5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 题型专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 题型专项训练 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 题型一、五点法画正弦函数的图象 1．画出下列函数在区间上的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析 【分析】利用五点法即可作出函数的图象. 【详解】（1）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    （2）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    （3）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示    2．用“五点法”作出下列函数的简图，y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]. 【答案】图象见解析. 【分析】选取特殊点，列表，描点，即可得到函数图象. 【详解】因为，故选取，列表如下： 0 0 1 0 0 1 3 1 1 根据上表数据，画图如下： 【点睛】本题考查用五点作图法画正弦型函数图象，属基础题. 3．设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【分析】利用五点作图法作出，的函数图象，依题意与在上只有1个交点，结合图象即可求出参数的值. 【详解】因为，列表： 1 0 1 2 1 描点、连线，函数图象如下图所示： 因为，且的值只有一个， 所以与在上只有1个交点， 结合图象可知或. 故选：D 4．函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将点与的坐标代入函数表达式，建立关于的方程组即可求解. 【详解】点与代入中， 可得，解得，. 故选：A． 5．（多选）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABC 【分析】作出函数与的图象，数形结合求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出与图象， 由图象可知， 函数的图像与直线（为常数）的交点个数可能为0,1,2， 故选：ABC 6．（多选）函数与有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BD 【分析】根据函数图象的交点个数，即可结合图象求解. 【详解】画出的图象. 如图：直线和与的图象只有一个交点，    故或. 故选：BD. 题型二、含绝对值的正弦函数图象 1．对应的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像的奇偶性与变换方法判断即可. 【详解】由题,为偶函数,且当时, 又为的图像沿轴翻折. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的性质与图像变换判断函数图像的问题,属于基础题型. 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正弦函数的图象和性质，得到答案． 【详解】∵f（x）， ∴y＝|sinx|（）的图象关于y轴对称， 当x＝0时，y＝0， 由此可以观察只有C符合， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别和画法，属于基础题． 3．已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（    ） A．12 B．10 C．6 D．5 【答案】B 【分析】由得函数周期是，又偶函数，且在时，，因此可得，作出的图象，及时的图象，观察其交点个数，再由对称性得结交点个数，从而可得所求零点个数． 【详解】解：由得函数周期是，又偶函数， 且在时，，因此可得， 是偶函数，作出函数与时，的图象， 由图象可知，当时，两函数图象有5个交点. 又函数与均为偶函数， 所以函数的零点个数是10.， 即函数的零点个数是10． 故选：B．    【点睛】本题考查求函数零点个数，解题关键是由周期性，偶函数，及一个区间上的表达式确定出的解析式，然后作出函数和的图象，得函数图象交点个数，得函数零点个数． 4．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意化简函数的解析式，然后根据解析式作出函数的图象，进而数形结合即可求出结果. 【详解】因为时，，则， 因为时，，则， 故， 作出函数图象：    数形结合即可得到， 故选：B. 5．方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 6．函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABD 【分析】画出函数，的图象，再利用数形结合判断交点个数. 【详解】首先画出函数，的图象，    当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有3个交点；当时，有1个交点；当时，有0个交点. 故选：ABD 7．当时，设关于的方程（）根的个数为，那么的取值构成的集合为 （用列举法表示） 【答案】 【分析】方程，，的实数根个数，即直线与，，的交点个数，画出图象，数形结合得答案． 【详解】方程的根的个数等价于直线与的交点个数，，， 由题得， 函数的图像如图所示， 可以看到交点的个数可能为0,2,4,5,6. 故答案为 【点睛】本题主要考查方程的根的个数问题，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 8．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B两点为一对“优美点”，记作，规定和是同一对“优美点”．已知，则函数的图象上共存在“优美点” 对． 【答案】5 【分析】根据题意，函数上的优美点的对数即为方程的解得个数，作出函数的图象，结合图象，即可求解． 【详解】由题意，函数上的优美点的对数即为方程的解得个数， 作出函数与函数的图象，如图所示， 当时，，可得两函数的图象共有5个公共点， 即函数的图象上共存在“优美点”共5对． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了函数的新定义的应用，以及正弦函数与对数函数的图象的应用，着重考查数形结合思想，属于中档试题． 题型三、五点法画余弦函数的图象 1．函数，关于函数的零点情况说法错误的是（   ） A．当取某些值时，无零点 B．当取某些值时，恰有1个零点 C．当取某些值时，恰有2个不同的零点 D．当取某些值时，恰有3个不同的零点. 【答案】D 【分析】画出函数的图象，结合与的交点的横坐标，结合图象和三角函数的性质，逐项判定即可求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 因为，令，即， 则函数的零点，即为与的交点的横坐标， 对于A，当时，在上与无公共点，所以A正确； 对于B，当时，在上与只有1个公共点，所以B正确； 对于C，当时，在上与有2个公共点，所以C正确； 对于D，由图象可得，函数与不相邻的两个交点的横坐标间的距离为最小正周期的整数倍， 即， 因为，可得， 所以不存在t的值，使得有3个零点，所以D不正确. 故选：D. 2．关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点 【答案】B 【分析】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图像，根据交点的个数直接判断即可. 【详解】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图像如图示： 根据图像，进行判断： 对于A：当t=2时，有一个交点，故A错误； 对于B：当或时，有1个交点，故B正确； 对于C：当，有2个交点，当，有1个交点，故C错误； 对于D：当，有1个交点，故D错误. 故选：B 3．方程的实数解的个数为 ． 【答案】2 【分析】直接画出两个函数图象即可得解. 【详解】如图所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， 方程的实数解的个数等于函数的图象的交点个数， 由图可知，它们的图象有两个交点，故有两个实数解． 故答案为：2. 4．若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意作图，由函数与方程的关系，可得，进而得到答案. 【详解】作出，与的大致图象，如图所示． 由图象，可知，即，故实数a的取值范围为． 故答案为：. 5．用“五点法”作函数，的大致图像，所取的五点是 ． 【答案】，，，， 【分析】利用余弦函数的“五点法”求解即可． 【详解】解：由“五点法”作函数，，的图象时的五个点分别是，，，，． 故答案为：，，，，． 6．已知函数，，则该函数图象的最低点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的“五点”即可求出． 【详解】因为，，所以函数图象的最低点的坐标为． 故答案为：． 7．已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：    x 0 π 2π 【答案】填表见解析；作图见解析 【分析】根据“五点法”列表，描点作图即可得解. 【详解】补充完整的表格如下： x 0 π 2π 1 3 5 3 1 描点、连线得函数的图象如图所示，    8．作出函数的大致图象，并分别写出使和的x的取值范围． 【答案】图象见解析；当时，；当时，. 【分析】利用五点作图法可得函数大致图象，令，确定函数零点，数形结合得到所求的取值范围. 【详解】由五点作图法可知： 由此可得函数大致图象如下图所示： 令，即，，又，或， 结合图象可知：当时，；当时，. 【点睛】本题考查五点作图法的应用、与余弦函数有关的不等式 题型四、含绝对值的余弦函数图象 1．（多选）函数，的图像与直线（t为常数，）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABC 【分析】作出函数图像，通过观察判断结果. 【详解】作出，的图像观察可知，    当或时，的图像与直线的交点个数为0； 当或或时，的图像与直线的交点个数为l； 当或时，的图像与直线的交点个数为2. 故选：ABC. 2．函数在区间内的零点个数是 . 【答案】4 【分析】根据角的范围确定余弦函数的符号，去掉绝对值，作函数图象，利用数形结合求解函数的零点个数即可. 【详解】令，则， 设， 则当时，， 当时，， 画出函数的图象， ， 易知函数的图象与直线有4个不同的交点， 故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数的求值，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题. 3．作出函数的图像． 【答案】图像见解析 【分析】由三角函数的基本关系式化简可得，结合余弦函数的图象，即可求解. 【详解】由三角函数的基本关系式，可得，， 当时，函数； 当时，函数； 当时，函数； 结合余弦函数的图象，可得函数图象，如图所示：    【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及余弦函数的图象的应用，着重考查分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题. 4．画出函数的图象 【答案】见解析 【分析】分与两种情况去绝对值，作图后根据图象分析函数的定义域、值域、奇偶性、周期、单调区间与最值即可. 【详解】由题意，当时；当时，故可作图：    题型五、正、余弦函数图象的综合应用 1．在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在同一坐标系作函数 以及 的图象即可求解. 【详解】 以及 的图象如上图，由图可知，； 故选：A. 2．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有(    ) A．3对 B．5对 C．7对 D．14对 【答案】C 【分析】结合题意，将函数的友好点的对数转化为与的图象的交点个数，然后利用图像求解即可. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称， 所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数， 即函数与的图象的交点个数， 作出函数与的图象，如图所示:    可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对. 故选:C． 3．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用的定义，进行分段讨论，找出与图象交点个数即可. 【详解】由题，，故时，，与没有交点， 当时，，与没有交点， 当时，，与有一个交点， 当时，，与有1个交点， 当时，，与没有交点， 故共有2个交点， 故选：C. 4．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可． 【详解】函数的零点转化为与的图象的交点的横坐标， 因为零点分别为， 在坐标系中画出与的图象如图： 可知，满足， 故选：A 5．如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点轴作的垂线，垂足为，记线段的长为，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由三角函数的定义得到点的坐标，再利用角的旋转与三角函数的诱导公式得到点的坐标，进而得到，从而结合余弦函数的图象即可得解. 【详解】由题意，可得，将绕坐标原点逆时针旋转至， 可得，即， 因为线段的长为，所以函数， 由余弦函数的图象可知，满足的大致图象是B选项. 故选：B. 6．已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数性质可确定在内的正负；结合在内的正负可确定不等式的解集. 【详解】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称， 当时，；当时，； 若，则或； 当时，；当时，； 的解集为. 故选：C. 7．（多选）若函数在区间上有2个零点，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．3 D．4 【答案】ABD 【分析】令，可得，作出函数与在区间上的图象，数形结合即可求解. 【详解】令，可得，可知两个函数在区间上的图象有两个交点， 作出函数与在区间上的图象，如图所示：    则或， 解得或， 故的可能取值为，0，4. 故选:ABD. 8．（多选）若函数，的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则（    ） A．当时， B． C． D．所围图形的面积为 【答案】AC 【分析】作出函数图象，利用图象逐个分析判断即可. 【详解】作出函数，的图象，函数，的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分． 由图可知，当时，，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 利用图象的对称性，知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，因为OA＝2，，所以，故D错误． 故选：AC． 9．（多选）对于余弦函数的图象，有以下描述，其中正确的描述有 A．将内的图象向左、向右无限延展 B．与的图象形状完全一样，只是位置不同 C．与轴有无数个交点 D．关于轴对称 【答案】BCD 【分析】根据余弦函数的图像与性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A选项，余弦函数的图像，是将内的图像向左、向右无限“重复”得到，是“重复”不是延展，因为延展可能是拉伸，不符合，故A选项错误. 对于B选项，正弦函数的图像向左平移个单位，会与的图像重合，故B选项正确. 对于C选项，当时，，故余弦函数图像与轴有无数个交点，故C选项正确. 对于D选项，余弦函数是偶函数，图像关于轴对称，故D选项正确. 综上所述，正确的描述有BCD. 故选BCD. 【点睛】本小题主要考查余弦函数的图像与性质，属于基础题. 10．当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ． 【答案】 【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标． 【详解】作出函数和在上的图象如下图所示： 从图象上可得：函数的图象和的图象在、内各有一个交点： 当时，由得，即，得； 当时，由得，得，得， 所有交点横坐标之和为. 故答案为：. 11．有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为 ． 【答案】③④ 【分析】利用正余弦函数的图象与性质可判断结论. 【详解】是偶函数，是奇函数，与的图像不关于y轴对称，①错误； 是偶函数，是保留在轴上方的图像，下方翻折到轴上方， 而是奇函数，与的图像不关于x轴对称，②错误； ，是偶函数等价于；故与图像相同，③正确 是偶函数等价于，与图像关于轴对称，④正确. 故答案为：③④. 四、解答题 12．已知和的图像的连续三个交点A、B、C构成，求的面积． 【答案】 【分析】作出图象，结合图象可得相应的点，进而可得面积. 【详解】作出正、余弦函数的图象： 不妨取， 可知底边长，高为， 所以的面积. 13．已知函数 （1）作出该函数的图象； （2）若，求的值； （3）若，讨论方程的解的个数． 【答案】（1）图见解析；（2）或或；（3）当或时，解的个数为0；当或时，解的个数为1；当时，解的个数为3． 【分析】（1）根据正余弦函数的图象即可画出； （2）讨论的范围根据解析式即可求解； （3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数，结合图象即可得出. 【详解】（1）的函数图象如下： （2）当时，，解得， 当时，，解得或， 综上，或或； （3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数， 则由（1）中函数图象可得， 当或时，解的个数为0； 当或时，解的个数为1； 当时，解的个数为3． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 题型专项训练 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 题型一、五点法画正弦函数的图象 题型二、含绝对值的正弦函数图象 题型三、五点法画余弦函数的图象 题型四、含绝对值的余弦函数图象 题型五、正、余弦函数图象的综合应用 题型一、五点法画正弦函数的图象 1．画出下列函数在区间上的图象： (1)；(2)； (3)． 2．用“五点法”作出下列函数的简图，y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]. 3．设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或2 4．函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（   ） A．， B．， C．， D．， 5（多选）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（多选）函数与有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 题型二、含绝对值的正弦函数图象 1．对应的图象是（    ） A．B． C．D． 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（    ） A．12 B．10 C．6 D．5 4．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（多选）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．当时，设关于的方程（）根的个数为，那么的取值构成的集合为 （用列举法表示） 8．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B两点为一对“优美点”，记作，规定和是同一对“优美点”．已知，则函数的图象上共存在“优美点” 对． 题型三、五点法画余弦函数的图象 1．函数，关于函数的零点情况说法错误的是（   ） A．当取某些值时，无零点 B．当取某些值时，恰有1个零点 C．当取某些值时，恰有2个不同的零点 D．当取某些值时，恰有3个不同的零点. 2．关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点 3．方程的实数解的个数为 ． 4．若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为 ． 5．用“五点法”作函数，的大致图像，所取的五点是 ． 6．已知函数，，则该函数图象的最低点的坐标为 . 7．已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：    x 0 π 2π 8．作出函数的大致图象，并分别写出使和的x的取值范围． 题型四、含绝对值的余弦函数图象 1．（多选）函数，的图像与直线（t为常数，）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．函数在区间内的零点个数是 . 3．作出函数的图像． 4．画出函数的图象 题型五、正、余弦函数图象的综合应用 1．在内，使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有(    ) A．3对 B．5对 C．7对 D．14对 3．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点轴作的垂线，垂足为，记线段的长为，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（     ）    A． B． C． D． 7．（多选）若函数在区间上有2个零点，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．3 D．4 8．（多选）若函数，的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则（    ） A．当时， B． C． D．所围图形的面积为 9．（多选）对于余弦函数的图象，有以下描述，其中正确的描述有 A．将内的图象向左、向右无限延展 B．与的图象形状完全一样，只是位置不同 C．与轴有无数个交点 D．关于轴对称 10．当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ． 11．有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为 ． 12．已知和的图像的连续三个交点A、B、C构成，求的面积． 13．已知函数 （1）作出该函数的图象； （2）若，求的值； （3）若，讨论方程的解的个数． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $