)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (2)若点，点为直线过的定点，点为直线过的定点，圆是以为直径的圆.求过点的直线与圆相交的斜率范围. 【解析】（1）将代入， 得，故. 当直线过原点时，设方程为，代入得，方程为. 当直线不过原点时，设方程为，代入， 得，所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）对，整理为， 令，故定点. 对，令得，故定点. 圆以为直径，圆心为，半径，方程为. 设过的直线为，即. 由相交条件得，， 两边平方并化简得， 解得或， 所以斜率范围是. 19．（2026·高二·上海·阶段检测）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 【解析】（1）圆可化为，圆心坐标为，半径为. 直线：，斜率为. 设直线的斜率为，则，即， 解得或. 当时，直线方程为，即； 当时，直线方程为，即； 所以直线方程为或. （2） 设，因为是弦中点，所以，所以. 又，， 所以，即， 整理得. 因为直线与圆相交于两点，所以点应在圆的内部. 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $