第3章 3.2.1 第1课时 双曲线及其标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学双曲线及其标准方程核心知识点，通过类比椭圆定义与方程推导，以问题链引导学生探究双曲线定义（平面内与两定点距离差的绝对值为常数且小于焦距的点的轨迹）、标准方程（焦点在x轴和y轴的形式及a,b,c关系）及其推导过程，搭建从椭圆到双曲线的学习支架，为后续几何性质学习奠基。 资料以《悲伤的双曲线》歌曲导语激发兴趣，体现“数学眼光”的创新意识。通过问题驱动（如两圆运动轨迹分析）和类比推理推导标准方程，培养“数学思维”的逻辑推理能力。分层设计例题、跟踪训练及课时对点练，强化“数学语言”的模型应用，课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

3.2.1　双曲线及其标准方程 第1课时　双曲线及其标准方程 学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(难点).2.掌握双曲线的标准方程及其求法(重点). 导语 同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌？这首歌的创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近，但不能相交”，而正是这点给作者带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生. 一、双曲线的定义 问题1　如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果||PA|-|PB||≤|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆. 如图，在|AB|<|F1F2|≤|PA|+|PB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？ 提示　如题图，曲线上的点满足条件=常数. 知识梳理 一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注意点： (1)常数要小于两个定点的距离. (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (3)当常数大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在. 例1　已知A(0，-5)，B(0，5)，|PA|-|PB|=2a，当a=3或5时，P点的轨迹为(　　) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 答案　D 解析　|AB|=10，当a=3时，2a=6， 此时2a<|AB|， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a=5时，2a=10，此时2a=|AB|=10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线. 反思感悟　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件来判断. 跟踪训练1　已知F1(3，3)，F2(-3，3)，动点P满足|PF1|-|PF2|=4，则P点的轨迹是(　　) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 答案　B 解析　因为|PF1|-|PF2|=4，|F1F2|=6， 由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支. 二、双曲线的标准方程及其推导过程 问题2　类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程呢？ 提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示， 此时双曲线的焦点分别为F1(-c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，c>0. 设P(x，y)是双曲线上任意一点，则 ||PF1|-|PF2||=2a(0<a<c)， 因为|PF1|=， |PF2|=， 所以-=±2a， ① 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)，两边同除以a2(c2-a2)，得-=1. 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2-a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2，其中b>0，代入上式，得-=1(a>0，b>0). 问题3　设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|-|PF2||=2a，其中c>a>0 ，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 提示　-=1(a>0，b>0). 知识梳理　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2=c2-a2 注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.记忆口诀：“焦点跟着正项走”. (2)a与b没有大小关系. (3)a，b，c的关系满足c2=a2+b2. 例2　(课本例1)　已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 解　因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为-=1(a>0，b>0). 由2c=10，2a=6，得c=5，a=3， 因此b2=52-32=16. 所以，双曲线的标准方程为-=1. 例2　焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点M(2，3)的双曲线的标准方程为　　　　　　　.  答案　x2-=1 解析　所求双曲线焦点在x轴上， 且c=2，2a=||MF1|-|MF2|| =|-|=2， ∴a=1，∴b2=c2-a2=3. ∴双曲线的标准方程为x2-=1. 反思感悟　利用定义求双曲线标准方程时，应先确定焦点的位置，再确定a，b，c的值，即先定位，后定量. 跟踪训练2　满足a=3，c=4，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为　　　　　　　.  答案　-=1 解析　由题设知，a=3，c=4，由c2=a2+b2 得b2=c2-a2=42-32=7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为-=1. 三、求简单的双曲线方程 例3　求以椭圆+=1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程. 解　由题意得，双曲线的焦点在x 轴上， 且c=2， 设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 则解得 故所求双曲线的标准方程为-=1. 反思感悟　用待定系数法求双曲线方程的步骤 (1)根据条件确定焦点在哪个坐标轴上. (2)设方程-=1或-=1(a>0，b>0). (3)列出关于a，b的方程(组). (4)解方程(组)，得所求双曲线方程. 跟踪训练3　已知双曲线的一个焦点为F(-，0)，点P在该双曲线上，线段PF的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是(　　) A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 答案　B 解析　由线段PF的中点坐标为(0，2)知P(，4)， 设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， 则解得 所以该双曲线的标准方程为x2-=1. 1.知识清单： (1)双曲线的定义. (2)双曲线的标准方程及其推导过程. (3)求简单的双曲线方程. 2.方法归纳：待定系数法、分类讨论. 3.常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件. 1.已知点P(x，y)的坐标满足-=±，则动点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 答案　B 解析　设A(1，0)，B(-1，0)， 则由已知得||PA|-|PB||=，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又|AB|=2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线. 2.若方程-=1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A.-2<m<2 B.m>0 C.m≥0 D.|m|≥2 答案　A 解析　∵已知方程表示双曲线， ∴(2+m)(2-m)>0. 解得-2<m<2. 3.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a的值为(　　) A.1 B.1或-2 C.1或 D. 答案　A 解析　由题意知解得a=1. 4.与椭圆+=1有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程为　　　　.  答案　-=1 解析　由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上. 设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0). 根据题意得 解得 所以双曲线的标准方程为-=1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知定点F1(-2，0)，F2(2，0)，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A.|PF1|-|PF2|=±3 B.|PF1|-|PF2|=±4 C.|PF1|-|PF2|=±5 D.|PF1|2-|PF2|2=±4 答案　A 解析　当|PF1|-|PF2|=±3时， ||PF1|-|PF2||=3<|F1F2|=4， 满足双曲线的定义， 所以选项A中P点的轨迹是双曲线. 2.若双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点坐标为(　　) A. B. C. D.(，0) 答案　B 解析　将双曲线方程化为标准方程为x2-=1， ∴a2=1，b2=， ∴c2=a2+b2=， ∴c=，故右焦点坐标为. 3.双曲线C的两焦点分别为(-6，0)，(6，0)，且经过点(-5，2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案　B 解析　2a=|-|=4， 所以a=2， 又c=6， 所以b2=c2-a2=36-20=16. 所以双曲线的标准方程为-=1. 4.已知动点P到A(-5，0)的距离与它到B(5，0)的距离之差等于6，则点P的轨迹方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1(x≤3) D.-=1(x≥3) 答案　D 解析　动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，又c=5，a=3，∴b2=16，∴点P的轨迹方程为-=1(x≥3). 5.(多选)已知曲线C：mx2-ny2=1，下列说法正确的是(　　) A.若mn>0，则C为双曲线 B.若m>0且m+n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆 C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆 D.若m>0，n>0，则C为两条直线 答案　AB 解析　若mn>0，则C为双曲线，所以A正确；若m>0且m+n<0，则n<0，|n|>m>0，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确；若m>0，n<0，当m=1，n=-1时，C是单位圆，所以C不正确；若m>0，n>0，则C为双曲线，所以D不正确. 6.已知双曲线过点(-2，0)，且与椭圆4x2+9y2=36有公共的焦点，则双曲线的标准方程是(　　) A.-x2=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.y2-=1 答案　B 解析　由椭圆4x2+9y2=36，可化为标准方程+=1，可得焦点坐标为(-，0)，(，0)， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，所以c=， 又因为双曲线过点(-2，0)，可得a=2，则b2=c2-a2=1， 所以双曲线的标准方程为-y2=1. 7.(5分)双曲线-=1(a>0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且|MF1|=5，则|MF2|=　　　　.  答案　9 解析　由题意得，2c=8，可得c=4， 所以a2=c2-b2=16-12=4，解得a=2， 又||MF1|-|MF2||=2a=4， 所以|5-|MF2||=4， 解得|MF2|=1或|MF2|=9， 当|MF2|=1时，|MF1|+|MF2|=6<8，不满足题意，故舍去； 当|MF2|=9时，|MF1|+|MF2|=14>8，满足题意，所以|MF2|=9. 8.(5分)焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，-3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为　　　　.  答案　-=1 解析　设焦点为F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0)， 则由QF1⊥QF2， 得·=-1， ∴·=-1，∴c=5. 设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， ∵双曲线过点P(4，-3)， ∴-=1， 又∵c2=a2+b2=25， ∴a2=16，b2=9. ∴双曲线的标准方程为-=1. 9.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2)；(5分) (2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点(0，4).(5分) 解　(1)∵a=2，且双曲线的焦点在x轴上， ∴可设双曲线的标准方程为-=1(b>0)， 将点A代入双曲线的方程得-=1， 解得b2=16， ∴双曲线的标准方程为-=1. (2)∵双曲线焦点在y轴上， ∴设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 由其焦距为10，得2c=10，c=5， 又该双曲线过点(0，4)，则a=4， ∴b2=c2-a2=25-16=9， ∴双曲线的标准方程为-=1. 10.(10分)在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN=90°，tan∠PMN=，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为坐标轴，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程. 解　因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN=， 所以设|PN|=3k，|PM|=4k，则|MN|=5k. 由3k+4k+5k=48，得k=4. 所以|PN|=12，|PM|=16，|MN|=20. 若MN所在直线为x轴，如图所示. 设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0). 由|PM|-|PN|=4， 得2a=4，a=2，a2=4. 由|MN|=20， 得2c=20，c=10，c2=100， 所以b2=c2-a2=100-4=96， 故所求方程为-=1； 若MN所在直线为y轴， 同理可得双曲线的标准方程为-=1. 11.已知方程-=1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　) A.(5，+∞) B.(-2，2)∪(5，+∞) C.(-2，2) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) 答案　B 解析　因为方程对应的图形是双曲线， 所以(k-5)(|k|-2)>0. 即或 解得k>5或-2<k<2. 12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案　A 解析　圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1(0，0)和O2(4，0)，半径分别为1和2，设动圆的圆心为M，半径为r， 由两圆外切的充要条件，得 |MO1|=r+1，|MO2|=r+2. ∴|MO2|-|MO1|=1， 又|O1O2|=4， ∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1). 13.(多选)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)上的两点A1(-a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，-b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为，则双曲线C的方程可以为(　　) A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 答案　AB 解析　∵四边形A1PA2Q的面积为2， ∴×2a×2b=2， 得ab=. 记四边形A1PA2Q内切圆的半径为r， 则2πr=，解得r=， 又4×cr=2，∴c=. 又∵c2=a2+b2=3， 得或 ∴双曲线C的方程为-y2=1或x2-=1. 14.(5分)已知双曲线Γ：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与Γ的右支交于A，B两点，若|AF1|=8，|BF1|=5，∠AF1B=60°，则a=　　　　　　.  答案　 解析　依题意知过点F2的直线与Γ的右支交于A，B两点， 且|AF1|=8，|BF1|=5，∠AF1B=60°， 则|AF2|=8-2a，|BF2|=5-2a，0<a<， 所以|AB|=|AF2|+|BF2|=13-4a， 可得(13-4a)2=82+52-2×5×8cos 60°， 解得a=或a=5(舍去). 15.(5分)从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓形状为圆O，将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|=|BC|=|CD|=2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为　　　　　　.  答案　x2-=1 解析　设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，因为|AB|=|BC|=|CD|=2， 则点C的坐标为(1，0)， 将其代入双曲线方程，得a=1，又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 所以点在双曲线上， 得-=1，则b2=， 故所求双曲线的标准方程为x2-=1. 16.(13分)已知△OFQ的面积为2，且·=m，其中O为坐标原点. (1)设<m<4，求与的夹角θ的正切值的取值范围；(5分) (2)若以F(c，0)为其右焦点的双曲线经过点Q，如图所示，m=c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程.(8分) 解　(1)因为 所以tan θ=， 又<m<4， 所以1<tan θ<4， 即tan θ的取值范围为(1，4). (2)设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， Q(x1，y1)，则=(x1-c，y1)， 所以S△OFQ=||·|y1|=2， 则y1=±，又·=m， 即(c，0)·(x1-c，y1)=c2，解得x1=c， 所以||==≥=2， 当且仅当c=4时取等号，||最小， 此时Q的坐标为()或(，-). 因此所以 所以双曲线的标准方程为-=1. 学科网（北京）股份有限公司 $