周周测17 第四章求数列通项专题复习（数学人教A版选择性必修第二册）

**基本信息** 聚焦数列通项专题，通过基础计算、谢宾斯基三角形及三角垛文化情境，分层考查观察归纳、构造转化等能力，落实数学抽象与推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|已知通项求项、观察法求通项、递推关系应用|结合谢宾斯基三角形情境，考查数学抽象| |多项选择|3/18|通项公式开放性探究、前n项和与通项关系|设置多解选项，培养推理意识| |填空题|3/15|前n项和求通项、简单递推计算|基础巩固，强化符号意识| |解答题|5/77|构造等差等比数列、前n项和与积综合应用|分层设计三角垛问题，提升模型观念|

2026-2027学年高二上学期数学周周测17 第四章求数列通项专题复习 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．数列1，，，，，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，，则（   ） A． B． C．12 D．21 3．已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 4．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 5．如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前项，则的通项公式可以是（  ） A． B． C． D． 6．记数列的前项和满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知数列的前项和为且满足，，则下列命题中正确的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．是等比数列 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知数列的前项和为，则的通项公式为__________． 10．已知数列的前项和为，若，且，则______． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．设为数列的前项和，为数列的前项积，已知 (1)求的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测17 第四章求数列通项专题复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知数列的通项公式为 ，则这个数列第5项是（    ） A．9 B．17 C．33 D．65 2．数列1，，，，，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，，则（   ） A． B． C．12 D．21 4．已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 5．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前项，则的通项公式可以是（  ） A． B． C． D． 8．记数列的前项和满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为且满足，，则下列命题中正确的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．是等比数列 11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ） A． B． C．， D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前项和为，则的通项公式为__________． 13．若数列中，，则这个数列的_______ 14．已知数列的前项和为，若，且，则______． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记为数列的前项和，已知. (1)求，并证明是等差数列； (2)求. 16．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 17．已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 18．已知是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列． (1)求的表达式和数列的通项公式； (2)证明： 19．设为数列的前项和，为数列的前项积，已知 (1)求的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测17 第四章求数列通项专题复习 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．数列1，，，，，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据规律写出数列的通项公式 【详解】奇数项为正，偶数项为负，可用来实现， 而各项分母可看作 各项分子均为1， ∴该数列的通项公式为． 故选：A 2．已知数列满足，，则（   ） A． B． C．12 D．21 【答案】A 【分析】根据条件得出数列为等差数列，即可求出其通项公式，进而求出即可代入求值. 【详解】由得，， 因，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：A 3．已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用累乘法求解. 【详解】依题意，. 故选：A. 4．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和的关系，利用公式求出数列的通项公式，可得到数列的通项公式，利用裂项相消法求前项的和. 【详解】，当时，， 当时，，当时，也满足， ∴ 数列的通项公式为， ， 故选：C 5．如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前项，则的通项公式可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】着色的小三角形个数构成数列的前项，观察图形特点得出数列的前项，即可得出的通项公式． 【详解】着色的小三角形个数构成数列的前项，分别为， 因此的通项公式可以是． 故选：A． 6．记数列的前项和满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用与的关系求解即可. 【详解】因为， 当； 所以， 当时，，符合上式，所以， 故选：C. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】对于A，∵， ∴，，，，故A正确； 对于B，∵， ∴，，，，故B正确； 对于C，∵， ∴，，，，故C正确； 对于D，∵， ∴，，，，故D错误． 故选：ABC． 8．已知数列的前项和为且满足，，则下列命题中正确的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．是等比数列 【答案】ABD 【分析】由代入得出的递推关系，得证是等差数列，可判断A，求出后，可判断B，由的值可判断C，求出后可判断D． 【详解】因为，， 所以，所以， 所以是公差为3的等差数列，A正确； 因为， 所以，，B正确； 时，由， 得，但不满足此式，因此C错误； 由得， 所以是等比数列，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知数列的前项和为，则的通项公式为__________． 【答案】 【分析】利用求得. 【详解】当时，， 当时，， 当时上式也符合，所以. 故答案为： 10．已知数列的前项和为，若，且，则______． 【答案】 【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. 【详解】由， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．设为数列的前项和，为数列的前项积，已知 (1)求的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)；； (2)证明见解析，； (3) 【分析】（1）代入，，计算得出； （2）由已知得，由题意得，进而证明数列是等差数列，由等差数列通项公式可得的表达式； （3）由（2）得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）由已知得,且，, 取,由得， 取,， 所以. （2）由已知条件知 ， ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以. （3）由（2）可得，， 当时，, 当时,，显然对于不成立， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测17 第四章求数列通项专题复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知数列的通项公式为 ，则这个数列第5项是（    ） A．9 B．17 C．33 D．65 【答案】C 【分析】代入通项公式计算可得． 【详解】. 故选：C. 2．数列1，，，，，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据规律写出数列的通项公式 【详解】奇数项为正，偶数项为负，可用来实现， 而各项分母可看作 各项分子均为1， ∴该数列的通项公式为． 故选：A 3．已知数列满足，，则（   ） A． B． C．12 D．21 【答案】A 【分析】根据条件得出数列为等差数列，即可求出其通项公式，进而求出即可代入求值. 【详解】由得，， 因，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：A 4．已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用累乘法求解. 【详解】依题意，. 故选：A. 5．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和的关系，利用公式求出数列的通项公式，可得到数列的通项公式，利用裂项相消法求前项的和. 【详解】，当时，， 当时，，当时，也满足， ∴ 数列的通项公式为， ， 故选：C 6．已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推式，利用累加法表示出，结合等比数列前项和公式求得结果，进而求出，即可得到答案. 【详解】由题知，，且，， 所以， 累加可得， 所以， 所以，当时同样满足， 所以. 故选：C 7．如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前项，则的通项公式可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】着色的小三角形个数构成数列的前项，观察图形特点得出数列的前项，即可得出的通项公式． 【详解】着色的小三角形个数构成数列的前项，分别为， 因此的通项公式可以是． 故选：A． 8．记数列的前项和满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用与的关系求解即可. 【详解】因为， 当； 所以， 当时，，符合上式，所以， 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】对于A，∵， ∴，，，，故A正确； 对于B，∵， ∴，，，，故B正确； 对于C，∵， ∴，，，，故C正确； 对于D，∵， ∴，，，，故D错误． 故选：ABC． 10．已知数列的前项和为且满足，，则下列命题中正确的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．是等比数列 【答案】ABD 【分析】由代入得出的递推关系，得证是等差数列，可判断A，求出后，可判断B，由的值可判断C，求出后可判断D． 【详解】因为，， 所以，所以， 所以是公差为3的等差数列，A正确； 因为， 所以，，B正确； 时，由， 得，但不满足此式，因此C错误； 由得， 所以是等比数列，D正确． 故选：ABD． 11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ） A． B． C．， D． 【答案】ACD 【分析】根据，，的值，可得，利用累加法可得，再计算前项的和可判断A；由递推关系可判断B；由可判断C；利用裂项求和可判断D，进而可得正确选项. 【详解】因为， ， ， ……， ， 以上个式子累加可得：， 所以，故选项A正确； 由递推关系可知：，故选项B不正确； 当，，故选项C正确； 因为， 所以 ，故选项D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前项和为，则的通项公式为__________． 【答案】 【分析】利用求得. 【详解】当时，， 当时，， 当时上式也符合，所以. 故答案为： 13．若数列中，，则这个数列的_______ 【答案】 【解析】取倒数，推出数列是等差数列，然后求解数列的通项公式即可． 【详解】解：由题意，数列中，，可得， 所以数列表示首项为1，公差为3的等差数列， 所以，即， 故答案为： 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 14．已知数列的前项和为，若，且，则______． 【答案】 【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. 【详解】由， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记为数列的前项和，已知. (1)求，并证明是等差数列； (2)求. 【答案】(1) 已知， 当时，； 当时，，所以. 因为①，所以②. ②-①得，，整理得， 所以（常数），， 所以是首项为6，公差为4的等差数列. (2) 【分析】（1）直接代入可得，再代入，结合的值求出；再由仿写出，作差后得到，即可证明结果. （2）由（1）知数列为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，. 所以 . 16．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明：[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：   由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）. 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解； 方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式； 17．已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)，， 因此，数列是等比数列； (2). 【分析】（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列； （2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出. 【详解】（1）略 （2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，. 【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18．已知是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列． (1)求的表达式和数列的通项公式； (2)证明： 【答案】(1)， (2) 由（1）知： , 所以 . 【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前项和求通项的方法求解作答即可； （2）利用（1）的结论，结合裂项相消法即可得解. 【详解】（1）因为是以1为首项1为公差的等差数列, 所以，即， 当时，， 即， 经检验，当时，满足上式， 所以的通项公式是. （2）略 19．设为数列的前项和，为数列的前项积，已知 (1)求的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)；； (2)证明见解析，； (3) 【分析】（1）代入，，计算得出； （2）由已知得，由题意得，进而证明数列是等差数列，由等差数列通项公式可得的表达式； （3）由（2）得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）由已知得,且，, 取,由得， 取,， 所以. （2）由已知条件知 ， ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以. （3）由（2）可得，， 当时，, 当时,，显然对于不成立， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $