重难点专训06 导数在实际问题中的最值应用四大考法 （专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以五步解题模板为核心，系统整合几何、经济、行程等实际问题的导数最值求解方法，构建“建模-求导-优化”完整逻辑链，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1模板+4技巧|满分五步模板（审题定参→构建函数→定义域标注→导数运算→回归情境）；唯一驻点论证、建模避坑等技巧|从实际情境抽象单变量函数，通过导数判定单调性求最值，形成“实际问题→数学模型→导数应用→实际解答”递进逻辑| |题型通法及变式提升|4题型（几何/用料/经济/行程）|几何优化抓面积体积关系，经济优化用利润成本公式，行程问题突破根式求导|按“模型特征-典型陷阱-核心解法”分类，每个题型对应特定建模策略与导数应用场景| |分层过关练|巩固+创新|巩固题强化通法，创新题融合跨学科情境（如蜂房结构、抗疫物资运输）|从基础应用到复杂情境，逐步提升数学抽象与问题解决能力，契合高考命题趋势|

重难点专训06 导数在实际问题中的最值应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 几何优化｜面积最大、体积最大（一模二模最高频） 3 题型2 用料最省｜最小表面积、最低造价 4 题型3 经济优化｜利润最大、成本最小 6 题型4 行程、能耗最短（上海特色建模题） 9 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 14 解题方法及技巧提炼 一、满分通用解题五步模板（上海高考标准答题范式） 步骤1：审题定参，设出自变量 精准拆解题干文字信息，明确题目求解目标（最大值/最小值），合理设定单一自变量，统一题干所有物理单位；几何类题型建议绘制简易示意图，直观梳理边长、面积、体积等量关系，避免建模失误。 核心禁忌（必考扣分点）：禁止保留双变量列式，必须利用题干约束条件消元，全程使用单变量函数求解。 步骤2：梳理关系，构建目标函数 依托题干给出的等量约束关系，消去多余辅助变量，将面积、体积、利润、费用、能耗等目标量，整理为单变量函数 y=f (x)，完成从实际情境到数学函数的标准化建模转化。 步骤3：结合实际，标注完整定义域 结合变量的实际物理意义精准限定取值范围：长度、产量、速度、半径等物理量均大于0，结合题干附加限制条件，书写完整、准确的定义域。定义域为上海高考阅卷必查步骤，缺失或错误直接扣除步骤分。 步骤4：导数运算，判定函数最值 5. 对构造的单变量目标函数求导 f '(x)，令 f '(x)=0，求解得到所有驻点； 6. 逐一筛选驻点，保留落在有效定义域内的有效驻点，舍去无实际意义的解； 7. 以驻点为分界点划分区间，判断各区间内导数的正负，确定函数单调区间； 8. 结合单调性与唯一驻点结论，判定函数极值与最值，完成优化分析。 步骤5：回归情境，规范文字作答 将最优自变量取值代入目标函数，精准计算出最值结果，必须用规范中文文字回应题干实际问题，仅书写数字答案会直接扣分。 二、核心解题技巧与考场提速策略 技巧1：题型方法精准区分（不等式VS导数） 满足「一正、二定、三相等」标准的简单最值问题，优先使用基本不等式快速求解，提升解题速度； 三次函数、高次分式函数、无法凑定值的复杂约束函数，必须采用导数法求解，规避不等式解题局限； 若题干明确要求使用导数求解，严禁使用基本不等式作答，否则不予得分。 技巧2：唯一驻点满分论证模板（直接套用） 设函数 f(x) 在定义域 x∈(a,b) 上连续，x₀ 为定义域内唯一驻点，且满足 f '(x₀)=0。 当 a<x<x₀ 时，f '(x)<0，函数 f(x) 单调递减；当 x₀<x<b 时，f '(x)>0，函数 f(x) 单调递增。 因此 x=x₀ 时，f(x) 取得极小值，同时为定义域内的最小值。 （最大值论证逻辑完全反向，替换单调性即可，可直接套用） 技巧3：建模列式避坑核心技巧 几何建模：无盖容器无上底面，镂空、框架类题型精准核对棱长、面数，杜绝漏算、多算面积与棱长； 造价建模：不同材质、不同部位单价存在差异，需分区域计算面积，分别核算造价后求和； 利润建模：严格遵循「利润=总收入-总成本」公式，总成本包含固定成本与变动成本，切勿遗漏基础损耗成本； 行程建模：总费用分为固定基础费用与动态能耗费用，严格区分常量与变量，避免公式混淆。 技巧4：导数运算提速技巧 分式型导数 f'(x)=g(x)/h(x) 在实际问题中，分母 h(x) 恒为正，不会改变导数正负性。因此判断单调性、求解驻点时，可仅分析分子 g(x)，大幅简化运算、降低计算失误率。 题型通法及变式提升 题型1 几何优化｜面积最大、体积最大（一模二模最高频） 模型特征：经典矩形、长方体、圆柱、折纸盒、围栏问题；核心条件为「固定周长、固定材料长度、固定围挡面积」，求解目标为最大平面面积、最大立体容积。 典型陷阱（高频扣分点）：方形折盒问题中，折去的小正方形边长自变量需严格限定定义域：，极易遗漏上限导致定义域错误，整题步骤失分。 解题核心：利用固定边长、周长、面积条件消元，构建单变量面积/体积函数，结合导数判定单调性，求解最大值。 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（   ） A．64 B．128 C．144 D．256 2．（24-25高三下·上海静安·期中）用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为______m． 3．（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米. 4．（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为______平方千米． 5．（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 题型2 用料最省｜最小表面积、最低造价 模型特征：容积、体积固定的容器优化问题，核心需求为设计合理尺寸，使原材料使用最少、施工造价最低，无盖/有盖圆柱容器为上海高考经典必考模型。 常见核心结论（理解记忆，无需死背）： 无盖圆柱：容积固定时，当底面半径等于柱体高，用料面积最小、造价最低； 有盖圆柱：容积固定时，当圆柱高等于底面直径，整体表面积最小，为最优尺寸比例。 解题要点：优先通过固定容积列约束等式，消去高、半径等辅助变量，构造表面积单变量函数，导数求最值即可。 6.修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米. 7．（25-26高三上·上海嘉定·期中）有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为可通过的最大极限长度的倍，则的值是_________. 8.如图所示，某校把一块边长为的等边△的边角地辟为生物园，图中把生物园分成面积相等的两部分，在线段上，在线段上(均含端点). （1）设()，，求用表示的函数关系式； （2）如果是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，此时､分别长多少？如果是参观路线，即希望它最长，此时､又分别长多少？ 9.蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为. (1)求蜂房曲顶空间的弯曲度； (2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设 （i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积； （ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值. 题型3 经济优化｜利润最大、成本最小 必备核心公式（阅卷标准格式）： 模型特征：结合商品调价、产量调控、销量浮动情境，求解最大销售利润、最小平均生产成本。 典型易错点：题目中单价随销量、产量动态变化，需精准提取调价条件，切勿直接套用固定单价公式；总成本包含固定成本与变动成本，严禁遗漏基础成本。 10．（2025·上海宝山·二模）某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为_________元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 11.要建造一个给定容积的圆柱体蓄水池（无盖），已知池底单位造价为池侧面单位造价的2倍.则当蓄水池的底面半径为__________时，才能使总造价最低. 12.某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为______. 13.如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省？ 14．（24-25高三上·上海·阶段检测）如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足，，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当___________时，栈道EG最短. 15.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为.现已知相距18km的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.若，且时，取得最小值，则的值为______. 16．（25-26高三上·上海虹口·阶段检测）某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产________万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数） 17.图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形.点在平面和上的射影分别为H、M，已知，，梯形的面积是面积的4倍，设.    (1)求屋顶面积S关于的函数关系式； (2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为（为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为，假设校门的总高度为3m，试问，当为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低? 题型4 行程、能耗最短（上海特色建模题） 模型特征：上海本土特色高频题型，水陆联运、陆路+水路分段行走、分段运输情境，不同路段速度、能耗、单价不同，核心求解最短通行时间、最低运输能耗。 解题难点与突破：题干多含根式结构距离函数，需掌握根式函数求导方法，依托定义域判定唯一最值，无需复杂运算，重点考查建模与导数分析能力。 18.如图所示，AB为沿海岸的高速路，海岛上码头O离高速路最近点B的距离是120km，在距离B点300km的A处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点C到B的距离为x，已知汽车速度为100km/h，快艇速度为50km/h．（参考数据：．） (1)写出运输时间关于x的函数； (2)当C选在何处时运输时间最短？ 19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a元． (1)把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 20.学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. (1)设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； (2)由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 21.甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 22.如图，A、B两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A、B之间选址P点建造储备仓库，共享民生物资，当点P在线段AB的中点C时，建造费用为2000万元，若点P在线段AC上（不含点A），则建造费用与P、A之间的距离成反比，若点P在线段CB上（不含点B），则建造费用与P、B之间的距离成反比，现假设P、A之间的距离为x千米，A地所需该物资每年的运输费用为万元，B地所需该物资每年的运输费用为万元，表示建造仓库费用，表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）． （1）求函数的解析式; （2）若规划仓库使用的年限为，，求的最小值，并解释其实际意义． 重难专题分层过关练 巩固过关 1.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得.现有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，设，，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km. (1)求A、B两点间的距离； (2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由. 2.某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面ACB和两段长度相等的直线型桥面AD、BE，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切．根据空间限制及桥面坡度的限制，桥面跨度DE的长要不大于18米，不小于12米．已知直线型桥面的修建费用是每米0.6万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设． (1)若桥面（线段AD，BE和弧ACB）的修建总费用为W万元，求W关于的函数表达式，并写出的取值范围； (2)当为何值时，桥面修建总费用W最低？（角的取值精确到） 3．（24-25高三上·上海·阶段检测）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 4．（25-26高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； (2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 5.南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． (1)求； (2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 6．（25-26高三上·上海·阶段检测）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为a（a＞0）． (1)把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 创新提升 1.如图所示，施工队欲用钢板搭建一个总高为12米的仓库，仓库由上部屋顶和下部主体两部分组成，屋顶的形状呈正四棱锥，可用四块完全一样的三角形钢板拼接而成：主体的形状呈正四棱柱，可用四块完全一样的长方形钢板拼接而成．已知屋顶的造价与屋顶的面积成正比，比例系数为k，主体的造价与主体的高度成正比，比例系数为4k，其中k为大于零的常数． (1)设，，求屋顶的面积S（用a，b表示）； (2)若施工队采用的三角形钢板的形状为等边三角形，长方形钢板的形状为正方形，求屋顶与主体的造价的比值（精确到1）； (3)若主体的底面是边长为6的正方形，施工队应选择何种尺寸的钢板，才能使得搭建合库的工程最经济实惠？ 2．（2025·上海奉贤·二模）将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．    (1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． (2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 3．（25-26高三上·上海·阶段检测）某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 4．如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成；已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为2； (1)请建立适当的平面直角坐标系，用方程表示这个封闭图形的边缘； (2)在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点在抛物线上；已知圆柱以为母线、矩形为其展开的侧面，求该圆柱的体积的最大值； (3)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上； 5.汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份t 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x（） 1 2 3 4 5 销量y/万辆 10 12 17 20 26 (1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，利用计算器求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆； (2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车. ①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）； ②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当w为何值时，最大. 6．（2025·上海嘉定·一模）图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，、构成地面上过道的一侧边界，；地面上过道的另一侧边界，则分别与、平行，且交于点.过道两侧平行墙面之间的距离均为3米. (1)如图2，在地面有一圆，该圆与、均相切，且过点.求此圆的半径； (2)如图3，有一根长度为米的无粗细木棒紧贴地面，端点沿移动，另一端点沿移动.当木棒触碰到点时，（弧度），求关于的函数关系及的最小值； (3)如图4，某长方体家具的底面为长方形，其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家具高度）.现将底面紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由. 7．某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于的为二级口罩，质量指标值不低于的为一级口罩． (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； (3)在年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 8．（24-25高二上·上海·阶段检测）在自然界中，蜂巢是蜜蜂的家园，由紧密排列的六角形蜂房连结在一起组成（如图1所示）.研究发现，蜂房的形状为"曲顶多面体"，其中开口的下底面可以近似看成平面正六边形，而蜂房的"上顶"，由三个全等的菱形闭合组成（如图2所示），蜂房的"侧棱"均垂直于底面，且满足关系.蜂房"上顶"的"弯曲度"可用"曲率"来刻画，定义其"弯曲度"的度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的"曲率"之和，而每一顶点的"曲率"定义为减去蜂房多面体在该顶点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.    (1)求蜂房"上顶"的"曲率"； (2)若图2所示的蜂房满足，求的余弦值； (3)若蜂房的底面正六边形边长，"侧棱"，求当蜂房的表面积最小时，顶点的"曲率"的余弦值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训06 导数在实际问题中的最值应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 几何优化｜面积最大、体积最大（一模二模最高频） 3 题型2 用料最省｜最小表面积、最低造价 7 题型3 经济优化｜利润最大、成本最小 12 题型4 行程、能耗最短（上海特色建模题） 19 重难专题分层过关练 23 巩固过关 23 创新提升 29 解题方法及技巧提炼 一、满分通用解题五步模板（上海高考标准答题范式） 步骤1：审题定参，设出自变量 精准拆解题干文字信息，明确题目求解目标（最大值/最小值），合理设定单一自变量，统一题干所有物理单位；几何类题型建议绘制简易示意图，直观梳理边长、面积、体积等量关系，避免建模失误。 核心禁忌（必考扣分点）：禁止保留双变量列式，必须利用题干约束条件消元，全程使用单变量函数求解。 步骤2：梳理关系，构建目标函数 依托题干给出的等量约束关系，消去多余辅助变量，将面积、体积、利润、费用、能耗等目标量，整理为单变量函数 y=f (x)，完成从实际情境到数学函数的标准化建模转化。 步骤3：结合实际，标注完整定义域 结合变量的实际物理意义精准限定取值范围：长度、产量、速度、半径等物理量均大于0，结合题干附加限制条件，书写完整、准确的定义域。定义域为上海高考阅卷必查步骤，缺失或错误直接扣除步骤分。 步骤4：导数运算，判定函数最值 5. 对构造的单变量目标函数求导 f '(x)，令 f '(x)=0，求解得到所有驻点； 6. 逐一筛选驻点，保留落在有效定义域内的有效驻点，舍去无实际意义的解； 7. 以驻点为分界点划分区间，判断各区间内导数的正负，确定函数单调区间； 8. 结合单调性与唯一驻点结论，判定函数极值与最值，完成优化分析。 步骤5：回归情境，规范文字作答 将最优自变量取值代入目标函数，精准计算出最值结果，必须用规范中文文字回应题干实际问题，仅书写数字答案会直接扣分。 二、核心解题技巧与考场提速策略 技巧1：题型方法精准区分（不等式VS导数） 满足「一正、二定、三相等」标准的简单最值问题，优先使用基本不等式快速求解，提升解题速度； 三次函数、高次分式函数、无法凑定值的复杂约束函数，必须采用导数法求解，规避不等式解题局限； 若题干明确要求使用导数求解，严禁使用基本不等式作答，否则不予得分。 技巧2：唯一驻点满分论证模板（直接套用） 设函数 f(x) 在定义域 x∈(a,b) 上连续，x₀ 为定义域内唯一驻点，且满足 f '(x₀)=0。 当 a<x<x₀ 时，f '(x)<0，函数 f(x) 单调递减；当 x₀<x<b 时，f '(x)>0，函数 f(x) 单调递增。 因此 x=x₀ 时，f(x) 取得极小值，同时为定义域内的最小值。 （最大值论证逻辑完全反向，替换单调性即可，可直接套用） 技巧3：建模列式避坑核心技巧 几何建模：无盖容器无上底面，镂空、框架类题型精准核对棱长、面数，杜绝漏算、多算面积与棱长； 造价建模：不同材质、不同部位单价存在差异，需分区域计算面积，分别核算造价后求和； 利润建模：严格遵循「利润=总收入-总成本」公式，总成本包含固定成本与变动成本，切勿遗漏基础损耗成本； 行程建模：总费用分为固定基础费用与动态能耗费用，严格区分常量与变量，避免公式混淆。 技巧4：导数运算提速技巧 分式型导数 f'(x)=g(x)/h(x) 在实际问题中，分母 h(x) 恒为正，不会改变导数正负性。因此判断单调性、求解驻点时，可仅分析分子 g(x)，大幅简化运算、降低计算失误率。 题型通法及变式提升 题型1 几何优化｜面积最大、体积最大（一模二模最高频） 模型特征：经典矩形、长方体、圆柱、折纸盒、围栏问题；核心条件为「固定周长、固定材料长度、固定围挡面积」，求解目标为最大平面面积、最大立体容积。 典型陷阱（高频扣分点）：方形折盒问题中，折去的小正方形边长自变量需严格限定定义域：，极易遗漏上限导致定义域错误，整题步骤失分。 解题核心：利用固定边长、周长、面积条件消元，构建单变量面积/体积函数，结合导数判定单调性，求解最大值。 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（   ） A．64 B．128 C．144 D．256 【答案】D【知识点】面积、体积最大问题、柱体体积的有关计算 【详解】如图，依题意，，，设此时的圆柱的半径为， 则，，所以， 所以该圆柱体积为，， ，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以，当，取得最大值，此时.    2．（24-25高三下·上海静安·期中）用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为______m． 【答案】 【详解】设底面短边长为， 则长边长为，高为， 则，解得， 则容器的容积，， 则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以要使该容器的容积最大，则容器的高为. 故答案为：. 3．（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米. 【答案】 【详解】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为：     4．（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为______平方千米． 【答案】 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则， 由题意设抛物线方程为，代入点，得，解得， 所以抛物线方程为， 由题意知直线MN为抛物线的切线， 因为点P到边AD的距离为，所以切点P的坐标为， 由，得，所以直线MN的斜率为， 所以直线MN的方程为，即， 令，得，所以， 令，得，所以， 所以， 则， 因为，所以当对，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得最大值平方千米． 故答案为:. 5．（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【详解】由题意，设，由于扇形的半径为1，， 则，， 所以公园产生的净收益为， 则， 令，得，而， 则（近似值），即此时函数单调递增； 令，得，而， 则（近似值），即，此时函数单调递减， 则扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，. 题型2 用料最省｜最小表面积、最低造价 模型特征：容积、体积固定的容器优化问题，核心需求为设计合理尺寸，使原材料使用最少、施工造价最低，无盖/有盖圆柱容器为上海高考经典必考模型。 常见核心结论（理解记忆，无需死背）： 无盖圆柱：容积固定时，当底面半径等于柱体高，用料面积最小、造价最低； 有盖圆柱：容积固定时，当圆柱高等于底面直径，整体表面积最小，为最优尺寸比例。 解题要点：优先通过固定容积列约束等式，消去高、半径等辅助变量，构造表面积单变量函数，导数求最值即可。 6.修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米. 【答案】 【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海嘉定·期中）有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为可通过的最大极限长度的倍，则的值是_________. 【答案】 【详解】设硬管与左侧走廊水平方向的夹角为，则水平方向硬管长度为：， 则， 令，得，即， 所以，即，代入得： 水平极限长度：， 空间极限长度==10， 因为实际长度为极限长度的0.8倍，所以. 故的值是8. 故答案为：. 8.如图所示，某校把一块边长为的等边△的边角地辟为生物园，图中把生物园分成面积相等的两部分，在线段上，在线段上(均含端点). （1）设()，，求用表示的函数关系式； （2）如果是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，此时､分别长多少？如果是参观路线，即希望它最长，此时､又分别长多少？ 【解析】（1）根据题意得，进而得，故，. （2）结合（1），根据余弦定理得，，令，则，设，，利用导数研究函数的单调性得函数在上单调递减，在上单调递增，即可求解 【详解】解：（1）由于正△的面积为， 所以， 所以， 由于，， 所以， 故，. （2）由余弦定理得： ，. 令，则， 设，， 所以，令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以当，即时，取最小值，即取最小值，此时； 当或时，即或时，取最大值，即取最大值，此时或. 9.蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为. (1)求蜂房曲顶空间的弯曲度； (2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设 （i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积； （ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值. 【详解】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和， 根据定义其度量值等于减去三个菱形的内角和， 再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和， 即蜂房曲顶空间的弯曲度为. （2）（i）如图所示，连接AC，SH，则，设点在平面的射影为O， 则，则， 菱形SAHC的面积为， 侧面积， 所以蜂房的表面积为. （ii）， 令得到， 所以在递增；在递增. 所以在处取得极小值，也即是最小值. 此时，在中，令，由余弦定理得， 又顶点的曲率为， . 题型3 经济优化｜利润最大、成本最小 必备核心公式（阅卷标准格式）： 模型特征：结合商品调价、产量调控、销量浮动情境，求解最大销售利润、最小平均生产成本。 典型易错点：题目中单价随销量、产量动态变化，需精准提取调价条件，切勿直接套用固定单价公式；总成本包含固定成本与变动成本，严禁遗漏基础成本。 10．（2025·上海宝山·二模）某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为_________元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 【答案】 【详解】分公司一年的利润 (万元)与售价的函数关系式为， 所以， 令，即，解得或（舍）， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在单调递减， 又因为结果精确到1元，且当时，，且当时，， 于是：当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大. 故答案为：9. 11.要建造一个给定容积的圆柱体蓄水池（无盖），已知池底单位造价为池侧面单位造价的2倍.则当蓄水池的底面半径为__________时，才能使总造价最低. 【答案】 【详解】设池侧面单位造价为，则池底单位造价为， ，， 又池底面积为，池侧面面积为， 设总造价为，则，， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值， 即当时，总造价最低. 12.某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为______. 【答案】 【详解】连接，依题意，，则， ，的长度为， 则桥面修建总费用，， 而，求导得， 由，得，则，由，得， 当，即时，； 当，即时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当且仅当时，取得最小值，即桥面修建总费用最低. 故答案为： 13.如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省？ 【答案】 【详解】据题意知， 只有点在线段上某一适当位置，才能使总运费最省， 设点距点， 如图所示， 则， 所以， 再设总的水管费用为元，则， 可得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，也是最小值， 所以函数在处取得最小值，此时， 故供水站建立在之间距甲厂处，可使水管费用最省. 故答案为：20 14．（24-25高三上·上海·阶段检测）如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足，，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当___________时，栈道EG最短. 【答案】 【详解】由题意，， 设，则. 在中，得， 则. 由于，解得. 令，，则. 令，则， 当时，严格递增； 当时，严格递减； 所以，有最大值，则. 故答案为： 15.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为.现已知相距18km的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.若，且时，取得最小值，则的值为______. 【答案】 【详解】依题意点受污染源污染程度为，点受污染源污染程度为，其中为比例常数，且， 从而点处受污染程度，； 因为，所以，则， 当时，取得最小值，必是极小值，所以， 解得， 此时 ，， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以在时，取得极小值，也是的最小值， 所以污染源的污染强度的值为． 故答案为： 16．（25-26高三上·上海虹口·阶段检测）某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产________万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数） 【答案】24.30 【详解】设利润， 则设， 当时，， 则， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取到极大值也是最大值. 当时，此时， 则， 则，令，得， 当时，，此时单调递减， 所以. 又因，所以生产万台设备时，全年利润最大. 故答案为：. 17.图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形.点在平面和上的射影分别为H、M，已知，，梯形的面积是面积的4倍，设.    (1)求屋顶面积S关于的函数关系式； (2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为（为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为，假设校门的总高度为3m，试问，当为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低? 【详解】（1）由题意平面，， 又因为平面，得． 在中，，，所以． 因此的面积为． 从而屋顶面积． 所以关于的函数关系式为． （2）在中，，所以柱子高度为． 所以校门总造价为 ， 记，， 所以， 令，得，又，所以． 列表： 0 最小值 所以当时，有最小值． 答：时该校门总造价最低．    题型4 行程、能耗最短（上海特色建模题） 模型特征：上海本土特色高频题型，水陆联运、陆路+水路分段行走、分段运输情境，不同路段速度、能耗、单价不同，核心求解最短通行时间、最低运输能耗。 解题难点与突破：题干多含根式结构距离函数，需掌握根式函数求导方法，依托定义域判定唯一最值，无需复杂运算，重点考查建模与导数分析能力。 18.如图所示，AB为沿海岸的高速路，海岛上码头O离高速路最近点B的距离是120km，在距离B点300km的A处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点C到B的距离为x，已知汽车速度为100km/h，快艇速度为50km/h．（参考数据：．） (1)写出运输时间关于x的函数； (2)当C选在何处时运输时间最短？ 【详解】（1） 由题意知，OB⊥AB，则， ∴. （2）， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以时，取最小值. 所以当点C选在距B点68km时运输时间最短. 19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a元． (1)把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【详解】（1）由题意得，每小时运输成本为 , 全程行驶时间为 小时， 所以全部运输成本； （2）由（1）知，求导得， 令，解得， 当，即时，，递减； ，递增， 此时，当，有最小值； 当，即时，，递减； 此时，当，有最小值. 综上，为了使全部运输成本最小，当时，汽车应以千米/小时行驶；当时，汽车应以千米/小时行驶. 20.学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. (1)设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； (2)由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 【详解】（1）塑胶跑道面积 因为所以，故定义域为 （2）设运动场造价为元； ，令， ，当时，解得， 所以在上恒成立，所以在上为减函数， 所以函数在上为减函数，因为， 所以当时，运动场造价最低为626510元. 21.甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【详解】（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时， 所以，. （2）， 当时，， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以当时，最小. 综上：应该以千米/小时行驶. 22.如图，A、B两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A、B之间选址P点建造储备仓库，共享民生物资，当点P在线段AB的中点C时，建造费用为2000万元，若点P在线段AC上（不含点A），则建造费用与P、A之间的距离成反比，若点P在线段CB上（不含点B），则建造费用与P、B之间的距离成反比，现假设P、A之间的距离为x千米，A地所需该物资每年的运输费用为万元，B地所需该物资每年的运输费用为万元，表示建造仓库费用，表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）． （1）求函数的解析式; （2）若规划仓库使用的年限为，，求的最小值，并解释其实际意义． 【详解】解：（1）由题意，设f（x）＝， 由f（50）＝2000，求得k1＝k2＝100000. ∴f（x）＝； （2）g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50， 若0＜x≤50，则H（x）＝f（x）+ng（x）＝， H′（x）＝，由H′（x）＝0，得x＝100， 若n∈N*且n≤20，则H（x）在（0，50]上单调递减，H（x）min＝H（50）＝2000+150n； 若n∈N*且n＞20，则H（x）在（0，100）上单调递减，在（100，50）单调递增， ∴； 若50＜x＜100，则H（x）＝f（x）+ng（x）＝， H′（x）＝＞0，H（x）在（50，100）上单调递增， 若n∈N*且n≤20，则H（x）＞2000+150n； 若n∈N*且n＞20，则H（x）＞50n+. 综上，若n∈N*且n≤20，则H（x）min＝2000+150n； 若n∈N*且n＞20，则. 实际意义：当储备仓库使用年数不超过20年时，仓库建在C处，花费在建造仓库和两地物资运输总费用取最小值2000+150n； 当储备仓库使用年数超过20年时，仓库建在A、C之间且与A相距处，花费在建造仓库和两地物资运输总费用取最小值. 重难专题分层过关练 巩固过关 1.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得.现有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，设，，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km. (1)求A、B两点间的距离； (2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由. 【详解】（1） 由，若千米，则，可得， 所以千米. （2）方案①：铺设费用为万元； 方案②：，， 铺设费用为， 令，则， 当，时，当，时， 所以在上递减，上递增，则， 故铺设费用最小为万元万元， 综上，选择方案②，在点正西方千米处. 2.某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面ACB和两段长度相等的直线型桥面AD、BE，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切．根据空间限制及桥面坡度的限制，桥面跨度DE的长要不大于18米，不小于12米．已知直线型桥面的修建费用是每米0.6万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设． (1)若桥面（线段AD，BE和弧ACB）的修建总费用为W万元，求W关于的函数表达式，并写出的取值范围； (2)当为何值时，桥面修建总费用W最低？（角的取值精确到） 【详解】（1）设为弧的中点，连结，，，则，，且， 在中，， 又因为，所以弧长为， 所以， 而，且，所以，显然为锐角， 所以， 所以关于的函数关系式为，； （2）因为，， 设，则， 令得，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以当时，函数取得最小值，此时桥面修建总费用最低. 3．（24-25高三上·上海·阶段检测）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 【详解】（1）设，代入可得，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元. 4．（25-26高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； (2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 【详解】（1）当时， ； 当时， ， 所以，其中. （2）当时， 当时，取得最大值900万元； 当时， ， 当且仅当，即时， 取得最大值950万元， 所以当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为950万元 5.南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． (1)求； (2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 【详解】（1）由题意知，，， 则，， 所以. 所以栈道总长度为 （2）建造栈道的费用为，则， 令，得，又，解得， 当时， ，当时， ， 则在单调递减，在单调递增， 故， 此时， 故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元. 6．（25-26高三上·上海·阶段检测）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为a（a＞0）． (1)把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【详解】（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时，所以 （2） 当时，当时，， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，最小； 当时，，单调递减，当时，最小； 综上：当时，应该以千米/小时行驶； 当时，应该以千米/小时行驶 创新提升 1.如图所示，施工队欲用钢板搭建一个总高为12米的仓库，仓库由上部屋顶和下部主体两部分组成，屋顶的形状呈正四棱锥，可用四块完全一样的三角形钢板拼接而成：主体的形状呈正四棱柱，可用四块完全一样的长方形钢板拼接而成．已知屋顶的造价与屋顶的面积成正比，比例系数为k，主体的造价与主体的高度成正比，比例系数为4k，其中k为大于零的常数． (1)设，，求屋顶的面积S（用a，b表示）； (2)若施工队采用的三角形钢板的形状为等边三角形，长方形钢板的形状为正方形，求屋顶与主体的造价的比值（精确到1）； (3)若主体的底面是边长为6的正方形，施工队应选择何种尺寸的钢板，才能使得搭建合库的工程最经济实惠？ 【详解】（1）P到平面ABCD的距离为，则点P到棱AB的距离为， 因此屋顶的面积为． （2）设，屋顶的造价为，主体的造价为， ，解得， ，故屋顶与主体的造价的比值为3． （3）设点P到平面ABCD的距离为，屋顶的造价为，主体的造价为， 则到的距离， ，， ， 令，， ，，令，解得 x 0 单调递减 极小值 单调递增 故在处取得最小值， 此时，， 故施工队反选择三角形钢板的尺寸是以6为底边，为腰的等腰三角形，长方形钢板的尺寸是以长为，宽为6的矩形，才能使得搭建仓库的工程最经济实惠． 2．（2025·上海奉贤·二模）将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．    (1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． (2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 【详解】（1）选择甲方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减， ∴当时，. 选择乙方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减 ∴当时，. 选择丙方案：①， ②该正四棱锥的高， ， 令，则， 当时，；当时，. 所以函数在区间上严格增，在区间上严格减， 所以当时，. （2）甲乙丙中总面积一样，由于乙的方案是不需要盖，所以相应的侧面积多了， 因此凭直觉猜想乙的体积最大，可以猜想：. 3．（25-26高三上·上海·阶段检测）某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【详解】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 （3）当时，，令，得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值 因为 所以当时，S取得最大值，此时 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 4．如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成；已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为2； (1)请建立适当的平面直角坐标系，用方程表示这个封闭图形的边缘； (2)在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点在抛物线上；已知圆柱以为母线、矩形为其展开的侧面，求该圆柱的体积的最大值； (3)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上； 【详解】（1）如图，以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立坐标系，则抛物线的顶点为，. 设抛物线的标准方程为， 则，所以，所以抛物线的方程为. 所以图中封闭图形的边缘抛物线部分的方程为，线段部分的方程为. （2）由题意，设. 设题中圆柱的底面半径为，则，所以， 所以该圆柱的底面面积为， 所以该圆柱的体积为. 令，则. 因为，所以， 所以当时，；当时，. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 即该圆柱的体积的最大值为. （3）当时，抛物线的切线为轴，没有与其垂直的切线. 所以可设抛物线上的点，且抛物线在处的切线互相垂直. 由，得，所以. 所以抛物线在处的切线方程分别为. 且，所以，代入， 得，化简得①. 由得②. 联立①②式，消去，可得，即. 因为所以. 所以抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线上. 5.汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份t 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x（） 1 2 3 4 5 销量y/万辆 10 12 17 20 26 (1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，利用计算器求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆； (2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车. ①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）； ②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当w为何值时，最大. 【详解】（1）（1）解：由题意得, ， ，． 所以，． 所以关于的线性回归方程为， 令，得， 所以最小的整数为12，， 所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆． （2）解：①由题意知，该地区200名购车者中女性有名， 故其中购置新能源汽车的女性车主的有名． 所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为． 所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为． 当时，， 所以预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆， 因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人 ②由题意知，， 则， ， 当时，知所以函数单调递增， 当时，知所以函数单调递减 所以当取得最大值． 此时，解得， 所以当时，取得最大值． 6．（2025·上海嘉定·一模）图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，、构成地面上过道的一侧边界，；地面上过道的另一侧边界，则分别与、平行，且交于点.过道两侧平行墙面之间的距离均为3米. (1)如图2，在地面有一圆，该圆与、均相切，且过点.求此圆的半径； (2)如图3，有一根长度为米的无粗细木棒紧贴地面，端点沿移动，另一端点沿移动.当木棒触碰到点时，（弧度），求关于的函数关系及的最小值； (3)如图4，某长方体家具的底面为长方形，其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家具高度）.现将底面紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由. 【详解】（1）连接 ，设圆心为 ，过 作，， 由，，，可得， 从而，， 所以，解得. （2）如图，过点 作，交过道另一侧边界于点 ，过点 作，交过道另一侧于点 ， 则，， 所以， 令， ， 当时，，， 所以， 所以，当且仅当时取等号，故在上严格单调递减， 并且，所以关于对称， 所以，即时， 的最小值为12米. (3)不能通过，理由如下： 设底面长方形顶点 、 分别在边界、上移动， 设，延长交于，交于， 则， 由， 设， 若家具可以通过转角，则对于，， 但，所以家具不能通过该转角. 7．某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于的为二级口罩，质量指标值不低于的为一级口罩． (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； (3)在年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 【详解】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； 因为， 故第百分位数落在内，设其为，则， 解得，故第百分位数为. （2）一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为， 又，，， 故的分布列如下： 0 1 2 数学期望为， 方差为. （3）的可能取值为， ， ， ， 故， 令，设，则， 因为，当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当，即时，取最大值． 8．（24-25高二上·上海·阶段检测）在自然界中，蜂巢是蜜蜂的家园，由紧密排列的六角形蜂房连结在一起组成（如图1所示）.研究发现，蜂房的形状为"曲顶多面体"，其中开口的下底面可以近似看成平面正六边形，而蜂房的"上顶"，由三个全等的菱形闭合组成（如图2所示），蜂房的"侧棱"均垂直于底面，且满足关系.蜂房"上顶"的"弯曲度"可用"曲率"来刻画，定义其"弯曲度"的度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的"曲率"之和，而每一顶点的"曲率"定义为减去蜂房多面体在该顶点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.    (1)求蜂房"上顶"的"曲率"； (2)若图2所示的蜂房满足，求的余弦值； (3)若蜂房的底面正六边形边长，"侧棱"，求当蜂房的表面积最小时，顶点的"曲率"的余弦值. 【详解】（1）蜂房"上顶"的"曲率"等于顶端三个菱形的个顶点的"曲率"之和， 在顶点处的"曲率"为， 在顶点处的"曲率"为， 在顶点处的"曲率"为， 在顶点处的"曲率"与顶点处的"曲率"相同， 在顶点处的"曲率"与顶点处的"曲率"相同， 根据定义，蜂房"上顶"的"曲率"等于减去三个菱形的内角和，再减去个直角梯形中的个非直角内角和， 所以蜂房"上顶"的"曲率"为. （2）由题意可知为钝角，连接，过作交于点，如图所示， 设正六边形的边长为，所以， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以四边形为矩形，所以， 所以，所以， 所以， 在中，， 所以，化简可得， 所以，解得(舍去)， 所以的余弦值为.    （3）设蜂房的表面积为，设， 在菱形中，连接，如下图，    且， 因为， 所以， 所以， 所以菱形的面积是， 又因为侧面是六个全等的直角梯形， 所以侧面积为， 又底面积为， 所以， 所以，令，解得(舍去)， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，此时， 所以，； 设，则，顶点的"曲率"为， 因为， 所以 . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $