寒假作业04 等比数列及其前n项和的性质与应用（8知识点+6大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 等比数列及其前n项和的性质与应用 一、等比数列的定义及通项公式 1、等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 2、对等比数列概念的理解 （1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项； （2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列； （3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列； （4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比； （5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。 3、等比数列的通项公式 （1）等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：. （2）通项公式的变形：或 二、等比中项 1、定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列 2、对等比中项概念的理解 （1）G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项． 此时，，即等比中项有两个，且互为相反数． （2）时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方， 即在等比数列中， 3、等差中项与等比中项区别 （1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； （2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。 三、等比数列的性质 1、“子数列”性质 （1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列， 即，，，…仍是等比数列，公比为 2、等比数列的运算性质 在等比数列中，若，则； （1）特别地，时，； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 3、两等比数列合成数列的性质 若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数， 则数列、、也是等比数列； 四、等比数列的判定方法 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列. 五、等比数列常用的两种解题方法 1、基本量法（基本方法） （1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解； （2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁。 2、性质法（利用等比数列的性质解题） （1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； （2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量。 六、等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 七、等比数列前n项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。 八、等比数列前n项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则. 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等比数列的基本量计算 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 2．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 3．（25-26高二上·湖北黄冈·月考）已知实数，，，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 5．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．2 C． D． 6．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知为等比数列，其前项和为，，.数列公比的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25高二下·福建厦门·期末）记正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 题型二 等比数列的性质 1．（24-25高二下·辽宁·期末）在等比数列中，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·广东中山·月考）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．3 B．5 C． D．30 3．（24-25高二上·山西吕梁·期末）数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的前项和为，则（    ） A．14 B．18 C．20 D．30 5．记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 6．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三 等比数列的证明 1．（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式. 2．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 3．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.记.证明：数列是等比数列，并且求出其通项公式. 4．（23-24高二下·广东江门·期末）已知数列的前项和为. (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； 5．已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列. 6．数列的前n项和记为，已知，（），求证：数列是等比数列； 7．已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； 题型四 等比数列奇偶项性质 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 2．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（    ）. A．11 B．12 C．13 D．14 3．已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 4．已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比 . 5．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 题型五 等比数列an与Sn的关系 1．（24-25高二下·陕西渭南·月考）等比数列的前n项和，则（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 3．（24-25高二下·陕西·月考）（多选题）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 4．公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 5．数列的前n项和记为，已知.则 . 题型六 等比数列在实际问题中的应用 1．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 2．（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 3．（25-26高二上·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 4．（24-25高二上·广东广州·期末）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ） （参考数据：） A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元 5．（25-26高二上·山东济南·月考）从年起到年，某人每年的月日到银行存入元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到年月日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·青海海南·期末）如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于（   ） A．32 B．40 C．48 D．64 1．（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 2．（25-26高二上·陕西延安·月考）若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江·月考）记正项等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 6．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 7．（25-26高二上·江苏苏州·月考）一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为（    ）． A． B． C．20 D．110 8．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选题）为等比数列的前项和，为的公比（），，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）（多选题）设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知正项等比数列的前n项和为，公比为，，则 . 11．已知数列的前n项和为，且满足，则的通项公式为 12．已知等比数列的前项和为，若，则 ． 13．（25-26高二上·陕西西安·月考）数列的前项和为，且满足.则的通项公式为 . 14．（25-26高二上·江苏南京·月考）设数列满足，且，则 . 15．（25-26高二上·湖南·月考）已知是递增的等比数列，若，且的前项和，则 . 16．正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前10个正方形的面积和为 ． 17．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设等比数列的前项和为，若，则 ． 18．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知正项等比数列的前项和为，且，则 . 19．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为 20．若数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 21．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； 22．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足：，，． (1)求证：成等比数列； 23．数列满足，. (1)证明：数列是等比数列； 24．已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； 25．在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； 1．（25-26高二上·浙江宁波·月考）设等比数列的首项为65，公比为，记为数列的前项积，若对于任意，都有成立，则正整数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26高二上·江苏南京·月考）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则n的最大值为4047 3．（25-26高二上·陕西·月考）已知数列满足，其前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西吕梁·月考）（多选题）已知数列的前项和为，且，则（   ） A．1024不是的项 B．为等差数列 C．为等比数列 D．的前项和等于 5．（25-26高二上·江苏扬州·月考（多选题））有一列数：1，1，2，3，5，8，．．．，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的有（    ） A． B．，若数列为等比数列，公比为，则 C． D． 6．（24-25高二下·海南·期中）已知等差数列的公差，由中的部分项组成的数列为等比数列，若，，则数列的前6项之和为 ． 7．（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为 ，次操作后图中所有圆的面积总和为 . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 等比数列及其前n项和的性质与应用 一、等比数列的定义及通项公式 1、等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 2、对等比数列概念的理解 （1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项； （2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列； （3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列； （4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比； （5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。 3、等比数列的通项公式 （1）等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：. （2）通项公式的变形：或 二、等比中项 1、定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列 2、对等比中项概念的理解 （1）G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项． 此时，，即等比中项有两个，且互为相反数． （2）时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方， 即在等比数列中， 3、等差中项与等比中项区别 （1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； （2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。 三、等比数列的性质 1、“子数列”性质 （1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列， 即，，，…仍是等比数列，公比为 2、等比数列的运算性质 在等比数列中，若，则； （1）特别地，时，； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 3、两等比数列合成数列的性质 若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数， 则数列、、也是等比数列； 四、等比数列的判定方法 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列. 五、等比数列常用的两种解题方法 1、基本量法（基本方法） （1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解； （2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁。 2、性质法（利用等比数列的性质解题） （1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； （2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量。 六、等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 七、等比数列前n项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。 八、等比数列前n项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则. 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等比数列的基本量计算 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，结合等比数列性质运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得， 所以. 故选：C 2．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比. 【详解】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 3．（25-26高二上·湖北黄冈·月考）已知实数，，，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质分析求解，注意各值的符号判断. 【详解】因为实数，，，，成等比数列， 由等比数列的性质可得，解得，或， 又因为，即，可得， 所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的下标性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 所以，设等比数列的公比为， 由， 所以， 故选：C 5．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列前项和公式和通项公式分析计算即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为. 当时， ，不满足，舍去； 当时，， 所以， 所以，解得. 所以. 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知为等比数列，其前项和为，，.数列公比的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据前项和的定义可得，再结合等比数列通项公式运算求解即可. 【详解】因为，，则， 可得，解得， 所以数列公比的值为2. 故选：A. 7．（24-25高二下·福建厦门·期末）记正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由等比数列的通项的性质求得再根据求得公比，进而由即可求得. 【详解】设的公比为. 由，得，所以 则，即 解得或（舍）， 所以. 故选：C. 8．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】设出公比，从而根据题目条件得到方程组，求出，再利用求出答案. 【详解】设公比为，，，故， ， 两式相除得，故. 故选：D 题型二 等比数列的性质 1．（24-25高二下·辽宁·期末）在等比数列中，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列性质得到，结合题目条件求出答案. 【详解】由等比数列的性质可知，又，所以． 故选：D． 2．（23-24高二上·广东中山·月考）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．3 B．5 C． D．30 【答案】B 【分析】为等比数列，得到，结合对数运算法则得到. 【详解】为等比数列，，故， 且， 故. 故选：B 3．（24-25高二上·山西吕梁·期末）数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据等比数列的单调性判断时，的前n项积越来越大 ，当时，的前n项积越来越小 ，从而可得答案. 【详解】因为，所以数列是递减数列， ，， 所以 所以时，的前n项积越来越大 ， 当时，的前n项积越来越小 ， 所以当数列的前项积最大时的值为4． 故选：C． 4．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的前项和为，则（    ） A．14 B．18 C．20 D．30 【答案】D 【分析】根据等比数列的前项和的片段和性质得到新的等比数列即可求解. 【详解】是等比数列，， 成首项为2，公比为2的等比数列， ，故. 故选：D. 5．记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列前项和的性质，成等比，公比为，结合即可求公比. 【详解】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 6．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质：等比数列的片断和成等比数列求解． 【详解】设，则， 因为是等比数列，所以也成等比数列，且公比为， 所以，即， 所以. 故选：B. 题型三 等比数列的证明 1．（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推公式可得，即，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出的通项，即可得到的通项公式 【详解】（1）因为，即， 又，即，又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得， 所以， 2．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知求出，，即可得出证明； （2）根据等比数列通项公式得出，即可得出答案； 【详解】（1）由已知可得，，， 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以有， 所以，. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.记.证明：数列是等比数列，并且求出其通项公式. 【答案】证明见解析， 【分析】将已知式子变形，再结合等比数列的定义即可证明． 【详解】方法一：因为，所以（提示：凑出）， 又，所以，又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以． 方法二：因为当时，（提示：将代入），， 所以是首项和公比均为2的等比数列，所以． 4．（23-24高二下·广东江门·期末）已知数列的前项和为. (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析， 【分析】(1)利用数列和与项的关系求证数列是首项为6，公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式求得. 【详解】（1）证明：由，可得，解得 当时，由，可得 两式相减可得，整理为 又，则 所以数列是首项为6，公比为2的等比数列 可得 所以 5．已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)，数列不是等比数列 【分析】（1）化简变形为，结合定义即可证明； （2）由即可判断. 【详解】（1）由，， 得，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，， 所以 所以数列不是等比数列. 6．数列的前n项和记为，已知，（），求证：数列是等比数列； 【答案】证明见解析 【分析】由化简已知条件，得到，从而证得数列是等比数列. 【详解】证明：∵，， ∴. 即，∴，而， 故是以2为公比的等比数列. 7．已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； 【答案】(1)证明见解析 【分析】(1)由变形整理得到，从而证明出结论； 【详解】（1）由得， 则，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 题型四 等比数列奇偶项性质 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 2．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（    ）. A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】根据已知条件得出数列的奇数项和偶数项之间的关系，可求得公比，再由等比中项和前3项之积可求得，从而求得首项. 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴， 设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即， ∴，∵,∴解得， 又前3项之积，解得，∴. 故选:B. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，等比中项，以及奇数项和偶数项的关系，属于基础题. 3．已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由和等比数列的前n项和可得答案. 【详解】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，，所以， 故选：C． 4．已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比 . 【答案】 【分析】利用以及已知条件可求得的值. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， 由，得，因为，所以，所以，. 故答案为：. 5．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 题型五 等比数列an与Sn的关系 1．（24-25高二下·陕西渭南·月考）等比数列的前n项和，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列的前n项和求出首项，再求出时的通项公式，代入即可得到结论. 【详解】在等比数列中，由前n项和，则， 当时，由， 所以，即. 故选：D 2．（23-24高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】法一：由性质可得答案；法二：求出，再求出其公比为2，则，化简即可. 【详解】法一：设等比数列的公比为， 等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1， 则， 令，则有，由题意，得. 法二：当时，， 当时，. ， 为等比数列，当时，， 化简得. 故选：C. 3．（24-25高二下·陕西·月考）（多选题）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A令即可；利用降标作差求出，即可求出数列的通项公式，即可判断BC选项；D将通项公式代入即可. 【详解】当时，，解得，A正确. 当时，，所以，即， 则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确； 由上知，B错误； ，D正确. 故选：ACD 4．公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】 由等比数列性质得，求值即可. 【详解】公比为2的等比数列，， 则. 故答案为： 5．数列的前n项和记为，已知.则 . 【答案】 【分析】由，分和，利用数列通项和前n项和的关系求解. 【详解】由， 当时，， 当时，得， 两式相减得，即， 又， 所以是从第二项开始的等比数列， 所以， 综上：， 故答案为： 题型六 等比数列在实际问题中的应用 1．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等比数列列式计算即得. 【详解】依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列， 设马主人应偿还升粟，则，解得， 所以马主人应偿还升粟. 故选：C 2．（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【答案】C 【分析】由已知结合等差数列与等比数列的求和公式即可判断． 【详解】第一种可以领取报酬元； 第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列， 则第二种可以领取报酬元； 第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列， 则第三种可以领取报酬元， 因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬． 故选：C． 3．（25-26高二上·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比， 则该热气球在前3分钟里上升的总高度为米. 故选：C 4．（24-25高二上·广东广州·期末）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ） （参考数据：） A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元 【答案】C 【分析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，由求出通项，再结合数列求和即可得解. 【详解】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列， 依题意，当时，，即， 因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即， 则， 所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元. 故选：C 5．（25-26高二上·山东济南·月考）从年起到年，某人每年的月日到银行存入元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到年月日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每年存入的本息和，利用等比数列求和公式可得答案. 【详解】年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 年月日到银行存入元，则一年后存款及利息是， 则到年月日存款及利息是 到年月日将所有存款及利息全部取出: . 故选：D. 6．（24-25高二下·青海海南·期末）如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于（   ） A．32 B．40 C．48 D．64 【答案】A 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得，代入求出的通项公式，然后根据等比数列的前n项和的公式得到的和即可求解. 【详解】记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，，第n个正方形的面积为， 设第n个正方形的边长为,则第n个正方形的对角线长为， 所以第n+1个正方形的边长为，， 即数列{}是首项为，公比为的等比数列，， 数列{}是首项为，公比为的等比数列， ， 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于32. 故选：A 1．（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】B 【分析】根据已知及等比数列的通项公式列方程求基本量，进而求项. 【详解】设数列的公比为，则， 由题意得：，，且， 所以，，则， 整理得，解得，舍去）， 所以，则. 故选：B 2．（25-26高二上·陕西延安·月考）若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的通项公式得、等比中项的性质及等比数列通项公式得，即可求. 【详解】若1，，，，4的公比为，则， 由题设，，则（负值舍）， 所以. 故选：A 3．（25-26高二上·浙江·月考）记正项等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列前项和的性质，通过建立方程求出公比，再计算. 【详解】由等比数列前项和的性质，，根据题设，，可得：，即， 因为是等比数列，设公比为（，正项数列），则， 代入上式得：， 由于，两边同时除以得：，整理为，即， 因为，所以， 根据等比数列前项和公式得：， 因此. 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列的性质确定也是等比数列即可求解. 【详解】由， 因为为等比数列，，所以， 可得：，， 易知构成首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为等比数列的前项和求解. 【详解】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 同理可得：2016年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； 2017年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； …… 2024年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 所以，2025年10月1日取出前面的存款共有：. 故选：D 6．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 【答案】C 【分析】判断第n小时后细胞的个数构成等比数列，即可求出的表达式，解不等式，即可求得答案. 【详解】记第n小时后细胞的个数为，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， 故， 令，得， 则，故， 又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时. 故选：C 7．（25-26高二上·江苏苏州·月考）一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为（    ）． A． B． C．20 D．110 【答案】B 【分析】根据等比数列的公式及性质可得解. 【详解】由题意得. 故选：B. 8．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选题）为等比数列的前项和，为的公比（），，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题目条件列出方程，求出等比数列的首项和公比，代入等比数列的通项公式和前项和公式，即可依次判断每个选项的正误. 【详解】对于等比数列，有，依题意，，解得或（舍），，选项A正确； ，选项B错误； 对于等比数列，有，因此，选项C错误； 对于等比数列，有，， 则，，选项D正确. 故选：AD. 9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）（多选题）设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据等比数列的性质依次分析选项即可． 【详解】由题意知， A：由正项数列，且得，由得， 所以，又，所以，故A错误； B：由，， 即，故B正确； C： ，故C正确； D：因为是各项为正数的等比数列，， 有 所以， 所以，故D错误． 故选：BC． 10．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知正项等比数列的前n项和为，公比为，，则 . 【答案】3 【分析】将用表示，由等比数列通项公式代入化简求值. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以，解得或， 因为，所以，所以不满足条件， 所以. 故答案为：3. 11．已知数列的前n项和为，且满足，则的通项公式为 【答案】 【分析】根据数列的项与前n项和的关系，直接求解即可. 【详解】当n＝1时，； 当时，． 综上，． 故答案为：． 12．已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】法一：利用求通项公式，结合等比数列的定义求参数值，法二：应用等比数列前n项和公式求参数值. 【详解】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则不可能恒相等, 所以，则，所以． 故答案为：. 13．（25-26高二上·陕西西安·月考）数列的前项和为，且满足.则的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据和的关系得到，然后再验证不满足该式，最后根据等比数列通项公式即可求解. 【详解】由可得，两式作差得，即， 又，所以，，不满足， 所以 故答案为： 14．（25-26高二上·江苏南京·月考）设数列满足，且，则 . 【答案】1 【分析】根据对数的运算得到，所以数列是以为公比的等比数列，再利用等比数列的性质计算即可. 【详解】因为，得，所以， 所以，所以数列是以为公比的等比数列，，所以 所以 ，所以 故答案为：1 15．（25-26高二上·湖南·月考）已知是递增的等比数列，若，且的前项和，则 . 【答案】4 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的性质，得到，结合，求得，再由，列出方程，求得，进而求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 由等比数列的性质，可得， 又由，所以是方程的两个根，解方程得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 又因为，解得， 因为，解得. 故答案为：. 16．正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前10个正方形的面积和为 ． 【答案】 【分析】由题意可得每个正方形的面积成等比数列，其首项为，公比，根据等比数列的求和公式求解即可. 【详解】设为第个正方形的面积， 则有 所以是等比数列，其首项为，公比， 所以数列的前10项和. 故答案为： 17．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】31 【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 18．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知正项等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】52 【分析】由题意，根据等比数列的性质可知成等比数列，结合等比中项的应用计算即可求解. 【详解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列， 则， 即， 两式相除得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得， 所以. 故答案为：52 19．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为 【答案】10 【解析】设等比数列项数为项，公比为，由题意可求出，结合等比数列的性质和前项和公式可知，进而可求出项数. 【详解】设等比数列项数为项，公比为，则，， 由， 解得，因为是公比为的等比数列，则 ， 即，解得， 故答案为:10. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 20．若数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据数列的关系，当时，，构造等比数列求解. 【详解】由得到， 当时，， 两式相减，有，得到， 由于，所以， 因为，由上述递推关系知， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为：. 21．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）变形为，进而利用等比数列定义证明即可； 【详解】（1）因为，所以， 设，则， 又因为， 所以是以2为首项，4为公比的等比数列. . 22．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足：，，． (1)求证：成等比数列； 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）令，根据已知条件证明为常数即可； 【详解】（1）由题意，， 令，即， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即可证明数列为等比数列. 23．数列满足，. (1)证明：数列是等比数列； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）利用构造法来证明即可； 【详解】（1）由可得：， 因为，所以数列是等比数列，首项和公比均为； 24．已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； 【答案】(1)证明见解析；； 【分析】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式； 【详解】（1）由，得， 因为是正项数列，所以，即，又， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以，即. 25．在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2)（） 【分析】（1）首先对等式进行等价变形可得：，然后再根据等比数列的定义进行证明即可； （2）由（1）可知为等比数列，先求解的通项公式，进而求解数列的通项公式； 【详解】（1）已知，两边同时取倒数得：， 两边同时加可得：， 由此可得：，当时，， 因此得证：为等比数列，其首项为，公比. （2）由（1）可得：为等比数列，其首项为，公比. 因此可得：，得： （） 1．（25-26高二上·浙江宁波·月考）设等比数列的首项为65，公比为，记为数列的前项积，若对于任意，都有成立，则正整数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意先求出等比数列的通项公式，从而得到的表达式，将问题转化为求取最大值时对应的的问题即可. 【详解】因为等比数列的首项为65，公比为， 所以， 因为对于任意，都有成立， 所以的最大值为. 当取最大值时，，且. 令，即，而， 所以满足的最大整数为6，即， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在时取得最大值，即， 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏南京·月考）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则n的最大值为4047 【答案】D 【分析】首先分析，再由得到，，即，然后逐项判断. 【详解】根据题意，等比数列的公比为， 若，则， 又由，必有，则数列各项均为正值， 若，即，必有，，则必有， 依次分析选项： 对于A，数列各项均为正值，则，必有，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C：根据，所以是数列中的最大项，故C正确， 对于D：由,， 可知，故D错误； 故选：D. 3．（25-26高二上·陕西·月考）已知数列满足，其前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析数列的性质，利用等比数列的求和公式进行计算即可. 【详解】令，则. 由，所以， 两式相除可得：. 所以数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列. 所以 . 故选：B 4．（25-26高二上·山西吕梁·月考）（多选题）已知数列的前项和为，且，则（   ） A．1024不是的项 B．为等差数列 C．为等比数列 D．的前项和等于 【答案】BCD 【分析】已知数列满足，求得通项，选项：利用通项公式与等比数列定义验证1024是否在数列中；选项：利用对数运算与等差数列定义判断的等差性；选项：利用数列差与等比数列定义判断的等比性；选项：利用等比数列求和公式结合计算前项和是否等于. 【详解】因为，所以当时，，所以； 当时，，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故. 则，是的第11项，故A错误； ，所以为等差数列，故B正确； ，易知为等比数列，故C正确； ，易知为等比数列，其首项为1，公比为4， 所以的前项和等于，故D正确． 故选：BCD 5．（25-26高二上·江苏扬州·月考（多选题））有一列数：1，1，2，3，5，8，．．．，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的有（    ） A． B．，若数列为等比数列，公比为，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，先确定数列的周期，再结合周期计算的值.选项B，结合等比数列定义与斐波那契数列递推关系，推导与公比的关系进行判断.选项C，利用的周期求出一个周期内的和，再结合项数的周期余数计算前2020项和.选项D，通过累加斐波那契数列的递推式，化简得到前项和与的关系. 【详解】由题意，斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，．．．， 各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为， 可得数列的各项分别为， 所以数列是周期为6的周期数列．因为， 所以，故正确； 因为，且， 所以 ，故C正确； ，若数列为等比数列，公比为， 则，又， 则，则，且， 则，且，故错误； 因为， 将上面各式相加得， ， 即， 则， 即，故D正确. 故选：ACD 6．（24-25高二下·海南·期中）已知等差数列的公差，由中的部分项组成的数列为等比数列，若，，则数列的前6项之和为 ． 【答案】120 【分析】先由题设条件，推出，求得，由数列为等比数列，求出数列的公比，利用公比依次通过求出，，得到，即可求解. 【详解】依题意，为等比数列，故，即， 化简得：，因，则，则， 设等比数列的公比为，则， 于是，故；，故；，故， 则数列的前6项之和为. 故答案为：120. 7．（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为 ，次操作后图中所有圆的面积总和为 . 【答案】 【分析】由题意可知小圆半径是首项为，公比为等比数列；大圆半径是首项为，公比为等比数列，结合等比数列前项和公式计算即可求解. 【详解】次操作后，小圆的半径依次为， 大圆的半径依次为， 所以小圆半径是首项为，公比为等比数列， 大圆半径是首项为，公比为等比数列， 4次操作后图中最小的圆的半径为； 次操作后，小圆面积和为： ， 大圆面积和为： 所以大圆与小圆面积和为， 则所有圆的面积总和为. 故答案为： 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $