第02讲 等差数列及其前n项和（专项训练）（全国通用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“基础题型-重难创新-真题实战”三级架构系统覆盖等差数列核心考点，通过公式运算、分类讨论、转化建模等方法培养逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础题型|9类41题|基本量运算（方程思想）、判定证明（定义法）、性质应用（下标规律）|从概念（首项/公差）到性质（项与和）再到应用（最值/实际问题）递进| |重难创新|9题|自定义数列转化、剔除公共项、前n项积建模|融合跨知识（调和数列）与复杂情境，提升信息提取与建模能力| |真题实战|7题|高频考点聚焦（基本量/性质/证明）、综合应用（参数范围/跨数列）|对接高考命题趋势，强化基础运算与理性思维|

第02讲 等差数列及其前n项和 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 等差数列的基本量运算 2 题型02 等差数列的判定与证明 2 题型03 等差数列的性质 3 题型04 等差数列前n项和的性质 3 题型05 等差数列前n项和的最值 4 题型06 等差数列的实际应用及数学文化 4 题型07 等差数列奇偶项问题 5 题型08 含绝对值的等差数列求和问题 6 题型09 等差数列中的范围与恒成立问题 6 重难·创新演练 7 真题·实战演练 8 模拟·基础演练 考查重点：等差基本量运算、数列判定证明、下标与前n项和核心性质、前n项和最值、奇偶项计算、绝对值求和，搭配取值范围、恒成立与实际应用题型，完整覆盖等差数列核心考点，侧重公式运算、分类讨论与逻辑推理。 题型01 等差数列的基本量运算 1．等差数列的前项和为，若，则（    ） A．310 B．320 C．330 D．340 2．已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A． B．18 C． D．36 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 4．已知等差数列的前项和为，且，若，则可能的值为（   ） A． B．1 C． D． 5．（多选）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C．若，则的最大值是 D．是递减数列 题型02 等差数列的判定与证明 6．已知是各项均为正数的数列的前项和，，则是为等差数列的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； 8．已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； 9．在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； 题型03 等差数列的性质 10．已知是等差数列，，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知是无穷等差数列，“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知数列为等差数列，它的前项和为，，则（ ） A． B． C． D． 13．在等差数列中，已知，，，则的前项和为（    ） A．22 B．24 C．25 D．26 14．记为等差数列的前项和.已知，，若长为的线段能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 题型04 等差数列前n项和的性质 15．已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 16．在公差不为0的等差数列中，若，则（     ） A．8 B．12 C．16 D．20 17．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 18．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．等差数列的通项公式是，其前项和为，则数列的前项和为________． 20．已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为______. 题型05 等差数列前n项和的最值 21．已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．已知等差数列中，，公差为，若该数列的前项和仅在时取得最大值，则公差的取值范围是________． 23．记等差数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； 24．设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 题型06 等差数列的实际应用及数学文化 25．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若不更出16钱，则公士出的钱数为（   ） A．12 B．23 C．24 D．28 26．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．58 B．59 C．60 D．61 27．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有7段圆弧时，“蚊香”的长度为______． 28．某团体操队形由若干排组成，从第2排起，每一排都比前一排多相等数目的人数．若第3排有7个人，第8排有17个人，则第10排有______个人． 29．Wanye老师和张宏老师为了身体健康，报名参加了“”APP的行走打卡送大米的活动.第一天两位老师所走的步数相同，此后Wanye老师每天都比前一天多走700步，张宏老师每天所走的步数不变.若张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同，则Wanye老师第7天走__________步. 题型07 等差数列奇偶项问题 30．某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 31．已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 32．已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 33．设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 34．一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________. 题型08 含绝对值的等差数列求和问题 35．在等差数列中，，，设，则（   ） A．41 B．50 C．61 D．74 36．已知数列的前项和为，且满足（，）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 37．设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 38．已知正项数列的前项和为，且和满足：， (1)求证：数列是等差数列； (2)设，记，求和的值. 题型09 等差数列中的范围与恒成立问题 39．已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 40．已知正项数列满足（且），. (1)求； (2)求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 41．在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 重难·创新演练 设题创新:融入调和数列等自定义数列规则，增设剔除公共项、前n项积转化等差新颖考法，结合递推证明、绝对值求和、恒成立与最值综合设问，打破常规套路，侧重信息提取、转化建模与分层逻辑推理能力。 1．【新考法】（ 2026·天津河西·三模）已知等差数列满足：对任意的，都有意义，且，则的值为（     ） A．4049 B． C．4051 D． 2．【新角度】（ 2026·福建漳州·三模）数列的通项公式分别为，在中去掉中含有的项得到新数列，则的前30项的和为（    ） A．407 B．429 C．465 D．525 3．【新考法】（ 2026·甘肃张掖·二模）设为数列的前项和，已知，对任意，，都有，若，则的值为__________． 4．【新角度】（ 2026·安徽滁州·二模）已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． 5．【新定义】（ 2026·湖北黄冈·模拟预测）若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列，已知数列为调和数列，且，则的最大值为____________. 6．【新考法】（ 2026·河北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，k，，且，则的最小值为________．（参考公式：） 7．【新考法】（ 2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． (1)证明：，，三项成等差数列； (2)证明：对任意整数，均有； (3)数列是否为等差数列?并说明理由． 8．（ 2026·云南昆明·模拟预测）已知正项数列的前项积为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，求使成立的最小正整数. 9．（ 2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)若时，恒成立，求正整数的最小值． 真题·实战演练 高频考点：等差基本量运算、等差性质运用、前 n 项和计算、绝对值求和、最值与恒成立、等差证明、跨等比综合、实际文化应用题；近三年选择填空为主，兼顾简答证明，侧重基础运算，融合参数范围、跨数列综合热点。 1．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 5．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 7．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 等差数列及其前n项和 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 等差数列的基本量运算 2 题型02 等差数列的判定与证明 3 题型03 等差数列的性质 7 题型04 等差数列前n项和的性质 8 题型05 等差数列前n项和的最值 10 题型06 等差数列的实际应用及数学文化 13 题型07 等差数列奇偶项问题 15 题型08 含绝对值的等差数列求和问题 16 题型09 等差数列中的范围与恒成立问题 19 重难·创新演练 21 真题·实战演练 27 模拟·基础演练 考查重点：等差基本量运算、数列判定证明、下标与前n项和核心性质、前n项和最值、奇偶项计算、绝对值求和，搭配取值范围、恒成立与实际应用题型，完整覆盖等差数列核心考点，侧重公式运算、分类讨论与逻辑推理。 题型01 等差数列的基本量运算 1．等差数列的前项和为，若，则（    ） A．310 B．320 C．330 D．340 【答案】D 【详解】由题可得：. 2．已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A． B．18 C． D．36 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，即， 解得，所以. 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 【答案】A 【详解】，即， 解得：，． 4．已知等差数列的前项和为，且，若，则可能的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，. 因为，，所以，整理得. 所以. 已知，因此，即. 则. 结合选项，取，得. 5．（多选）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C．若，则的最大值是 D．是递减数列 【答案】ABD 【详解】因为，所以解得， 故，故A、B对； C，令，解得， 因为，故的最大值为，故C错； D，由，， 所以数列是递减数列，故D对. 题型02 等差数列的判定与证明 6．已知是各项均为正数的数列的前项和，，则是为等差数列的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以，即为等差数列，充分性成立. 若为等差数列，设其公差为，则， 故， 当时，， 当时，， 当时，满足上式，此时，所以； 当时，不满足上式，此时， 当时，， 当时，， 因为无解，不成立， 因此，必要性不成立. 故是为等差数列的充分不必要条件. 7．已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由，所以， 所以， 所以数列是以为公差，首项为的等差数列； （2）由（1）有，所以， 所以， 所以. 8．已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明：由题意：， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知：，所以， 所以， ， 记数列的前n项和为， 当时，； 当时，； 综上所述：. 9．在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. (2)由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型03 等差数列的性质 10．已知是等差数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 因为，所以，解得， 所以． 11．已知是无穷等差数列，“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则， 但不存在正整数，使得，故必要性不成立， 则“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的充分不必要条件. 12．已知数列为等差数列，它的前项和为，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，解得， ． 13．在等差数列中，已知，，，则的前项和为（    ） A．22 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【详解】设的公差为，则，解得， 又，所以， 所以，解得， 所以的前项和为. 14．记为等差数列的前项和.已知，，若长为的线段能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【详解】设等差数列的首项为和公差为， ，得， ，得， 解得，， 若长为的线段能构成三角形， 则，即， 解得， 又三角形的最短边，解得， 因为为正整数，所以， 故，共个值. 题型04 等差数列前n项和的性质 15．已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. 16．在公差不为0的等差数列中，若，则（     ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，， 由及，得， 又，所以，化简得（1）， 又， ， 所以（1）式化简得，由于，故，解得. 17．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且. 所以可设. 所以，所以. 18．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 因为，则，， ，， 所以，即的值为. 19．等差数列的通项公式是，其前项和为，则数列的前项和为________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以， 所以是公差为，首项为的等差数列， 所以数列的前项和为． 故答案为：. 20．已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为______. 【答案】70 【详解】因为，所以数列的首项为， 故， 所以， 故数列的前5项和为. 故答案为：70 题型05 等差数列前n项和的最值 21．已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】等差数列前项和公式为，是关于的二次函数， 若，二次函数开口向下，当时，， 即不可能有最小值，所以有最小值，即， 而时，，数列单调递增，充分性成立， 若数列单调递增，则，二次函数开口向上，定义域为正整数， 开口向上的抛物线必然存在离对称轴最近的正整数点，对应的最小值， （即使所有项都为正，最小值就是，依然存在），因此必要性成立， 综上，“有最小值”是“数列单调递增”的充要条件. 22．已知等差数列中，，公差为，若该数列的前项和仅在时取得最大值，则公差的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意可知，即， ∴，即. 23．记等差数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； 【答案】(1) (2)的最大值为10，此时或. 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题可得，解得. 故. 即的通项公式为. （2）由（1）知， 所以关于对称，且当时，单调递增；当时，单调递减. 因为，且， 所以当或时，取得最大值，最大值为10. 24．设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得， ∴. （2）由（1）得， 由于是数列中最大的项， ∴，则 ， 所以，即 即 解得， 由于是整数，所以的可能取值是. 题型06 等差数列的实际应用及数学文化 25．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若不更出16钱，则公士出的钱数为（   ） A．12 B．23 C．24 D．28 【答案】D 【详解】设大夫、不更、簪袅、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列， 由题意可知，等差数列中，前项和为， 设公差为，前项和为，则有，解得， 故，故， 即公士出的钱数为. 26．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．58 B．59 C．60 D．61 【答案】A 【详解】能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的数， 故． 由，得，，故此数列的项数为58． 27．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有7段圆弧时，“蚊香”的长度为______． 【答案】 【详解】由题意可得每段圆弧所对的圆心角均为， 题中依次所得的圆弧其所在圆的半径成公差为1的等差数列，且第一段圆弧所在圆的半径为1， 设该等差数列为，则，等差数列通项公式为， 所以第n段圆弧所在圆的半径为， 所以恰好有7段圆弧所制作的“蚊香”的长度为. 28．某团体操队形由若干排组成，从第2排起，每一排都比前一排多相等数目的人数．若第3排有7个人，第8排有17个人，则第10排有______个人． 【答案】21 【详解】由题意，每排人数构成公差为的等差数列， 根据等差数列性质：， 已知，，则，解得， 因为，所以 29．Wanye老师和张宏老师为了身体健康，报名参加了“”APP的行走打卡送大米的活动.第一天两位老师所走的步数相同，此后Wanye老师每天都比前一天多走700步，张宏老师每天所走的步数不变.若张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同，则Wanye老师第7天走__________步. 【答案】14700 【详解】设Wanye老师第天所走的步数为，则张宏老师前七天每天所走的步数都为， 由已知Wanye老师第二天到第七天所走的步数分别为， 因为张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同， 所以 所以 故， 所以Wanye老师第七天所走的步数为. 题型07 等差数列奇偶项问题 30．某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（    ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：由题可知，， 根据等差数列的性质可知，所以，所以， 同理，根据等差数列性质可得. 31．已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， 由题知；， 所以， 因为， 所以，即项数为. 32．已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】B 【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为， 则，所以20，则． 33．设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 【答案】A 【详解】设， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 34．一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________. 【答案】3 【详解】解:由题知不妨设等差数列为,首项为,公差为,项数为, 故有 , 两式相减, 因为, 故, 故. 故答案为:3 题型08 含绝对值的等差数列求和问题 35．在等差数列中，，，设，则（   ） A．41 B．50 C．61 D．74 【答案】B 【详解】因为为等差数列，， 所以设公差为，则由得. 所以. 当时，，当时，， 记等差数列的前项和为， 所以. 由于. 所以. 故选：B. 36．已知数列的前项和为，且满足（，）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）由，得. 所以当时，. 又，不满足. 所以. （2）令，则. 所以当时，，所以当时，数列是等差数列. 所以. 又 ， 所以数列的前100项和为. 37．设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，∴，即， 由等差数列的性质得，， 由得，，即，   由得，， 联立方程可得，，    ∴，. （2）由得，时，，时，. 当时，，     当时，， ∴. 38．已知正项数列的前项和为，且和满足：， (1)求证：数列是等差数列； (2)设，记，求和的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【分析】 【详解】（1）当时，，解得， 因为①，所以②， ①②得， 所以，化简得， 因为，所以， 所以以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知，则，令，得， 即时，时，则， . 题型09 等差数列中的范围与恒成立问题 39．已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由①，得②， ①-②得， 整理得，所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，整理可得， 又因为，所以，即整数的最大值是5. 故选：B. 40．已知正项数列满足（且），. (1)求； (2)求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，（且）， 所以，又，所以，，又，所以，，又，所以； （2）因为，所以（且）， 即， 又因为，所以， 所以是以1为首项、1为公差的等差数列， 所以； （3）由（2）得. 所以即为， 又因为，所以该不等式等价于， 又因为（当且仅当时，）. 所以 41．在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）证明：将整理得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. （2）由（1）可得，所以. （3）由（2）可知对的整数恒成立，即对的整数恒成立， 整理得. 令，则 . 因为，所以，即数列为单调递增数列，所以最小，. 所以的取值范围为. 重难·创新演练 设题创新:融入调和数列等自定义数列规则，增设剔除公共项、前n项积转化等差新颖考法，结合递推证明、绝对值求和、恒成立与最值综合设问，打破常规套路，侧重信息提取、转化建模与分层逻辑推理能力。 1．【新考法】（ 2026·天津河西·三模）已知等差数列满足：对任意的，都有意义，且，则的值为（     ） A．4049 B． C．4051 D． 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则， ，，解得或， 即或，此时可能小于1，不满足都有意义， 故，则. 2．【新角度】（ 2026·福建漳州·三模）数列的通项公式分别为，在中去掉中含有的项得到新数列，则的前30项的和为（    ） A．407 B．429 C．465 D．525 【答案】D 【分析】详解】因为数列的通项公式是，所以数列为， 因为数列的通项公式是，所以数列为， 得到的前33项中含有1，8，27这3个中的项， 可得的前30项为数列的前33项除去三项1，8，27， 故前30项的和为. 3．【新考法】（ 2026·甘肃张掖·二模）设为数列的前项和，已知，对任意，，都有，若，则的值为__________． 【答案】15 【分析】详解】因为对任意，都有，所以，即， 所以数列是公差为的等差数列，所以， 由，得， 所以，即，又， 所以，解得或（舍去）， 所以的值为15. 4．【新角度】（ 2026·安徽滁州·二模）已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． 【答案】 【分析】详解】因为数列的通项公式是， 所以，即数列是等差数列， 所以数列的前项和为， 因为，依然为等差数列， 所以的前项和为， 所以数列的前项和. 5．【新定义】（ 2026·湖北黄冈·模拟预测）若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列，已知数列为调和数列，且，则的最大值为____________. 【答案】 【详解】因为数列为调和数列，所以，故是等差数列， 由，得， 所以，又， 所以，当且仅当或时取得等号， 由于， 当且仅当时，取得最大值，为. 6．【新考法】（ 2026·河北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，k，，且，则的最小值为________．（参考公式：） 【答案】 【分析】详解】因为，所以， 设等差数列公差为，则，即得，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，即得，， 枚举所有满足条件的因数对， 且，又因为是单调递增函数且，， 所以当时，， 所以的最小值为. 7．【新考法】（ 2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． (1)证明：，，三项成等差数列； (2)证明：对任意整数，均有； (3)数列是否为等差数列?并说明理由． 【答案】(1)证明： 由题意得 ， 对任意，，且前项和 要证成等差数列，只需证， 当时，代入递推式得， 又，， 代入得： ，化简得， 两边同乘3得，整理得， 因为， 所以，故成等差数列，证毕.； (2)证明： 因为数列，对任意，令 所以，对任意，，，， 所以，前项和， 所以①， 因为，对任意，②， 将②代入①得：， 移项化简得，证毕.； (3)数列是等差数列，理由如下： 由（2）的结论，对任意整数，均有， 令（），得， 因为， 所以， 验证时也成立， 所以，对所有， ， 当时， ， 两式相减得： ， 展开整理得， 令，代入上式得（）， 可变形为， 又因为当时，，即 所以数列在时为常数列，即， 所以时，，其中为常数，（显然时也成立）， 所以，，即是首项为1，公差为的等差数列. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．（ 2026·云南昆明·模拟预测）已知正项数列的前项积为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，求使成立的最小正整数. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 解得或（舍去）， 所以， 当时，，，所以， 即，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 则； （2）由题意，的前项和，要使成立， 即， 在时单调递增， 时，， 时，， 所以的最小正整数为13. 9．（ 2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)若时，恒成立，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3)11 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得，， 当时，， 当时， ， 故． （3）因为，, 所以， 整理得，解得或， 因为，，所以正整数的最小值为． 真题·实战演练 高频考点：等差基本量运算、等差性质运用、前 n 项和计算、绝对值求和、最值与恒成立、等差证明、跨等比综合、实际文化应用题；近三年选择填空为主，兼顾简答证明，侧重基础运算，融合参数范围、跨数列综合热点。 1．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________． 【答案】 【详解】因为，则， 可知数列为等差数列， 则，解得， 所以c的取值范围为. 故答案为：. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 3．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 4．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 【答案】 【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出， 且，是单调递增的，所以必须满足， 所以，所以. 5．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 【答案】 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 7．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明：由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $