专题08 椭圆及其标准方程（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆及其标准方程核心知识点，系统梳理从椭圆定义（含距离和定值及临界条件）到两类标准方程（焦点在x轴、y轴），再到参数关系（a,b,c等量关系）、方程识别规律及求法（定义法、待定系数法）的递进学习支架。 资料通过分层设计重点与难点目标，归纳高频易错点，结合典例与变式题型（如定义辨析、参数范围、焦点三角形），培养学生用数学眼光辨析轨迹条件，用数学思维分析参数关系，用数学语言表达轨迹方程。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化综合应用能力。

专题08 椭圆及其标准方程 重点目标： 1. 1掌握椭圆的定义.理解定义中“距离和为定值”“定值大于两定点间距”的核心限定条件. 2. 掌握椭圆的焦点、焦距的概念.熟记椭圆的两类标准方程形式.区分长轴在x轴、y轴的方程特征. 3. 理解椭圆标准方程的推导过程.掌握化简根式方程、建系设点、列式化简的解析几何基本步骤. 4. 熟练根据已知条件识别椭圆类型.利用待定系数法、定义法求解椭圆标准方程. 5. 掌握椭圆中三者的核心等量关系.能熟练进行参数互化与基础计算. 难点目标： 1. 精准辨析椭圆定义的临界情况.能区分轨迹为椭圆、线段、无轨迹的三种不同条件. 2. 不依赖图象，仅通过方程结构精准判断椭圆焦点所在坐标轴.规避长短轴判断失误. 3. 掌握含参数椭圆方程的参数约束条件.根据椭圆存在条件求解参数取值范围. 4. 灵活运用椭圆定义进行距离转化、周长求解、最值分析.突破定义类综合填空大题. 5. 结合待定系数法、定义法、轨迹法求解复杂椭圆方程.对接解析几何基础综合考点. 1、 重点知识 （一）椭圆定义 · 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 1. 定点叫做椭圆的焦点. 2. 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.记. 3. 设轨迹上任意一点为.则恒有. 4. 定义核心条件：即.是轨迹为椭圆的必要前提. （二）定义临界轨迹判定 1. 当：动点轨迹为椭圆. 2. 当：动点轨迹为线段. 3. 当：无轨迹.不存在满足条件的点. （三）椭圆两类标准方程 · 通用前提：. 核心恒等式：. 1. 焦点在轴上：焦点：. 标准方程：. 图形： 2. 焦点在轴上：焦点：. 标准方程：. 图形： （四）方程核心识别规律 1. 椭圆标准方程左边为两个平方项相加.右边为1. 2. 分母更大的分式对应焦点所在坐标轴. 大分母为.小分母为. 3. 对应长半轴长.对应短半轴长.对应半焦距. （五）椭圆方程常用求法 1. 定义法：根据距离和为定值直接确定.求出直接写方程. 2. 待定系数法：已知焦点位置.设对应标准方程.代入已知点坐标求解参数. 3. 通用设法：焦点位置不确定时.设统一方程. 2、 难点知识 （一）高频易错难点（选择填空陷阱） 1. 切线漏解陷阱：过圆外一点存在两条切线.极易遗漏斜率不存在的竖直切线. 2. 判别式误区：代数法联立方程时.未整理成标准一元二次方程.导致计算错误. 3. 两圆位置关系漏情况：容易忽略内切、内含两种内含型位置关系.只记忆外离、外切、相交. 4. 公共弦适用前提：只有两圆相交时存在公共弦.相切、相离、内含无公共弦. 5. 同心圆判定：且半径不等为内含.半径相等为重合圆.极易判定失误. （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 定义条件遗漏：解题时常忽略前提.直接判定轨迹为椭圆.造成概念性错误. 2. 焦点判断误区：误以为分母含就焦点在x轴.必须遵循“大数定轴”原则. 3. 参数公式混淆：记错.与双曲线公式混淆. 4. 椭圆方程条件误区：标准方程必须满足.两分母必须均为正数且不相等. （二）含参椭圆方程难点（期中压轴） 1. 参数范围判定：已知方程为椭圆.列出参数约束不等式.求解参数取值范围. 2. 焦点位置分类讨论：参数不确定时分母大小不确定.需分类讨论焦点在x轴、y轴两种情况. 3. 含参椭圆定点问题：结合椭圆方程恒成立条件.求解动椭圆恒过定点坐标. （三）椭圆定义拔高应用 1. 焦点三角形问题：椭圆上任意一点与两焦点构成焦点三角形.周长为.可快速求解周长类题型. 2. 距离最值转化：利用进行线段最值转化.求解椭圆上动点到定点、定直线距离最值. 3. 轨迹方程进阶：结合相关点法、定义法求解隐形椭圆轨迹方程.标注完整定义域. （四）深度拓展拔高知识 1. 椭圆方程择优思维：已知焦点优先标准方程.未知焦点优先通用整式方程.大幅简化运算. 2. 焦点三角形深度拓展：结合余弦定理、不等式求解焦点三角形面积、最值、角度范围. 3. 点与椭圆位置关系：点代入椭圆左边.大于1在椭圆外.等于1在椭圆上.小于1在椭圆内. 4. 椭圆对称性质拓展：椭圆关于x轴、y轴、原点中心对称.可快速求解对称椭圆方程、对称点坐标. 5. 定值定点模型：动椭圆、动直线与椭圆结合的定点定值问题.是解析几何高频基础模型. （五）全节高频失分点汇总 1. 忽略椭圆定义核心条件.误判轨迹. 2. 记错三者关系.混淆椭圆与双曲线参数公式. 3. 凭坐标轴惯性判断焦点位置.不通过分母大小对比分析. 4. 含参椭圆不分类讨论焦点位置.答案遗漏情况. 5. 求轨迹方程不验证定义条件.出现多余无效轨迹. 6. 通用椭圆方程设错.混淆参数取值条件. 题型01 椭圆的定义及应用 角度1：椭圆定义的辨析 【典例1】设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【分析】由基本不等式可得，再由椭圆的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D 【典例2】已知是椭圆：上的一点，则点到两焦点的距离之和是（    ） A．6 B．9 C．10 D．18 【答案】A 【分析】由椭圆的定义可知，椭圆上任何一点到其两焦点的距离之和为定值，且定值为长轴的长度，由此即可得解. 【详解】由题意可知椭圆：中的长半轴长，设其两焦点分别为， 又因为点是椭圆：上的一点， 所以点到两焦点的距离之和是. 故选：A. 【变式1】判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆．( ) （2）已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆．( ) （3）已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆．( ) （4）椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足.( ) 【答案】 正确 错误 错误 正确 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】（1）正确．因为|，所以点的轨迹是椭圆． （2）错误．因为，所以点的轨迹是线段. （3）错误．因为，所以点的轨迹不存在． （4）正确．由椭圆的标准方程中对，，的规定可知，焦点位置的改变不影响这一关系． 【变式2】如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（    ） A．6 B．10 C．8 D．12 【答案】C 【分析】由椭圆定义可得，再利用中位线的性质即可求解． 【详解】如图，连接，，，    由椭圆方程可得：，则， 由椭圆定义可得，所以， 因为是的中点，是的中点，则由中位线可得：. 故答案为：C. 角度2：判断方程是否为椭圆 【典例】如果点在运动过程中，总满足关系式 ，那么点的轨迹是（   ） A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】表示平面内到点，的距离之和为的动点的轨迹，由于，所以点的轨迹是椭圆. 故选：B. 【变式】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（   ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【分析】根据关系式的几何意义即可得解. 【详解】因为关系式表示动点到两定点和的距离之和， 且， 所以点的轨迹为线段. 故选：A 题型02 求椭圆的标准方程 角度1：根据已知几何条件求椭圆方程 【典例】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)直接联立方程组，求出、的值，再利用椭圆的基本性质求出的值，然后分别讨论焦点所在的坐标轴，直接写出标准方程即可； (2)由椭圆的定义，直接写出、的值，并可判断焦点所在坐标轴，再利用椭圆的基本性质求出的值，即可直接写出椭圆的标准方程； 【详解】（1）由题意，联立，解得： ， 则由椭圆的性质得：， 所以当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：； 当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：， 故椭圆的标准方程为：或. （2）由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，即， 又椭圆的两个焦点坐标为，，则，且焦点落在轴上， 所以由椭圆的性质得：， 故椭圆的标准方程为：. 【变式】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，，且经过点； (2)，且经过点. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)由题意，设出椭圆的标准方程，再把点代入求解即可； (2)由题意结合椭圆的性质，可列出、的关系式，再设出椭圆的标准方程，然后把点代入求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，且， 所以可设椭圆的标准方程为， 又因为椭圆经过点， 所以，解得：， 故椭圆的标准方程为：. （2）因为，由椭圆的性质得，则， 所以可设椭圆的标准方程为或 又因为椭圆经过点， 所以或，解得：或， 所以，当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：； 当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：， 故椭圆的标准方程为：或. 角度2：定义法求椭圆方程 【典例】若椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两焦点距离之和等于，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义求出，利用即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：A. 【变式】焦点坐标为，，并且经过点的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知焦点坐标，得到. 然后将点代入椭圆方程，结合求出和的值，从而确定椭圆方程. 【详解】因为焦点坐标为，所以，根据，得.   将点代入椭圆方程，所以，即. 将代入中，得到. 设，则方程变为. 解得或（，舍去）. 所以，则. 故椭圆方程为：. 故选：A. 题型03 椭圆中的参数及范围 角度1：求根据椭圆的标准方程求参数 【典例1】若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案. 【详解】若，则由得（舍去）； 若，则由得. 故选：B. 【典例2】对于方程， (1)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (2)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (3)若该方程表示椭圆，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用方程表示椭圆，列出限制条件，可得实数的取值范围. 【详解】（1）因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以. （2）因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以. （3）因为表示椭圆，所以， 解得且，所以. 【变式1】已知点是椭圆 的一个焦点，且椭圆经过点，那么（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】先由椭圆得到，再由椭圆过点得到，消去，整理得，进而求得. 【详解】∵点是椭圆 的一个焦点，即，且焦点落在轴上，则，， ∴由得，， 又∵椭圆经过点， ∴， ∴将代入，整理得，解得：或（舍去）， ∵，∴. 故选：A. 【变式2】已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 角度2：求某个式子的取值范围 【典例1】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 【典例2】为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角换元得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 【变式1】已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【分析】由，根据三角形的三边关系有求解. 【详解】解：， 因为椭圆上的点满足， 当点为的延长线与的交点时，取得最大值，最大值为． 所以的最大值为16． 故选：B． 【变式2】已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值． 【答案】最小值为，最大值为11 【分析】设点P的坐标为，则，由 ，利用二次函数的性质求解. 【详解】因为P是椭圆上一点， 所以，且椭圆焦点在y轴上， 点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为， 则， 所以， ， ， 因为， 当时，， 所以 当时， . 题型04椭圆的焦点三角形问题 角度1：焦点三角形的周长问题 【典例1】过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 【答案】20 【详解】 如图的周长为. 【典例2】设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 【变式1】已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，求三角形的周长. 【详解】由椭圆方程可知，，，所以， 的周长为. 【变式2】如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，连接，，，由离心率可得，即可得到为等边三角形，然后结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】如图，连接，，，由题意可得． 因为椭圆的离心率为，所以，即．又， 所以，故为等边三角形． 由可得为线段的垂直平分线， 所以，， 所以的周长为 ． 故选：A 角度2：焦点三角形的面积问题 【典例】设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【答案】 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 【变式】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 角度3：焦点三角形的其他问题 【典例】已知中顶点和顶点，顶点在椭圆上，则________． 【答案】 【详解】椭圆中，，得，， 因此椭圆的两个焦点恰好就是和， 则，且， 根据正弦边角关系，得. 【变式】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【详解】由题可知，∴，， ∴，的周长为，A选项正确； ∵，∴，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； ， ∴， ∴斜率，D选项错误.      题型05与椭圆有关的轨迹问题 【典例】(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，根据给定条件，结合三角形重心定理即可求解； （2）设点，根据题意列出方程即可求解. 【详解】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，，如图所示， 设的重心，依题意，， 因此点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为的椭圆（除点外）， 该椭圆长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以的重心的轨迹方程为. （2）设点到直线的距离为，依题意，， 于是，化简得，即， 所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆，其方程为. 【变式】已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【答案】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. 题型06 椭圆中线段和差的最值 角度1：线段和的最值问题 【典例】已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是______． 【答案】30 【分析】根据定义，再利用求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，， 则，又点在椭圆内部，， 所以， 即，当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为30. 故答案为：30. 【变式】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 角度2：线段差的最值问题 【典例】已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【详解】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到得距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则 ， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：. 题型07椭圆及标准方程的综合 【典例】已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】设椭圆的方程为,由焦点坐标求出，根据，求出，从而可求，即可得出椭圆方程； 在焦点三角形中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出，再利用三角形的面积公式，可求的面积． 【详解】（1）由题意，设椭圆的方程为， ∵焦点为，， ∴， 又， 所以，， ，． 所求椭圆的方程为． （2）在中，由余弦定理得 即， ∴， ∴， 所以. 【变式】已知圆和圆 (1)过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)动圆M与圆内切且与圆外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分切线斜率是否存在两种情况，即可分别求得切线方程； （2）设，分别求出圆的圆心和半径，由题意可得，，推出，根据椭圆的定义可求得动圆圆心的轨迹方程. 【详解】（1）由配方得：， 可得圆的圆心为，半径为， ①当切线斜率不存在时，显然满足要求； ②当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径2，可得，解得， 则切线方程为，化简可得； 故切线方程为或. （2）由配方得：， 可得圆的圆心为，半径为， 设，动圆的半径为，因动圆M与圆内切且与圆外切， 则，，故可得， 则点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设的轨迹方程为， 则，，所以， 故圆心的轨迹方程为． 【巩固训练】 1．若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 2．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义得，结合余弦定理即可求解． 【详解】不妨令分别为椭圆的左、右焦点，如图． 由题意 ． 在中，由余弦定理得， ， 即，所以． 故选：A. 3．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆焦点所在的轴联立不等式，即可求解. 【详解】由题意得，解得. 4．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义得，进而得的周长，设的内切圆半径为，利用等面积法即可求解. 【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为， 因为， 所以，得． 故选：C. 5．（多选）若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若，则为椭圆 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，当，即时，曲线，表示圆，故A正确； 对于B，若为椭圆，且焦点在轴上， 则，解得，故B正确； 对于C，由A知，当时，曲线为圆，故C错误； 对于D，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆， 其焦距为，故D错误. 故选：AB. 6．（多选）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A．P到最小的距离是 B． C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 【答案】BD 【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可. 【详解】由椭圆方程可得：，则， 对于A：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小， 最小值为，A错误； 对于B：根据椭圆的定义可得，B正确； 对于C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大， 最大值为，C错误； 对于D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大， 最小值为，D正确. 故选：BD.    7．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，求实数的值为_____. 【答案】5 【分析】根据椭圆的定义和性质进行求解即可. 【详解】椭圆的焦点在轴上，焦距为 所以. 可得，解得. 故答案为：5. 8．已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是_________． 【答案】或 【分析】相切分两种情况讨论，再由动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案． 【详解】由题意可知，共有两种情况，设动圆半径为，， 动圆与圆内切，与圆内切，所以 所以，此时动圆圆心的轨迹是椭圆，， 所以动圆圆心的轨迹方程为； 动圆与圆外切，与圆内切，所以， 所以，此时动圆圆心的轨迹为椭圆，， 动圆圆心的轨迹方程为， 故答案为：或． 9.（1）求过点且与直线平行的直线的方程． （2）求圆心在直线上，且过点，半径为5的圆的方程． （3）求两个焦点坐标分别是且经过点的椭圆的标准方程． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）根据平行关系可设直线方程为，代入点运算求解即可； （2）设圆心为，可得圆的方程为，代入点运算求解即可； （3）根据椭圆的定义可得，，进而可得，即可得椭圆方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线的方程为， 代入点可得，即， 所以所求直线方程为； （2）因为圆心在直线上，可设圆心为， 且半径为5，则圆的方程为， 代入点可得，整理可得，解得或， 所以圆的方程为或； （3）设两焦点分别是，点， 则，，可得， 即，，则， 且焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为 10．已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，且该椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意确定c的值，根据椭圆上的点，结合椭圆定义求得a的值，即可求得，即得答案； （2）利用数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可求得答案. 【详解】（1）依题意，设所求椭圆方程为，其半焦距． ∵点在椭圆上， ∴， ∴，从而， 故所求椭圆的标准方程是． （2）由得， ， 即， 代入椭圆方程得，故. 【强化训练】 1．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据曲线是椭圆的条件进行判断即可. 【详解】将方程化为标准形式为. 当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立， 若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立， 因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 2．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设为椭圆的上焦点，易知点在椭圆内，利用椭圆定义将转化为，当三点共线时，的最大值为，即可得解． 【详解】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，． 连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，，    将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为． 故选：D 3．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据条件得到，设，再利用椭圆的定义及条件得到且，即可求出结果. 【详解】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则①，且②， 由①②得到，即，所以， 故选：B. 4．（多选）若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据椭圆的定义，再结合条件即可得到答案。 【详解】设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和，则，即． 因为，则，所以． 对A，a=4,c=1，不满足； 对B，a=3,c=1，满足； 对C，a=5,c=2，满足； 对D，a=6,，不满足. 故选：BC． 5．（多选）已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（    ） A．若点的横坐标为2，则 B．的最大值为9 C．若为直角，则的面积为9 D．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对A，可直接解出点P坐标，求两点距离； 对B，最大值为 对C，设，则，列勾股定理等式，可求面积； 对D，所求点在以原点为圆心，为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断. 【详解】椭圆的长半轴为，半焦距为，∴ 对A，时，代入椭圆方程得，，，A错； 对B，的最大值为，B对； 对C，为直角，设，则，则有， 则的面积为，C对； 对D，以原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，则点P在圆内时，为钝角，联立，消y得，故点的横坐标的取值范围为，D对. 故选：BCD 6．已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出，与，然后利用余弦定理求出，再求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 7．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为________________. 【答案】 【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案. 【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点， 故，    故，当且仅当共线时取等号， 所以 ， 当且仅当共线时取等号， 而, 故的最小值为， 故答案为： 8．已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（    ） A． B．14 C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，进行合理转化，求得周长最大值即可. 【详解】由椭圆方程得，，. 设椭圆的左焦点为，   , ， 则的周长为 , 当且仅当三点共线，且在的延长线上时取等号. 的周长最大值为. 故选:B. 9．设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是_________ 【答案】 【分析】方法一：当点是椭圆的短轴的端点时,取得最大值,此时可取得最小值. 【详解】方法一：（二级结论应用） 椭圆,. 当点是椭圆的短轴的端点时,取得最大值, , 的最小值 . 故答案为：. 方法二：在中，因为，， . 当且仅当时取等号. 故答案为：. 10.已知椭圆：的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； (3)延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率. 【答案】(1) (2) 设直线的方程为，，，，， 联立，消去得，， 则， 为线段的中点， ，， ， 为定值． (3) 【分析】（1）由题可知，，，再结合，解出值即可得解； （2）设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，得韦达定理；利用中点坐标公式以及斜率公式得直线的斜率，进而得解； （3）若四边形为平行四边形，则，利用平面向量的线性坐标运算可以用表示点的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于的方程，解之即可得解． 【详解】（1）由题意可知，，， ， ， 椭圆的方程为． （2）略 （3）若四边形为平行四边形，则， ，， 点在椭圆上， ，解得，即， 当四边形为平行四边形时，直线的斜率为． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 椭圆及其标准方程 重点目标： 1. 1掌握椭圆的定义.理解定义中“距离和为定值”“定值大于两定点间距”的核心限定条件. 2. 掌握椭圆的焦点、焦距的概念.熟记椭圆的两类标准方程形式.区分长轴在x轴、y轴的方程特征. 3. 理解椭圆标准方程的推导过程.掌握化简根式方程、建系设点、列式化简的解析几何基本步骤. 4. 熟练根据已知条件识别椭圆类型.利用待定系数法、定义法求解椭圆标准方程. 5. 掌握椭圆中三者的核心等量关系.能熟练进行参数互化与基础计算. 难点目标： 1. 精准辨析椭圆定义的临界情况.能区分轨迹为椭圆、线段、无轨迹的三种不同条件. 2. 不依赖图象，仅通过方程结构精准判断椭圆焦点所在坐标轴.规避长短轴判断失误. 3. 掌握含参数椭圆方程的参数约束条件.根据椭圆存在条件求解参数取值范围. 4. 灵活运用椭圆定义进行距离转化、周长求解、最值分析.突破定义类综合填空大题. 5. 结合待定系数法、定义法、轨迹法求解复杂椭圆方程.对接解析几何基础综合考点. 1、 重点知识 （一）椭圆定义 · 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 1. 定点叫做椭圆的焦点. 2. 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.记. 3. 设轨迹上任意一点为.则恒有. 4. 定义核心条件：即.是轨迹为椭圆的必要前提. （二）定义临界轨迹判定 1. 当：动点轨迹为椭圆. 2. 当：动点轨迹为线段. 3. 当：无轨迹.不存在满足条件的点. （三）椭圆两类标准方程 · 通用前提：. 核心恒等式：. 1. 焦点在轴上：焦点：. 标准方程：. 图形： 2. 焦点在轴上：焦点：. 标准方程：. 图形： （四）方程核心识别规律 1. 椭圆标准方程左边为两个平方项相加.右边为1. 2. 分母更大的分式对应焦点所在坐标轴. 大分母为.小分母为. 3. 对应长半轴长.对应短半轴长.对应半焦距. （五）椭圆方程常用求法 1. 定义法：根据距离和为定值直接确定.求出直接写方程. 2. 待定系数法：已知焦点位置.设对应标准方程.代入已知点坐标求解参数. 3. 通用设法：焦点位置不确定时.设统一方程. 2、 难点知识 （一）高频易错难点（选择填空陷阱） 1. 切线漏解陷阱：过圆外一点存在两条切线.极易遗漏斜率不存在的竖直切线. 2. 判别式误区：代数法联立方程时.未整理成标准一元二次方程.导致计算错误. 3. 两圆位置关系漏情况：容易忽略内切、内含两种内含型位置关系.只记忆外离、外切、相交. 4. 公共弦适用前提：只有两圆相交时存在公共弦.相切、相离、内含无公共弦. 5. 同心圆判定：且半径不等为内含.半径相等为重合圆.极易判定失误. （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 定义条件遗漏：解题时常忽略前提.直接判定轨迹为椭圆.造成概念性错误. 2. 焦点判断误区：误以为分母含就焦点在x轴.必须遵循“大数定轴”原则. 3. 参数公式混淆：记错.与双曲线公式混淆. 4. 椭圆方程条件误区：标准方程必须满足.两分母必须均为正数且不相等. （二）含参椭圆方程难点（期中压轴） 1. 参数范围判定：已知方程为椭圆.列出参数约束不等式.求解参数取值范围. 2. 焦点位置分类讨论：参数不确定时分母大小不确定.需分类讨论焦点在x轴、y轴两种情况. 3. 含参椭圆定点问题：结合椭圆方程恒成立条件.求解动椭圆恒过定点坐标. （三）椭圆定义拔高应用 1. 焦点三角形问题：椭圆上任意一点与两焦点构成焦点三角形.周长为.可快速求解周长类题型. 2. 距离最值转化：利用进行线段最值转化.求解椭圆上动点到定点、定直线距离最值. 3. 轨迹方程进阶：结合相关点法、定义法求解隐形椭圆轨迹方程.标注完整定义域. （四）深度拓展拔高知识 1. 椭圆方程择优思维：已知焦点优先标准方程.未知焦点优先通用整式方程.大幅简化运算. 2. 焦点三角形深度拓展：结合余弦定理、不等式求解焦点三角形面积、最值、角度范围. 3. 点与椭圆位置关系：点代入椭圆左边.大于1在椭圆外.等于1在椭圆上.小于1在椭圆内. 4. 椭圆对称性质拓展：椭圆关于x轴、y轴、原点中心对称.可快速求解对称椭圆方程、对称点坐标. 5. 定值定点模型：动椭圆、动直线与椭圆结合的定点定值问题.是解析几何高频基础模型. （五）全节高频失分点汇总 1. 忽略椭圆定义核心条件.误判轨迹. 2. 记错三者关系.混淆椭圆与双曲线参数公式. 3. 凭坐标轴惯性判断焦点位置.不通过分母大小对比分析. 4. 含参椭圆不分类讨论焦点位置.答案遗漏情况. 5. 求轨迹方程不验证定义条件.出现多余无效轨迹. 6. 通用椭圆方程设错.混淆参数取值条件. 题型01 椭圆的定义及应用 角度1：椭圆定义的辨析 【典例1】设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【典例2】已知是椭圆：上的一点，则点到两焦点的距离之和是（    ） A．6 B．9 C．10 D．18 【变式1】判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆．( ) （2）已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆．( ) （3）已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆．( ) （4）椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足.( ) 【变式2】如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（    ） A．6 B．10 C．8 D．12 角度2：判断方程是否为椭圆 【典例】如果点在运动过程中，总满足关系式 ，那么点的轨迹是（   ） A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【变式】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（   ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 题型02 求椭圆的标准方程 角度1：根据已知几何条件求椭圆方程 【典例】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； 【变式】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，，且经过点； (2)，且经过点. 角度2：定义法求椭圆方程 【典例】若椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两焦点距离之和等于，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】焦点坐标为，，并且经过点的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 题型03 椭圆中的参数及范围 角度1：求根据椭圆的标准方程求参数 【典例1】若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（    ） A． B． C． D．或 【典例2】对于方程， (1)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (2)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (3)若该方程表示椭圆，求实数的取值范围. 【变式1】已知点是椭圆 的一个焦点，且椭圆经过点，那么（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式2】已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 角度2：求某个式子的取值范围 【典例1】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．64 B．16 C．8 D．4 【变式2】已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值． 题型04椭圆的焦点三角形问题 角度1：焦点三角形的周长问题 【典例1】过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 【典例2】设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 【变式2】如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 角度2：焦点三角形的面积问题 【典例】设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【变式】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 角度3：焦点三角形的其他问题 【典例】已知中顶点和顶点，顶点在椭圆上，则________． 【变式】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 题型05与椭圆有关的轨迹问题 【典例】(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 【变式】已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 题型06 椭圆中线段和差的最值 角度1：线段和的最值问题 【典例】已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是______． 【变式】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 角度2：线段差的最值问题 【典例】已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______. 题型07椭圆及标准方程的综合 【典例】已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 【变式】已知圆和圆 (1)过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)动圆M与圆内切且与圆外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【巩固训练】 1．若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 5．（多选）若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若，则为椭圆 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 6．（多选）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A．P到最小的距离是 B． C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 7．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，求实数的值为_____. 8．已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是_________． 9.（1）求过点且与直线平行的直线的方程． （2）求圆心在直线上，且过点，半径为5的圆的方程． （3）求两个焦点坐标分别是且经过点的椭圆的标准方程． 10．已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，且该椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求的值． 【强化训练】 1．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 3．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．（多选）若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（    ） A．若点的横坐标为2，则 B．的最大值为9 C．若为直角，则的面积为9 D．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为 6．已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为________________. 8．已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（    ） A． B．14 C． D． 9．设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是_________ 10.已知椭圆：的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； (3)延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率. / 学科网（北京）股份有限公司 $