数列求和专题训练（绝对值求和、裂项相消、错位相减）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

数列求和 一、含绝对值的等差数列前n项和 【例1.1】已知数列满足，求数列的前10项和 【分析】先根据判断数列的正负性，进而确定数列的表达式，再计算数列的前10项和. 【详解】因为，，令，得， 因为，所以当时，； 当时，. 所以，记数列的前项和为， 则 . 【变式1.1】已知数列的前n项和Sn满足，求数列的前12项和 【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前12项的和即可. 【详解】由，得当时，， 当时，满足上式，则，当时，；当时，， 所以 ． 【例1.2】在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出和，即可得通项和前项和； （2）利用绝对值的性质，分和两类情况求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 【变式1.2】已知数列中，，记． (1)求证：数列是等差数列，并求出； (2)设，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】(1)由等式两边同取倒数可得，根据等差数列定义证明结论； (2) 分析数列的各项的正负，分，化简，结合等差数列求和公式求结论. 【解答过程】（1）由，得，即， 又，所以为常数， 又，所以， 所以数列是公差为2，首项为－5的等差数列，． （2）由（1）知，， 当时，，所以 ； 当时，，所以 ， 得到． 综上，. 二、裂项相消 【例2.1】已知正项数列是等差数列，前项和为，满足首项与公差相等，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列 的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据，，成等比数列且列式求解，然后利用等差数列通项公式求解即可. （2）利用等差数列求和公式求出，可得，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，， 由首项与公差相等，且，，成等比数列，所以， 所以，所以，解得， 所以，所以数列的通项公式为； （2）由，有， 所以， 可得 . 【变式2.1】已知是数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用通项与前项和的关系得，故可判断为等差数列，从而可求通项； （2）利用裂项相消法可求. 【详解】（1）因为，故，故为等差数列且公差为2， 而，故，故， 故. （2）, 故. 三、错位相减法 【例3】已知数列满足，且． (1)求证：数列为等比数列，并求通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）根据已知递推关系证明为等比数列，进而写通项公式； （2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列前n项和公式及分组求和求. 【详解】（1）证明：由题意得，所以， 因为，所以，则， 所以为等比数列，公比为3，首项为1， 所以，即． （2），记，前n项和为， ， ， ， 所以， 综上，． 【变式3.1】在数列中，，且满足，数列的前项和为，且． (1)求和的通项公式； (2)令，记的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）等式两边加1，构造出等比数列，利用与之间的关系求解； （2）由（1）得出，再利用错位相减法及公式法求和即可． 【详解】（1），， 是首项为2，公比为2的等比数列，即； 由，当时，， 当时，，也满足， ， （2）， ， ① ②， ①②可得 即， ． 【变式3.2】在数列中，，，且对任意的，都有． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）因为，，所以． 因为，所以， 又，则有，所以， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以，所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． （2）设， 则， 两式相减得， 则. 学科网（北京）股份有限公司 $数列求和 一、含绝对值的等差数列前n项和 【例1.1】已知数列{an}满足an=-2n+9,neN,求数列(|an}的前10项和 【变式1.1】已知数列(an}的前n项和sSm满足Sn=-n2+8n,求数列(a的前12项和 【例1.2】在等差数列{an}中，已知a5=9,a10=-号. ()求通项(an}及前n项和Sn: 2)求数列an}的前n项和Tn 【变式1.2】已知数列{an}中，a1=-言aH1=,记bn=完 (1)求证：数列{bn}是等差数列，并求出bn: 2)设Tn=|b1+|b2+…+|bnl,求Tn 二、裂项相消 【例2.1】已知正项数列an}是等差数列，前n项和为Sn,满足首项a,与公差d相等，且a1+1,42,a3成等比数列. (1)求数列an}的通项公式： (2)求数列 的前n项和Tn· 【变式2.1】己知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn1=Sn+an+2,S2=8. (1)求数列an}的通项公式； (2)设b=。-2,求数列b,的前项和工 三、错位相减法 【例3】己知数列an}满足a1=2，,且a1=3an-2. (1)求证：数列{a。-1}为等比数列，并求通项公式an; (2)设bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn. 【变式3.1】在数列{an}中，a,=1,且满足an1=2an+1,数列bn}的前n项和为Sn,且Sn=n2(n∈N). (1)求{an}和bn}的通项公式： (2)令c,=(an+1)b,记cn}的前n项和为Tn,求Tn. 【变式3.2】在数列an}中，a1=2,a2=8,且对任意的n∈N,都有an+2=4a+1-4an· (1)证明：{a1-2an}是等比数列，并求出an}的通项公式； (2)求数列an}的前n项和Sn·