第3章 3.2.1 第1课时 双曲线及其标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

3.2.1　双曲线及其标准方程

第1课时　双曲线及其标准方程

学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(难点).2.掌握双曲线的标准方程及其求法(重点).

 

导语

同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌？这首歌的创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近，但不能相交”，而正是这点给作者带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生.

一、双曲线的定义

问题1　如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果||PA|-|PB||≤|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆.

如图，在|AB|<|F1F2|≤|PA|+|PB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？

提示　如题图，曲线上的点满足条件=常数.

知识梳理

一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

注意点：

(1)常数要小于两个定点的距离.

(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.

(3)当常数大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.

例1　已知A(0，-5)，B(0，5)，|PA|-|PB|=2a，当a=3或5时，P点的轨迹为(　　)

A.双曲线或一条直线

B.双曲线或两条直线

C.双曲线一支或一条直线

D.双曲线一支或一条射线

答案　D

解析　|AB|=10，当a=3时，2a=6，

此时2a<|AB|，

∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).

当a=5时，2a=10，此时2a=|AB|=10，

∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.

反思感悟　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件来判断.

跟踪训练1　已知F1(3，3)，F2(-3，3)，动点P满足|PF1|-|PF2|=4，则P点的轨迹是(　　)

A.双曲线 B.双曲线的一支

C.不存在 D.一条射线

答案　B

解析　因为|PF1|-|PF2|=4，|F1F2|=6，

由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.

二、双曲线的标准方程及其推导过程

问题2　类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程呢？

提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，

此时双曲线的焦点分别为F1(-c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，c>0.

设P(x，y)是双曲线上任意一点，则

||PF1|-|PF2||=2a(0<a<c)，

因为|PF1|=，

|PF2|=，

所以-=±2a， ①

类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)，两边同除以a2(c2-a2)，得-=1.

由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2-a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2，其中b>0，代入上式，得-=1(a>0，b>0).