专题二：求数列的通项公式（4考点6考法）期末专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列通项公式四大核心方法，以递推关系特征为线索构建系统性训练体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |累加法|3题|识别a(n+1)-a(n)=f(n)特征，累加求通项|从差分数列到高阶等差数列应用| |累乘法|2题|抓住a(n+1)/a(n)=f(n)形式，累乘消项|结合等差等比数列性质综合应用| |构造法|7题|周期性判断、a(n+1)=p*a(n)+f(n)构造新数列|通过转化思想将非特殊数列特殊化| |Sn与an关系|13题|利用a(n)=Sn-S(n-1)(n≥2)转化递推|从前n项和到通项的逻辑推导|

专题二：求数列的通项公式（解析卷） 考点1：由递推关系求通项——累加法 1 考法1：形如的累加法 1 考点2：由递推关系求通项——累乘法 3 考法2：形如的累乘法 3 考点3：由递推关系求通项——构造法 4 考法3：数列的周期性判断与应用 4 考法4：形如的构造法 6 考点4：利用与的关系求通项 7 考法5：已知与的关系求 7 考法6：已知与的关系求通项 8 1 2 3 4 5 B AB A 见解析 ， 6 7 8 9 10 C B AC 见解析 11 12 13 14 15 见解析 见解析 64 见解析 见解析 16 17 18 19 20 见解析 见解析 CD 见解析 见解析 21 22 23 24 25 见解析 见解析 见解析 A ABD 考点1：由递推关系求通项——累加法 考法1：形如的累加法 1.（单选） 【答案】B 【解析】设该数列为 ，则 . 记 ，则 ， 可知 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 . 当 时， . 当 时，，满足上式. 所以 . 当 时，. 故选 B. 【点拨】本题考查利用累加法求数列的通项公式.对于形如 的递推关系，通常采用累加法求解，注意最后要检验 的情况. 2.（多选） 【答案】AB 【解析】对于 A，由 ，得 ， 则 ， 显然当 时， 恒成立，故 A 正确； 对于 B：由 ，得 ， 当 时， 即 ， 于是 ， 两式相减得 ， 因此 ，显然 满足上式，则 ，故 B 正确； 对于 C：由 ， 所以数列 是递增数列，则 有最小值 1，无最大值， 当 时，不存在 ，使得 ，故 C 错误； 对于 D，，由选项 B 得 ， 显然数列 是递减数列，且 ()， 因此当 时，不存在 ，使得 成立，故 D 错误. 故选：AB. 【点拨】本题考查了数列的新定义问题，涉及累加法求通项公式以及错位相减法的应用.在处理累加法时，要注意项数的对应关系，并在最后验证 时是否满足通项公式. 3.（单选） 【答案】A 【解析】由 得 ， 所以数列 是以 为首项，1 为公差的等差数列， 则 . 当 时， ， 当 时， 满足上式，故 . 因为 ，所以 . 则数列 的前 50 项和为 . 故选 A. 【点拨】本题考查了由递推关系求数列的通项公式以及裂项相消法求和.通过构造等差数列求出 ，再利用累加法求出 ，是解决此类问题的通法. 考点2：由递推关系求通项——累乘法 考法2：形如的累乘法 4.（解答） 【答案】见解析 【解析】解：（2）设 的公差为 ， 的公比为 ，则依题意有 ， 因为 ，，， 所以 ，解得 或 . 由于 是各项都为正整数的等比数列，所以 . 所以 ，. 因为 ，所以 ……………………………… 2 分 所以 ， …………………………………………………… 4 分 两式相除得： …………………………………………………………… 6 分 由 ，，得 ………………………………………… 8 分 所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列； 是以 为首项，以 为公比的等比数列 …………………… 10 分 所以当 为奇数时，， 当 为偶数时， …………………………………… 11 分 所以 的通项公式 ……………………………… 12 分 【点拨】本题考查了等差、等比数列的基本量计算，以及利用累乘法或奇偶项讨论求数列的通项公式.处理 形式的递推式时，通常通过 两式相除，转化为奇偶项的等比（或等差）数列求解. 5.（填空） 【答案】； 【解析】解：由于 ， 所以当 时，有 ， 两式相减可得 ，即当 时，， 当 时，求得 ，即 也符合该递推关系， 所以 . 由于 ，令 ， 由于 ， 当 时，，当 时单调递增，当 时单调递减， 所以 ，故数列最大项为 ，即 . 【点拨】本题考查了由递推关系求数列的通项公式以及数列的最值问题.通过作差法求出相邻两项的比值，再利用累乘法求出通项公式是解题的关键. 考点3：由递推关系求通项——构造法 考法3：数列的周期性判断与应用 6.（单选） 【答案】C 【解析】由 得 . 因为 ，所以 ，，，. 所以数列 是周期为 4 的周期数列. 则 . 故选 C. 【点拨】本题考查了由递推关系求数列的项.对于非线性的递推关系，通常通过计算前几项寻找数列的周期性，进而求出高次项的值. 7.（单选） 【答案】B 【解析】由 得 . 因为 ， 所以 ，，，，，. 所以数列 是周期为 6 的周期数列. 因为 ， 所以 . 故选 B. 【点拨】本题考查了数列周期性的判断与应用.遇到 形式的递推关系，可通过写出前几项发现其周期为 6，这是解决此类问题的常用技巧. 8.（多选） 【答案】AC 【解析】由 且 ， 得 ，故 A 正确； ，. 所以数列 是周期为 3 的周期数列，故 C 正确； 因为 ，所以 不是递增数列，故 B 错误； 因为 ，所以 ，故 D 错误. 故选 AC. 【点拨】本题考查了由递推公式求数列的项及周期性.对于分式线性递推数列，常通过计算前几项寻找周期规律. 9.（填空） 【答案】 【解析】由 ，， 得 ，，. 所以数列 是周期为 3 的周期数列. 因为 ， 所以 . 【点拨】本题考查了数列周期性的应用.通过递推公式依次求出数列的前几项，发现周期为 3 是解题的关键. 考法4：形如的构造法 10.（解答） 【答案】见解析 【解析】证明：（1）由 ，两边同除以 得 …………………… 2 分 因为 ，所以 ………………………………………… 4 分 即 ………………………………………………………… 6 分 又 ， 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 …………………… 8 分 【点拨】本题考查了利用构造法证明等比数列.对于形如 的递推关系，通常两边同除以 转化为 的形式，再构造等比数列求解. 11.（解答） 【答案】见解析 【解析】证明：（1）由 ，两边同除以 得 ……………… 2 分 因为 ，所以 ………………………………………… 4 分 又 ， 所以数列 是以 1 为首项， 为公差的等差数列 …………………………… 6 分 【点拨】本题考查了利用构造法证明等差数列.对于形如 的递推关系，两边同除以 即可构造出等差数列. 12.（解答） 【答案】见解析 【解析】证明：（2）在由正整数 构成的数列中，恰为 1 阶相邻递增数列的情形可以由以下两种方法进行构造： ①在递减数列 中任选一项的右边放 ，使此数列为 1 阶相邻递增数列，共有 种排法； ②在由正整数 构成 1 阶相邻递增数列中，若只有第 项满足 ，则将 放在 的右侧或者放在 的左侧即可，此时共有 种排法 …………………… 3 分 故 ………………………………………………………………………… 5 分 所以 …………………………………… 7 分 易知 ，则 ， 所以 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 ……………………………… 9 分 所以 ，即 ……………………………………………… 11 分 【点拨】本题考查了利用递推关系求数列通项公式以及排列组合的构造思想.通过分类讨论建立 与 的递推关系是解决本题的难点，随后利用待定系数法构造等比数列即可求出通项. 考点4：利用与的关系求通项 考法5：已知与的关系求 13.（填空） 【答案】64 【解析】当 时，； 当 时，， 当 时， 满足上式，故 . 因为 ， 所以 ， 当且仅当 时等号成立. 所以 的最小值为 64. 【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式，以及基本不等式求最值.注意在求通项公式时，必须检验 的情况是否符合 时的通项公式. 14.（解答） 【答案】见解析 【解析】解：（1）由题意知 …………………………………… 2 分 所以 ……………………………………………………………… 4 分 当 时， …………………………………………………… 5 分 当 时， …………………………… 7 分 ………………………………………… 8 分 当 时，， 故 ……………………………………………………… 10 分 【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.在利用 求解时，务必单独检验 时的情形，若不符合则需写成分段函数的形式. 15.（解答） 【答案】见解析 【解析】解：（1）当 时， ……………………………… 2 分 当 时， …………………………………………………… 4 分 ……………………………………………… 6 分 …………………………………………………… 7 分 当 时， 也满足上式， 所以数列 的通项公式为 ………………………………………… 8 分 【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.熟练掌握并运用公式 是解题的基础. 考法6：已知与的关系求通项 16.（解答） 【答案】见解析 【解析】证明：（1）由 得 …………………………………… 2 分 当 时，，即 ，解得 ………………………… 4 分 当 时， ………………………… 6 分 整理得 ，即 ………………………………………… 8 分 又 ， 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 …………………… 10 分 【点拨】本题考查了利用 与 的关系证明等比数列.遇到含有 与 的混合关系式时，通常利用 消去 ，转化为只含 的递推关系. 17.（解答） 【答案】见解析 【解析】解：（1）由 ①， 当 时， ② ……………………………… 2 分 ①-②得： ……………………… 4 分 即 ……………………………………………… 6 分 整理得 ，即 ………………………………… 8 分 所以 () …………………………………………………… 10 分 【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.通过写出第 项的关系式并作差，是消去 的标准处理方法. 18.（多选） 【答案】CD 【解析】已知 ，则 ，所以 A 错误； 由 ，可得 ， 可得 ，即 ， 当 时，，即数列 自第二项开始是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，即 ，所以 B 错误； ，所以 C 正确， 当 时，，符合条件， 当 时，，所以 D 正确； 故选：CD. 【点拨】本题考查了由 与 的关系求通项公式及前 项和.通过作差法找到 从第二项起成等比数列是解题的关键，注意首项的特殊性. 19.（解答） 【答案】见解析 【解析】解：（1）由 ① 可得 ② ………………………………………… 2 分 由②-①得 ， 即 ……………………………………………… 4 分 ，， ……………………………………………………………… 6 分 又当 时，得 ，解得 或 （舍去） …… 8 分 可得数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列， 即 ………………………………………………………… 10 分 【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.作差后利用因式分解提取公因式，结合数列各项为正的条件得出等差数列的结论是核心步骤. 20.（解答） 【答案】见解析 【解析】解：（1）因为 ，所以 ① …………………… 2 分 当 时， ② ……………………………… 4 分 ①-②得： ……………………… 6 分 所以 ， 所以 ， 所以 ……………………………………………………………… 8 分 因为 ，所以 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 …………………………………………………… 10 分 【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.先将分式化为整式，再利用作差法消去 ，化简得到等差数列的定义式即可求解. 21.（解答） 【答案】见解析 【解析】解：（1）当 时，且 ，解得 ……………………………… 1 分 当 时，， 两式相减得 ………………………………………… 3 分 即 ， ，则 ， ………………………………………………………… 5 分 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以 …………………… 6 分 设数列 的公比为 ，则 ， 即 ，解得 ……………………………………………… 8 分 所以 …………………………………………………………………… 10 分 【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式以及等比数列的基本运算.作差后利用因式分解得出等差数列是解题关键. 22.（解答） 【答案】见解析 【解析】解：（1）当 时，且 ，解得 ………………………… 2 分 当 时，， 两式相减得 ，即 …………………………………… 6 分 所以 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 ………………………………………………………………………… 8 分 【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.直接写出第 项的表达式并作差，即可发现数列成等比数列. 23.（解答） 【答案】见解析 【解析】解：（1）因为 ， 所以 …………………………………………………… 2 分 即 ， 所以 …………………………………………………… 4 分 所以 是等差数列 …………………………………………………………… 5 分 设公差为 ，又 ，， 解得 ………………………………………………………………………… 7 分 所以 …………………………………………………… 8 分 【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式.将 展开为 ，化简得到等差数列的定义式是解题的核心. 24.（单选） 【答案】A 【解析】由 ， 当 时，，即 ， 当 时，，得 ，上式对 也成立， 所以 恒成立即为 恒成立， 因为 ，当且仅当 时等号成立， 所以 的最大值为 6. 故选 A. 【点拨】本题考查了利用 与 的关系求通项公式，以及基本不等式求最值.构造新数列的前 项和是处理此类问题的常见方法. 25.（多选） 【答案】ABD 【解析】因为 ①， 所以当 时， ②， ①-②得：， 整理得 ， 当 时，，即 ，所以 ， 所以数列 是常数数列，即 ，所以 . 对于 A，，故 A 正确； 对于 B，，所以数列 是首项为 0，公差为 的等差数列，故 B 正确； 对于 C，，不是整数，故 C 错误； 对于 D，数列 的前 2025 项和为 ，故 D 正确. 故选 ABD. 【点拨】本题考查了数列递推关系的化简与等差数列的求和.通过作差法得到相邻两项的关系，进而构造常数数列是求通项公式的关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二：求数列的通项公式（试卷） 考点1：由递推关系求通项——累加法 1 考法1：形如的累加法 1 考点2：由递推关系求通项——累乘法 2 考法2：形如的累乘法 2 考点3：由递推关系求通项——构造法 2 考法3：数列的周期性判断与应用 2 考法4：形如的构造法 3 考点4：利用与的关系求通项 4 考法5：已知与的关系求 4 考法6：已知与的关系求通项 5 注意事项 1. 本试卷涵盖数列通项公式的多种求法，包括累加法、累乘法、构造法以及利用与关系求通项. 2. 练习时请注意识别不同递推关系的特征，选择合适的求法，并规范书写解答过程. 3. 解答题中若涉及多问，请注意前后问之间的逻辑联系. 考点1：由递推关系求通项——累加法 考法1：形如的累加法 1.（单选）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列. 若某二阶等差数列的前 4 项为 2,3,6,11，则该数列的第 27 项为（ 　　） A. 676 B. 678 C. 731 D. 733 2.（多选）给定数列 ，定义差分运算：．若数列 满足 ，数列 的首项为 1，且 ，则（ 　　） A. 存在 ，使得 恒成立 B. C. 对任意 ，总存在 ，使得 D. 对任意 ，总存在 ，使得 3.（单选）已知数列 满足：，数列 满足 ，则数列 的前 50 项的和为（ 　　） A. B. C. D. 50 考点2：由递推关系求通项——累乘法 考法2：形如的累乘法 4.（解答）设 是等差数列， 是各项都为正整数的等比数列，且 ，，，. （2）若数列 满足 ，，且 ，试求 的通项公式； 5.（填空）在数列 中，，，则 ＿＿＿＿＿＿， 对所有 恒成立，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考点3：由递推关系求通项——构造法 考法3：数列的周期性判断与应用 6.（单选）已知数列 满足 ，则 （ 　　） A. B. C. D. 2 7.（单选）在数列 中，已知 ，则 （ 　　） A. 3 B. C. 6 D. 8.（多选）数列 满足 ，则（ 　　） A. B. 为递增数列 C. 为周期数列 D. 9.（填空）数列 满足 ，，则 ＿＿＿＿＿＿. 考法4：形如的构造法 10.（解答）已知数列 满足 ，，． （1）证明： 是等比数列； 11.（解答）已知数列 满足 ，数列 满足 . （1） 求证：数列 是等差数列； 12.（解答）将 随机排成一列，得到一个数列 ，若至多有 项，即第 项均满足 ，则称 为 阶相邻递增数列， 为相邻递增数列的阶数.若 中不存在 1 项 满足 ，则称 为 0 阶相邻递增数列，其阶数为 0. 例如，数列 为 0 阶相邻递增数列，数列 为 1 阶相邻递增数列，数列 为 3 阶相邻递增数列. （2）将 随机排成一列，在得到的数列中，1 阶相邻递增数列的个数为 ，证明 为等比数列，并求数列 的通项公式； 考点4：利用与的关系求通项 考法5：已知与的关系求 13.（填空）已知数列 的前 项和 ，若 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿. 14.（解答）已知 是数列 的前 项和，数列 是首项为 3，公比为 3 的等比数列. （1）求数列 的通项公式； 15.（解答）已知数列 的前 项和为 ，且 . （1）求 的通项公式； 考法6：已知与的关系求通项 16.（解答）已知数列 的前 项和为 . （1）求证：数列 是等比数列； 17.（解答）已知等差数列 的前 项和为 ，且 . （1） 求 ； 18.（多选）已知数列 的前 项和为 ，，且 ，则（ 　　） A. B. C. D. 19.（解答） 为数列 的前 项和，已知 ． （1）求 的通项公式； 20.（解答）已知 是数列 的前 项和，. （1）求 的通项公式； 21.（解答）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列 为公比大于 0 的等比数列，且 ，. （1）求 ，； 22.（解答）已知数列 的前 项和为 ，且 . （1）求数列 通项公式； 23.（解答）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， 且 . （1）求 的通项公式； 24.（单选）若数列 满足 ，且不等式 对一切正整数 恒成立，则 的最大值（ 　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 25.（多选）已知数列 满足 ，，令 ，则（ 　　） A. B. 数列 是等差数列 C. 为整数 D. 数列 的前 2025 项和为 2025 第 2 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $