4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和及其性质-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

2会1，所以经受=1.师6=1，前6,2=1，所以 2n+12m {bn}是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解：由(1得6，-分=1+(a-1)X1=n,放a=a·2 11.(1)解：在正项数列{an}中，an(2S。-an)=2,令n=1,得 a=2,解得a1=2（负值舍去)；令n=2,得a2(2S2 a2)=2,即a2(2a1+a2)=2,则a+22a2-2=0,所以a2=2 √2（负值舍去） （2)证明：当n≥2时，an=S,-Sn-1,而an(2Sn-an)=2,则 (Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=2,即S2-S21=2.又S=2,所以{S3} 是首项为2，公差为2的等差数列. 12.解：(1)由题可知：a1,a2,,01为公差为1的等差数列，故 a1=a1+9=10,a10,a11,…,a0为公差为d的等差数列，故 a20=a1o+10d=40,解得d=3. (2)由题可知：a1,a2,…,a为公差为1的等差数列，故 ak=a1+(k-1)=k;a4,a+1,…,a2x为公差为d的等差数列， 故a=a+hd=k(1+d);as,a2+1,,a%为公差为d的等 差数列，故as=西+=(1+a+)=[(e:广： 子]，又上为正整数故子0，即u的最小值为 压轴挑战 (1)解：依题意，当a1=开时，则ina,=cosa1=6os (a)ra<(a)放 11 9 <a,<4π，所以a,=4m.又 4=2m生{行贸}，所以子符合题意同理， ，7 9 ，又e{行}所以=子符合题数由 11 a将a又 95,因为m a4,=2m{行}所以。，格合题意 17 (2)证明：因为s血a1=0ma,所以sina=in(号-a)】 或ma1=如（行+a）(不合题这，会），所以a=受 a,+2km,keZ或a1+号-0，=m+2m,keZ,即a+a,= +2km,keZ或a1a=号+2km,kez因为(a-)m<a,< (a+)m,所以(-n)m<-a,<(-n+)m,(a4)m <(a+子），所以(2n2)m<anta,.<(2n+)m,m 下或 a1-,<3m,所以a1t0=7+2nm,neN或an1-a= 参考答案 a4a受又81ae{行}所以aa受+2n, aeN,则ata=受+2(a+1)m=交+2m,eN,所以 2 aan-(aa,)-22m-(行+2m）=2aeN,所以 数列{a1+an}是公差为2m的等差数列. (3)解：由(2)知，数列{a*1+a.}是公差为2π的等差数列，所以 (a,+a)-(ata)=2→aa1=2m又因为a1+a,=号+2n， neN,所以+a=受又因为数列6，+a,为等差数列，所以 b1+a1+b3+a3=2(b2+a2),所以cosω+a1+cos3w+a1+2m= 2(s2u57a),即41=3+2ms2w-((o.又 因为cosW+cos3w=cos 1+30+0-3w）+c0s( ω+3w 21 2 2 0-3w） 2 =2c08wcos2w,所以4a1=3T+2c0s2w-2 cos wc0s2w, 3T,1 1 cos 2-2cos ocos 20. 四重难点拨 由sin1=casa,由诱导公式可得ina1=sin(行-a,), 可得ata=受+2km,eZ或aa. +2km,keZ,由条 2 件(a)m<a.<(a+子)m,即可得到a+a,=受+2nm, neN',再利用等差数列的概念即可. 4.2.2等差数列的前n项和公式 第1课时等差数列的前n项和及其性质 白题 基础过关 1B解析：由等羚数列的前n项和公式得马=(24+ 7×2)=88,化简得4(2a1+14)=88,所以2a,+14=22,所以 a1=4,所以a5=a1+4d=4+4×2=12. 2.B解析：等差数列{an}的前n项和为Sn,S。=6(a6+5),所 以6a6-6(a+5dr5),所以=r5,则公差d=-2 3.ABD解析：由题意得8=5a,+101=0,解得-6，所以 （a5=a1+4d=6, d=3, a.=a+(n-1)d=3n-9,S=a,+a.）”=3m,15n,ABD正 2 确，S2=-9,S4=-6,C错误 4.26解析：等差数列{an}中，a4+a,+a1o=3a,=6,所以a,=2, 13(a+a3）=13a,=13x2=26. 则S13 2 5.+号解折：=2-3012-3=-1， 2 n(-1+2-3n)3, 2 2+分 6.ABD解析：在等差数列{an}中，a1>0,公差d<0,S。为其 前n项和S=a,=号+(a)点 2 黑白题05 (a品)在曲线y=号子+(a-号)上上<0二次函数 的图象开口向下，故A,B不可能.对称轴为直线x= d “三对活在)的放c可能木同生数 选ABD. 四方法总结 等差数列前n项和的函数性质： 等差数列的前n项和公式为S=nm,+n(,d,将它写成关 2 于a的多项式，可得8=受+(a号)，设A= 2,B=a1 子，上武可写底8=A24B肌的形式。 当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时，Sn=0是关于n的常数函数； 当A=0,B≠0（即d=0,a1≠0）时，Sn=Bm是关于n的正比例 函数（常数项为0的一次函数）； 当A≠0，B≠0（即d≠0）时，S,=An2+Bn是关于n的二次函数 (常数项为0). 7.B解析：①因为数列{an}是等差数列，所以an=a1+(n-1)d= d·n+(a1-d),因此可以把an看成关于n的一次函数，又d> 0,所以数列{an}是递增数列，因此本命题是真命题；②因为 数列1a,是等差数列，所以及=+分4(-1)t=受+ 2n,因此可以把S,看成关于n的二次函数，而二次函数 2a1-d 的单调性与开口方向和对称轴有关，虽然d>0能确定开口 方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列{S}的 单调性，故本命题是假命题：③设=b。,因为数列{a,是等 差数列，所以an=a,+(n-l)d=d·n+(a,-d),因此数列 {骨}的通项公式为6片- -+d,显然当a,=d时，数列 {骨}是常数列，故本命题是限命题；④设受-6，因为数列 a是等差数列，所以8=nm+宁(a-11=受，2a, 2n, 因t成骨}的通项公式为子名2 2,所以可以 北<，看成关于a的一-次照数，而b0,所以数列}是递 增数列，因此本命题是真命题故选B. 8.-4解析：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,所 以3，=a,+anD4=22+(a号）n又s=(a+2+ 2 入=n2+4n+4+入，所以4+入=0，解得入=-4. 9.12解折：设等差数列a的公差为d,则8=子+（口， 受)所以8可看成二次离数y=受+(a受)上，由二 次晒款象的对你性及5=5，=5可符794， 解得m=12. 选择性必修第二册·RJ 10.B解析：等差数列{an}的前n项和为Sn,则S3,S6- S,S,-S6成等差数列，所以2(S6-S3)=S2+S,-S。,即2× (36-9)=9+S。-36,解得S。=81. 11.C解析：设等差数列的项数为2n-1,设所有的奇数项和 为S,则5=n(a=m,设所有的偶数项和为T,则 2 na-g--a号-只0解 2 S 得n=10,项数2n-1=19, 12.6解析：因为1a,是等差数列，所以S1-tX(2m 2 1)=(2m-1)am=10(2m-1)=110,解得m=6. 3,10解析：因为数列1a,是等差数列，所以数列{：}也 为等差数列，设其公差为d,则S。=2=2d,则d=1又 86 因为空=4=1，所以会=1+n-1=,所以8=，所 以S10=100. n(a ta,) 14.4 解折：出这童可得会心公裙品则 An 2 2 a52a5_a1+ag。9+11 b52bb1+b,3x9+1341 四方法总结 等差数列前n项和中常见的两个比例关系： 在等差数列{a中，a,=t-（a,ta1) 2 2 ·(2n-1)· 1 S2n-1 2n-12n-1 若{an},{bn}为等差数列，An为数列{an}的前n项和，Bn为 数列{b,}的前n项和，则-_A1 bn B2n-1 黑题 应用提优 1.D 解析：设等差数列{a.}的公差为d,则 S4-a5=3a1+2d=21 解得05因此a,=3n+2,ao=32 (a3=a1+2d=11, (d=3, 2.C解析：根据S。是等差数列{a.}的前n项和，由等差数列 前n项和公式可得8=3议行》d=15,所以受- 2 l5,化简可得a1=5-d.Sg-S,=a6+a,+ag,即a6+a,+ag=3a1+ 18d=18,化简可得a1+6d=6.将a1=5-d代入a1+6d=6中， 解得d号将d写代人a=5-d,可得a,-2头可得5，=8x 5 48xg-x写4 5 2 3.B解析：由等差数列的性质知，S3,S6-S3,S,-S6,S2 S,S15-S12,S1g-S15成等差数列，由S3=4,S6-S,=6,得该数 列首项为4，公差为2，所以a16+a1n+a18=S1g-S15=4+5× 2=14. 4.B解析：由等差数列的性质可得 (S}为等差数列，所以 n 云-28- 2m-1 mm (0）=2 黑白题06 5.C解析：等差数列{an}中，由a1=9,a4=3,得公差d= 44=-2,则a,=a+(n-I)d=-2n+11,显然当n≤5时 an>0,当n≥6时，an<0,所以T31=1a1|+|a2|+…+|a31|= （a1ta2t…tas）-(a6ta,+…+a31)=2(a1+a2t…+a5）-(a1+ 4,t+1）=2x5(aa,）.31(a,+a-2x5x(9+1 2 2 2 31x(9-51)=701. 2 6.C解析：对于A,S-1(a,a-1lg=1,则a,=1,A不 是；对于B,设等差数列{an}的公差为d,a2ta3+a3=a6-4d+ a-3a+71=3,B不是：对于D,8=a+7(a-1)d,则 受》a+a+4=2a+5=2.D不是对于 C,S1+S21=a1+21a1+210d=22(a1+5d)+100d=22+100d,而 d值不确定，因此S,+S2,不确定，C是. 7.C解析：令a,的公差为d,又S,=4a,+3,则(aa,) 2 5t3,即50=4+3=→4，=3.由{会}neN")的公差 1,且2-2a:-2,则2=2+(n-1）×1=n+1,所以8，.= a a1 at0a又s.=a(an, 2,故《n+1）a-n(a+a）,所必 an=na1,则a3=3a1=3→a1=1,故an=n,故a5=5,a1o= 10,A,B错：8.=n(nt+D,则S0=55,S0=210,C对、D错 2 8.BD解析：对于A:当a=2时，a1=2,因为an+a+1=3n+1, 令n=1,得到a2=2;令n=2,得到a3=5;令n=3,得a4=5, 故A错误；对于B:因为an+a+1=3n+1,所以an1+an+2=3n+ 4,两式相减得a+2-an=3,令n=2k(k∈N*),则a2+2-a24= 3,且a2=4-a为常数，所以{a2n}是以4-a为首项，3为公差 的等差数列，故B正确；对于C:因为an+a*1=3n+1,得到 a1+a2=4,a3+a4=10,a+a6=16,…,a1g+a20=58,观察可得 a2-1+a2:=6i-2(i=1,2,3,…,10),所以S0=(a1+a2）+(a3+ a4)+（a5+a6）+…+(a1g+a20)=4+10+16+…+58= 10x(4+58）=310≠300，故C错误；对于D:因为a,+a,=7, 2 a4+a5=13,a6+a,=19,…,a30+a31=91,观察可得a2:+a21= 6i+1(i=1,2,3,…,15),S31=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+ (a0ta)=a+15x(7+91=748,解得a=13,放D正确 2 9.2513100解析：设所求等差数列为{a.},由题意可知数 列{a.}的首项为110，公差为116-110=6，则an=110+6(n- 1)=6n+104.由450≤6n+104≤600，得58≤n≤82，n∈N*,所 以该数列在[450,60]上有25项，其和S=2(ataa)×25= 13100. 10.135解析：设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,由题意 知数列S,S。-S,S,-S6,…成等差数列，且公差d”= S6-S3-S3=a4+a5+a6-a1-a2-a3=9d,记数列S3,S6-S3, ,-,…为c,其前n项和为T,则T,=nc,+n(ldr= 2 参考答案 空（号又因为数列3成心8的商n项 [ -=6. 2 和为6n2+3n,所以 解得=12，所以d= d' 923, lc1=9, ):号6S=3,+=9,解得a=子所以am=a+ 10d=5,400_405=135.故答案为135 333 四重难点拨 等差数列的性质： (1)项的性质：在等差数列{an}中， ①a,=an+(n-m)d(m,neN）,d=a。-am n-m ②若m+n=ptq(m,n,P,geN'),则an+a.=a,tag (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则： ①S2n=n(a1ta2n)=…=n(an+am1)； ②依次k项和成等差数列，即S,S4-S,SM-S4,…成等差 数列 11.(1)证明：若n为奇数，则n+1是偶数，n+2是奇数，所以 a+1=an+1,a+2=(an+1)+2=an+3,即an+2-an=3,所以 {a}的奇数项是首项为a1=1,公差为3的等差数列. (2)解：当n=2k(k∈N)时，Sn=Sx=(a1+a3+a5++ a2k1)+(a2+a4+a6+…+a2k)=(a1+a3+a5+…+a2k-1）+(a1+ 1+a3+1+a5+1+…+a2k-1+1)=2(a1+a3+a5+…+a24-1）+k= 2[a,x3]=3张=3x(行广-因为a a2k-1+1=a,+3(k-1)+1=3k-1,所以当n=2k-1(keN*) 时8=1==3-3+1=x(空)广-3x21 3 n2,n为偶数， 1综上所述，S 4 3 n+4n为奇数 4 第2课时等差数列的前n项和的综合应用 白题 基础过关 1.B解析：因为an= n+nn(n+)nn+7,所以S,s=a,t 1 111 1,11 1 1 1 4+…+a1=1-2+23+…+202s52026=1-2026 2025 2026 2.D解析：依题意，a,n+ 1 ==√n+1-n,所以Sn=√2- 1+3-√2+…+√n+1-√n=√n+1-1,由Sn=√n+1-1=8, 解得n=80.故选D. a+d=11, 3.2n+1 解析：由已知 4a,+43=60 解得3故5，= ld=8. 2 a(点)x-引 号）+（兮）*+（点2）门=( 黑白题074.2.2等差数列的前n项和公式 第1课时等差数列的前n项和及其性质 白题 基础过美 限时：30min 题组1等差数列的前n项和公式 是递增数列：③数列{} 是递增数列；④数列 1.*(2025·河南郑州高二月考)已知等差数 n. 列{an}的前n项和为Sn,公差d=2,Sg=88,则 是递增数列.其中真命题的个数为( a5= ( A.10 B.12 C.14 D.16 A.1 B.2 C.3 D.4 2.*(2025·江西萍乡高二期末)已知等差数 8.数列{an}为等差数列，它的前n项和 列{an}的前n项和为Sn,若S6=6(a6+5),则 为Sn,若Sn=(n+2)2+入，则入= 公差d= ( 9.(2025·广东惠州高二月考)设等差数列 A.2 B.-2 C.3 D.-3 {an}的前n项和为Sn,a1=25,S1,=Sg.若 3.(多选)(2025·河北廊坊高二期中)记S。 Sm=S14,则m的值为 为等差数列{an}的前n项和.已知S,=0,a= 题组3等差数列前n项和的性质 6,则 ( 10.*(2025·福建福州高二期末)）等差数列 A.a1=-6 B.a=3n-9 {an}的前n项和为Sn,且S3=9,S6=36,则 C.S2=S4 D.3.=3n2-15n S。为 () A.45 B.81 C.90 D.162 4.*(2025·山东泰安高二月考)已知Sn为等 11.苏教教材变式已知一个等差数列的项数 差数列{an}的前n项和，且满足a4+a,+a1o= 6,则S13= 为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶 5.*已知数列{an}的通项公式为an=2-3n, 数项的和为261，则此数列的项数为（) n∈N*,则{an}的前n项和Sn= A.15 B.17 C.19 D.21 题组2等差数列前项和公式的函数特征 12.*设等差数列{an}的前n项和为Sn.若 6.*(多选)在等差数列{an}中，a1>0,公差 am=10,S2m-1=110,则正整数m= d<0,Sn为其前n项和，对任意正整数n,若 13.*(2025·陕西渭南高二月考)在等差数 点(n,Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则 列a,中，4=1，其前n项和为S,若8 这条曲线不可能是 小才 =2,则S10= 6 14.*|人B教材变式(2025·山东德州高二期 中)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别 7.*已知等差数列{an}的公差d>0,则下列四 An n+l 个命题：①数列{an}是递增数列；②数列{Sn} 为An,Bn,且 第四章黑白题09 黑题 应用提优 限时：30min *(2025·河南鹤壁高二期末)设等差数列8.”（多选）(2025·河南郑州高二期末)在数 {an}的前n项和为Sn,若S4-a5=21,a3=11 列{an}中，a1=a,an+an+1=3n+1,数列{an}的 则a10= ( 前n项和为S,则下列说法正确的是（) A.25 B.28 C.29 D.32 A.若a=2,则a4=8 2.*(2025·江西景德镇高二月考)设Sn是等 B.{a2n}是等差数列 差数列{an}的前n项和，若S3=15,Sg-S= C.S20=300 18,则S8= D.若S31=748,则a=13 A.132 B.88 C.44 D.33 9.*已知等差数列110,116,122，…，在区间 3.(2025·江苏南通海安中学高二月考) [450,600]上，该数列有 项，它们的 设Sn为等差数列{a}的前n项和，已知S3= 和为 4,S6=10,则a16+a17+a18= ( 10.*已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 A.12 B.14 C.16 D.18 数列S,S。-S,S,-S6,…的前n项和为6n2+ 4.*(2025·河北沧州高二月考)已知Sn为等 3n,则a1o1= 差数列1a,的前n项和，若=1(m≥2 11.整(2025·河南商丘高二期末)已知数列 (an+1,n为奇数， {an}的首项是1，a+1= 且meN),则2a-1-S3 (an+2,n为偶数 (1)证明：{an}的奇数项成等差数列； A.1 B.2 C.-1 D.-2 (2)求{an}的前n项和Sn 5.*(2025·江苏徐州高二期中)在等差数列 {an}中，a1=9,a4=3,设Tn=|a11+la2|+…+ lan1,则T31= ( A.281 B.651 C.701 D.791 6.**(2025·广东广州高二月考)已知{an}为 等差数列，其前n项和为Sn,若S1=11,则下 列各式的值不能确定的是 A.a6 B.a2+a3+a13 S2,S20 C.S1+S21 D.220 7.*(2025·山西太原高二期中)已知等差数 列a的前n项和为S,且S,=4a,+3,。 (n∈N*)是以1为公差的等差数列，则下列 结论正确的是 ( A.a5=10 B.a10=20 C.S10=55 D.S20=110 选择性必修第二册·RJ黑白题10