周周测15 4.2 等差数列及其前n项和（数学人教A版选择性必修第二册）

**基本信息** 聚焦等差数列核心知识，通过杨辉三角拓展数阵、《算法统宗》等算钞歌等文化素材及屋顶瓦片铺设等实际问题，考查数学抽象与运算能力，适配周测巩固与素养提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|等差数列基本量、前n项和|如第6题结合杨辉三角数阵，培养数学眼光| |多项选择|3/18|前n项和性质|如第11题分析公差与前n项和关系，发展推理意识| |填空题|3/15|通项公式、公差计算|第14题对比两等差数列前n项和，提升数学语言表达| |解答题|5/77|等差数列证明、实际应用|第19题结合恒成立问题，综合考查运算能力与逻辑推理|

2026-2027学年高二上学期数学周周测15 4.2 等差数列及其前n项和 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若数列为等差数列，且，则（   ） A．66 B．22 C．11 D．33 2．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知等差数列中，，，则的前10项和（    ） A． B． C．100 D．50 4．已知正项数列的前项和为，且，则（   ） A．4047 B．4044 C．4042 D．4045 5．一个屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了层瓦片，共铺了瓦片（   ） A．块 B．块 C．块 D．块 6．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则的值为（    ） A．208 B．209 C．210 D．211 7．已知是等差数列，，为数列的前项和，且，则的最大值为（    ） A．66 B．56 C．46 D．36 8．明朝程大位的《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均分，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”大意是：“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据题目的已知条件，乙有（    ） A．122钱 B．115钱 C．108钱 D．107钱 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知等差数列的前n项和为，若且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 10．设等差数列的前n项和为．若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知是公差为的等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（    ） A． B．数列的最小项为 C． D．能使时的最大值为15 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在数列中，，，则数列的通项公式为________． 13．已知公差不为0的等差数列的前n项和为且成等差数列，则_____. 14．已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，，则_______. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 16．已知数列满足，（），令. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 17．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 18．在正项数列中，. (1)证明：是等差数列． (2)记，数列的前n项和为，证明： 19．在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测15 4.2 等差数列及其前n项和 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若数列为等差数列，且，则（   ） A．66 B．22 C．11 D．33 【答案】D 【分析】根据已知及等差数列的通项公式有，即可求值. 【详解】若数列的公差为，则，得. 故选：D 2．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的基本性质可知，、、成等差数列，由此可求得的值. 【详解】因为为等差数列的前项和，则、、成等差数列， 则，所以，. 故选：B. 3．已知等差数列中，，，则的前10项和（    ） A． B． C．100 D．50 【答案】D 【分析】由等差数列性质求得数列前项的和. 【详解】. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列性质，属于基础题. 为等差数列，若，则 ． 4．一个屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了层瓦片，共铺了瓦片（   ） A．块 B．块 C．块 D．块 【答案】C 【分析】根据题意得出等差数列前项和公式，再求前项和． 【详解】由题意可知，每层所铺瓦片数构成一个公差为1，首项为的等差数列， 则， 共铺瓦片数为块，故C正确． 故选：C． 5．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则的值为（    ） A．208 B．209 C．210 D．211 【答案】C 【分析】设第个数为，观察图中数据可得，，，，利用叠加法可求. 【详解】设：第个数为， 则， ， ， ， ， 叠加可得： ， ， 故选：C 6．明朝程大位的《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均分，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”大意是：“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据题目的已知条件，乙有（    ） A．122钱 B．115钱 C．108钱 D．107钱 【答案】B 【分析】设公差为，七人的钱依次为，，，，，，，由题意可得，解得即可． 【详解】因为七人的钱数为等差数列， 设公差为，七人的钱依次为，，，，，，， 由题意可得， 解得，， ∴乙的钱数为101－2×(－7)＝115. 故选：B. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知等差数列的前n项和为，若且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】根据题意和等差数列前n项和公式可得，结合和等差数列的性质依次判断选项即可． ， 公差，A错，B正确．对于C，，C正确． 对于D，，D错误，故选BC． 8．已知是公差为的等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（    ） A． B．数列的最小项为 C． D．能使时的最大值为15 【答案】BC 【分析】根据给定条件，可得，再结合单调性及前项和公式逐项判断. 【详解】在等差数列中，由，得， 对于A，，A错误； 对于B，数列是递增数列，前8项均为负，从第9项起为正，则数列的最小项为，B正确； 对于C，由，得，因此，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知公差不为0的等差数列的前n项和为且成等差数列，则_____. 【答案】 【解析】由等差中项的性质有，可得，进而根据等差数列前n项和公式写出. 【详解】由题意知：，即，结合等差数列通项公式， 整理得：，又，有， ∴， 故答案为： 10．已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，，则_______. 【答案】2 【分析】根据等差数列的求和公式，可设、，进而求得的值，即可求解. 【详解】由等差数列的求和公式，可设， 不妨设、， 所以， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明:将整理得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. (2) (3) 【分析】（1）将整理得，根据等差数列的定义即可证明； （2）由（1）中结论及等差数列的通项公式即可求解； （3）由（2）知对的整数恒成立，即对的整数恒成立，整理得.令，研究数列的单调性求出其时的最小项即可求解. 【详解】（1）略； （2）由（1）可得，所以. （3）由（2）可知对的整数恒成立，即对的整数恒成立， 整理得. 令，则 . 因为，所以，即数列为单调递增数列，所以最小，. 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测15 4.2 等差数列及其前n项和 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若数列为等差数列，且，则（   ） A．66 B．22 C．11 D．33 2．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知等差数列中，，，则的前10项和（    ） A． B． C．100 D．50 4．一个屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了层瓦片，共铺了瓦片（   ） A．块 B．块 C．块 D．块 5．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则的值为（    ） A．208 B．209 C．210 D．211 6．明朝程大位的《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均分，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”大意是：“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据题目的已知条件，乙有（    ） A．122钱 B．115钱 C．108钱 D．107钱 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知等差数列的前n项和为，若且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 8．已知是公差为的等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（    ） A． B．数列的最小项为 C． D．能使时的最大值为15 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知公差不为0的等差数列的前n项和为且成等差数列，则_____. 10．已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，，则_______. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测15 4.2 等差数列及其前n项和 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若数列为等差数列，且，则（   ） A．66 B．22 C．11 D．33 【答案】D 【分析】根据已知及等差数列的通项公式有，即可求值. 【详解】若数列的公差为，则，得. 故选：D 2．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的基本性质可知，、、成等差数列，由此可求得的值. 【详解】因为为等差数列的前项和，则、、成等差数列， 则，所以，. 故选：B. 3．已知等差数列中，，，则的前10项和（    ） A． B． C．100 D．50 【答案】D 【分析】由等差数列性质求得数列前项的和. 【详解】. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列性质，属于基础题. 为等差数列，若，则 ． 4．已知正项数列的前项和为，且，则（   ） A．4047 B．4044 C．4042 D．4045 【答案】A 【分析】由求解可以得到为等差数列，将代入即可. 【详解】①， ∴当时，②， ①-②可得， ， ，，， ∴当时，，解得， 是首项为1，公差为2的等差数列，则， 于是有． 5．一个屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了层瓦片，共铺了瓦片（   ） A．块 B．块 C．块 D．块 【答案】C 【分析】根据题意得出等差数列前项和公式，再求前项和． 【详解】由题意可知，每层所铺瓦片数构成一个公差为1，首项为的等差数列， 则， 共铺瓦片数为块，故C正确． 故选：C． 6．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则的值为（    ） A．208 B．209 C．210 D．211 【答案】C 【分析】设第个数为，观察图中数据可得，，，，利用叠加法可求. 【详解】设：第个数为， 则， ， ， ， ， 叠加可得： ， ， 故选：C 7．已知是等差数列，，为数列的前项和，且，则的最大值为（    ） A．66 B．56 C．46 D．36 【答案】D 【解析】首先利用已知条件求出的公差，再求出，根据二次函数性质即可求出最大值. 【详解】由已知，得，，所以， 所以， 所以当时，有最大值为, 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等差数列前项和的最大值，可以直接利用求出，也可以利用通项公式求出，属于中档题. 8．明朝程大位的《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均分，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”大意是：“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据题目的已知条件，乙有（    ） A．122钱 B．115钱 C．108钱 D．107钱 【答案】B 【分析】设公差为，七人的钱依次为，，，，，，，由题意可得，解得即可． 【详解】因为七人的钱数为等差数列， 设公差为，七人的钱依次为，，，，，，， 由题意可得， 解得，， ∴乙的钱数为101－2×(－7)＝115. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知等差数列的前n项和为，若且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】根据题意和等差数列前n项和公式可得，结合和等差数列的性质依次判断选项即可． ， 公差，A错，B正确．对于C，，C正确． 对于D，，D错误，故选BC． 10．设等差数列的前n项和为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程求等差数列基本量，写出通项公式及前n项和公式即可. 【详解】由题设，，解得， ∴，. 故选：AC 11．已知是公差为的等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（    ） A． B．数列的最小项为 C． D．能使时的最大值为15 【答案】BC 【分析】根据给定条件，可得，再结合单调性及前项和公式逐项判断. 【详解】在等差数列中，由，得， 对于A，，A错误； 对于B，数列是递增数列，前8项均为负，从第9项起为正，则数列的最小项为，B正确； 对于C，由，得，因此，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在数列中，，，则数列的通项公式为________． 【答案】 【分析】根据给定条件可得数列是等差数列，求出其通项即可计算作答. 【详解】由得：，而， 于是得数列是以为首项，为公差的等差数列， 则有， 所以数列的通项公式为：. 故答案为： 13．已知公差不为0的等差数列的前n项和为且成等差数列，则_____. 【答案】 【解析】由等差中项的性质有，可得，进而根据等差数列前n项和公式写出. 【详解】由题意知：，即，结合等差数列通项公式， 整理得：，又，有， ∴， 故答案为： 14．已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，，则_______. 【答案】2 【分析】根据等差数列的求和公式，可设、，进而求得的值，即可求解. 【详解】由等差数列的求和公式，可设， 不妨设、， 所以， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 【答案】(1)，． (2) (3)． 【分析】（1）由，结合，求出公差，再利用，把代入求出； （2）由，把，公差，，代入求出； （3）由，把，，代入得到关于的方程组，求解即可得到的通项公式. 【详解】（1）因为，所以公差． 由，所以， 故，． （2）由，，公差，，得， 解得． （3）由已知可得，解得 所以． 16．已知数列满足，（），令. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1)， (2) 因为， 所以， 两边同时取倒数有： ， 令，有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 【分析】（1）采用迭代法，可求，; （2）将转化为，即可证明数列是等差数列，算出数列的通项公式后即可计算数列的通项公式. 【详解】（1）因为，且， 当时，， 当时，. （2）略 17．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：， 故. 18．在正项数列中，. (1)证明：是等差数列． (2)记，数列的前n项和为，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知得，结合等差数列的定义即可得证； （2）应用裂项相消法求，即可得证. 【详解】（1）由，得， 因为为正项数列，所以，即， 所以是以13为首项，4为公差的等差数列； （2）由（1）可知， ， 则， 所以， 因为，所以，所以. 19．在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明:将整理得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. (2) (3) 【分析】（1）将整理得，根据等差数列的定义即可证明； （2）由（1）中结论及等差数列的通项公式即可求解； （3）由（2）知对的整数恒成立，即对的整数恒成立，整理得.令，研究数列的单调性求出其时的最小项即可求解. 【详解】（1）略； （2）由（1）可得，所以. （3）由（2）可知对的整数恒成立，即对的整数恒成立， 整理得. 令，则 . 因为，所以，即数列为单调递增数列，所以最小，. 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $