第29章 圆（点圆位置、线圆位置、内外切圆、切线长定理及圆的切线证明）讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“圆的位置关系”核心知识点，系统梳理点与圆（距离d与半径r关系、外心性质）、直线与圆（d与r判定相离/相切/相交）、切线问题（性质定理、判定定理、切线长定理及内心），构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料以“知识梳理+题型演练+巩固训练”设计，题型分层覆盖外接圆、内切圆、切线证明等，通过图形分析培养几何直观，切线证明题强化推理能力，坐标系相关题目渗透模型意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

目录 第12讲：圆的位置关系 1 【知识梳理】 1 知识点一：点与圆位置关系 1 知识点二：直线与圆位置关系 1 知识点三：圆的切线问题 2 【题型演练】 3 【题型一：点与圆的位置关系】 3 【题型二：外接圆】 7 【题型三：直线与圆的位置关系】 12 【题型四：切线长定理】 16 【题型五：内切圆】 21 【题型六：圆的切线证明】 25 【巩固训练】 31 第12讲：圆的位置关系 【知识梳理】 知识点一：点与圆位置关系 点与圆的位置关系：点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种位置关系与点到圆心的距离（d）圆的半径（r）之间有着紧密的联系．具体关系如下： 点在圆外； 点在圆上； 点在圆内； 圆的确定：经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 圆的外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. 【注意】 ①锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 ②三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. 知识点二：直线与圆位置关系 直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． 判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点三：圆的切线问题 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. 切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 切线长定理 ①切线长定理： 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ②三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． 【注意】 （1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 【题型演练】 【题型一：点与圆的位置关系】 【例题1】如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线性质，理解点与圆的位置关系是解题关键． 连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，与圆的半径相等，即可得出结论． 【详解】解：连接， ，，点O为的中点， ， 的半径为5， 点在上． 故选：B． 【练习1-1】中，，，，于D点，以C为圆心，2.5为半径作，则D点与圆的位置关系是（     ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，以及点与圆的位置关系，解决本题的关键是求解出的长度． 比较点D到圆心C的距离与圆的半径2.5的大小关系即可判断位置． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ， ∵， 又∵， ∴，解得， ∵圆的半径为2.5，而， ∴点D到圆心C的距离小于半径，故点D在内． 故选：C ． 【练习1-2】设的半径为2，点P到圆心O的距离，且m使得关于x的方程没有实数根，则点P与的位置关系为________． 【答案】点P在圆外 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及点与圆的位置关系．先根据一元二次方程无实数根的条件，列不等式求出的取值范围；再确定点P与的位置关系． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴ ， 解得， ∵的半径为2， ∴点P到圆心O的距离， ∴点P与的位置关系为点P在圆外， 故答案为：点P在圆外． 【例题2】在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识． 点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解． 【详解】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴圆的直径是，因而半径是， 故选：B． 【练习2-1】如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【知识点】点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于，由轴对称的性质得，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选：A． 【练习2-2】如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形综合、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆的位置关系是解题的关键．由点、点的坐标得是的中点，则是的中位线，，当的长最大时，的长最大，根据点与圆的位置关系可得长的最大值为，求出，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：D． 【题型二：外接圆】 【例题3-1】如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第________块． 【答案】① 【知识点】判断确定圆的条件、垂径定理的实际应用 【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径． 所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①． 故答案为：①． 【点睛】本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的条件是解题的关键． 【例题3-2】如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．    (1)点M的坐标是 ； (2)判断与y轴的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 相交． 根据网格特征可得： 的半径 圆心M到y轴的距离 ∴ ∴与y轴相交． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求解其他问题、判断直线和圆的位置关系 【分析】此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心； （2）先利用勾股定理求出，即得的半径为，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离，然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系． 【详解】（1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示：    根据网格的特征可得：点M的坐标为， 故答案为：． （2）略 【练习3-1】若的三边长分别为5、12、13，则其外接圆半径长为________． 【答案】 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，外接圆，掌握直角三角形外接圆的半径就是斜边的一半是解题关键．根据勾股定理逆定理，判断三角形为直角三角形，再根据外接圆半径等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：因为，， 所以， 所以是直角三角形，斜边为13， 所以外接圆半径， 故答案为：． 【练习3-2】如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理，作出三角形的外接圆是解题的关键． 作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰，E必为圆心，即、为半径，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：如图，作出的外接圆，以为斜边在x轴上方作等腰， ∵， ∴由圆周角定理得：所对的圆心角必为， ∵， ∴在弦的垂直平分线上， ∵， ∴E必为圆心，即、为半径， ∵， ∴， ∵， ， 故选A． 【练习3-3】如图，在下列（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知的三个顶点在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． (1)经过三点有一条抛物线，图中存在点，点落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点的坐标为______． (2)经过三点有一个圆，圆心为点，则点的坐标为______． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、求三角形外心坐标、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】（1）本题考查抛物线的对称性，根据题意，可知，抛物线的对称轴为的中垂线，即，点关于对称轴对称，即可；利用对称性求出对称轴，是解题的关键 （2）本题考查圆的确定，根据圆心为线段的中垂线的交点，即可得出结果．掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵经过三点有一条抛物线，， ∴抛物线的对称轴为：， ∴当关于对称轴对称时，满足题意， ∴； 故答案为：； （2）∵经过三点有一个圆，圆心为点，则点为线段的中垂线的交点， 如图：的中垂线的解析式为：，的中垂线的解析式为：， ∴当时，， ∴； 故答案为：． 【题型三：直线与圆的位置关系】 【例题4】在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长．求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 【练习4-1】如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系 【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点D作于点H，求出，由即可得到结论． 【详解】解：过点D作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴则圆与直线的关系是相离． 故选：B． 【练习4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．现有半径为1的动圆位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过_______秒，动圆与直线相切． 【答案】或 【知识点】利用两角对应相等判定相似、切线的性质定理、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解决本题的关键是理解直线与圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，通过构造相似三角形建立方程求解，注意分圆心在点的左侧和右侧两种情况讨论，避免漏解． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于，两点， 则，， 设运动时间为秒，则动圆圆心坐标为，半径为， 动圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径， 过圆心作于， 则，可得， 当圆心在点左侧时，，由相似三角形对应边成比例： 即，解得：， 当圆心在点右侧时，，同理可得： 即，解得：， 综上，经过或秒，动圆与直线相切． 故答案为：或． 【练习4-3】如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正切值求边长、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系得出相切时只有一交点，经过点时有两个交点，再结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， 过点作于点， ∴， ∴， ∴如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是， 故选：A． 【题型四：切线长定理】 【例题5-1】如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解 【分析】本题考查考查了切线长定理，设，利用切线长定理得到，，，然后根据勾股定理得到，最后解方程即可． 【详解】解：如图， 设， ∵直角三角形的内切圆分别与、、相切于点、点、点F， ，, ，， 在中，， 解得， 即的长度为． 故选D． 【例题5-2】如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为_____. 【答案】1 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键． 首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，即可利用直角三角形内切圆半径公式计算半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴是直角三角形， ∴内切圆的半径为， 故答案为：1． 【练习5-1】如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为_____． 【答案】24 【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出是解题的关键． 设与分别相切于点E、F，则，因为与相切于点D，所以，，可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与分别相切于点E、F，则， 与相切于点D， ，， ， ， ， 剪下的的周长为24， 故答案为：． 【练习5-2】如图所示，分别与相切于两点，的延长线与的延长线交于点，若的半径为5，，则的长度为_____． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查了切线长定理，相似三角形的判定和性质．根据切线长定理，可得，勾股定理求出，再证明，即可求解． 【详解】解：如图，分别与相切于两点， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：． 【练习5-3】如图，的直径，，分别是它的两条切线，与相切于点，并与，分别交于，两点，，，则关于的函数表达式为____________________． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】作交于点，由切线的性质可知，，进而可证得四边形是矩形，于是有，，因而可得，由切线长定理可得，，于是可得，在中，根据勾股定理即可求出关于的函数表达式． 本题主要考查了切线的性质定理，垂线的性质，矩形的判定与性质，切线长定理，勾股定理，完全平方公式，用关系式表示变量间的关系等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【详解】解：如图，作交于点， ，分别是的两条切线， ，， 又， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 与相切于点， ，， 则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 整理，得：， 即：， 关于的函数表达式为， 故答案为：． 【题型五：内切圆】 【例题6】如图，⊙是的内切圆，，则_____． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内心有关应用 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大． 根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【练习6-1】如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、圆周角定理、 三角形外接圆的概念辨析、三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查三角形的外心与内心的性质，熟练掌握三角形的外心与内心的性质是解题的关键；连接，由外心的性质可知，根据内心的性质可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由内心可知：分别是内角的角平分线， ∵点O为的外心，， ∴根据圆周角定理可知：， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【练习6-2】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】圆周角定理、应用切线长定理求解、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【练习6-3】如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内心有关应用、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，，根据点为的内心，可得和分别平分和，再根据平移，使其顶点与点重合，可得，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长． 【详解】解：如图，连接，， 点为的内心， 和分别平分和， ，， 将平移，使其顶点与点重合， ，， ，， ，， ，， ． 所以图中阴影部分的周长为． 故选：B． 【题型六：圆的切线证明】 【例题7-1】如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接，，作于点． ∵，为的中点， ∴平分． ∵与相切于点， ∴是的半径，， ∵，平分， ∴． ∴也是的半径， ∴是的切线； (2) 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查切线的判定性质、等腰三角形性质与角平分线性质、勾股定理与方程思想． （1）通过作辅助线构造垂线段，利用等腰三角形“三线合一”得角平分线，结合角平分线性质证明垂线段等于半径，从而判定切线． （2）先在中求出半径，再设，利用等腰三角形三线合一与勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴． 设，则． ∵，为的中点， ∴，即． 在中，； 在中，， ∴， 展开化简得，解得， ∴． 【例题7-2】如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ， 是的半径，且， 是的切线． (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等． （1）连接，由等腰三角形的性质，进而得，由平行线的判定及性质得，即可得证； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，结合等腰三角形的性质得出，勾股定理求得，进而设的半径为，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵是直径， ∴ ∵， ∴ ∴ 在中， 设的半径为，则 ∴ 在中， ∴ 解得：， ∴的半径为． 【练习7-1】如图，已知在等腰中，，点D为边上一点，且，为的外接圆． (1)尺规作图：求作（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)求证：是切线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】画圆(尺规作图)、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）由已知可知，因此作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，即为所求； （2）连接，由垂直可知，进而根据，得，即可求解． 【详解】（1）解：作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，即为所求； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∴是的直径， ∴是的半径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【练习7-2】如图，四边形中，，平分．以为直径的经过C点，与的另一交点为E． (1)证明：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， 平分， ， 又， ， ， ，     ， ，    又为半径， ∴直线是的切线； (2) 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】本题主要考查切线的判定，垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）连接，证明，可得，故可得结论； （2）连接交于点F，证明，由勾股定理得，证明是的中位线，得；设为x，则为，根据勾股定理得，即，求得，得，故可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点F， 为的直径， ， ， ， ， ， ∴点是的中点， 又点是的中点， ∴是的中位线， ∴；   在中，， 设为x，则为，则： ， ∴， 解得，， ∴， ． 【巩固训练】 1．已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、圆周角定理 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理，熟练掌握点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理是解题的关键；过点O作于点D，连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点D，连接， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在内； 故选B． 2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 3．已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【知识点】求能确定的圆的个数 【分析】本题考查确定的圆的个数．经过两点A、B的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到A、B的距离等于半径。利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：设中点为M，则． ∵圆心O在的垂直平分线上，且， ∴在中，， ∴， ∵， ∴存在两个点O（在垂直平分线上两侧），分别对应两个圆． 故选：B． 4．如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 【答案】/度 【知识点】圆周角定理、等边三角形的判定和性质、已知圆内接四边形求角度、应用切线长定理求解 【分析】连接、，在优弧上取一点，连接、，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而得出是等边三角形，根据四边形内角和为求出，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，在优弧上取一点，连接、， ∵，为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 5．如图，在中，是外心，是内心，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、 三角形外接圆的概念辨析、三角形内心有关应用 【分析】如图，由圆周角定理可得，由是的内心，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内心、外心，三角形内角和定理，圆周角定理等知识．熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点，外心是垂直平分线的交点是解题的关键． 6．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 【答案】D 【知识点】圆周角定理、应用切线长定理求解、三角形内心有关应用 【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 7．如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若的周长为18，则的长度为_____． 【答案】9 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题考查了切线的性质，利用切线长定理是解决问题的关键． 先根据切线长定理得到，，，再利用的周长为得到，然后利用等线段代换得到，从而得到的长． 【详解】解：∵、分别切于点、，切于点， ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：9 8．如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了勾股定理，切线长定理．设，根据切线长定理得出，，进而运用勾股定理列式计算，即可得出的长． 【详解】解：记与相切于点，连接，如图所示： 设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 则， 在中，， ∴， 解得， 即的长度为． 故答案为：． 9．在平面直角坐标系中，，，分别以点，为圆心，1为半径作，，点，分别在，上，点在直线上，连接，．则的最小值为___________． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、点与圆上一点的最值问题 【分析】作关于直线对称的，点关于直线对称的，连接，连接，可知当、、、四点共线时，有最小值，进而求解． 【详解】解：如图，作关于直线对称的，点关于直线对称的，连接， 则有， 连接，可知当、、、四点共线时，有最小值； 如图， 对于直线，当时，；当时，； ∴，， 设，则有，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的最小值为． 10．如图，是等腰三角形，，是的外接圆，为圆心． (1)尺规作图：以为对角线，作、为边的平行四边形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：连接并延长交于点，连接、，如图： ∵，， ∴点、点都在的垂直平分线上， ∴， 即； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【知识点】作线段(尺规作图)、线段垂直平分线的判定、证明四边形是平行四边形、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）以点为圆心，的长为半径，画弧；以点为圆心，的长为半径，画弧，两弧交于一点；连接、，即可求解； （2）连接并延长交于点，连接、，根据垂直平分线的判定定理得出，结合平行四边形的性质和平行线的性质得出，根据切线的判定定理即可证明． 【详解】（1）解：作法：以点为圆心，的长为半径，画弧； 以点为圆心，的长为半径，画弧，两弧交于一点； 连接、，则四边形即为所求的平行四边形． 证明如下：根据作法可得，， 故四边形为平行四边形． （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第12讲：圆的位置关系 1 【知识梳理】 1 知识点一：点与圆位置关系 1 知识点二：直线与圆位置关系 1 知识点三：圆的切线问题 2 【题型演练】 3 【题型一：点与圆的位置关系】 3 【题型二：外接圆】 4 【题型三：直线与圆的位置关系】 6 【题型四：切线长定理】 7 【题型五：内切圆】 8 【题型六：圆的切线证明】 9 【巩固训练】 11 1 学科网（北京）股份有限公司 第12讲：圆的位置关系 【知识梳理】 知识点一：点与圆位置关系 点与圆的位置关系：点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种位置关系与点到圆心的距离（d）圆的半径（r）之间有着紧密的联系．具体关系如下： 点在圆外； 点在圆上； 点在圆内； 圆的确定：经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 圆的外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. 【注意】 ①锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 ②三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. 知识点二：直线与圆位置关系 直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． 判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点三：圆的切线问题 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. 切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 切线长定理 ①切线长定理： 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ②三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． 【注意】 （1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 【题型演练】 【题型一：点与圆的位置关系】 【例题1】如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【练习1-1】中，，，，于D点，以C为圆心，2.5为半径作，则D点与圆的位置关系是（     ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【练习1-2】设的半径为2，点P到圆心O的距离，且m使得关于x的方程没有实数根，则点P与的位置关系为________． 【例题2】在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【练习2-1】如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【练习2-2】如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【题型二：外接圆】 【例题3-1】如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第________块． 【例题3-2】如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．    (1)点M的坐标是 ； (2)判断与y轴的位置关系，并说明理由． 【练习3-1】若的三边长分别为5、12、13，则其外接圆半径长为________． 【练习3-2】如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（   ） A． B． C．8 D．4 【练习3-3】如图，在下列（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知的三个顶点在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． (1)经过三点有一条抛物线，图中存在点，点落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点的坐标为______． (2)经过三点有一个圆，圆心为点，则点的坐标为______． 【题型三：直线与圆的位置关系】 【例题4】在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【练习4-1】如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【练习4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．现有半径为1的动圆位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过_______秒，动圆与直线相切． 【练习4-3】如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型四：切线长定理】 【例题5-1】如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为（   ） A． B． C． D． 【例题5-2】如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为_____. 【练习5-1】如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为_____． 【练习5-2】如图所示，分别与相切于两点，的延长线与的延长线交于点，若的半径为5，，则的长度为_____． 【练习5-3】如图，的直径，，分别是它的两条切线，与相切于点，并与，分别交于，两点，，，则关于的函数表达式为____________________． 【题型五：内切圆】 【例题6】如图，⊙是的内切圆，，则_____． 【练习6-1】如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【练习6-2】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【练习6-3】如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【题型六：圆的切线证明】 【例题7-1】如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【例题7-2】如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【练习7-1】如图，已知在等腰中，，点D为边上一点，且，为的外接圆． (1)尺规作图：求作（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)求证：是切线． 【练习7-2】如图，四边形中，，平分．以为直径的经过C点，与的另一交点为E． (1)证明：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【巩固训练】 1．已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A． 点 B．点 C．点 D．点 3．已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无数个 4．如图，在中，是外心，是内心，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 6．如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 7．如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若的周长为18，则的长度为_____． 8．如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 9．在平面直角坐标系中，，，分别以点，为圆心，1为半径作，，点，分别在，上，点在直线上，连接，．则的最小值为___________． 10．如图，是等腰三角形，，是的外接圆，为圆心． (1)尺规作图：以为对角线，作、为边的平行四边形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：是的切线． $