3.1.1 椭圆及其标准方程讲义【考点突破+强化训练】-2026年新高二数学暑假预习人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦椭圆及其标准方程核心知识点，系统梳理椭圆定义（距离和为常数且大于焦距）、标准方程（焦点位置与a,b,c关系）、焦点三角形（周长及余弦定理等公式），构建从概念到应用的递进学习支架。 资料亮点在于考点分类细致（含定义辨析、参数求解等九类），通过实例题（如轨迹判断、焦点三角形面积）培养数学眼光与推理思维，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化数学语言表达与应用意识。

3.1.1 椭圆及其标准方程 知识点1：椭圆的定义 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|． 【注意】(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． 知识点2：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤． (1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． 知识点3：椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦 点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 考点一　椭圆的定义及辨析 考点二　根据方程表示椭圆求参数 考点三　椭圆标准方程的求解 考点四　根据椭圆方程求a、b、c 考点五　椭圆上点到焦点的距离及最值 考点六　椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 考点七　椭圆中焦点三角形的周长与面积问题 考点八　椭圆中焦点三角形的其他问题 考点九　轨迹问题—椭圆 考点一　椭圆的定义及辨析 1．（25-26高二下·青海海东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 【答案】 4 【详解】由题可知，又， 所以. 2．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点在椭圆上，是的一个焦点，为的中点，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设F为左焦点，设右焦点为，连接ON，，根据中位线的性质，可得，可得，根据椭圆的定义，代入计算，即可得答案. 【详解】不妨设F为左焦点，设右焦点为，连接ON，，如图所示， 因为为的中点，O为的中点， 所以ON为中位线，即，则， 由椭圆的方程可得，解得， 由椭圆的定义可得， 所以. 故选：C 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）方程表示的曲线为（   ） A．线段 B．椭圆 C．双曲线 D．不表示任何图形 【答案】B 【分析】表示点到点，的距离之和为，结合椭圆的定义即可进行判断. 【详解】表示点到点，的距离之和为，即， 所以方程表示的曲线为椭圆. 故选：B. 考点二　根据方程表示椭圆求参数 5．（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于ABC，代入数据逐个判断即可，对于D，由求解即可判断. 【详解】当时，方程可化为，解得，表示直线，故A正确． 当时，方程可化为，表示以原点为圆心，半径的圆，故B正确． 当且时，方程可化为．当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故C错误． 若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 即实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 6．（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 7．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以解得，即实数的取值范围为． 8．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程，即可确定参数的范围. 【详解】由方程表示的曲线是椭圆，则且， 故选：D 考点三　椭圆标准方程的求解 9．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 【答案】 【详解】设椭圆的一般方程为， 把点、的坐标分别代入椭圆方程， 得，解得，故椭圆标准方程为. 10．（25-26高二下·上海·期中）已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【答案】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. 11．（25-26高二下·上海·期中）以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 【答案】 【详解】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆方程为. 12．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）根据的关系求，可得椭圆方程. （2）根据椭圆的定义求，根据焦点定义求，再根据的关系求，可得椭圆方程. （3）根据焦点坐标求，根据椭圆上的点和的关系列式求，可得椭圆方程. 【详解】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且，， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又，故所求椭圆方程为. 13．（2026高二上·福建厦门·专题练习）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据椭圆与焦点相同，得到所求椭圆焦点在轴上，且，设其标准方程为，结合在椭圆上列方程组求解． 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同， 其焦点在轴上，且， 设其标准方程为， ，且，①， 点在所求椭圆上， ②， 联立①②得，解得， 所求椭圆的标准方程为． 故答案为：． 14．（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断轨迹为椭圆，由求得，由求得，即可得到椭圆方程. 【详解】由题意得，， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，即. 因为为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上， 设其方程为，，则， 将代入方程得， 因为，所以，解得，故椭圆方程为. 故选：A. 考点四　根据椭圆方程求a、b、c 15．（25-26高二下·上海黄浦·期末）椭圆的焦距为________． 【答案】 【详解】∵ 椭圆的标准方程为，∴，. ∴，. ∴ 该椭圆的焦距为. 16．（2026·广东东莞·三模）已知椭圆C的标准方程为分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，，则__________. 【答案】 【分析】利用椭圆中的关系，求解值以及焦点坐标，再结合椭圆的定义求解. 【详解】由椭圆标准方程，得，， 因此，，即. 根据椭圆定义，椭圆上任意点满足. 因为，在轴上，所以点横坐标为， 代入椭圆方程得：, 因此， 由椭圆定义. 17．（25-26高二下·湖北·期中）若椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则__________. 【答案】4 【分析】根据题意及椭圆定义得，分情况讨论焦点位置，列方程求解. 【详解】椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为， 所以，， 若焦点在轴上，，所以， 解得或（舍去），不满足，不符； 若焦点在轴上，，所以， 解得或（舍去）， ，所以符合. 18．（25-26高二上·浙江温州·期末）椭圆的左右焦点分别为，已知点在椭圆上，满足，则__________. 【答案】 【分析】根据题意，列出关于的方程，求解可得. 【详解】设椭圆的焦距为，则由题可得，解得，所以. 故答案为：. 19．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆方程求得半焦距c，进而可求得焦点坐标. 【详解】因为，所以椭圆是焦点在轴上的椭圆， 且，所以，解得， 所以椭圆的焦点坐标是. 故选：B 20．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆（）的一个焦点是 ，则等于______. 【答案】 【分析】根据椭圆的焦点位置和半焦距，利用的数量关系即可求得. 【详解】因为椭圆（）的一个焦点是 , 所以，解得. 故答案为： 考点五　椭圆上点到焦点的距离及最值 21．（2026·湖南长沙·二模）已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 【答案】 【分析】连接与椭圆的右焦点，与的中点，结合相似三角形与椭圆的定义求解即可. 【详解】由已知得：， 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接和（如图所示）， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 又为的中点，为的中点，所以， 由椭圆的定义知：. 22．（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上.若C上一点M与的距离为6，则M与的距离为（   ） A．10 B．14 C．20 D．26 【答案】B 【详解】因为椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上， 所以，，于是. 因为，且， 所以. 23．（25-26高二上·安徽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】通过椭圆标准方程和定义得到，通过，转化为一元二次函数的值域求解. 【详解】由题可知，，， 令，，则， 因为，所以，即， 所以，， 当或时，取到最小值为；当时，取到最大值为， 即的取值范围是. 故答案为： 24．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，是的中点，若，则___________． 【答案】 【分析】借助椭圆定义计算即可得结论. 【详解】由是的中点，则， 由椭圆定义可得， 则. 故答案为：. 25．（25-26高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可知，可得，然后可求. 【详解】， ， 又椭圆， 则， . 故选：D. 26．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值. 【详解】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为. 故选：D 考点六　椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 27．（25-26高二下·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】借助椭圆的定义将代换为，把目标式转化为定值与距离差的和，再利用三角不等式求解距离差的最大值，进而得到目标式的最大值. 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 28．（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【答案】31 【分析】结合椭圆的第二定义，将问题转换成椭圆上的点到定点和左准线的距离和问题即可求解. 【详解】，即求的最小值. 椭圆的离心率为，， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. ，只需求的最小值. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 又左准线方程为， 此时，故的最小值为31， 即的最小值为31. 29．（2026·辽宁·二模）已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解. 【详解】因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 而，当且仅当点在直线上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值. 30．（2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义及线段和差关系即可求解． 【详解】依题意可得，， 将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内， 由椭圆的定义可知，即， 所以， 所以的最小值为． 31．（2026·云南·模拟预测）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 【答案】D 【分析】根据椭圆定义求解，再结合圆上一点到圆外一点的距离的最大值为该点到圆心距离加半径，最小值为该点到圆心距离减半径，分别分析和的最值范围，进而结合不等式性质求解即可. 【详解】如图，椭圆的两个焦点坐标为，为两个圆的圆心坐标，圆的半径为，圆的半径为，由椭圆的定义可得. 因为满足： ，即 ，即 所以两式相加得：， 代入，可得，即不可能为16. 32．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 考点七　椭圆中焦点三角形的周长与面积问题 33．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 【答案】20 【详解】 如图的周长为. 34．（2026·云南·模拟预测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【详解】由题可知，∴，， ∴，的周长为，A选项正确； ∵，∴，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； ， ∴， ∴斜率，D选项错误.      35．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 36．（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【答案】 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 37．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为，求的方程； 【答案】 【分析】将代入椭圆方程求出，再利用椭圆的定义以及等面积法求出即可. 【详解】由题意知，，则， 令，则，得，则， 由椭圆的定义可知，， 因为点到直线的距离为，， 所以， 则，即， 又，得， 故的方程为. 38．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】延长，交的延长线于点，确定为等腰三角形，进而得到，设，再由椭圆定义求得，进而可求解. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，    因为PH为的平分线，， 故为等腰三角形， 即为的中点， 因为为的中点，所以OH为的中位线， 故，设，由椭圆定义知， ，故，解得， 故在中，边上高为. 故面积为. 故选：C 考点八　椭圆中焦点三角形的其他问题 39．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 40．（2026·山东德州·三模）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由椭圆方程可得椭圆基本量，再由得，进而在焦点三角形中由余弦定理可得，再由中线向量关系可得，从而可得所求值. 【详解】椭圆方程，得，因此， 根据椭圆的定义有，， 在中，因为，所以， 由同角三角函数关系式可得， 由余弦定理，， 即，得. 又在中，是的中线，所以，如图： 所以 ， 因此，，即. 41．（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】椭圆方程，得，，，，. 由椭圆定义，； 已知，即。 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 综上所述或，焦距. 因为，即或,故是直角三角形. 42．（2026·四川泸州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________． 【答案】3 【分析】设，根据椭圆定义可得，，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：，， 设，则，， 若，则，解得， 可得，，所以. 故答案为：3. 考点九　轨迹问题—椭圆 43．（25-26高三·全国·一轮复习）点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求M的轨迹方程； 【答案】 【分析】把已知条件用方程表示出来化简即得. 【详解】因为点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数， 所以，整理得．即， 则M的轨迹方程为； 44．（2026高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 【答案】 【分析】分别设，建立相关点之间的关系，代入求解. 【详解】如图所示： 不妨设， 则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即， 代入方程 可得，整理得. 故答案为：. 45．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，即，所以动点P的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点P的轨迹方程． 【详解】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为. 故选：D 46．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据圆与圆相切的条件及椭圆的定义判断可得. 【详解】如图：设M为的中点，则圆M与圆O只能内切，且圆O的半径为3， 所以，即，设，则， 故. 所以Q点在以为焦点，以长轴为6的椭圆上，故Q点的轨迹是一个椭圆. 故选：B 47．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 48．（2026高二·全国·专题练习）已知平面内点P与两定点连线的斜率之积等于．求点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程； 【答案】曲线的方程为 【分析】首先设点为轨迹上任意一点，再根据斜率公式求轨迹方程. 【详解】设点为轨迹上任意一点，由题意得，则，， ，故点的轨迹方程为， 所以点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程 为. 1．（25-26高二上·浙江·期中）已知动点到，两点的距离和为8，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义来进行判断即可. 【详解】由于，，所以动点的轨迹为椭圆， 故选：D. 2．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由椭圆的定义求解. 【详解】因为椭圆方程为，所以，解得， 由椭圆的定义可得，又，所以， 故选：B. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为． 5．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得直线与坐标轴的交点为，得到，求得，即可得到椭圆的标准方程. 【详解】由直线，令，可得，令，可得， 即直线与坐标轴的交点分别为， 因为直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 可得，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 6．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆化为标准方程，再利用动圆与两圆的外切、内切关系，得到动圆圆心到两定圆心的距离和，结合椭圆定义求轨迹方程. 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 因此，， 由此可得； 因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，椭圆的短半轴长， 因此动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A. 7．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 8．（2026·四川达州·二模）（多选）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程得出基本参数，，，进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析最大值情况判断B选项，分析取值及相关距离情况判断C、D选项. 【详解】因为椭圆，得，，， 所以焦点，，满足， 所以， 在A选项中，的周长为，A正确， 在B选项中，在短轴端点时最大， 此时，为等边三角形， 最大角为，不存在满足条件的，B错误， 在C选项中，设，， 代入椭圆，得， 又，最大值为，代入得最大值为，C正确， 在D选项中，过作直线的垂线，垂足记为， 当与不重合时，为直角三角形，， 当与重合时，到距离等于，D正确. 9．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）（多选）已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，，分别是C的左、右焦点，过点的直线与C交于A，B两点（异于C的左、右顶点），则（   ） A．C的方程为 B．的周长为8 C．的最大值为6 D．当A为C的上顶点时， 【答案】ABD 【分析】对A，根据椭圆长轴和短轴的定义即可得到椭圆方程，对B，根据椭圆定义即可判断；对C，根据基本不等式即可判断；对D利用椭圆定义和余弦定理即可得到弦长. 【详解】对A，由题知，，即，，所以的方程为，A正确； 对B，的周长为，B正确； 对C，由题知，所以（当且仅当时取等号），C错误； 对D，当为椭圆的上顶点时，2，设，则， ，则，则， 在中，由余弦定理，得，解得， 所以，D正确． 故选：ABD．    10．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）（多选）已知椭圆的焦距大于，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】讨论焦点的位置，结合已知列不等式求参数范围，即可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，焦距为，由题意得，解得， 当椭圆的焦点在轴上时，焦距为，由题意得，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：ACD. 11．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 【答案】 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义判断点的轨迹为椭圆，运用待定系数法求解即得. 【详解】如图，连接,因是线段的中垂线，则, 由可得,因, 可得点的轨迹为以为两焦点的椭圆，设椭圆方程为， 易得，则，故点的轨迹方程为. 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可求解 【详解】 已知椭圆，则，， 由椭圆的定义得，， 由于，所以， 则. 13．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知椭圆的焦点在轴上，且，，进而可得以及椭圆方程； （2）设椭圆方程为，代入点运算求解即可. 【详解】（1）根据题意可知：椭圆的焦点在轴上，且，， 则，所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆方程为， 代入点，可得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 14．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求 (1) (2)的面积 【答案】(1)48 (2)24 【分析】（1）根据椭圆定义结合勾股定理运算求解； （2）结合（1）中结果运算求解即可. 【详解】（1）因为椭圆方程为，则， 即，可得， 因为，则 即，所以. （2）由（1）得， 因为，所以.    15．（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【分析】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是， 16．（25-26高二上·广东东莞·期中）平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）作图，根据圆与圆的位置关系和椭圆定义可知所求轨迹为椭圆，然后可得方程； （2）根据椭圆定义和已知，联立余弦定理求解即可. 【详解】（1）圆M的圆心为，半径为， 圆N的圆心为，半径为. 设动圆P的圆心为，半径为r， 则依题意得，， 所以， 所以，点P的轨迹为椭圆，焦点在x轴上，其中，故， 所以，动圆P的圆心的轨迹方程为. 由图可知，当时，不符合题意，故椭圆方程为. （2）记，， 由（1）知，， 由余弦定理可得， 整理得，即， 又，所以，解得， 因为，所以. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 知识点1：椭圆的定义 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|． 【注意】(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． 知识点2：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤． (1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． 知识点3：椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦 点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 考点一　椭圆的定义及辨析 考点二　根据方程表示椭圆求参数 考点三　椭圆标准方程的求解 考点四　根据椭圆方程求a、b、c 考点五　椭圆上点到焦点的距离及最值 考点六　椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 考点七　椭圆中焦点三角形的周长与面积问题 考点八　椭圆中焦点三角形的其他问题 考点九　轨迹问题—椭圆 考点一　椭圆的定义及辨析 1．（25-26高二下·青海海东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 2．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点在椭圆上，是的一个焦点，为的中点，，则 （   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）方程表示的曲线为（   ） A．线段 B．椭圆 C．双曲线 D．不表示任何图形 考点二　根据方程表示椭圆求参数 5．（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 6．（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点三　椭圆标准方程的求解 9．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 10．（25-26高二下·上海·期中）已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 11．（25-26高二下·上海·期中）以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 12．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 13．（2026高二上·福建厦门·专题练习）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为______． 14．（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 考点四　根据椭圆方程求a、b、c 15．（25-26高二下·上海黄浦·期末）椭圆的焦距为________． 16．（2026·广东东莞·三模）已知椭圆C的标准方程为分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，，则__________. 17．（25-26高二下·湖北·期中）若椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则__________. 18．（25-26高二上·浙江温州·期末）椭圆的左右焦点分别为，已知点在椭圆上，满足，则__________. 19．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆（）的一个焦点是 ，则等于______. 考点五　椭圆上点到焦点的距离及最值 21．（2026·湖南长沙·二模）已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 22．（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上.若C上一点M与的距离为6，则M与的距离为（   ） A．10 B．14 C．20 D．26 23．（25-26高二上·安徽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 24．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，是的中点，若，则___________． 25．（25-26高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 26．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 考点六　椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 27．（25-26高二下·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 28．（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 29．（2026·辽宁·二模）已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 30．（2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 31．（2026·云南·模拟预测）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 32．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点七　椭圆中焦点三角形的周长与面积问题 33．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 34．（2026·云南·模拟预测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 35．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 36．（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 37．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为，求的方程； 38．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 考点八　椭圆中焦点三角形的其他问题 39．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 40．（2026·山东德州·三模）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 42．（2026·四川泸州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________． 考点九　轨迹问题—椭圆 43．（25-26高三·全国·一轮复习）点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求M的轨迹方程； 44．（2026高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 45．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 47．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 48．（2026高二·全国·专题练习）已知平面内点P与两定点连线的斜率之积等于．求点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程； 1．（25-26高二上·浙江·期中）已知动点到，两点的距离和为8，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 2．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·四川达州·二模）（多选）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 9．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）（多选）已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，，分别是C的左、右焦点，过点的直线与C交于A，B两点（异于C的左、右顶点），则（   ） A．C的方程为 B．的周长为8 C．的最大值为6 D．当A为C的上顶点时， 10．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）（多选）已知椭圆的焦距大于，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 13．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 14．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求 (1) (2)的面积 15．（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 16．（25-26高二上·广东东莞·期中）平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $