周周测18 第四章数列求和专题复习（数学人教A版选择性必修第二册）

**基本信息** 聚焦数列求和专题，通过单选、多选、填空及解答题的梯度设计，全面考查Sn与an关系、等比数列求和、错位相减等核心方法，融合函数奇偶性等知识，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|Sn与an关系、裂项相消求和|基础巩固，突出概念理解| |多项选择|3/18|等比数列性质、数列单调性判断|辨析能力，强化逻辑推理| |填空题|3/15|递推数列求通项、分组求和|分层设计，考查转化能力| |解答题|5/77|等差等比综合、错位相减求和、新数列证明|综合应用，发展模型意识与创新思维|

2026-2027学年高二上学期数学周周测18 第四章数列求和专题复习 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知数列的前项和为．若，则（   ） A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】C 【分析】根据得到，，，，相加得到答案. 【详解】因为，所以，，，， 所以 故选：C 2．已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 的值为（   ）. A．2045 B．2046 C．2047 D．2048 【答案】B 【分析】利用递推公式并项求和即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：B 3．设， A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【详解】由于，故原式. 点睛：本题主要考查函数变换，考查倒序相加法.首先注意到要求值的式子的规律：第一个自变量和最后一个自变量的和为，第二个自变量和倒数第二个自变量的和为，依次类推.故猜想的值为常数或者有规律的数，通过计算可知，手尾两项的和为，由此求得表达式的值. 4．等于（    ） A． B．－ C． D． 【答案】C 【解析】对分奇数和偶数讨论，并采用并项求和的方法，简单计算，可得结果. 【详解】当n为偶数时， 当n为奇数时， 所以 综上可得： 故选：C 【点睛】本题主要考查并项求和的方法，考验观察能力以及分析能力，属基础题. 5．记数列的前项和为，若，则（    ） A．590 B．602 C．630 D．650 【答案】A 【分析】根据作差得到，再计算出，即可得到，再利用并项求和法计算可得. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得. 由，，解得， 所以，满足上式，故， 所以 . 故选：A 6．定义在上的奇函数满足，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的一个周期为4，当为奇数时，，当为偶数时，，当时，，从而裂项相消法求和得到答案. 【详解】为偶函数，故，故， 为奇函数，故，所以， 故，故的一个周期为4， 其中，，故，即， 又，同理， 当为奇数时，，当为偶数时，， 当时，， 所以. 故选：D 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列命题正确的有（   ） A．若数列为等比数列，为其前项和，则，，，…成等比数列； B．已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8； C．已知数列的前项和为，则使的最小正整数为12； D．已知数列满足，设的前项和为，则． 【答案】BD 【分析】当时，A选项不成立；根据数列的单调性判断B选项；C选项，解一元二次不等式求得的范围；D选项，利用并项求和计算. 【详解】A选项，若，当为偶数时，，此时，不是等比数列，A错误； B选项，， 时，，随着的增大而减小，当时，，随着的增大而减小， 所以取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8，B正确； C选项，由得，所以使的最小正整数为，C错误； D选项，，所以，D正确. 故选：BD. 8．已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 【答案】AB 【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】因数列满足，显然，， 两边取倒数得：，即有，而， 因此，数列是首项为4，公比为2的等比数列，A正确； 于是得，整理得，数列的通项公式为，B正确； 因，即数列是递减数列，C不正确； 因，则，D不正确. 故选：AB 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知数列的前项和为，且满足，_______________. 【答案】 【解析】在时，利用得出数列的递推关系式，这样我们在求数列和时只要从第一项开始两项并一组，变可以求得偶数项和．而题中求正好可求。 【详解】解：当时有得，当时，①，又②，②－①得整理得；于是得，得，得，…，，； ． 故答案为：． 【点睛】本题考查由数列前项和与项的关系求通项，考查并项求和，考查等比数列的前项和公式．虽然考查知识点较多，但顺着题求解也较容易，属于中档题． 10．已知数列中，，，则___________.若，则数列的前n项和___________. 【答案】 【分析】构造等比数列，即可得解第一空；求出通项公式，然后用分组求和即可得解第二空. 【详解】由，有，. 两式相除得到， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，， 又，所以. 所以. ， 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：第一空的关键是求和，然后通过两式相除构造出等比数列，然后即可得解，第二空的关键是，借助第（1）空的答案求出通项公式后，发现可以用分组求和即可得解. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知数列满足：， (1)求a2，a3； (2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式； (3)求数列前20项中所有奇数项的和． 【答案】(1)，； (2)证明见解析，； (3). 【分析】（1）根据题中递推关系式，依次代入即可求得结果； （2）根据题意，先求出，再计算得，即可证明是等比数列，进而求得； （3）将前20项奇数项的和利用递推式转化为关于偶数项的和，再利用将关于的计算转化为关于的计算，进而求得结果. 【详解】（1）令，得，令，得； （2）根据题意，得，， 所以， 所以数列是，的等比数列，故； （3）由（2）可得， 所以数列前20项中所有奇数项的和 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测18 第四章数列求和专题复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知数列的前项和为．若，则（   ） A．48 B．50 C．52 D．54 2．已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 的值为（   ）. A．2045 B．2046 C．2047 D．2048 3．设， A．4 B．5 C．6 D．10 4．等于（    ） A． B．－ C． D． 5．数列中，，，则（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 6．记数列的前项和为，设，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 7．记数列的前项和为，若，则（    ） A．590 B．602 C．630 D．650 8．定义在上的奇函数满足，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．下列命题正确的有（   ） A．若数列为等比数列，为其前项和，则，，，…成等比数列； B．已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8； C．已知数列的前项和为，则使的最小正整数为12； D．已知数列满足，设的前项和为，则． 10．数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是等差数列 D．为周期数列 11．已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前项和为，且满足，_______________. 13．在数列中，，则的通项公式为__________，若，则的前99项和__________． 14．已知数列中，，，则___________.若，则数列的前n项和___________. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 16．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 17．已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，且，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求； (3)求数列的前n项和． 18．已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 19．已知数列满足：， (1)求a2，a3； (2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式； (3)求数列前20项中所有奇数项的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测18 第四章数列求和专题复习 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知数列的前项和为．若，则（   ） A．48 B．50 C．52 D．54 2．已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 的值为（   ）. A．2045 B．2046 C．2047 D．2048 3．设， A．4 B．5 C．6 D．10 4．等于（    ） A． B．－ C． D． 5．记数列的前项和为，若，则（    ） A．590 B．602 C．630 D．650 6．定义在上的奇函数满足，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列命题正确的有（   ） A．若数列为等比数列，为其前项和，则，，，…成等比数列； B．已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8； C．已知数列的前项和为，则使的最小正整数为12； D．已知数列满足，设的前项和为，则． 8．已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知数列的前项和为，且满足，_______________. 10．已知数列中，，，则___________.若，则数列的前n项和___________. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知数列满足：， (1)求a2，a3； (2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式； (3)求数列前20项中所有奇数项的和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测18 第四章数列求和专题复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知数列的前项和为．若，则（   ） A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】C 【分析】根据得到，，，，相加得到答案. 【详解】因为，所以，，，， 所以 故选：C 2．已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 的值为（   ）. A．2045 B．2046 C．2047 D．2048 【答案】B 【分析】利用递推公式并项求和即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：B 3．设， A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【详解】由于，故原式. 点睛：本题主要考查函数变换，考查倒序相加法.首先注意到要求值的式子的规律：第一个自变量和最后一个自变量的和为，第二个自变量和倒数第二个自变量的和为，依次类推.故猜想的值为常数或者有规律的数，通过计算可知，手尾两项的和为，由此求得表达式的值. 4．等于（    ） A． B．－ C． D． 【答案】C 【解析】对分奇数和偶数讨论，并采用并项求和的方法，简单计算，可得结果. 【详解】当n为偶数时， 当n为奇数时， 所以 综上可得： 故选：C 【点睛】本题主要考查并项求和的方法，考验观察能力以及分析能力，属基础题. 5．数列中，，，则（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 【答案】C 【分析】化简得到，利用裂项相消法求和，得到方程，求出答案. 【详解】， 故， 解得. 故选：C 6．记数列的前项和为，设，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由，求出；再由裂项求和的方法，求数列的前10项和即可. 【详解】因为数列的前项和为，， 所以，当时，， 又满足，所以； 因此， 因此数列的前10项和为： . 故选A. 【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记裂项求和的方法即可，属于常考题型. 7．记数列的前项和为，若，则（    ） A．590 B．602 C．630 D．650 【答案】A 【分析】根据作差得到，再计算出，即可得到，再利用并项求和法计算可得. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得. 由，，解得， 所以，满足上式，故， 所以 . 故选：A 8．定义在上的奇函数满足，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的一个周期为4，当为奇数时，，当为偶数时，，当时，，从而裂项相消法求和得到答案. 【详解】为偶函数，故，故， 为奇函数，故，所以， 故，故的一个周期为4， 其中，，故，即， 又，同理， 当为奇数时，，当为偶数时，， 当时，， 所以. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．下列命题正确的有（   ） A．若数列为等比数列，为其前项和，则，，，…成等比数列； B．已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8； C．已知数列的前项和为，则使的最小正整数为12； D．已知数列满足，设的前项和为，则． 【答案】BD 【分析】当时，A选项不成立；根据数列的单调性判断B选项；C选项，解一元二次不等式求得的范围；D选项，利用并项求和计算. 【详解】A选项，若，当为偶数时，，此时，不是等比数列，A错误； B选项，， 时，，随着的增大而减小，当时，，随着的增大而减小， 所以取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8，B正确； C选项，由得，所以使的最小正整数为，C错误； D选项，，所以，D正确. 故选：BD. 10．数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是等差数列 D．为周期数列 【答案】ACD 【分析】求出前4项，当n为奇数时有，当n为偶数时有，推出数列是以4为周期的周期数列，可判断A；由可求值判断B；利用数列的周期性可求出的通项公式，判断C；因为与除以4所得余数相等，所以为周期数列，判断D. 【详解】由题意，数列满足，， 当时，，，当时，， 当时，；若为奇数，则，为偶数，，为奇数， 则，，，； 若为偶数，则，为奇数，，为偶数， 则，，，， 所以数列是以4为周期的周期数列.，A正确； ，B错误； ，是公差为的等差数列，C正确； 由上述讨论可知，是周期为4的周期数列， 因为与除以4所得余数相等，所以D正确. 故选：ACD. 11．已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 【答案】AB 【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】因数列满足，显然，， 两边取倒数得：，即有，而， 因此，数列是首项为4，公比为2的等比数列，A正确； 于是得，整理得，数列的通项公式为，B正确； 因，即数列是递减数列，C不正确； 因，则，D不正确. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前项和为，且满足，_______________. 【答案】 【解析】在时，利用得出数列的递推关系式，这样我们在求数列和时只要从第一项开始两项并一组，变可以求得偶数项和．而题中求正好可求。 【详解】解：当时有得，当时，①，又②，②－①得整理得；于是得，得，得，…，，； ． 故答案为：． 【点睛】本题考查由数列前项和与项的关系求通项，考查并项求和，考查等比数列的前项和公式．虽然考查知识点较多，但顺着题求解也较容易，属于中档题． 13．在数列中，，则的通项公式为__________，若，则的前99项和__________． 【答案】 9 【分析】先将已知递推关系两边同时除以后得到等差数列，再由公式法求出数列；由裂项相消法求和可得. 【详解】由，得，所以． 所以数列是首项为，公差为1的等差数列，则， 所以， 从而． 故答案为：；9. 14．已知数列中，，，则___________.若，则数列的前n项和___________. 【答案】 【分析】构造等比数列，即可得解第一空；求出通项公式，然后用分组求和即可得解第二空. 【详解】由，有，. 两式相除得到， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，， 又，所以. 所以. ， 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：第一空的关键是求和，然后通过两式相除构造出等比数列，然后即可得解，第二空的关键是，借助第（1）空的答案求出通项公式后，发现可以用分组求和即可得解. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程，结合且解出、的值，即可得出数列、的通项公式； （2）利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）由于等比数列的通项公式：且，所以， 故，因为且，所以，所以， 因为数列是等差数列，公差为， 所以，故，所以， 所以， 因此等比数列通项公式为，等差数列的通项公式为. （2）因为，根据题意得：， 由（1）得，. 故. 16．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明： ∴ 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【详解】（1）∵ ，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2）略 17．已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，且，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为（），由得， 由成等比数列，得，即， 展开整理得，因，故， 联立，解得，， 因此. （2）由等差数列前项和公式，得. （3）由， 设数列的前项和为， 则. 18．已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出. 【详解】（1）因为为等差数列，设公差为d， 由，得，即， 由，，成等比数列得，， 化简得，因为，所以． 所以． 综上． （2）由知，， 又为公比是3的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上. 19．已知数列满足：， (1)求a2，a3； (2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式； (3)求数列前20项中所有奇数项的和． 【答案】(1)，； (2)证明见解析，； (3). 【分析】（1）根据题中递推关系式，依次代入即可求得结果； （2）根据题意，先求出，再计算得，即可证明是等比数列，进而求得； （3）将前20项奇数项的和利用递推式转化为关于偶数项的和，再利用将关于的计算转化为关于的计算，进而求得结果. 【详解】（1）令，得，令，得； （2）根据题意，得，， 所以， 所以数列是，的等比数列，故； （3）由（2）可得， 所以数列前20项中所有奇数项的和 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $