专题6.3 等差数列及其前n项和（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义围绕等差数列核心考点，涵盖概念、通项公式、前n项和及性质，按“概念-运算-判定-应用”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破解题难点。 讲义特色在于分层题型设计与数学文化融入，采用“性质探究-多法对比”策略（如前n项和最值的邻项变号法与二次函数法对比），培养学生数学思维与应用意识。设置基础到综合练习，配合即时反馈，高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

专题6.3 等差数列及其前n项和（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解等差数列的概念和通项公式的意义 (2)探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系 (3)能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 (4)体会等差数列与一元函数的关系 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 等差数列及其前n项和 新高考I卷：第19题，17分 新高考Ⅱ卷：第12题，5分 全国甲卷（理数）：第4题，5分 全国一卷：第16题（1），7分 全国二卷：第7题，5分 全国一卷：第7题，5分 全国二卷：第12题，5分 命题规律分析 1、等差数列及其前n项和 数列是高考的重点、热点内容，其中等差数列属于高考的必考内容之一。从近三年的高考情况来看，等差数列的考查整体稳定，题型、难度及其考查频率都较为稳定，一般每年必考1题。 从近三年的考情规律来看，选择题、填空题中多单独命题，主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的通项公式与前n项和等，难度较易；在解答题中主要考查等差数列的证明、求和及综合应用，多位于解答题的前几题中，命题侧重基础，或融入不等式、导数等知识，难度中等；有时会在压轴题中出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解。 考点1 等差数列及其前n项和 知识点1 等差数列的概念 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 知识点2 等差数列的基本运算的解题策略 1．等差数列的基本运算的两大求解思路： (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 知识点3 等差数列的判定的方法与结论 1．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. 2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论： (1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. (2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 知识点4 等差数列及其前n项和的性质及应用 1．项的性质： 在等差数列an中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. 2．和的性质： 在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)； (2)S2n-1=(2n-1)an； (3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列. 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【方法技巧与总结】 1．已知数列{an}的通项公式是an= pn+q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1>0， d<0，则Sn存在最大值；若a1<0， d>0，则Sn存在最小值. 3．等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d=0时，{an}是常数列. 4．数列{an}是等差数列( A, B为常数). 【题型1 等差数列的基本量计算】 【例1】（2026·海南海口·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（    ） A．6 B．3 C．-3 D．-4 【答案】B 【解题思路】设等差数列的公差为，根据求和公式和通项公式代入求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， ， 所以， 即， 整理得：， 解得， 故选：B. 【变式1-1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，联立关于首项和公差的方程求解即可. 【解答过程】设等差数列的首项为，公差为，. 根据等差数列通项公式得，变形为 ①； 根据等差数列前项和公式得： ，化简得 ②； 将①代入②得：，解得. 故选：B. 【变式1-2】（2026·四川遂宁·二模）已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的项与和的基本量运算列式，求出数列的首项和公差，即可求得. 【解答过程】设等差数列的公差为, 则，即， 又，即， 则由解得， 则. 故选：B. 【变式1-3】（2026·福建厦门·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则的公差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据题意，解方程即可得答案. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得 所以的公差为1. 故选：B. 【题型2 等差数列的判定与证明】 【例2】（2026·山东菏泽·一模）已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据充分必要条件的判断方法,分充分性和必要性,分别判断. 【解答过程】充分性：若对，，都有， 则令,得,即，因为为常数,所以数列为等差数列; 必要性:等差数列不一定满足,,, 例如:当等差数列通项公式为时,,, 此时,所以,,”是“数列为等差数列的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】分别根据充分性、必要性的概念及等差数列的性质定义判断即可. 【解答过程】必要性：若为等差数列，设其公差为，则， 故存在，使得，故满足必要性； 充分性：若存在，使得， 则，两式相减可得， 所以可知数列中的奇数项，偶数项分别成等差数列，但数列不一定是等差数列， 如时，数列，故不满足充分性. 所以“存在，使得”是“为等差数列”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式2-2】（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用等差数列的定义即可得证； （2）利用裂项相消法即可求解. 【解答过程】（1）由，所以， 所以， 所以数列是以为公差，首项为的等差数列； （2）由（1）有，所以， 所以， 所以. 【变式2-3】（2026·安徽淮南·二模）已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1). (2). 【解题思路】（1）将已知等式整理为关于相邻两项差的方程, 再结合数列递增确定公差, 从而求出通项公式. （2）由（1）得出通项后, 写出所求数列的通项, 再将其裂项, 利用裂项相消求和. 【解答过程】（1）由题意, 有. 移项整理, 得. 所以. 因为数列 为递增数列, 所以. 故. 所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 从而. （2）由(1)知,所以. 于是. 又因为, 所以. 故. 从而 . . 【题型3 等差数列的性质及应用】 【例3】（2026·新疆喀什·三模）已知等差数列满足，，则（    ） A．1 B． C．4 D．8 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的性质有即可求解. 【解答过程】因为数列为等差数列，且，， 所以，，解得，，所以． 故选：C． 【变式3-1】（2026·浙江温州·一模）已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的项的性质计算即可. 【解答过程】在等差数列中，由于，故，所以. 故选：D. 【变式3-2】（2026·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【解答过程】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 【变式3-3】（2026·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 【答案】B 【解题思路】由等差数列的性质求出，再利用等差数列的通项公式计算即可求解. 【解答过程】已知是等差数列， ， 由等差数列的性质可得，. 因此，， 又因为，， 所以. 故选：B. 【题型4 等差数列的通项公式】 【例4】（2026·北京通州·一模）已知等差数列满足：，且，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【解题思路】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解. 【解答过程】设公差为， 由，， 得，解得， 所以， 所以. 故选：D. 【变式4-1】（2026·辽宁·二模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知等式变形得出，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式. 【解答过程】因为，，可得出，，， 以此类推可知，对任意的，， 且， 所以，或（舍）， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 故，故. 故选：C. 【变式4-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求的通项公式． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等差数列的首项为，公差为，列出关于和的方程组，解方程组得到和，再代入等差数列通项公式得到的通项； （2）由，利用累加法，将时的，代入得，再验证时是否满足所得表达式，最终得到的通项. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可得： 解得，， 所以数列的通项公式． （2）由可得： ， ， … ， 通过累加可得， 又，所以， 当时，符合，故． 【变式4-3】（2026·陕西西安·三模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以的通项公式为； （2）因为， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以． 【题型5 等差数列前n项和的性质】 【例5】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，利用等差数列的性质得，再结合条件，即可求解. 【解答过程】因为是等差数列， 所以，又， 所以， 故选：C. 【变式5-1】（2026·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的片段和性质即可得解. 【解答过程】因为是等差数列，所以成等差数列， 又，所以成等差数列， 则，则. 故选：A. 【变式5-2】（2026·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【解答过程】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． 【变式5-3】（2026·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，可设，，利用即可求解. 【解答过程】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以. 故选：D. 【题型6 等差数列的前n项和的最值】 【例6】（2026·河北衡水·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（    ） A．16 B．18 C．23 D．25 【答案】D 【解题思路】设出公差，根据通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式，当时，，当时，，从而确定当时，取得最大值，求出答案. 【解答过程】设公差为，则，， 解得，所以， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 【变式6-1】（2026·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的性质化简，得到，结合，判断公差，得到即可判断. 【解答过程】由可得，由等差数列的性质可得：， 因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列， 故，即取最小值时，的值为14. 故选：C. 【变式6-2】（2026·江西·模拟预测）记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（   ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】B 【解题思路】由等差数列求和公式得，根据题意列出不等式即可求解. 【解答过程】由已知可得， 的公差为，故， 故， 令，又，所以，故n的最大值为41， 验证，， 所以n的最大值为41. 故选：B. 【变式6-3】（2026·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的通项公式和性质求得，再利用等差数列求和公式和二次函数即可求出其最值. 【解答过程】假设等差数列的公差为，由得, 所以，所以，故， 则 则． 故选：C． 【题型7 等差数列的实际应用及数学文化】 【例7】（2026·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值. 【解答过程】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列， 设数列、、、、的公差为， 则，解得，故. 故选：C. 【变式7-1】（2026·江苏无锡·三模）某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（    ）TFLOPS. A．29 B．32 C．35 D．38 【答案】C 【解题思路】前10秒每秒算力构成等差数列，利用已知的第3秒算力和前6秒总算力列方程求解首项与公差，再计算第10秒的算力即为最大算力。 【解答过程】由题意知，前10秒每秒的算力构成等差数列， 设等差数列的公差为，首项为，且最大算力为，10秒后算力保持不变. 则，， 联立解得，. 所以最大算力，单位为TFLOPS. 故选：C. 【变式7-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【答案】B 【解题思路】根据题意将每排摆放花的盆数理解为等差数列，然后根据等差数列前项和进行求解即可. 【解答过程】记每排摆放的花盆数为，数列的前项和为. 由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故将该花坛铺满一共需要盆花. 故选：B. 【变式7-3】（2026·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解题思路】令所给等差数列为，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解. 【解答过程】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B. 【题型8 等差数列的奇偶项问题】 【例8】（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（   ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【解题思路】由题中条件及等差数列的性质可得：，两式相减即可求解. 【解答过程】由题中条件及等差数列的性质可知：， 所以. 故选：C. 【变式8-1】（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【答案】A 【解题思路】根据题意得，进而得. 【解答过程】解:因为等差数列中，，， 所以， 即， 所以. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差___________． 【答案】 【解题思路】根据等差数列偶数项和与奇数项和的差即可求解. 【解答过程】由题意，①， ②， ②①可得，，即， 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高二上·天津·阶段检测）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则___________． 【答案】10 【解题思路】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可. 【解答过程】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和 ①， 偶数项和 ②， 由①②，得，代入②式，可得，解得. 故答案为：10. 【题型9 含绝对值的等差数列问题】 【例9】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（    ） A．80 B．208 C．680 D．780 【答案】B 【解题思路】根据题意求出等差数列的首项，可得到通项公式以及前项和，再根据通项公式判断出前20项中，前8项为负数，后12项为正数，故所求数列的前20项之和为，代入计算即可得到答案. 【解答过程】因为，即，解得， 所以，前项和， 所以数列的前20项中，前8项为负数，后12项为正数， 所以 . 故选：B． 【变式9-1】（2026·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出等差数列的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出. 【解答过程】等差数列中，由，，得公差， 则，显然当时，，当时，， 所以 . 故选：C. 【变式9-2】（2026·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合已知条件，由等差数列通项公式求得公差即可求解； （2）结合（1）得到，再分和两种情况即可． 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d， 因为，所以． 又因为，则， 所以数列的通项公式． （2）由（1）知，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，. 【变式9-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【解题思路】（1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出即可得解； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析的最值； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【解答过程】（1）证明：因为，所以，即， 所以，又， 所以是以为首项，3为公差的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 令，解得， 可知当时，；当时，， 所以的最小值为. （3）因为，，， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， ， 所以. 【题型10 等差数列中的恒成立问题】 【例10】（25-26高二下·广西·阶段检测）等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意首先求得公差，进一步得，将原不等式等价转换为即可进一步求解. 【解答过程】由题意，所以， 从而， 所以不等式，对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 由对勾函数性质可知，当或5时，不等号右端取最小值， 当时，，当时，， 综上所述，，从而实数k的取值范围为. 故选：A. 【变式10-1】（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】根据与的关系及等差数列的定义可得，是以为首项，2为公差的等差数列，然后利用等差数列求和公式求得，然后分离参数得，根据恒成立求解即可. 【解答过程】由①，得②， ①-②得， 整理得，所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，整理可得， 又因为，所以，即整数的最大值是5. 故选：B. 【变式10-2】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前项和，已知，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由与的关系，代入计算，结合等差数列的通项公式，即可得到结果； （2）分为奇数与偶数讨论，由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）令，可得，故，所以， ， 所以， 所以，因为，所以， 数列是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为. （2）由（1）得，， 所以， 当为偶时，， ， 当为偶数时，， 所以， 因为对于任意恒成立， 当为奇数时，又 当时，取最小值，最小值为， 所以， 当为偶数时， 当时，取最小值，最小值为， 所以， 综上可得的取值范围. 【变式10-3】（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，利用及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出及并裂项，再按分奇偶求出，进而求出的最小值即可. 【解答过程】（1）证明：在正项数列中，， 则， 所以是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项，公差，则，， ，于是，而满足上式， 因此，， 则， ， 显然，且数列单调递增，， 因此，又不等式对任意正整数n恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 一、单选题 1．（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用已知条件建立关于首项和公差的方程组求解. 【解答过程】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 故选：D. 2．（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【解题思路】先利用等差数列通项性质求得的值，再结合等差数列前项和公式及性质计算. 【解答过程】设等差数列的公差为， 则， . 故选：B. 3．（2026·北京·三模）已知数列，都是等差数列，，，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】C 【解题思路】利用两个等差数列的和仍为等差数列的性质，结合等差数列通项公式计算所求值. 【解答过程】因为、均为等差数列，根据等差数列的性质，可得数列也为等差数列， 设其公差为，，由题意可知，该数列首项，第三项， 根据等差数列通项公式有 ， 即，解得， 因此. 故选：C. 4．（2026·福建·三模）已知数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，利用等差数列的通项公式求出，进而可得，利用裂项相消法，即可求解. 【解答过程】因为数列是首项为，公差为的等差数列，则， 得到，则， 所以数列的前项和为. 故选：A. 5．（2026·江苏南京·模拟预测）在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 【答案】C 【解题思路】由题意可得是以-10为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果. 【解答过程】在等差数列中，，其前项和为，则是首项为-10的等差数列， 设其公差为，因为，所以 ， 所以 ， ， 即. 故选：C. 6．（2026·山西忻州·模拟预测）某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的定义及通项公式求解即可. 【解答过程】由题意，是首项为2、公差为3的等差数列， 所以． 于是． 即． 所以. 故选：D. 7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用等差数列通项公式与前项和公式列方程组求解首项和公差，再通过判断项的正负确定取最小值时的. 【解答过程】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 故选：C. 8．（2026·天津滨海新区·三模）设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据等差数列的通项公式求出的通项，得到与的递推关系，再利用推导数列的通项公式，最后逐一验证各选项即可. 【解答过程】∵ ，∴ ，可得的首项为. 又∵ 是公差为的等差数列， ∴ ，即 ①. 当时， ②. ①-②得，， 移项整理得，即. ∴ 当时，. 当时，满足上式，故. 对各选项逐一判断： 对于A选项，，故A错误. 对于B选项，由等差数列前项和公式得，而，显然，故B错误. 对于C选项，，故C正确. 对于D选项，∵ ， ∴，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（2026·山东聊城·二模）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．为递增数列 D．是等差数列 【答案】ACD 【解题思路】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，得到数列的通项公式和前项和，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】设等差数列的首项为，公差为， 因为，可得 ，即，解得， 所以，且， 对于A，由，可得，所以A正确； 对于B，由，可得，所以B不正确； 对于C，由，所以，即， 所以数列为递增数列，所以C正确； 对于D，由，可得，则， 所以数列是等差数列，所以D正确. 故选：ACD. 10．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）记等差数列的前项和为，已知，，则（   ） A． B． C． D． 的最小值为 【答案】BCD 【解题思路】设等差数列的公差为，根据所给条件求出、，即可判断A，求出，再求，即可判断B，表示出，列出其前几项，即可判断C，结合二次函数性质求的最小值，即可判断D. 【解答过程】对于A：设等差数列的公差为，由，， 则，解得，所以，故A错误； 对于B：，所以，故B正确； 对于C：，则，，，，，， 当且时，， 得到，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以当时，取最小值， 且最小值为，故D正确. 故选：BCD. 11．（2026·江苏常州·三模）设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 【答案】BCD 【解题思路】利用等差数列的求和公式，结合题意，化简得到，得到数列为递增数列，再由，求得且，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】因为为等差数列的前项和，可得， 又因为，可得， 即，可得，所以数列为递增数列， 因为，且数列为递增数列，可得且， 由， 对于A，因为数列为递增数列，所以无最大值，所以A不正确； 对于B，由，可得时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2026·安徽滁州·三模）记为等差数列的前项和，若，，则___________． 【答案】10 【解题思路】首先求首项和公差，再代入求和公式. 【解答过程】设等差数列的公差为，首项为， 则，解得：，， 所以. 故答案为：. 13．（2026·西藏昌都·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则___________． 【答案】 【解题思路】先由推导得，再结合和等差数列的性质计算的值. 【解答过程】已知，解得. 因为，所以，解得. 已知，则. 因为，则，解得. 故答案为：. 14．（2026·宁夏银川·模拟预测）在等差数列中，已知，，，则的前项和为___________． 【答案】26 【解题思路】根据等差数列性质求出，以及确定m，进而根据求和公式求出前4项和即可 【解答过程】设的公差为，则，解得， 又，所以， 所以，解得， 所以的前项和为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·云南·模拟预测）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列前项和； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)（）． 【解题思路】（1）根据等差数列的性质，求出公差，进而求出通项公式，再利用等差数列前项和公式求解即可； （2）由已知条件易得，由累加法结合等比数列前项和公式求出通项公式. 【解答过程】（1）解：（1）由为等差数列，，则，解得， 又，所以， 因此，即， 所以，数列的前项和为； （2）由（1）知，又，所以， 则当时， ， 当时，，也符合， 即（）． 16．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由数列是等差数列，求得数列的通项公式，从而求得，再由与的关系求得，即数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，对裂项，并讨论的奇偶，可得数列的前项和． 【解答过程】（1）由题意知，所以 当时，， 作差得， 所以，即； 当时，，符合上式. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， . 17．（2026·海南三亚·一模）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用已知条件列出方程组，求出，即可得出结果； （2）由（1）可得，通过裂项，根据求和计算即证得结果. 【解答过程】（1）设等差数列首项为，公差，由，成等比数列， 可得：，由，解得：， 所以的通项公式为. （2）证明：因为， ： 所以. 所以 因为为正整数，，所以， 因此：. 18．（2026·山东济南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，联立已知条件，，求出首项和公差，进而写出通项公式； （2）先由求出前项和，再将数列通项裂项为，通过裂项相消求出的表达式，最后解不等式，得到的最小值． 【解答过程】（1）设等差数列的首项为，公差为， 因为，， 所以，解得，， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 化简得， 又，解得， 所以的最小值为． 19．（2026·天津河西·三模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列满足，求数列的最大项和最小项． 【答案】(1)；． (2) (3)最大项为，最小项为． 【解题思路】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解； （2）前项和可以分为奇数项之和与偶数项之和．求出奇数项，利用错位相减法求出，求出偶数项，利用裂项相消法求出，从而得到. （3）求出，由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨．①记偶数项为．计算，得到偶数项子数列是严格递减数列．则在所有偶数项中最大值为；②记奇数项为，判断奇数项子数列单调性，从而得到所有奇数项中的最小值为；进而即得． 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由题意得方程组：， 得：即， 因为，解得，此时． 所以；． （2）前项和可以分为奇数项之和与偶数项之和． 因为奇数项． ， ， ， ， 所以．            偶数项 ． ， ， ． 所以 . （3）， 由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨． ①记偶数项为． ． 因为，所以． 故，即偶数项子数列是严格递减数列． 因此，在所有偶数项中，最大值为．        ②记奇数项为． ． 当时，，所以，即． 当时，，所以， 即从第三项起，奇数项子数列严格递增，有 因此，在所有奇数项中，最小值为．         因为所有偶数项为正，所有奇数项为负， 所以数列最大项为，最小项为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 等差数列及其前n项和（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解等差数列的概念和通项公式的意义 (2)探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系 (3)能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 (4)体会等差数列与一元函数的关系 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 等差数列及其前n项和 新高考I卷：第19题，17分 新高考Ⅱ卷：第12题，5分 全国甲卷（理数）：第4题，5分 全国一卷：第16题（1），7分 全国二卷：第7题，5分 全国一卷：第7题，5分 全国二卷：第12题，5分 命题规律分析 1、等差数列及其前n项和 数列是高考的重点、热点内容，其中等差数列属于高考的必考内容之一。从近三年的高考情况来看，等差数列的考查整体稳定，题型、难度及其考查频率都较为稳定，一般每年必考1题。 从近三年的考情规律来看，选择题、填空题中多单独命题，主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的通项公式与前n项和等，难度较易；在解答题中主要考查等差数列的证明、求和及综合应用，多位于解答题的前几题中，命题侧重基础，或融入不等式、导数等知识，难度中等；有时会在压轴题中出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解。 考点1 等差数列及其前n项和 知识点1 等差数列的概念 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 知识点2 等差数列的基本运算的解题策略 1．等差数列的基本运算的两大求解思路： (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 知识点3 等差数列的判定的方法与结论 1．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. 2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论： (1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. (2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 知识点4 等差数列及其前n项和的性质及应用 1．项的性质： 在等差数列an中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. 2．和的性质： 在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)； (2)S2n-1=(2n-1)an； (3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列. 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【方法技巧与总结】 1．已知数列{an}的通项公式是an= pn+q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1>0， d<0，则Sn存在最大值；若a1<0， d>0，则Sn存在最小值. 3．等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d=0时，{an}是常数列. 4．数列{an}是等差数列( A, B为常数). 【题型1 等差数列的基本量计算】 【例1】（2026·海南海口·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（    ） A．6 B．3 C．-3 D．-4 【变式1-1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2026·四川遂宁·二模）已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·福建厦门·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则的公差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2 等差数列的判定与证明】 【例2】（2026·山东菏泽·一模）已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【变式2-3】（2026·安徽淮南·二模）已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 【题型3 等差数列的性质及应用】 【例3】（2026·新疆喀什·三模）已知等差数列满足，，则（    ） A．1 B． C．4 D．8 【变式3-1】（2026·浙江温州·一模）已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-2】（2026·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式3-3】（2026·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 【题型4 等差数列的通项公式】 【例4】（2026·北京通州·一模）已知等差数列满足：，且，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【变式4-1】（2026·辽宁·二模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求的通项公式． 【变式4-3】（2026·陕西西安·三模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【题型5 等差数列前n项和的性质】 【例5】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 【变式5-2】（2026·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式5-3】（2026·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型6 等差数列的前n项和的最值】 【例6】（2026·河北衡水·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（    ） A．16 B．18 C．23 D．25 【变式6-1】（2026·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 【变式6-2】（2026·江西·模拟预测）记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（   ） A．40 B．41 C．42 D．43 【变式6-3】（2026·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型7 等差数列的实际应用及数学文化】 【例7】（2026·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·江苏无锡·三模）某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（    ）TFLOPS. A．29 B．32 C．35 D．38 【变式7-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【变式7-3】（2026·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【题型8 等差数列的奇偶项问题】 【例8】（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（   ） A．31 B．30 C．29 D．28 【变式8-1】（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【变式8-2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差___________． 【变式8-3】（25-26高二上·天津·阶段检测）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则___________． 【题型9 含绝对值的等差数列问题】 【例9】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（    ） A．80 B．208 C．680 D．780 【变式9-1】（2026·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 【变式9-2】（2026·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 【变式9-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 【题型10 等差数列中的恒成立问题】 【例10】（25-26高二下·广西·阶段检测）等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式10-2】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前项和，已知，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式10-3】（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 3．（2026·北京·三模）已知数列，都是等差数列，，，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 4．（2026·福建·三模）已知数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏南京·模拟预测）在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 6．（2026·山西忻州·模拟预测）某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津滨海新区·三模）设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·山东聊城·二模）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．为递增数列 D．是等差数列 10．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）记等差数列的前项和为，已知，，则（   ） A． B． C． D． 的最小值为 11．（2026·江苏常州·三模）设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 三、填空题 12．（2026·安徽滁州·三模）记为等差数列的前项和，若，，则___________． 13．（2026·西藏昌都·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则___________． 14．（2026·宁夏银川·模拟预测）在等差数列中，已知，，，则的前项和为___________． 四、解答题 15．（2026·云南·模拟预测）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列前项和； (2)求数列的通项公式． 16．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 17．（2026·海南三亚·一模）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 18．（2026·山东济南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 19．（2026·天津河西·三模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设数列满足，求数列的最大项和最小项． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $