专题02 数列求和专项突破（裂项相消、错位相减、分组求和、奇偶并项、数列不等式综合、放缩）（6大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

**基本信息** 数列求和专项以裂项相消、错位相减等六类方法为核心，构建从基础求和到不等式综合的递进训练体系，通过各地期末真题培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |裂项相消求和|7小题|裂项技巧与通项转化|从通项推导到裂项求和| |错位相减求和|6小题|错位相减步骤与化简|等差乘等比数列求和| |分组求和|4小题|分组转化与分别求和|数列分解为基本数列| |奇偶并项求和|8小题|奇偶项分类与并项技巧|按项数奇偶性分类求和| |数列不等式与参数|8小题|不等式恒成立与参数范围|求和与不等式综合应用| |不等式放缩|5小题|放缩技巧与不等式证明|求和结果的放缩论证|

专题02 数列求和专项突破 （裂项相消、错位相减、分组求和、奇偶并项、数列不等式综合、放缩） 题型1 裂项相消求和（重点） 题型4 奇偶并项求和（重点） 题型2 错位相减求和（重点） 题型5 数列不等式与参数问题（重点） 题型3 分组求和（重点） 题型6 不等式放缩问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 裂项相消求和（共7小题） 1．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合和与项的递推关系进行转化即可求解； （2）利用裂项求和即可求解． 【详解】（1）因为数列的前n项和为，且， 当时，， 当时，，适合上式， 故. （2）， 2．（24-25高二下·四川眉山·期末）记，其中，数列满足． (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题目中的整理与的等量关系，可得的递推公式，根据等差数列的概念，可得答案； （2）由题意整理数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案. 【详解】（1）证明：因为，所以，则，所以． 因为，所以当时，， 所以，代入，得， 两边同时除以并整理得，（）， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即， 所以，即． （2）由（1）得，， 所以， 所以， 即． 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）已知正项数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，得到，两式相减得，结合得出数列的定义，即可证得数列为等差数列； （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）由（1）得，求得，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）证明：因为，所以， 两式相减得， 因为，所以，所以， 又因为，令，可得，解得或（舍去）， 则，符合上式，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． （2）解：由（1）知，数列的通项公式为，则， 可得， 则， 两式相减得， 所以，即数列的前n项和. （3）解：由（1）知，所以， 则， 所以． 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且. (1)若为等比数列，求公比的值； (2)若， （i）证明：数列为等比数列； （ii）求数列的前项和. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出，再结合通项公式及前n项和公式验证判断. （2）（ⅰ）利用前n项和与第n项的关系及已知可得，再利用等比数列定义推理即得；（ⅱ）由（ⅰ）的结论求得，再分奇偶求出，最后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）数列中，，由，得， 则，解得或， 当时，，，， 而，显然不恒成立，因此， 当时，，，，符合题意， 所以. （2）（ⅰ）由，得，两式相减得， 则，当时，， 而，，则，即，， 所以数列为等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则， ，两式相减得， 当时，， 于是，，则； 当时，， 于是，，则， 则， 所以. 5．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记为等比数列的前项和，为的公比且，，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列定义结合等比中项解题即可； （2）根据等比数列定义，求出通项公式，然后用裂项相消法求数列前项和即可. 【详解】（1）在等差数列中，设公差为且， 因为，，成等比数列，则， 又，则 解得或．因为，故， 又因为，所以. （2）由，，可得，又，解得． 所以，又因为， 则， 因此. 6．（24-25高二下·江西·期末）在数列中，是和的等差中项，且集合为单元素集合． (1)求． (2)已知数列为等比数列，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若，证明： 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用等差中项的性质及一元二次不等式的解法，即可求解； （2）（i）根据条件建立方程，结合（1）中结果，联立求解出，即可求解；（ii）根据（i）得，裂项相消，即可求解. 【详解】（1）因为是和的等差中项，所以，即①， 又因为集合为单元素集合，即只有一个解， 所以，得到②， 由①②知． （2）（i）数列的前项为，又由（1）知，所以，即. 又由（1）可知，所以，即， 解得或，因为，所以，则， 则数列的公比为， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 则，得到． （ⅱ）证明：因为， 所以， 又，所以，故命题得证． 7．（24-25高二下·吉林延边·月考）设数列的前项和为，已知，． (1)求通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)记，求数列的前项和，若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，两式相减可得，可得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出通项公式； （2）先求出，再由裂项相消求出数列的前项和； （3）先求出和，再由裂项相消求出，由可得，利用数列的增减性即可求出的最小值. 【详解】（1）当时，， 当时，，两式相减可得：， 所以，又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）因为， 所以 . （3）因为，，令， ， 若，则，所以， 因为在上单调递减，所以， 所以，所以的最小值. 题型二 错位相减求和（共6小题） 8．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可求数列的通项公式； （2），利用错位相减法可求. 【详解】（1），即， 当时，，解得， 当时，， 即， 又数列单调递增，所以，即， 则，，时也符合， 所以. （2）， ， ， , 解得. 9．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列是正项等比数列，满足，，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求； （2）由等差数列的通项公式求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得，由不等式的性质可得证明． 【详解】（1）数列是正项等比数列，满足， 可得， 又，且，解得，， 所以，解得，则； （2）证明：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 可得， ， 数列的前项和， ， 相减可得， 化为， 由，可得． 10．（24-25高二下·河南周口·期末）已知数列满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知有，结合等比数列的定义即可证； （2）由（1）得，整理即可得通项公式； （3）应用错位相减法及等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）由题设，可得，即， 又，故是首项、公比均为的等比数列，得证； （2）由（1），则； （3）由（2）知，故，则， 所以， 所以. 11．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2)， 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式计算得到公差，然后得到通项公式； （2）利用错位相减法计算即可. 【详解】（1）（1）记等差数列的公差为， ，， 又，， 等差数列的通项公式为，. （2）由（1）得， ① ② ①-②得， 所以， 12．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列中，设公差为，由已知可求得等差数列的通项公式，利用及，可得公比和首项，进而可得数列的通项； （2）利用，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论. 【详解】（1）等差数列中，设公差为， 则 由得：时， 时， 为公比为2的等比数列， （2）数列中，． 则 所以 故 所以 13．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式可得，结合等比数列定义分析证明； （2）根据（1）可得，结合等比数列求和公式运算求解； （3）由（2）可得，利用分组求和结合错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为，则， 且，所以是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可得：，即， 所以． （3）由（2）可知：， 设，， 则，， 两式相减得：， 故， 所以． 题型三 分组求和（共4小题） 14．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)。 【分析】（1）应用的关系得，应用等比数列的定义写出通项公式； （2）应用分组求和，并结合等差、等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）由题设且，则，即， 又，故是首项为1，公比为2的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以. 15．（24-25高二下·重庆·期末）数列中，，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等比数列的定义即可证明； （2）由题意，由等差、等比数列求和公式以及分组求和法即可求解. 【详解】（1）由，得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得（，. 所以 . 16．（24-25高二下·北京房山·期末）设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的定义解题即可； （2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列前项和公式解题即可. 【详解】（1）因为是各项均为正数的等比数列，设公比为， 又，所以，， 因为，，所以，所以， 解得或（舍），所以， 所以，因为是等差数列，设公差为，因为，则， 所以. 所以，. （2）有（1）可得， 则 17．（24-25高二下·内蒙古·期末）在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式求解即可. （2）利用基本不等式求解最小值即可，注意验证等号能否成立. （3）结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和方法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，得． （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． （3）因为， 所以． 题型四 奇偶并项求和（共8小题） 18．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知为等差数列的前项和，，，. (1)求的通项公式； (2)记为数列的前项和，设. （ⅰ）求的表达式； （ⅱ）若正整数满足，求的最大值，并说明理由. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）4，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列出首项、公差的方程组求解. （2）（ⅰ）利用等差数列、等比数列前项和公式及分组求和法分别求出，进而求得；（ⅱ）作差判断单调性求解答案. 【详解】（1）设数列的公差为d，由，得，即， 由，得，即，解得， 所以的通项公式是. （2）（i）由（1）知，， 则， ， 所以. （ⅱ）由（i）知，且，则， 因此当时，数列单调递增，即， 又，，， 所以当时，的最大值为4. 19．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而可求得，； （2）由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解． 【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由，，，， 可得，解得：（负的舍去）， 则， （2） ∴ . 20．（24-25高二下·福建·期末）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）通过数列奇数项的递推关系，利用构造法求得数列相邻两项的比值，证明等比数列. （2）通过数列的通项公式得的通项公式，进而得的通项公式，分析通项公式得特点，分组求和、错位相减得前项和. 【详解】（1）证明：因为，，， 所以， 即，， 又， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知， 所以. 则， 设，其前n项和为， 则， ， 两式相减得， 所以， 所以. 21．（24-25高二下·辽宁·期中）已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由条件结合等差数列通项公式和等比数列通项公式列方程求，由此可得结论； （2）先求，再分别确定为偶数时的通项和为奇数时的通项，再利用分组求和法结合裂项相消法和等比数列求和公式求结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， 得，所以 解得， 所以，， （2）由（1）知，， 因此当为偶数时， 当为奇数时，， 所以 . 22．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推公式并结合等差数列的定义即可证明求解； （2）分别讨论为奇偶数并利用分组并项求和，从而可求解. 【详解】（1）证明：若为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，即， 所以的奇数项是首项为，公差为3的等差数列． （2）当时， . 因为， 所以当时， . 综上所述，. 23．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，，，. (1)数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； (2)数列满足：，当时，求数列的前n项和 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由数列递推式构造数列，其中，根据数列的首项是否为0进行分类讨论，即可判断得出结论； （2）由（1）求得，则可得，化简数列的通项公式，得到，再分为奇偶，利用等差等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）当时不是等比数列；当时是等比数列. 理由如下： 因为，，故， 又，故， 当时，，故不是等比数列； 当时，，故是以为首项，3为公比的等比数列. （2）当时，由（1）可知，所以， 所以， 当为偶数时，； 当为奇数时，. 综上所述， 24．（24-25高二下·辽宁丹东·期末）记是数列的前项和，，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)设若，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出，再利用与的关系求解即可； （2）利用分组求和，其中奇数部分利用等差数列的前项和公式，偶数部分利用裂项相消求解即可. 【详解】（1）因为，，设等差数列的公差为，则，解得， 所以，即， 当时，，当时，成立，故． （2）由题意可得 . 25．（24-25高二上·天津·期末）已知等差数列是数列的前项和，满足；数列各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，数列的前项和为； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算确定其首项与公差，可得数列的通项公式；先根据等比中项的概念判断数列为等比数列，再求首项与公比，可确定数列的通项公式； （2）分别求前项中奇数项的和与偶数项的和，再相加即可.其中奇数项的和的求法为裂项相加求和法； （3）弄清楚数列的前项的组成，利用分组求和法求其和. 【详解】（1）等差数列，是数列的前项和，设公差为，由，， 可得，，解得，， 所以； 数列各项都是正数，且满足， ，． 可得数列为等比数列， 所以，解得或舍去， 所以. （2）因为， 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以，， 当为奇数时，， ， 当为偶数时，， 所以， . （3）：，，，，，，，，，，， 从到共有项， 所以，当时，， 故 ． 【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 题型五 数列不等式与参数问题（共8小题） 26．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且. (1)求； (2)求的通项公式； (3)已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）法1，根据给定条件，利用累乘法求出；法2，根据给定的递推公式，利用构造法求出； （2）由（1）的结论，利用前项和与第项的关系求出； （3）由（2）求出，再变形给定不等式分离参数，构造函数并利用导数求出最大值，结合数列特性求解. 【详解】（1）法1：由，得，而，当时， ， 而满足上式，所以. 法2：由，得，则， 因此数列是常数列，则，即， 所以. （2）由（1）得，当时，， 则，而满足上式， 所以的通项公式. （3）由（2）得，依题意，对任意的都成立， 设函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，因此当时，，则， 所以的取值范围是. 27．（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知数列是递增的等比数列且 (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公比为，依题列方程组，求解即得的值，即可写出通项公式； （2）由（1）求得，代入，化简裂项得，求和得，利用数列的增减性即可求得实数的最大值. 【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意得：， 由，解得或，回代入方程组，可得或， 因数列是递增数列，故，则数列的通项公式为. （2）由（1）可得，， 则， 于是，， 因在上单调递增，故， 因不等式对任意的恒成立， 所以的最大值为. 28．（24-25高二下·河南·期末）设同时满足条件：①；②（是常数）的无穷数列叫敞数列．已知数列的前项和满足． (1)证明：是数列； (2)若，数列的前项和为，求使得的最小正整数的值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据与的关系求得数列的通项公式，在根据数列判断即可证明； （2）结合（1），求得数列，根据错位相减法求得，在根据题意求解即可. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，整理得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即， 因为， 所以数列满足条件①， 因为数列公比，所以数列单调递减，即， 故数列满足条件②， 所以是数列得证； （2）由（1）可知， ， ， 两式相减得， 所以，化简得 很显然数列单调递增， 当时，， 当时，， 当时，， 所以要使得成立的最小正整数的值为. 29．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的前项和为，其中为常数，且． (1)求的值，并求； (2)，数列的前项和为，若，都有恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据公式，代入数值，即可求解，再根据公式，即可求通项公式； （2）根据（1）得，再根据错位相减法求和，结合数列的单调性求数列的最值，根据不等式恒成立，求得到范围. 【详解】（1）由已知，，， 所以，则，所以， ， （）， 且也成立， 所以． （2）由（1）可知，，则， 则， ， 两式作差得，， 则， ，， 所以数列为递增数列， 因，则，即， 又，都有恒成立，则，则实数的最小值为． 30．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知数列满足，记． (1)求证：是等差数列； (2)设数列的前n项和为． （i）求； （ii）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析. (2)（i）（ii） 【分析】（1）对题干中的条件两边同时除以，即可证明结论. （2）（i）利用错位相减法即可求得结果. （ii）对n分偶数和奇数分别讨论即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，两边同时除以，得到：， 又因为，所以，又， 故是首项为，公差为等差数列，结论得证； （2）（i）由（1）结论即可得到， 所以，所以①， 两边同乘2得：②， 由得：， 所以. （ii）不等式，代入，得到：， 当n为偶数，不等式变为：，右边随n的增大而减小，故，所以, 当n为奇数，不等式变为：，右边随n的增大而增大，故，所以， 故实数的取值范围为 31．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用递推式求解，退位作差得到时，又，所以数列为等比数列，利用等比数列通项公式求解即可； （2）①先求出，再根据错位相减法求和即可；②原式等价于，利用作差法比较大小，进而确定的最大值即可求解. 【详解】（1）由得，，时，，两式相减得， 即，又，所以数列为公比为2的等比数列， 所以； （2）①由（1）得，， 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，所以， 则，， 两式相减可得 ，所以； ②因为都有不等式成立， 所以恒成立， ， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以. 32．（24-25高二下·四川成都·期中）已知数列满足，其中． (1)设，求证：数列是等差数列； (2)在（1）的条件下，求数列的前项和； (3)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在；． 【分析】（1）结合递推关系，证明为常数即可； （2）由错位相减法求和； （3）命题等价成恒成立，转为说明恒成立，对分奇偶讨论，分别求恒成立问题即可. 【详解】（1）证明： ， 数列是首项为2，公差为2的等差数列， （2），， ， ， 得：，其中，是首项， 公比的等比数列的前项和，根据等比数列的前项和公式， 这里的首项，公比，项数为， ， 所以， . （3）存在，理由如下： 则， 若对任意的，都有， 则等价于恒成立， 即恒成立，， 当为偶数时，，则， 当为奇数时，时，则 综上，存在，使得对任意的，都有． 33．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)数列的通项公式为：. (2)数列的前n项和为：. (3)的取值范围为：. 【分析】（1）利用数列前n项和与通项的关系来求解； （2）先根据（1）的结果求出，再利用裂项相消法求数列的前n项和； （3）先根据已知条件求出，再区分n为奇数和偶数两种情况讨论不等式恒成立时的取值范围. 【详解】（1）当时，. 当时，. 根据指数运算法则,,则. 当时，也满足. 故数列的通项公式为：. （2）已知，由（1）可知，则， ； 所以. 所以. 故数列的前n项和为：. （3）已知，由（1）可知，则 ①. 当时，，解得. 当时，②. ①②相减得：， 所以. 当时，也满足. 那么不等式可化为. 当n为偶数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为偶数时单调递增，当时取最小值，，所以时，不等式恒成立. 当n为奇数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为奇数时单调递减，当时取最大值，所以时，不等式恒成立. 故的取值范围为：. 题型六 不等式放缩问题（共5小题） 34．（2025·江苏·三模）已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意可得，对于取，即可求出、，从而求出通项公式； （2）①首先求出，即可得到，从而求出其前20项和；②由，分及两种情况讨论，当时利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得，即， 由，取，得，即， 解得，，所以； （2）①由（1）知，，所以， 因为， 所以，所以的前20项和为； ②证明：因为，所以， 所以当时，； 当时， ， 综上可得. 35．（24-25高二下·辽宁·期中）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前n项和； (3)令，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据和关系求得，即可求出公比，再利用条件求出，即可求解通项公式. （2）利用错位相减法求和即可. （3）通过变形得，结合等比数列求和公式及数列的有界性证明即可. 【详解】（1）由，得， 两式相减，得， 即，又是等比数列，故公比， 由，知，则． （2）由题， 则， ， 两式相减，得， 即． （3），由， 得： 则. 36．（24-25高三下·广东惠州·阶段检测）已知数列的前项和为，且， (1)证明是等差数列； (2)求； (3)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明. （2）先根据等差数列的定义得出和是等差数列；再根据等差数列的通项公式 求出，及；最后利用等差数列的通项公式即可解答. （3）先变形得出；再根据裂项相消求和即可证明. 【详解】（1）证明：因为在数列中，，， 所以， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）可知是以1为首项，3为公差的等差数列,， 所以. 同理由，可得. 又因为， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 故， 则. 所以. （3）证明：因为， 所以. 因为 所以， 即. 37．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）因为 ， 所以 ，即命题得证. 38．（24-25高二下·辽宁·期末）已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）将左右两边取倒数，得到，将其变形为，即可根据等差数列的定义，证明数列为等比数列； （2）（i）由（1）得到及的解析式，进而得到的解析式，通过讨论的取值范围，即可得到的取值范围；（ii）先得到的解析式，进而得到其前项和的解析式，通过放缩，将其转化成求一个等比数列的前项和，通过讨论的范围，即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列； （2）（i）由（1）可知， 所以，， 因为， 因为，，所以，所以， 所以，的取值范围； （ii）因为，又因为， 所以 设. 当时，成立； 当时，成立； 当时，成立； 且随着值增大，逐渐减小，逐渐增大， 因为，所以，所以， 即. $专题02 数列求和专项突破 （裂项相消、错位相减、分组求和、奇偶并项、数列不等式综合、放缩） 题型1 裂项相消求和（重点） 题型4 奇偶并项求和（重点） 题型2 错位相减求和（重点） 题型5 数列不等式与参数问题（重点） 题型3 分组求和（重点） 题型6 不等式放缩问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 裂项相消求和（共7小题） 1．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和 2．（24-25高二下·四川眉山·期末）记，其中，数列满足． (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)求数列的前项和． 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）已知正项数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)若，求数列的前n项和． 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且. (1)若为等比数列，求公比的值； (2)若， （i）证明：数列为等比数列； （ii）求数列的前项和. 5．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记为等比数列的前项和，为的公比且，，，求数列的前项和． 6．（24-25高二下·江西·期末）在数列中，是和的等差中项，且集合为单元素集合． (1)求． (2)已知数列为等比数列，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若，证明： 7．（24-25高二下·吉林延边·月考）设数列的前项和为，已知，． (1)求通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)记，求数列的前项和，若，求的最小值． 题型二 错位相减求和（共6小题） 8．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 9．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列是正项等比数列，满足，，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．记数列的前项和为，求证：． 10．（24-25高二下·河南周口·期末）已知数列满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和． 11．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 12．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和为． 13．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 题型三 分组求和（共4小题） 14．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 15．（24-25高二下·重庆·期末）数列中，，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 16．（24-25高二下·北京房山·期末）设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（24-25高二下·内蒙古·期末）在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． 题型四 奇偶并项求和（共8小题） 18．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知为等差数列的前项和，，，. (1)求的通项公式； (2)记为数列的前项和，设. （ⅰ）求的表达式； （ⅱ）若正整数满足，求的最大值，并说明理由. 19．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 20．（24-25高二下·福建·期末）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 21．（24-25高二下·辽宁·期中）已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 22．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 23．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，，，. (1)数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； (2)数列满足：，当时，求数列的前n项和 24．（24-25高二下·辽宁丹东·期末）记是数列的前项和，，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)设若，求数列的前项和 25．（24-25高二上·天津·期末）已知等差数列是数列的前项和，满足；数列各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，数列的前项和为； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 题型五 数列不等式与参数问题（共8小题） 26．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且. (1)求； (2)求的通项公式； (3)已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围. 27．（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知数列是递增的等比数列且 (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值. 28．（24-25高二下·河南·期末）设同时满足条件：①；②（是常数）的无穷数列叫敞数列．已知数列的前项和满足． (1)证明：是数列； (2)若，数列的前项和为，求使得的最小正整数的值． 29．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的前项和为，其中为常数，且． (1)求的值，并求； (2)，数列的前项和为，若，都有恒成立，求实数的最小值． 30．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知数列满足，记． (1)求证：是等差数列； (2)设数列的前n项和为． （i）求； （ii）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 31．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 32．（24-25高二下·四川成都·期中）已知数列满足，其中． (1)设，求证：数列是等差数列； (2)在（1）的条件下，求数列的前项和； (3)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 33．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 题型六 不等式放缩问题（共5小题） 34．（2025·江苏·三模）已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 35．（24-25高二下·辽宁·期中）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前n项和； (3)令，证明：． 36．（24-25高三下·广东惠州·阶段检测）已知数列的前项和为，且， (1)证明是等差数列； (2)求； (3)求证： 37．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 38．（24-25高二下·辽宁·期末）已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． $