周周测11 3.2双曲线定义及其性质应用（数学人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦双曲线定义及性质，通过基础辨析（如渐近线方程判断）、文化情境（黄金双曲线）、综合应用（直线与双曲线位置关系证明），实现知识巩固与逻辑推理能力训练，适配高二周测分层需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|双曲线定义、离心率等基础性质|结合充要条件考查概念辨析，体现数学思维的严密性| |多选|3/18|黄金双曲线、焦点三角形等|融入古希腊数学文化，培养数学眼光的文化感知| |填空|3/15|轨迹方程、曲线类型判断|通过动圆外切问题抽象轨迹，发展几何直观| |解答|5/77|方程求解、定点定值证明等|综合直线与双曲线关系，训练数学语言表达与模型应用|

2026-2027学年高二上学期数学周周测11 3.2双曲线定义及其性质应用 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．“”是“双曲线的离心率大于2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（    ） A．2 B． C．3 D．4 4．双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 5．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作圆：的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．双曲线方程为，则下列说法正确的是（    ） A．离心率为 B．离心率为 C．渐近线方程为 D．渐近线方程为 8．已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点到x轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为______ 10．若关于x，y的方程表示的是曲线C，给出下列四个命题： ①若C为椭圆，则； ②若C为双曲线，则或； ③曲线C不可能是圆； ④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则 其中正确的命题是________．（把所有正确命题的序号都填在横线上） 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点． (1)求双曲线C的方程． (2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值． (3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测11 3.2双曲线定义及其性质应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知双曲线方程为：，则下列叙述正确的是（  ） A．焦点 B．渐近线方程： C．离心率为 D．实轴长为 【答案】B 【解析】由双曲线的定义与性质逐项判断即可得解. 【详解】因为双曲线方程为：，所以， 所以该双曲线的焦点，故A错误； 渐近线方程为，故B正确； 离心率，故C错误； 实轴长，故D错误. 故选：B. 2．“”是“双曲线的离心率大于2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据离心率求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若双曲线的离心率大于，则，解得， 所以“”是“双曲线的离心率大于”的充要条件； 故选：C 3．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，求出双曲线方程. 【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为， ，故，又， 故， 故双曲线的标准方程为：. 故选：C 4．双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由双曲线方程求出渐近线方程和焦点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】依题意得，，， 所以，，， 所以渐近线方程为，右焦点为， 所以点到渐近线的距离为. 故选：A 5．若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（    ） A．双曲线的一支 B．圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】A 【分析】由圆与圆的位置关系以及双曲线的定义求解即可 【详解】设动圆的圆心为M，半径为r， 圆与圆的圆心分别为和圆， 易得圆和圆的半径分别为1和2， 由两圆外切的充要条件，得，． ∴，又， ∴动点M的轨迹是双曲线的一支． 故选：A 6．双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【答案】A 【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 7．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值． 【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则， 所以，且，所以， 的周长为， 当且仅当M，P，A三点共线时取等号， 则周长的最小值为． 故选：B． 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作圆：的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，推出，，，在中利用余弦定理可得，即可得出，由，得，即可得到不等式组，从而求出离心率的取值范围． 【详解】解：连接，， 设为双曲线的半焦距）， 在直角三角形中，，， 则，，， 所以， 在中，， 所以， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即 故选：D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．双曲线方程为，则下列说法正确的是（    ） A．离心率为 B．离心率为 C．渐近线方程为 D．渐近线方程为 【答案】AD 【分析】先求得，然后根据离心率和渐近线的知识求得正确答案. 【详解】双曲线方程为，所以， 所以离心率，A选项正确，B选项错误. 渐近线方程为，D选项正确，C选项错误. 故选：AD 10．已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点到x轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】AC 【分析】根据双曲线的方程，定义与性质，结合三角形的面积求出点的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可. 【详解】由双曲线的方程可得，，则， 由的面积为，得，解得， 即点到x轴的距离为，故A选项正确； 将代入双曲线方程可得，根据双曲线的对称性可设， 则， 由双曲线的定义知，则， 则，故B选项错误； 在中，， 则，为钝角， 则为钝角三角形，故C选项正确； ， 则错误， 故选：AC. 11．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（    ） A． B． C．顶点到渐近线的距离为 D．的外接圆的面积为 【答案】ABD 【分析】利用双曲线的几何性质，结合图形进行计算即可. 【详解】 设双曲线的半焦距为，则， 由题意知，A正确. ，B正确. 对于C，双曲线的渐近线方程为， 所以顶点到渐近线距离，C错误. 对于D，因为，所以，所以为直角三角形，且， 所以的外接圆半径为，故外接球面积，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是__________． 【答案】2 【分析】由双曲线方程可得. 【详解】由双曲线方程可知， 所以，，． 故答案为：2 13．如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为______ 【答案】 【分析】根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线定义即可算出双曲线的方程. 【详解】解：根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即， 又，，即， ， 中，，，，， ， 即，解得，又， 由此可得：，所以双曲线方程为：. 故答案为：. 14．若关于x，y的方程表示的是曲线C，给出下列四个命题： ①若C为椭圆，则； ②若C为双曲线，则或； ③曲线C不可能是圆； ④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则 其中正确的命题是________．（把所有正确命题的序号都填在横线上） 【答案】②④ 【分析】根据方程表示的曲线特征，列式求解的取值范围. 【详解】①若为椭圆，则，解得：或，故①不正确； ②若为双曲线，则，解得：或，故②正确； ③当时，方程表示，表示圆，故③不正确； ④若为椭圆，且长轴在轴上，则，解得：，故④正确. 故答案为：②④ 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可． 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为． 16．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程； （2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围. 【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，， 所以双曲线方程为； （2）设直线的方程为， 联立，， 时，，得； 当时，时，，得，满足条件， 综上可知，或. 17．已知双曲线的焦距为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据双曲线的几何性质可得，进而求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得，进而写出直线的方程，可得点的坐标，结合化简可得，分和两种情况讨论即可求证，进而求出定点. 【详解】（1）由题意知，解得，，， 双曲线的方程为. （2）证明：设直线的方程为， 联立方程组，消去，得， 则， ， 所以直线方程为， 令，则， 同理直线方程为， 令，则， 由，可得， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 当时，， 此时直线方程为，恒过定点，不符合题意； 当时，直线方程为，恒过定点符合题意， 综上所述，直线过定点.    18．已知双曲线的离心率为，经过点、． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于、两点，已知点、分别位于第二、四象限，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出以及点、到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形面积的最小值． 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以，双曲线的方程为. （2）设点、， 联立可得，   ， 由韦达定理可得，，可得， ， 点到直线的距离为，点到直线的距离为， 所以，四边形的面积为. 当且仅当时，四边形的面积取最小值. 19．已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点． (1)求双曲线C的方程． (2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值． (3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在； 【分析】（1）根据题意得到，解方程组即可求出结果； （2）设出点的坐标，结合根据两点求斜率，化简整理即可求出结果； （3）设出直线的方程，结合韦达定理得到，从而可得，即可得到结果，注意检验斜率不存在的情况即可. 【详解】（1）由题意得，解得 所以双曲线C的方程为． （2）证明：设点A的坐标为，则由对称性知点B的坐标为． 设P（x，y），则， 由得， 所以． （3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 与双曲线方程联立消y得， 所以，得且， 所以 ． 假设存在实数m，使得， 则对任意的恒成立， 所以，解得． 所以当时，． 当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，－3）及M（－1，0）知结论也成立． 综上，存在M（－1，0），使得． 【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测11 3.2双曲线定义及其性质应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知双曲线方程为：，则下列叙述正确的是（  ） A．焦点 B．渐近线方程： C．离心率为 D．实轴长为 2．“”是“双曲线的离心率大于2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（    ） A．2 B． C．3 D．4 5．若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（    ） A．双曲线的一支 B．圆 C．抛物线 D．双曲线 6．双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 7．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作圆：的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．双曲线方程为，则下列说法正确的是（    ） A．离心率为 B．离心率为 C．渐近线方程为 D．渐近线方程为 10．已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点到x轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 11．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（    ） A． B． C．顶点到渐近线的距离为 D．的外接圆的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是__________． 13．如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为______ 14．若关于x，y的方程表示的是曲线C，给出下列四个命题： ①若C为椭圆，则； ②若C为双曲线，则或； ③曲线C不可能是圆； ④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则 其中正确的命题是________．（把所有正确命题的序号都填在横线上） 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 16．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 17．已知双曲线的焦距为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 18．已知双曲线的离心率为，经过点、． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于、两点，已知点、分别位于第二、四象限，求四边形面积的最小值． 19．已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点． (1)求双曲线C的方程． (2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值． (3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测11 3.2双曲线定义及其性质应用 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．“”是“双曲线的离心率大于2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据离心率求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若双曲线的离心率大于，则，解得， 所以“”是“双曲线的离心率大于”的充要条件； 故选：C 2．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，求出双曲线方程. 【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为， ，故，又， 故， 故双曲线的标准方程为：. 故选：C 3．双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由双曲线方程求出渐近线方程和焦点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】依题意得，，， 所以，，， 所以渐近线方程为，右焦点为， 所以点到渐近线的距离为. 故选：A 4．双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【答案】A 【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 5．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值． 【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则， 所以，且，所以， 的周长为， 当且仅当M，P，A三点共线时取等号， 则周长的最小值为． 故选：B． 6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作圆：的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，推出，，，在中利用余弦定理可得，即可得出，由，得，即可得到不等式组，从而求出离心率的取值范围． 【详解】解：连接，， 设为双曲线的半焦距）， 在直角三角形中，，， 则，，， 所以， 在中，， 所以， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即 故选：D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．双曲线方程为，则下列说法正确的是（    ） A．离心率为 B．离心率为 C．渐近线方程为 D．渐近线方程为 【答案】AD 【分析】先求得，然后根据离心率和渐近线的知识求得正确答案. 【详解】双曲线方程为，所以， 所以离心率，A选项正确，B选项错误. 渐近线方程为，D选项正确，C选项错误. 故选：AD 8．已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点到x轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】AC 【分析】根据双曲线的方程，定义与性质，结合三角形的面积求出点的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可. 【详解】由双曲线的方程可得，，则， 由的面积为，得，解得， 即点到x轴的距离为，故A选项正确； 将代入双曲线方程可得，根据双曲线的对称性可设， 则， 由双曲线的定义知，则， 则，故B选项错误； 在中，， 则，为钝角， 则为钝角三角形，故C选项正确； ， 则错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为______ 【答案】 【分析】根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线定义即可算出双曲线的方程. 【详解】解：根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即， 又，，即， ， 中，，，，， ， 即，解得，又， 由此可得：，所以双曲线方程为：. 故答案为：. 10．若关于x，y的方程表示的是曲线C，给出下列四个命题： ①若C为椭圆，则； ②若C为双曲线，则或； ③曲线C不可能是圆； ④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则 其中正确的命题是________．（把所有正确命题的序号都填在横线上） 【答案】②④ 【分析】根据方程表示的曲线特征，列式求解的取值范围. 【详解】①若为椭圆，则，解得：或，故①不正确； ②若为双曲线，则，解得：或，故②正确； ③当时，方程表示，表示圆，故③不正确； ④若为椭圆，且长轴在轴上，则，解得：，故④正确. 故答案为：②④ 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点． (1)求双曲线C的方程． (2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值． (3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在； 【分析】（1）根据题意得到，解方程组即可求出结果； （2）设出点的坐标，结合根据两点求斜率，化简整理即可求出结果； （3）设出直线的方程，结合韦达定理得到，从而可得，即可得到结果，注意检验斜率不存在的情况即可. 【详解】（1）由题意得，解得 所以双曲线C的方程为． （2）证明：设点A的坐标为，则由对称性知点B的坐标为． 设P（x，y），则， 由得， 所以． （3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 与双曲线方程联立消y得， 所以，得且， 所以 ． 假设存在实数m，使得， 则对任意的恒成立， 所以，解得． 所以当时，． 当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，－3）及M（－1，0）知结论也成立． 综上，存在M（－1，0），使得． 【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $