第27章反比例函数小结与复习教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学单元复习资料采用小结与复习设计，系统梳理了反比例函数的概念、图象性质、k的面积问题、应用及与一次函数的综合，通过知识结构图和考点分类将核心内容串联，帮助学生构建完整的反比例函数知识网络。 其亮点在于以“考点精讲+针对训练”模式落实核心素养，如例4结合药物含药量问题培养数学建模与应用意识，例5通过函数与几何综合题发展几何直观和推理能力。分层训练覆盖基础到综合，课堂小结与反思助力教师把握学情，提升复习针对性和学生知识巩固效果。

第27章反比例函数 教学设计：反比例函数小结与复习 一、素养目标 1.通过用实际的题例，回顾反比例函数的概念，同时在后续的练习中，进一步理解反比例函数的概念中的关键点； 2.能画出反比例函数的图象，并根据图象和解析式掌握反比例函数的主要性质，以及根据己知条件确定反比例函数的表达式； 3.熟练应用反比例函数的有关知识解决实际问题，体会其中的建模思想； 二、教学重点、难点 重点：巩固并掌握反比例函数概念及图象和性质，能根据已知条件确定反比例函数的解析式. 难点：应用反比例函数、结合几何、代数知识解决综合性问题. 三、教学过程 1、知识结构图 2、考点精讲 考点一 反比例函数的概念 例1 若是反比例函数，则a的值为( ) A.1 B.－1 C.±1 D.任意实数 针对训练 1.在下列式子中，y是x的反比例函数的是( ) A.y＝4x B.xy＝3 C. D.2x＋y＝5 2.对于反比例函数，当x＝2时，函数y的值是______. 3.已知函数y＝(m＋5)x4－m是反比例函数，则m＝______. 考点二 反比例函数的图象和性质 例2 对于反比例函数，下列说法正确的是( ) A.点(－2，－1)在它的图象上 B.它的图象在第一、三象限 C.当x＞0时，y随x的增大而增大 D.当x＜0时，y随x的增大而减小 针对训练 4. 若反比例函数的图象经过点(2，4)，则该反比例函数的图象在( ) A.第一、二象限  B.第一、三象限   C.第二、三象限   D.第二、四象限 5.若反比例函数(k＞0)的图象经过点(x1，3)和(x2，5)，则下列关系式中正确的是(　　) ( ( 第7题图 ) ) A.x1＞x2＞0 B.x2＞x1＞0 C.x1＜x2＜0 D.x2＜x1＜0 6.若反比例函数(k≠0)的图象经过点A(－2，3)和B(m，2)，则m＝_____. 7.如图中的曲线是反比例函数的图象的一支，则n的取值范围是______. 考点三 与反比例函数k有关的面积问题 例3 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_____. 例3图 第8题图 针对训练 8.如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数(x＞0)和(x＞0)的图象交于P，Q两点，若S△POQ＝14，则k的值为_____. 考点四 反比例函数的应用 例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克.已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y(单位：毫克)与时间x(单位：小时)成正比例；2小时后y与x成反比例 (如图).根据以上信息解答下列问题： (1)求当0≤x≤2时，y与x的函数解析式； (2)求当x＞2时，y与x的函数解析式； (3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：(1)当0≤x≤2时，y与x成正比例. ∴ 设y＝k1x ∵ 点(2，4)在y＝k1x的图象上 ∴ 4＝2k1，解得k1＝2 ∴ y＝2x (2)当x＞2时，y与x成反比例. ∴ 设 ∵ 点(2，4)在的图象上 ∴ 4＝，解得k2＝8 ∴ y＝ (3)当0≤x≤2时，含药量不低于2毫克 即 2x≥2，解得 x≥1 ∴ 1≤x≤2 当x＞2时，含药量不低于2毫克 即 ≥2，解得x≤4 ∴ 2＜x≤4 ∴ 服药一次，治疗疾病的有效时间是1＋2＝3(小时) 针对训练 9.博物馆到小明家的路程为10km，小明回家所需时间t(单位：h)随平均速度v(单位：km/h)的变化而变化，则t关于v的函数解析式是( ) A.t＝10v B.t＝v C.t＝ D.t＝10v2 10.如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：①I与R的函数解析式是I＝；②当R＝200Ω时，I＝2.5A；③在第一象限，I随R的增大而减小； ④当100＜R＜1000时，I的取值范围是0.05＜I＜0.5.其中正确的结 论个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f(赫兹)与振动弦长l(米)近似成反比例关系，即f＝(k为常数，k≠0).测得f与l之间的部分对应数据如表. (1)a的值为_____； (2)若要求振动频率f保持在150赫兹到240赫兹之间(包含 边界值)，则振动弦长l的范围是____________(单位：米). 12.如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟.据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系.已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃. (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的 取值范围)； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对 该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 解：(1)依题意，设该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式分别为：y＝k1x＋4，. 把(12，14)代入，解得k2＝168 ∴ ∴ 当y＝28时，x＝6 把(6，28)代入y＝k1x＋4，解得k1＝4 ∴ 解：(2)当y≥12时，由4x＋4≥12，解得x≥2 ∴ 2≤x≤6 由≥12，解得x≤14 ∴ 6＜x≤14 ∴ 对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟) 考点五 反比例函数与一次函数 例5 如图，已知A(－4，)，B(－1，2)是一次函数y＝kx＋b与反比例函数(m＜0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D. (1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； (2)求一次函数解析式及m的值； (3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB 面积相等，求点P坐标. 解：(1)当－4＜x＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值. (2)把A(－4，)，B(－1，2)代入y＝kx＋b，得 解得 所以一次函数的解析式为 把B(－1，2)代入中，得m＝－1×2＝－2 (3)设点P的坐标为(a，)，P点到直线AC的距离为a－(－4)，P点到直线BD的距离为.∵ △PCA和△PDB面积相等 ∴ AC×[a－(－4)]＝BD×[2－(a＋)]，解得，a＝－ ∴ 点P坐标为(－，) 四、方法总结 此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路.在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度. 针对训练 13.如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数(x＞0)的图象交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AB＝，则k的值为( ) A.10 B.12 C.16 D.18 14.如图，反比例函数(k＞0)与过点M(－2，0)的直线l: y＝kx＋b的交于A，B两点，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式； 五、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 六、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $