精品解析：云南省大理白族自治州民族中学2026-2027学年高三上学期错题考（开学）数学试题

大理白族自治州民族中学2027届高三错题考 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算和集合中元素的特性列出关于的方程，即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得． 故选：D． 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法运算即可. 【详解】， 则，所以， 故选：A. 3. 非零向量，满足，若，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用求向量的模的方法，求得，从而利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】∵非零向量，满足，且， 设，的夹角为， 则，且， 所以. ∴. ∵，∴. 故选:B． 4. 若、、成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为、、成等比数列，所以，解得. 故选：C. 5. 若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ） A. 20 B. 90 C. 15 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，对于剩余的4人，每个人都不能拿自己写的卡片，计算得到答案. 【详解】根据题意，分2步分析： ①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有种选法， ②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一， 所以不同的拿卡片的方法有种. 故选：. 【点睛】本题考查了组合的应用，意在考查学生的应用能力和理解能力. 6. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 7. 阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，由圆柱与球的体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 所以. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】运用函数奇偶性及对称性可得函数的周期性，并通过赋值法求得，由此可求得. 【详解】由，得， 即，所以函数关于直线对称， 所以，且. 又，所以，且，. 所以， 所以是周期为的函数，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知点，圆，则下列结论正确的有（ ） A. 点在圆内部 B. 点与圆上的点之间距离的最大值为 C. 以为中点的弦所在的直线方程为 D. 若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解. 【详解】点代入，， 点在圆内部，选项A正确； ， 点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误； ，以为中点的弦所在的直线的斜率为， 其方程为，即， 以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确； 过点的直线截圆的弦长为，由， 得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，即， ，解得，直线为，即， 所以直线的方程为或，选项D错误. 10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】令，计算可判断A，当，可得，两式相减可得，进而逐项计算可判断BCD. 【详解】对于A，当时，可得，故A正确； 对于B， 当时，， 两式相减可得，所以， 当，适合上式，所以； 由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，由可知，， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以，， ， 又，所以， 所以，，不构成等差数列，故C错误； 对于D，， 所以 ，故D正确. 故选：AD. 11. 已知是抛物线的焦点，M，N是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. 若，则线段MN的中点到y轴的距离为2 C. 以MN为直径的圆与C的准线相切 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点与标准方程的关系，可得A的正误；根据抛物线的定义作图，结合梯形中位线的性质，可得BC的正确；设出动点坐标，利用向量数量积为零，根据基本不等式，可得D的正误. 【详解】由题意可得，解得，A正确； 如图，作准线，垂足为，作准线，垂足为， 由抛物线性质得，所以线段MN的中点到准线的距离为， 所以线段MN的中点到轴的距离为，B正确： 由B可知，的中点到准线的距离， 以为直径的圆的半径为，当时，圆与准线相切， 所以只有当线段MN过抛物线焦点时，以为直径的圆与的准线相切，否则不正确，C错误； 设，， 若．则，，， 所以 ， 当且仅当时取等． 故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程. 零件数（个） 10 20 30 40 50 加工时间 62 75 81 89 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为______. 【答案】68 【解析】 【详解】试题分析：设表中有一个模糊不清数据为，由表中数据得：，由最小二乘法求得回归方程将，代入回归方程，得． 考点：线性回归方程 13. 已知随机事件满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由乘法公式及事件和的概率公式代入数据即可. 【详解】，. 故答案为：. 14. 已知，，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先将已知条件的两个等式分别平方，再相加，利用三角函数的平方关系和两角和的正弦公式化简求解. 【详解】， 整理得： 化简得：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且，. （1）求； （2）若，求△ABC的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出，然后结合正弦定理即可得解； （2）由余弦定理得，进一步得，求出周长. 【小问1详解】 ，则，故， ，利用正弦定理得，则； 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理可得， 即， 解得或（舍）， 故， 故△ABC的周长为. 16. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】 （1）因为，为的中点， 所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，再利用体积法求点到面的距离，最终转化为线面角的正弦值.方法三：构造线面角定义所需的垂线，直接求出线面角的正弦值.方法四：先找出点C到平面PAM的垂足T，再利用二面角的平面角关系直接求出垂线长度，最后在直角三角形中计算线面角正弦值. 【详解】（1）略 （2）［方法一］： 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 ， 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取， 所以 ． 由已知得 ， 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图5，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结， 则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，． 在中，由，得，则． 设点C到平面的距离为h， 由，得，解得， 则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图6，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结，则， 故为二面角的平面角，即． 同方法二可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结． 在中，． 因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为． 在平面内，由，可得平面， 则为直线与平面所成的角． 设，则， 又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］： 如图7，取的中点H，联结，则． 过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）． 连结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角． 在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 17. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． （1）试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； （2）若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】（1）159人 （2）分布列： 0 1 2 3 4 5 ，． 【解析】 【分析】（1）利用正态分布相关知识即可求解； （2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得，然后求出对应的概率即可得解． 【小问1详解】 样本中100名学生每周阅读时间的均值为： ， 即，又，所以， 所以， 所以全年级学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：（人） 【小问2详解】 因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得， 故，，， ，，， 随机变量Y的分布列为： 0 1 2 3 4 5 故，． 18. 设函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）将代入与，求出切点与斜率，再利用点斜式写出切线方程即可. （2）有两个极值点等价于有两个零点，参变分离，求出新函数的单调性，借助图像，即可得出的取值范围. （3）原不等式等价于.即在 在上单调递减，利用在上恒成立，参变分离，借助第（2）问的结论，即可解出的取值范围. 【详解】（1）由题意知， 所以在点处的切线斜率， 则切线方程为. （2）定义域：. .有两个极值点. 即有两个零点，即有两个不等实根，， 令，即函数与函数有两个不同的交点 又因为，所以在（0，1）上在（0，1）上单调递增，在上单调递减，. 如图所示： 当时，，函数与函数无交点； 当时，，函数与函数仅有一个交点； 当时，因为当时，，而在（0，1）上单调递增，所以函数与函数至多在（0，1）上有一个交点； 当时，在（0，1）上单调递增，，所以函数与函数在（0，1）上仅有一个交点；在上单调递减，.所以函数与函数在上仅有一个交点；即函数与函数有两个不同的交点 因此. （3）可化为. 设，又. 在上单调递减， 在上恒成立，即. 又在（0，1）上单调递增，在上单调递减. 在处取得最大值.. . 【点睛】本题考查导函数的应用，属于中档题，需熟练掌握导数的求导规则、基础函数的导数、导数的几何意义；零点问题一般可参变分离后转化为两函数的交点问题来解；解不等式时常利用参变分离将其转化为最值问题来求解. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上， 的周长为6，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由． 【答案】（1）； （2）为定值，理由如下： 由题，得直线斜率存在，由（1）知，设直线的方程为， 则联立，消去，整理得，， 设，则，， 又，则， 由得，所以，同理得， 所以 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可得到答案. （2）首先直线的方程为，与椭圆联立得到，，根据得，同理得，再计算即可. 【小问1详解】 由题意，可得，又， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大理白族自治州民族中学2027届高三错题考 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或1 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2 3. 非零向量，满足，若，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 若、、成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ） A. 20 B. 90 C. 15 D. 45 6. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知点，圆，则下列结论正确的有（ ） A. 点在圆内部 B. 点与圆上的点之间距离的最大值为 C. 以为中点的弦所在的直线方程为 D. 若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 11. 已知是抛物线的焦点，M，N是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. 若，则线段MN的中点到y轴的距离为2 C. 以MN为直径的圆与C的准线相切 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程. 零件数（个） 10 20 30 40 50 加工时间 62 75 81 89 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为______. 13. 已知随机事件满足，则_______． 14. 已知，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且，. （1）求； （2）若，求△ABC的周长. 16. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 17. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． （1）试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； （2）若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 18. 设函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上， 的周长为6，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $