第28章 旋转 小结与复习 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦旋转与中心对称核心知识，通过知识结构图梳理概念与性质，结合考点讲练（含旋转性质应用、坐标变换、中心对称等模块），搭建从基础作图到综合解题的学习支架。 以核心素养为导向，通过旋转变换证明题（如构造全等证平行）培养推理能力，坐标旋转题发展几何直观，综合探究题提升模型意识，助力学生深化变换思想，为教师提供系统讲练资源与分层教学支持。

第28章 旋转小结与复习教学设计 一、素养目标 1.梳理旋转、中心对称相关概念与坐标规律，熟练作图、求值计算； 2.借助数形结合辨析对称类型，提升图形变换推理能力； 3.运用旋转知识解决几何综合题，体会变换思想，规范解题步骤. 二、教学重点、难点 重点：明确旋转、中心对称、中心对称图形的概念及性质，并会作图. 难点：能灵活应用平移、旋转、轴对称变换进行图案设计，体会数学的美感. 三、教学过程 1、知识结构图 2、考点讲练 考点一 旋转的性质及应用 例1 (1)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是( ) A.15° B.60° C.45° D.75° (2) 如图，△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针方向旋转60°得到的，若A′B′＝12，OA＝5，点A′在AB上，则A′B的大小是( ) A.13 B.12 C.5 D.7 参考答案：（1）C （2）D 针对训练 1.如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′. 当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为(　　) A.65° B.70° C.80° D.85° 2.如图，在△OAB中，∠A＝25°，∠B＝75°，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转x度得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上，则x＝ . 3.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点 B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上. 若CD＝3，BC＝1，则AD的长为 . 针对训练 参考答案：1、B 2、30° 3、 考点二 旋转变换 例2 如图，在坐标网格中，线段AB和点P绕着同一个点 (填坐标)做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则点P′的坐标是 . 参考答案：（0，5） ；（-1，2） 例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF. (1)补充完成图形(不要求尺规作图)； (2)若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°. 答案： 解：(1)补全图形，如图所示； (2)由旋转的性质得，CD＝CF，∠DCF＝90° ∴ ∠DCE＋∠ECF＝90° ∵ ∠DCE＋∠BCD＝∠ACB＝90° ∴ ∠BCD＝∠ECF 又∵ CB＝CE ∴ △BCD≌△ECF (SAS) ∴ ∠BDC＝∠EFC ∵ EF∥DC ∴ ∠EFC＝180°－∠DCF＝90° ∴ ∠BDC＝90° 针对训练 4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转30°，则点A对应点的坐标为 . 5.如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE. (1)补充完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)求证：AE∥BC. 答案：4、（，3） 5、解：(1)补全图形，如图所示； (2)证明：∵ △ABC是等边三角形 ∴ BC＝AC，∠ACB＝∠B＝60° 由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60° ∵ ∠BCD＋∠ACD＝∠ACE＋∠ACD＝60° ∴ ∠BCD＝∠ACE ∴ △BCD≌△ACE (SAS) ∴ ∠B＝∠CAE＝60° ∴ ∠CAE＝∠ACB ∴ AE∥BC 6.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点. (1)将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，用无刻度直尺作出点O的位置，保留作图痕迹； (2)将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，用无刻度直尺作出△CFD，保留作图痕迹. 参考答案： 解：(1)如图所示：连接AC交BD于点O，则点O即为所求的点； (2)如图所示：连接EO并延长交CD于点H，连接AH，延长AH， BC交于点F，连接DF，则△CFD即为所求. 考点三 中心对称 例4 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形 的是( ) 答案：A D 例5 如图，已知点M、N分别是△ABC的边BC、AC的中点，点P是点A关于点M的对称点，点Q是点B关于点N的对称点. 求证：P、C、Q三点在同一条直线上. 答案： 证明：连接MN，CP，CQ ∵ 点P是点A关于点M的对称点 ∴ 点M是AP的中点 又∵ 点N是AC的中点 ∴ MN是△APC的中位线，∴ CP∥MN 同理可证，CQ∥MN 从而，CP与CQ都经过点C且都平行于MN ∴ P、C、Q三点在同一条直线上. 针对训练 7.中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是(　　) 8.点A(3，5)关于原点的对称点的坐标为( ) A.(－3，5) B.(－3，－5) C.(3，－5) D.(5，3) 9如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A的坐标为(1，3)，则点M和点N的坐标分别为M ，N . 答案：7、D 8、B 9、（-1，-3）;(1.-3) 五、课后检测 1.(1)如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕点A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 .(无须证明) (2)如图2，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照(1)的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论。 2.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点. (1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值. 课后检测 参考答案： 1、 （1）BD²＋CE²＝DE² (2)解：CE²＝BD²＋DE² 证明：将△AEC绕点A顺时针旋转120°得到△AFB，连接FD. 由旋转的性质可得△AEC≌△AFB ∴ AF＝AE，BF＝CE，∠FAB＝∠EAC ∴ ∠FAE＝∠FAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC＝120° 又∵ ∠DAE＝60°，∴ ∠FAD＝∠EAD＝60° 又∵ AD＝AD ∴ △ADF≌△ADE (SAS) ∴ DF＝DE，∠ADF＝∠ADE＝45° ∴ ∠BDF＝90°，∴ BF²＝BD²＋DF² ∴ CE²＝BD²＋DE² 2、 解：(1) 故答案为：PM＝PN，PM⊥PN ∵点P，N是BC，CD的中点，∴ PN∥BD，PN＝BD ∵ 点P，M是CD，DE的中点，∴ PM∥CE，PM＝CE ∵ AB＝AC，AD＝AE，∴ BD＝CE，∴ PM＝PN ∵ PN∥BD，∴ ∠DPN＝∠ADC ∵ PM∥CE，∴ ∠DPM＝∠DCA ∵ ∠BAC＝90°，∴ ∠ADC＋∠ACD＝90° ∴ ∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，∴ PM⊥PN 故答案为：PM＝PN，PM⊥PN (2)△PMN是等腰直角三角形. 理由如下： 由旋转知，∠BAD＝∠CAE ∵ AB＝AC，AD＝AE，∴ △ABD≌△ACE (SAS) ∴ ∠ABD＝∠ACE，BD＝CE 利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE ∴ PM＝PN，∴ △PMN是等腰三角形 同(1)的方法可得，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC ∵ ∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC ∴ ∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC ＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC＝90° ∴ △PMN是等腰直角三角形 (3)由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD ∴ PN最大时，△PMN面积最大 即 点D在BA的延长线上时，△PMN面积最大 ∴ BD＝AB＋AD＝14，∴ PN＝7，∴ S△PMN最大＝PN2＝ 六、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $