周周测15 5.4 三角函数的图像与性质（数学人教A版必修第一册）

**基本信息** 聚焦三角函数图像与性质，通过单选、多选、填空及解答题的梯度设计，覆盖定义域、奇偶性、周期性等核心知识点，适配高一学生周测巩固需求，强化数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|定义域、单调性、奇偶性|基础巩固，如判断函数奇偶性（题4）| |多选|3/18|周期、单调区间|能力辨析，如复合函数周期判断（题9）| |填空|3/15|对称中心、方程根|概念辨析，如正切函数性质判断（题12）| |解答|5/77|最值、作图、值域|综合应用，如五点作图与单调区间分析（题18）|

2026-2027学年高一上学期数学 周周测15 5.4 三角函数的图像与性质 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．定义域是 B．是定义域上的增函数 C．图象的对称轴是 D．是奇函数 2．下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数①；②，；③，中，奇函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．使函数为奇函数，则的一个值可以是（ ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（　　） A． B． C． D． 8.下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分 9．下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； ④函数不是周期函数； ⑤是函数的图象的一个对称中心 其中正确的是______（写出所有正确答案的序号） 10．满足方程且的所有实数根的和为_____. 4、 解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数.    (1)求当取得最大值时，的取值集合； (2)求在上的值域. (3)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数在上的图象. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学 周周测15 5.4 三角函数的图像与性质 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．定义域是 B．是定义域上的增函数 C．图象的对称轴是 D．是奇函数 【答案】D 【分析】根据正切函数的图像与性质，逐项判断即可. 【详解】函数的定义域是，故A错误 因为，所以函数在定义域上的不是增函数，故B错误； 函数的图像没有对称轴，故C错误； 函数是奇函数，故D正确. 故选：D. 2．下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC选项三个函数均不是奇函数，即可排除得解. 【详解】A选项是非奇非偶函数；BC两个均是偶函数；D选项是奇函数且在区间上是增函数. 故选：D 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使有意义，需满足，求解即可. 【详解】要使有意义，需满足，即，解得， 故选：A. 4．函数①；②，；③，中，奇函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义，对选项逐一判断即可. 【详解】根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除②； 对于①，，是奇函数； 对于③，，是偶函数． 故选：B． 5．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得在处取得最大值，再结合余弦函数的性质求解即得. 【详解】由对任意的实数x都成立，得在处取得最大值， 则，解得， 所以的最小值是. 故选：B 6．使函数为奇函数，则的一个值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数为，根据题意，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 因为为奇函数，可得，所以， 令，可得. 故选：D. 2、 多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先用诱导公式对函数进行化简，再判别奇偶性及周期. 【详解】由， 则该函数为偶函数，且周期为，故A正确； ， ∵，故该函数为偶函数， 周期为周期的一半，故，故B正确； ，故是偶函数， ,周期，故C错误； 为非奇非偶函数，故D错误； 故选：AB. 8.下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，从而得解. 【详解】因为最小正周期为， 当时，，所以它在上单调递增，故A错误； 因为最小正周期为， 当时，，所以在区间上单调递减，故B正确； 因为最小正周期为，在区间上单调递减，故C正确； 不是周期函数，故D错误； 故选：BC. 3、 填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分 9．下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； ④函数不是周期函数； ⑤是函数的图象的一个对称中心 其中正确的是______（写出所有正确答案的序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】根据正切函数的定义域及单调区间，分析即可判断①的正误；利用诱导公式，结合正弦函数的奇偶性，可判断②的正误；将代入解析式，根据正弦函数的对称性，可判断③的正误；根据周期性的定义，结合解析式，分析计算，可判断④的正误；求出的对称中心，赋值检验，可判断⑤的正误. 【详解】对于①：的定义域为， 在每个区间单调递增，在整个定义域内不是增函数，故①错误； 对于②：，为奇函数，故②正确； 对于③：当时，，， 所以是函数的一条对称轴方程，故③正确； 对于④：假设是周期函数，设最小正周期为， 则，即， 取，得，则， 取，得，则， 联立方程无解，故不存在非零实数T，满足， 即函数不是周期函数，故④正确； 对于⑤：令，解得， 所以函数的图象的对称中心为， 令得一个对称中心为，故⑤正确. 故答案为：②③④⑤ 10．满足方程且的所有实数根的和为_____. 【答案】12 【分析】根据反比例函数与正弦函数的图象与性质可知图象关于点对称，则方程的实根也关于点对称，结合数形结合的思想即可求解. 【详解】设， 易知函数关于点对称，所以函数关于点对称； 对于函数， ，， 所以，则图象关于点对称； 所以方程的实根也关于点对称， 作出函数的图象，如图， 由图可知在且上有4个交点， 设为，且， 则，所以， 即方程的所有实根之和为12. 故答案为：12 4、 解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数.    (1)求当取得最大值时，的取值集合； (2)求在上的值域. (3)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数在上的图象. 【答案】(1) (2) (3) 0 2 图象如下： 【分析】（1）（2）直接根据正弦函数的性质求解； （3）利用五点法完成表格，然后再作图即可. 【详解】（1）由已知令， 则，所以， 解得， 即当取得最大值时，的取值集合为； （2）当时，， 则，即 所以在上的值域为； （3） 略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学 周周测15 5.4 三角函数的图像与性质 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．定义域是 B．是定义域上的增函数 C．图象的对称轴是 D．是奇函数 【答案】D 【分析】根据正切函数的图像与性质，逐项判断即可. 【详解】函数的定义域是，故A错误 因为，所以函数在定义域上的不是增函数，故B错误； 函数的图像没有对称轴，故C错误； 函数是奇函数，故D正确. 故选：D. 2．下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC选项三个函数均不是奇函数，即可排除得解. 【详解】A选项是非奇非偶函数；BC两个均是偶函数；D选项是奇函数且在区间上是增函数. 故选：D 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使有意义，需满足，求解即可. 【详解】要使有意义，需满足，即，解得， 故选：A. 4．函数①；②，；③，中，奇函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义，对选项逐一判断即可. 【详解】根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除②； 对于①，，是奇函数； 对于③，，是偶函数． 故选：B． 5．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得在处取得最大值，再结合余弦函数的性质求解即得. 【详解】由对任意的实数x都成立，得在处取得最大值， 则，解得， 所以的最小值是. 故选：B 6．使函数为奇函数，则的一个值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数为，根据题意，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 因为为奇函数，可得，所以， 令，可得. 故选：D. 7．若关于x的程恰有三个解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，证明及的图象关于对称，结合条件证明，，由此即可求解. 【详解】设， 由已知有3个零点，且为其零点， 因为， ， 所以，所以函数的图象关于点对称， 又， 因为有3个零点，且为其零点，， 所以，且，所以. 故选：D. 8．已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由在上单调递增，得，再由在上有且仅有1个零点，得或，取并集结合的前提条件，即可得答案. 【详解】当，， 因为在上单调递增，故，则； 当，，且，， 又因为在上有且仅有1个零点， 故讨论两种情况： ①， ②， 综上：的取值范围为， 故选：C. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先用诱导公式对函数进行化简，再判别奇偶性及周期. 【详解】由， 则该函数为偶函数，且周期为，故A正确； ， ∵，故该函数为偶函数， 周期为周期的一半，故，故B正确； ，故是偶函数， ,周期，故C错误； 为非奇非偶函数，故D错误； 故选：AB. 10.下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，从而得解. 【详解】因为最小正周期为， 当时，，所以它在上单调递增，故A错误； 因为最小正周期为， 当时，，所以在区间上单调递减，故B正确； 因为最小正周期为，在区间上单调递减，故C正确； 不是周期函数，故D错误； 故选：BC. 11．已知函数，则下列说法正确的是（） A．函数的定义域为 B．函数的周期与函数的周期相同 C．函数图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 【答案】AD 【分析】利用正切函数的性质逐一求解即可. 【详解】对于A，令,则, 函数的定义域为，A正确; 对于B，函数的周期与的周期相同,为的周期，即函数的周期与函数的周期不相同，错误； 对于C，令则, 函数图象的对称中心为，C错误; 对于D，令, 则, 函数的单调递增区间为，D正确. 故选：AD. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； ④函数不是周期函数； ⑤是函数的图象的一个对称中心 其中正确的是______（写出所有正确答案的序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】根据正切函数的定义域及单调区间，分析即可判断①的正误；利用诱导公式，结合正弦函数的奇偶性，可判断②的正误；将代入解析式，根据正弦函数的对称性，可判断③的正误；根据周期性的定义，结合解析式，分析计算，可判断④的正误；求出的对称中心，赋值检验，可判断⑤的正误. 【详解】对于①：的定义域为， 在每个区间单调递增，在整个定义域内不是增函数，故①错误； 对于②：，为奇函数，故②正确； 对于③：当时，，， 所以是函数的一条对称轴方程，故③正确； 对于④：假设是周期函数，设最小正周期为， 则，即， 取，得，则， 取，得，则， 联立方程无解，故不存在非零实数T，满足， 即函数不是周期函数，故④正确； 对于⑤：令，解得， 所以函数的图象的对称中心为， 令得一个对称中心为，故⑤正确. 故答案为：②③④⑤ 13．满足方程且的所有实数根的和为_____. 【答案】12 【分析】根据反比例函数与正弦函数的图象与性质可知图象关于点对称，则方程的实根也关于点对称，结合数形结合的思想即可求解. 【详解】设， 易知函数关于点对称，所以函数关于点对称； 对于函数， ，， 所以，则图象关于点对称； 所以方程的实根也关于点对称， 作出函数的图象，如图， 由图可知在且上有4个交点， 设为，且， 则，所以， 即方程的所有实根之和为12. 故答案为：12 14．已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 【答案】 【分析】根据题意得出，然后令，得到的最小值即可求解. 【详解】已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得， 因此， 因为，所以，所以， 令，因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，又， 所以当时，有，所以，即． 4、 解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．不求值，分别比较下列各组正切值的大小. （1）和； （2）和. 【答案】（1）（2） 【解析】根据正切函数的单调性，比较出角的大小即可比较两数的大小. 【详解】（1）在上是增函数，且，所以. （2），在上是增函数，. 【点睛】本题考查正切函数的单调性，属于基础题. 16．已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求证：当时，． 【答案】（1）；（2）具体见解析. 【分析】（1）由即可得到答案； （2）先解出的范围，进一步求出函数的值域，即可证得. 【详解】（1）最小周期为； （2）则，∴. 17.已知函数，． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据周期公式以及正弦函数单调性分析求解即可； （2）以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】（1）由题意可知：的最小正周期； 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，． （2）因为，则， 当，即时，； 当，即时，； 所以在上的最大值为，最小值为. 18．已知函数. （1）求函数在区间上的值域. （2）借助“五点作图法”画出函数在上的简图，并且依图写出函数在上的递增区间. 【答案】（1）；（2）简图见解析，单调增区间是，. 【分析】（1）由已知可得范围，根据正弦函数的性质即可求解. （2）分别令，得到相应的值以及值，再描点即可画出函数简图，由图可知该函数的增区间. 【详解】（1）因为，可得， 可得， 可得. （2）可先画出区间的图象，再截取所需图象即可. 列表如下：                                                                                           可得图象如图： 由，由图象可知在区间上单调增区间是，. 19．已知函数.    (1)求当取得最大值时，的取值集合； (2)求在上的值域. (3)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数在上的图象. 【答案】(1) (2) (3) 0 2 图象如下： 【分析】（1）（2）直接根据正弦函数的性质求解； （3）利用五点法完成表格，然后再作图即可. 【详解】（1）由已知令， 则，所以， 解得， 即当取得最大值时，的取值集合为； （2）当时，， 则，即 所以在上的值域为； （3） 略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学 周周测15 5.4 三角函数的图像与性质 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．定义域是 B．是定义域上的增函数 C．图象的对称轴是 D．是奇函数 2．下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数①；②，；③，中，奇函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．使函数为奇函数，则的一个值可以是（ ） A． B． C． D． 7．若关于x的程恰有三个解，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（　　） A． B． C． D． 10.下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的是（） A．函数的定义域为 B．函数的周期与函数的周期相同 C．函数图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； ④函数不是周期函数； ⑤是函数的图象的一个对称中心 其中正确的是______（写出所有正确答案的序号） 13．满足方程且的所有实数根的和为_____. 14．已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 4、 解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．不求值，分别比较下列各组正切值的大小. （1）和； （2）和. 16．已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求证：当时，． 17.已知函数，． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 18．已知函数. （1）求函数在区间上的值域. （2）借助“五点作图法”画出函数在上的简图，并且依图写出函数在上的递增区间. 19．已知函数.    (1)求当取得最大值时，的取值集合； (2)求在上的值域. (3)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数在上的图象. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $