25.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课时作业 2026-2027学年 人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，分层设计从基础应用到创新探究，梯度清晰，适配新授课知识巩固与思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点直接应用|单选题1-2直接考查两根和与积计算，填空题11构造方程，强化概念理解| |中档|综合知识点情境应用|填空题13结合等腰三角形求周长，解答题19含参数方程根的关系，发展推理能力| |提升|跨知识创新探究|单选题10类比三次方程根与系数，解答题21“n倍根方程”新定义，培养创新意识与模型观念|

第二十五章 一元二次方程 25.2.4 课时作业 第3课时 一、单选题 1．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 2．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 3．若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 4．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 5．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．设，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 9．若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．写出一个两根之和为，两根之积为的一元二次方程：__________． 12．若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 13．已知等腰三角形的一条边长为3，另外两条边的长是方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．11 B．13 C．11或13 D．11或12 14．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 16．已知关于x的方程的两根分别为，，则________． 三、解答题 17．若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1) (2) (3) (4) 18． 已知，是方程的两实数根，求值． 19．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 20．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 21．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“2倍根方程”：方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“3倍根方程”． (1)根据上述定义，是“__________倍根方程”；（填数字） (2)若关于的方程是“4倍根方程”，求t的值； 22．若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． (1)方程的衍生点坐标为______． (2)若关于x的一元二次方程的衍生点坐标为，求b和c的值． (3)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值． 23．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.2.4 课时作业 第3课时 解析版 一、单选题 1．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 2．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 3．若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 4．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 5．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 7．设，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 8．若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】D 9．若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 10．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 二、填空题 11．写出一个两根之和为，两根之积为的一元二次方程：__________． 【答案】 12．若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 【答案】 13．已知等腰三角形的一条边长为3，另外两条边的长是方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．11 B．13 C．11或13 D．11或12 【答案】A 14．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 【答案】 16．已知关于x的方程的两根分别为，，则________． 【答案】1 三、解答题 17．若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 18．已知，是方程的两实数根，求值． 【答案】 19．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 20．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 21．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“2倍根方程”：方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“3倍根方程”． (1)根据上述定义，是“__________倍根方程”；（填数字） (2)若关于的方程是“4倍根方程”，求t的值； 【答案】(1)3 (2)16 22．若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． (1)方程的衍生点坐标为______． (2)若关于x的一元二次方程的衍生点坐标为，求b和c的值． (3)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 23．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $