福建省长乐第二中学2025-2026学年高二上学期数学第十三周周练（选择性必修一第三章圆锥曲线的方程）

2025-2026学年第一学期高二数学校本作业 高二年级 数学科 主题： 第三章 圆锥曲线的方程 编号11 主编： 审核 ： 高二数学集备组 班级： 座号： 姓名： 等级/成绩： 周练 培优 辅后 限时训练 线上平台：是 否 √ √ 一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A．4 B．2 C． D． 2．已知点在曲线上，则实数（   ） A． B．或2 C．或3 D．或 3．已知双曲线，焦距为10，则实轴长为 （   ） A．1 B．2 C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（  ） A． B．2 C． D．4 2、 多选题：在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 7．已知曲线，则（    ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 8．已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（     ） A．的焦距小于的焦距 B．可能为等轴双曲线 C． D．与恰有四个公共点 3、 填空题 9．焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ． 10．双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则 ． 11. 已知F是抛物线E：的焦点，为抛物线E上一点，且，则抛物线E的方程为 ． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(1) 已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程； (2) 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (i) 求双曲线的方程； (ii) 若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 13. 已知双曲线的实轴长为，且过点． (1) 求双曲线的方程； (2) 过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3) 若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 【选做题】请尝试，解锁无限可能！ 1．(单选)已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（    ） A．5 B． C．8 D． 2．(单选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是 ． 答案与解析 1．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线方程求出即得. 【详解】由可得，即，故焦点到准线的距离为4. 故选：A. 2．已知点在曲线上，则实数（    ） A． B．或2 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】将点坐标代入曲线方程求解即可. 【详解】因为点在曲线上， 所以， 即，解得或． 故选：C 3．已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线中的关系式，结合，即可求解. 【详解】由题意得：，，， 联立可解得：，即实轴长为 故选：C. 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的方程与几何性质结合三角形面积公式计算. 【详解】由题意知点的横坐标为，代入得， 又， 所以的面积为. 故选：B 5．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线的倾斜角可得，即可由焦距以及的关系列方程求解. 【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故， 又和， 解得，故双曲线方程为， 故选：A 6．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先根据双曲线定义依次求出、、和，接着由在和中运用余弦定理列方程即可求解. 【详解】因为，两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得，， 又，解得，， 又，可得，， 在中，根据余弦定理得， 在中，根据余弦定理得， 因为，所以， 化简整理得，解得. 故选：B. 7．已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 【答案】CD 【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】因为曲线：. 当时，表示圆； 当，且时，表示椭圆； 当时，表示双曲线； 当或时，表示两条直线. 所以CD正确. 故选：CD 8．已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（    ） A．的焦距小于的焦距 B．可能为等轴双曲线 C． D．与恰有四个公共点 【答案】AC 【分析】求出与的焦距，离心率即可判断AC；由等轴双曲线的概念判断B；根据曲线中的取值范围判断D. 【详解】根据题意，椭圆，半焦距， 的焦距为， 双曲线，半焦距， 的焦距为，显然，A正确； 因为，所以不可能为等轴双曲线，B错误； ，则，C正确； 因为椭圆中， 双曲线中， 则与只有和两个交点，D错误. 故选：AC 9．焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴的点的坐标，然后根据抛物线方程的定义求出结果即可. 【详解】抛物线的标准方程中，焦点必在坐标轴上，先求直线和坐标轴的交点： 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，抛物线方程为；当焦点为时，抛物线方程为． 综上，抛物线的标准方程为或． 故答案为：或． 10．双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线上，且，则 ． 【答案】2 【分析】根据双曲线的定义及已知可得，即可得. 【详解】由题设，双曲线参数，又， 则，所以. 故答案为：2 11. 已知F是抛物线E：的焦点，为抛物线E上一点，且，则抛物线E的方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义以及点在抛物线上两个条件列出方程，联立即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为，且在抛物线上，，根据抛物线定义有，， 又因为在抛物线上，所以，即， 消去，可得，即，解得， 所以抛物线的方程为. 故答案为： 12．（1）已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程； （2）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (i)求双曲线的方程； (ii)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. (提示：证) 【答案】(1)；(2)；证明见详解 【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标求出椭圆方程即可. （2）（i）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （ii）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【详解】（1）因为直线过点和， 所以且，则， 所以所求椭圆的方程为． （2）（i）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. （ii）证明：设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 13.已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． (提示：点差法，求) 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）据题可得，则．将点的坐标代入，求出即可； （2）由（1）求出焦点坐标，从而求出直线的方程为，将其与双曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式求解即可； （3）用点差法，设，，则两式相减后整理得即，即，即可求出直线OP的斜率. 【详解】（1）根据题意可得，则． 将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为． （2）由（1）得，即，则，则直线的方程为． 设，由得， ， 所以． （3）设， 则两式相减得． 设，则所以， 即，所以，即， 所以直线OP的斜率． 【选做题】请尝试，解锁无限可能！ 1．已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（    ） A．5 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】设与轴的交点为，易知轴．设点，，由菱形的性质得到，即可得到. 【详解】设与轴的交点为，易知轴． 设点，．如图，由于四边形为菱形，，所以，所以．不妨设，则，解得． 在中，，所以菱形的周长为． 故选：D 2．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设曲线C上任意一点为，由题意求出其方程为：，再取，求，即得答案. 【详解】设曲线C上任意一点为， 由题意知，曲线C方程为：，其中， 将点代入曲线方程，得：，则. 故曲线C方程为：，其中. 可得， 当时，. 因此C在第一象限的点的纵坐标的最大值. 故选：D. 3.已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，，找到两点坐标之间的关系，代入椭圆方程化简即得，注意点C不能在轴上. 【详解】椭圆的焦点在轴上，则短轴在轴上，所以，． 设，，由为的重心，得则 又为椭圆上一动点，所以，即，所以． 当点在轴上时，不能构成三角形，所以，则， 即点的轨迹方程为． 故答案为：． 道阻且长，行则将至1 学科网（北京）股份有限公司 $