九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材沪教版五四制，举一反三，测试范围：第27章 二次函数～第28章 相似三角形）

**基本信息** 聚焦二次函数与相似三角形，融合邢窑测量、女足训练等文化与现实情境，梯度设计适配培优检测，含中考真题及跨章节综合题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/12|二次函数开口/对称轴、相似三角形判定|结合山东泰安阶段检测等真题，考查抽象能力| |填空|12/36|二次函数平移、相似比计算|邢窑白瓷瓶测量（文化传承）、抛物线对称（几何直观）| |解答|10/52|二次函数与几何综合、存在性问题|女足训练抛物线（模型意识）、显示屏支架证明（推理能力），含8分创新作图题|

九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 2．（25-26八年级下·山东泰安·阶段检测）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图示知该三角形是腰长为1.5的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：如图， A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； B．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； C．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确； D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误． 5．（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 6．（2026·江苏无锡·中考真题）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，设与交于点，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， 设与交于点， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ， 即与重叠部分的面积是． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26九年级上·河南南阳·期末）写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，对称轴可由顶点式中的确定，开口方向由系数的符号决定；当时，开口向下．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，二次函数满足对称轴是直线且开口向下， 故答案为： 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 【答案】9 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 12．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 13．（2026·贵州铜仁·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，点C，D均在抛物线上，其中点C的横坐标为，点D在直线的下方，当时，点D的坐标是______． 【答案】 【分析】已知抛物线过A、B两点，将两点坐标代入抛物线解析式，求出a、b的值，确定抛物线表达式． 已知点C横坐标，将其代入抛物线表达式，求出点C的纵坐标，确定点C坐标． 过点A作于点E，过点E作轴，过A、C作于点F，证明，得，设，则，解得，即，求出直线的解析式，联立抛物线解析式得，解得，即得． 【详解】解：∵抛物线过、， ∴用交点式得：， 对比常数项，得， 因此抛物线解析式为：． ∵点横坐标为， ∴代入抛物线得， 即． 过点A作于点E，过点E作轴，过A、C作于点F，于点G， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得, ∴ 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 联立抛物线解析式得， 化简得， 解得​（对应点），， 代入解析式得​， ∴． 14．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 15．（2026·广东深圳·三模）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，则的长为____________． 【答案】 【分析】过点作分别交、的延长线于点、，则四边形和四边形是矩形，证明，得出，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，过点作分别交、的延长线于点、， 正方形的边长为4，点E在边上，， ，，，，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ，，， 四边形和四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 16．（2026·四川南充·二模）抛物线的对称轴在轴右侧，点，，都在抛物线上，若，则的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先利用点和点纵坐标相等，求出抛物线对称轴，再结合开口向上的二次函数性质，函数值越大对应点到对称轴距离越大，列出不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∵对称轴在轴右侧， ∴， 即， 点和纵坐标相等， 关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为 ， ， 即， ，， 点到对称轴的距离为 ，点到对称轴的距离为， ，开口向上，函数值越大，点到对称轴的距离越大， ， 即或 ， 解得或， 当时， ， 点在抛物线上， ，即 ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即 ， 两边平方得：， 展开得： ， 整理得： ， 解得， ∵对称轴在轴右侧 ∴， 即， 综上，的取值范围是或． 17．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 【答案】4 【分析】分两种情况：①当时；②当时，进一步结合相似三角形求解即可． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴． 分类讨论：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， 此时与没有交点， 综上可知，线段的长为4． 18．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 【答案】 【分析】确定，，，，进一步确定直线的解析式为，直线的解析式为，如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，，根据轴对称的性质及等腰三角形的性质得，点为的中点，点是的中点，继而得，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，确定，最后根据在直线：上，得，解方程即可． 【详解】解：∵抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为， 当时，得：或；当时，得：， ∴，，， ∴抛物线的对称轴为，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，， ∴垂直平分， ∴，点为的中点， ∵，，，， ∴，是边上的中线即点是的中点， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∵点为的中点，，， ∴， 解得：， ∴， ∵点关于直线的对称点恰好落在直线：上，即点在直线：上， ∴， 解得：， ∴点的横坐标是． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（25-26九年级上·云南大理·期中）已知二次函数． (1)若，且二次函数的图象经过点，求函数的顶点坐标； (2)若，证明：二次函数的图象和x轴有两个交点． 【答案】(1) (2) 证明：令， 则， 由得， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点． 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）将点代入二次函数的解析式，求出b的值，根据二次函数性质即可求出其顶点； （2）令，判断即可． 【详解】（1）解：由题可知，解得， ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为； （2）略 20．（4分）（25-26九年级上·四川宜宾·期末）如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解： ， ∴， 即， 解得． 21．（4分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 22．（4分）（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面 地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 23．（4分）（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 24．（4分）（2025·河北衡水·模拟预测）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 【答案】(1) (2)足球第二次落地点到点的距离为米 (3) 【分析】（1）当时，依题意得，设抛物线解析式为，代入，即可求解； （2），得出足球第一次落地点距点的距离为米，过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点，则，令，进而求得，进而求得的长； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为，代入，得出，根据题意可得点，点，分别代入解析式，求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 25．（6分）（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，在平行四边形  中，，点E是的中点，连接，作，交于点F． (1)若，，求的长； (2)若G为延长线上一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明：延长交的延长线于M，在上取一点N，使得，连接． ∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， 又∵， ∴ ∴， ∴， 即． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用直角三角形的斜边的中线的性质即可解决问题； （2）延长交的延长线于M，在上取一点N，使得，连接．想办法证明是的中位线即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 26．（6分）（25-26八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)已知直线是x轴上一点，过A作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①m为何值时，和重合． ②已知，过B作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若对于都有，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；②或． 【分析】对于小问（1），因为抛物线过点，代入抛物线方程可直接得到c的值；再把代入抛物线方程，结合已得的c值，即可用a表示b． 对于小问（2）①，因为横坐标均为m，二者重合意味着纵坐标相等，所以将分别代入抛物线和直线解析式，令纵坐标相等，解方程即可求m．②，先求出的长度表达式，二者均为同横坐标下两点纵坐标差的绝对值；因为是只含a的定值，所以要让内的都大于该定值，结合的函数性质，分析与函数对称轴的位置关系，列出关于a的不等式求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 得： ， ． 再将点、代入抛物线， 得： ， 整理得 ． 此时抛物线可整理为：． （2）解：①过作轴垂线，、横坐标均为： 在抛物线上，纵坐标为； 在直线上，纵坐标为． 两点重合，则纵坐标相等， ∴， （）， 两边同除以，得， 因式分解得， 解得 或 ， 即 或 时，和重合． ②横坐标相同的两点、的距离为纵坐标差的绝对值： ，，， ∴． ． ∵， ∴， 两边同除以 ，得：． ∵， ∴ 整理得， 当时，或， ∴的解集为：或． 题目要求对任意，不等式都成立， ∴需全部满足或全部满足： 若全满足， 则左端点，解得； 若全满足， 则右端点，解得． 因此的取值范围是 或 ． 27．（8分）（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，进而求解； （2）由勾股定理求出的长，根据构造相似比为的两个相似三角形求解； （3）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴； （2）解：如图，， ∵， ∴，且相似比为， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∵，， ∴． 28．（8分）（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)，且 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于A、E两点，可得点A和点E坐标，再求出点B、C的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 、点， ， 故； 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且． （3）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 测试范围：第27章 二次函数~第28章 相似三角形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共28题，单选6题，填空12题，解答10题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 2．（25-26八年级下·山东泰安·阶段检测）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 3．（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 6．（2026·江苏无锡·中考真题）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26九年级上·河南南阳·期末）写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 9．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 11．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 12．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 13．（2026·贵州铜仁·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，点C，D均在抛物线上，其中点C的横坐标为，点D在直线的下方，当时，点D的坐标是______． 14．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 15．（2026·广东深圳·三模）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，则的长为____________． 16．（2026·四川南充·二模）抛物线的对称轴在轴右侧，点，，都在抛物线上，若，则的取值范围是________． 17．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 18．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（25-26九年级上·云南大理·期中）已知二次函数． (1)若，且二次函数的图象经过点，求函数的顶点坐标； (2)若，证明：二次函数的图象和x轴有两个交点． 20．（4分）（25-26九年级上·四川宜宾·期末）如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 21．（4分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 22．（4分）（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 23．（4分）（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 24．（4分）（2025·河北衡水·模拟预测）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 25．（6分）（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，在平行四边形  中，，点E是的中点，连接，作，交于点F． (1)若，，求的长； (2)若G为延长线上一点，且，求证：． 26．（6分）（25-26八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)已知直线是x轴上一点，过A作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①m为何值时，和重合． ②已知，过B作x轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若对于都有，求a的取值范围． 27．（8分）（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 28．（8分）（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $