九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材北师大版，举一反三，测试范围：第1章 特殊平行四边形 ～第2章 一元二次方程）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形与一元二次方程，25题分层覆盖核心知识，融入杨辉几何解法、乒乓球运动等真实情境，适配九年级培优学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|菱形矩形性质、方程根的判别式|结合中考真题形式，如第3题方程根的情况判断| |填空题|6/18|方程一般形式、菱形面积计算|第13题关联方程根的代换，培养推理意识| |解答题|9/72|方程求解、矩形证明、增长率应用、新定义“差根方程”|21题乒乓球人数增长问题发展应用意识，25题动态几何探究提升空间观念|

九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·四川眉山·模拟预测）若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 2．（25-26八年级下·云南红河·期末）下列关于平行四边形的叙述，正确的是（     ） A．若，则平行四边形是菱形 B．若，则平行四边形是矩形 C．若，则平行四边形是正方形 D．若，则平行四边形是菱形 【答案】D 【分析】根据平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系即可解答． 【详解】解：A．平行四边形中，对角线相等时为矩形，不符合题意； B．平行四边形中，对角线互相垂直时为菱形，不符合题意； C、D．平行四边形中，邻边相等时为菱形，故选项C不符合题意，选项D符合题意． 3．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】矩形对角线相等且互相平分，因此对角线与中点相同，且，设中点为，先求出点坐标对应的中点纵坐标，再利用中点坐标公式求出点纵坐标． 【详解】解：设对角线、交于点， 四边形是矩形， 矩形对角线相等且互相平分，，是、共同中点． 在轴正半轴，，设，， 长度为，得， ． 设，已知， 由中点坐标公式：中点横坐标，纵坐标， 中点坐标， 两点中点相同，纵坐标相等： ， 两边同乘2：， 解得：． 点的纵坐标是． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 8．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为3， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“有一个小于1的非负数解”的条件列出不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 10．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】分点位于边上、位于边上、位于边上三种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：当点位于边上时，如图所示： 菱形中，，， ，， ； 当点位于边上时，如图所示： 菱形中，，， 是等边三角形， 过点作于点， ， 由勾股定理得， ， 点与点重合， ； 当点位于边上时， ，，， ， ， 由勾股定理得． 综上，的长为或4或． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 12．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在中，点，，分别在，，上，且，，若，四边形是______．（填写一种特殊的平行四边形） 【答案】矩形 【分析】本题考查了平行四边形的定义，矩形的判定，分别根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形． 13．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 14．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】由菱形的对角线互相平分得到，，再由菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得的长，最后根据直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点O， ∴，， ∵菱形的面积为30， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】由，知，，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 16．（2025·浙江·模拟预测）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，如图所示，过点作，可得是等腰三角形，四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形，则，，根据折叠，得到，在中由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 如图所示，过点作， ∴是等腰三角形， ∴四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠性质，勾股定理的运用，掌握矩形的折叠，勾股定理的运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即，， ， ； （2）解：原方程整理，得，， ， ， ， ． 18．（6分）（25-26八年级下·云南红河·期末）已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，   ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． (2) 【分析】（1）利用菱形的性质得出，再由，利用线段和差关系求出，从而得到，继而证明四边形为平行四边形，再由即可证得结论； （2）由菱形的周长求出其边长，再利用其面积，通过菱形的面积公式得出的长度，利用勾股定理求出的长度，最后通过线段和差关系即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形，周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 19．（6分）（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：∵，是原方程的两个实数根，， ∵k为正整数， ∴， ∴方程为， ∴． 20．（8分）（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，直接写出四边形的周长． 【答案】(1)证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ； (2)． 【分析】（1）由正方形对角线性质可得，再由可证； （2）由正方形性质及勾股定理可求得，．再证明四边形为菱形，求出，在中用勾股定理求得，进而根据菱形的周长为，即可求得答案． 【详解】（1）略； （2）解： ， ， 由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：，，， 又， ， 即， 故四边形为平行四边形． ， 四边形是菱形， ． ， 故四边形的周长为． 21．（8分）（26-27九年级上·全国·期中）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】(1) (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 22．（9分）（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以为邻边作矩形． (1)求证：； (2)连接，若，求出的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 过点E作于点M，于点N，则， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， 即， ， ∴， 即， ， ，，， ， ， ， ， ∴． (2) 【分析】（1）先由正方形的性质有，，即可证明，得到．过点E作于点M，于点N，先根据正方形的性质证明四边形是矩形，进一步证明，可得，即可得出结论； （2）连接，先证明矩形是正方形，进而可得，从而，并求得的长，进一步证明，并求得的长，再利用勾股定理可求得的长，最后在中，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ， ， ， ，， ． ∵在正方形中，，， ， ， ∴在中，． ∵在正方形中，，， ∴， ． 23．（9分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 24．（10分）（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图1，矩形的对角线、相交于点，且、，连接． (1)求证：与互相垂直且平分； (2)如图2，若取的中点，连接交于点，求证：； (3)如图3，过点作射线分别交，的延长线于点，，连接，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵、， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵、是菱形的两条对角线， ∴与互相垂直且平分； (2)证明：设与交于点， 可知，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵P是中点，O是中点， ∴， 即 ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，可知平行四边形是菱形，根据菱形的性质即可证明； （2）设与交于点，根据菱形的性质可知，，，根据矩形的性质得到，可知，得到，根据中位线定理求出，进而得到，证明，即可证明； （3）设，根据矩形的性质得到，可知直线到直线的距离等于矩形的水平边长，根据三角形面积公式得到，即可求出的面积． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图，设， ∵矩形， ∴， ∴直线到直线的距离等于矩形的水平边长， ∵，， ∴， 即， ∴． 25．（10分）（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： (1)如图1，当是对角线中点时，猜想四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，当点是对角线上任意一点时．试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； (3)如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】(1)正方形 ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形 (2)仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N，则， ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形． (3)． 【分析】（1）先利用正方形对角线性质确定P点的相关线段和角度关系，再结合题中多个垂直条件，判断四边形的角的特征，再证明邻边相等，确定形状． （2）过P作正方形边的垂线构造全等三角形，证明，再结合题设的垂直条件，先判断四边形是矩形，再结合邻边相等确定形状，验证（1）的结论是否成立． （3）先根据以及正方形对角线的长度，求出长度，再结合（2）中得到的三角形全等的结论，可以得到，根据和余角关系，得到，得到，即得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过点P作交于点M，交于点N， 由（2）知，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵正方形边长为， ∴对角线， ∵， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 特殊平行四边形 ~第2章 一元二次方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·四川眉山·模拟预测）若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南红河·期末）下列关于平行四边形的叙述，正确的是（     ） A．若，则平行四边形是菱形 B．若，则平行四边形是矩形 C．若，则平行四边形是正方形 D．若，则平行四边形是菱形 3．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（    ） A． B．4 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 12．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在中，点，，分别在，，上，且，，若，四边形是______．（填写一种特殊的平行四边形） 13．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 14．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 15．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 16．（2025·浙江·模拟预测）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为___________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 18．（6分）（25-26八年级下·云南红河·期末）已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 19．（6分）（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 20．（8分）（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，直接写出四边形的周长． 21．（8分）（26-27九年级上·全国·期中）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 22．（9分）（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以为邻边作矩形． (1)求证：； (2)连接，若，求出的长． 23．（9分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 24．（10分）（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图1，矩形的对角线、相交于点，且、，连接． (1)求证：与互相垂直且平分； (2)如图2，若取的中点，连接交于点，求证：； (3)如图3，过点作射线分别交，的延长线于点，，连接，的面积为，求的面积． 25．（10分）（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： (1)如图1，当是对角线中点时，猜想四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，当点是对角线上任意一点时．试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； (3)如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $