重难点专题04 一元二次不等式恒成立、有解问题（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次不等式恒成立与有解问题，构建“概念-原理-方法-变式”四层体系，渗透抽象能力与推理意识，实现专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数范围恒成立|3+3变式|开口与判别式判断，先定二次型|从二次函数图象切入，建立“函数-不等式-解集”关联| |含量词恒成立|3+4变式|量词转化为恒成立，结合二次图象列式|通过逻辑联结词深化恒成立本质，培养推理能力| |区间恒成立|8+7变式|参变分离求最值、分类讨论定区间最值|从全域到局部，体现“转化-化归”思想，发展模型意识| |二次有解问题|6+5变式|有解⇔最值关系，参变分离与整体最值|与恒成立形成对立统一，完善不等式求解逻辑链|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点04一元二次不等式恒成立、有解问题 100 题型概览 元二次不等式恒成立 重难点一在R上恒成立、 解集为R 实数范围内的二次恒成立问题 重难点二含量词的二次恒成立 重难点一参变分离求最值 区间上的的二次恒成立问题 重难点二分类讨论求整体最值 、有解问 重难点一实数范围内的二次有解问题 次有解问题 重难点二区间上的二次有解问题 重点强化 【实数范围内的二次恒成立问题】 【重难点一一元二次在R上恒成立、解集为R】 ©啸方法 实数范围内的二次恒成立问题 1题目描述方式： ①不等式ar2+br+c>0对一切实数都成立（恒成立） ②不等式ar2+br+c>0的解集为R(或⑦) 2.原理：一元二次不等式对应的二次函数，其图象全在x轴的上方（或下方） 3.解题思路：结合二次函数的图象，从开口和判别式△两方面去判断 【注意】先判断是否是二次，若不一定是二次，要进行讨论 C2人×+心-0对一切实数x都成立，则k的取值范 第1页 A.0,3 B.l0,3 c.-3,0 D.-3,0 【变式】设函数fx=aX+2-ax+a-1la∈Rr若不等式fx≥-1对任意实数x恒成立，求。 的取值范围 2.已知函数fx=aX+a-3引x+b当b=1时，若不等式fx>0的解集为R求实数。的取值范围 【变式】若关于x的不等式m2-4X-m-2x-1<0的解集为R:则实数m的取值范围为（ 2, B. 0, 6 U2,+o c._6 2 (-2 D. 第2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.若关于X的不等式2aX+ax-日≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是() 8 A.-3,0 B.-3,0 C.(-0,-31u0,+∞D.-o,-3luj0,+∞ 【变式】若关于x的不等式a+1X+a+1x-1≥0的解集为@：求实数。的取值范围 【重难点二含量词的一元二次恒成立问题】 第3页 ©煤方法 含量词的一元二次不等式恒成立问题 1.题目描述方式： ①r∈R,am2+br+c>0为真命题 ②3r∈R,ar2+hr+c>0为假命题 2.原理：“任意为真”，“存在为假”，都转化为恒成立问题 3.解题思路：根据量词特征，转化为二次不等式在实数范围内的恒成立问题，结合二次函数图象进 行判断列式 4.已知“vx∈R'X-2X+a>0”是真命恩，则实数a的取值范围是() A.-00,1 B.-∞，1 C.(1,+0o D.1,+oo) 【变式】已知命题“Vx∈R,mx+mx+5>0”为真命题，则实数m的取值范围是 第4页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(多选)若命题“x∈R,X+mX-m<0”是假命题，则m的值可以是（） A.0 B.-1 C.2 D.4 【变式】若命“3X∈R:使得mX-2mx-2≥0”是假命愿，则实数m的取值范国是（） A.[-2,0 B.（-2,0] c.[-2,0] D.（-2,0) 6.命题“x∈R,使4x2+a-2x+≤0”是假命题的必要不充分条件是() A.{al0<a<1B.{al0≤a≤4l c.{ala≥4l D.(alo<a<4) 第5页 【变式】使命题“X∈R'mX-mX+3≤0”是假命题的一个充分不必要条件是(） A.m∈0,12 B.m∈0,12 C.m∈1,12 D.m∈1,12 重点强化 【区间上的二次恒成立问题】 【重难点一参变分离求最值】 方法 区间上的二次恒成立问题解题方法（一）：参变分离求最值 1区间上的二次恒成立问题，根本是转化为求该区间上的最值。 常用两种思路：参变分离求最值、分类讨论求整体最值 2参变分离求最值，原理 a≥f()在区间D上恒成立分a之f()max a≤f(x)在区间D上恒成立sa≤f(x)mim 3.解题思路、步骤： ①分离参数，将参数移至不等式的一侧 ②求另一侧函数在区间上的最值：初等函数、复合函数 第6页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③根据恒成立关系，得出参数与最值的大小关系 【注意】 1.能否分离参数，关键是看与参数相乘部分的符号是否确定 2.区间的开闭对最值的影响 7.若命题p:“Vx∈-1,2，m≤x2+1”为假命题，实数m的取值范围为 【变式1】使得vx∈山，2'X+X-as0为真命题的一个必要不充分条件是(） A.a≤2 B.a≤6 C.a22 D.a≥26 【变式2】命题“Vx∈Xx-3x+2<0X-m≤0”为真命题的充要条件是(） A.m≥4 B.m>4 C.m≤4 D.m<4 第7页 8.不等式X2+mx+15≥0对任意x∈3,5恒成立，则m的最小值是（) A.-V15 B.-215 c.V15 D.2V15 【变式】若关于x的不等式x-m-2x+4≥0在区间1,3上恒成立，则实数m的最大值为（） A.6 B.2V5 C.2+2V5 D.8 9.已知关于x的不等式aX-1小>2x+2该不等式对于x3恒成立，求。的取值范围 第8页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】若对于Vx∈[1,3]，mx2-mx-6+m<0恒成立，求实数m的取值范围 10.已知关于x的不等式a-1X-2bx-2<0的解集为(x-1<x<2}: (1)求实数a,b的值： ②)若对任意实数x∈1,2？amX2+m-ax-1≥mx恒成立，求实数m的取值范围. 1.已知函数r(x)=X-mx+m-1对于vx∈[2,6不等式f(x)上-X-X-4恒成立，求m的 取值范围 第9页 【变式】已知函数fx=2x2-4m+3x+6m,m∈R若x∈l0,1时：fx≤-3x+10m-1恒 成立，求实数m的取值范围 12如X于x本等式ax+a-1x-1>0vxe合3ax-10x+1≥2a+1x-a成 立，求实数a的取值范围 第10页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】设函数f(x)=aX+1-ax+a-2a∈R若不等式f(x)≥2x-3对-切实数x>1恒成 立，求a的取值范围 13.已知函数fx=m+1X-m-1x+m-1i记不等式fx上0的解集为A:若-，cA求 22 实m的取值范围 第11页 【重难点二分类讨论求整体最值】 啸方法 区间上的二次恒成立问题解题方法（二）：分类讨论求整体最值 适用情况：当没法参变分离或参变分离较为复杂时，可以考虑函数整体最值 2.解题思路： ①移项变形，一侧变为0，确定另一侧二次函数的开口、对称轴 ②求二次函数在区间上的最值：判断区间与对称轴的关系，确定最值在顶点处，还是端点处 ③根据恒成立关系，得出参数与最值的大小关系 14.已知函数fx=2x2-3a+2x+a2+a若对任意的x∈1,2不等式fxs0恒成立，求。的 取值范围 第12页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】已知不等式x+ax+a2-1≥0恒成立，则a的取值范围为（） .23 U1,+oo D. 1 15.若关于x的不等式16kx2-8kx-3<0在-1,1上恒成立，则实数k的取值范围是 第13页 【变式】“3x∈1,2l,aX-3ax+a<2”是假命题，则实数。的取值范围为（） A-0,8 ）B.-2,+0 D.-o,-2 16.已知二次函数fx=aX2-2x+a若对于任意x∈la,2a:都有fx≥0成立，则实数a的取值 范围是 第14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重点强化 【二次有解问题】 【重难点一实数范围内二次有解问题】 啸方法 实数范围内的二次有解问题 1题目描述方式： ①不等式ax2+br+c>0有解 ②不等式ar2+br+c>0的解集不为 ③3x∈R,axr2+br+c>0为真命题 @x∈R,ar2+br+c>0为假命题 2.原理：一元二次不等式对应的二次函数，有图象在x轴的上方（或下方） 3.解题思路：结合二次函数的图象，从开口和判别式△两方面去判断 【注意】先判断是否是二次，若不一定是二次，要进行讨论 17.若关于x的不等式X2-2x+a-1≤0有解，则实数。的最大值为（） A.5 B.4 C.3 D.2 【变式】（多选）存在x使得不等式mX-2mx+3≤0成立，则实数m的取值可以是(） A.0 B.-4 C.2 D.4 第15页 18.若命题“x∈R:使得X+2ox+2a+3<0”为真命思，则实数a的取值范围是（） A.ala<-1) B.{a-1≤a≤3 c.{aa<-1或a>3} D.all- 17 -≤a≤1+ 【变式1】若“VX∈R'aX+4x+a<-2X+1”是假命题，则实数。的取值范围是（） A.-3,-2 B.-3,+∞ C.-3,2 D.-00,2 【变式2】若vx∈R'mX+21m-3x+4>0的否定为真命愿，则实数m的取值范围为(） A.1,9 B.-o,0 C.-o,1U9,+∞D. -0,1U9,+o 第16页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【重难点二区间上的二次有解问题】 啸方法 区间上的二次有解问题 1·区间上的二次有解问题，根本是转化为求该区间上的最值。 常用两种思路：参变分离求最值、分类讨论求整体最值 2参变分离解决有解问题 a≥f(y)在区间D上有解aa≥f(x)min a≤f(x)在区间D上有解台a≤fr)max 3.分类讨论求整体最值 移项变形后，转化求二次函数在区间上的最值，结合图象，从开口、对称轴、端点值进行圈定 19.命题“Vx∈-1,1，X-2x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件是() A.a>-2 B.a>-1 C.a≥-2 D.a≥-1 第17页 20.设函数fx=X2-x+m若x∈1,2使不等式fx<x+m-2成立，求实数nm的取值范围. 21.已知xo是不等式mx-2x+3≤0的一个解.若xo>1,则实数m的取值范围是 2.(多选)当1≤x≤4时，关于x的不等式X-mx-m+15<0有解的必要不充分条件可以是（ ) A.m∈0，+oB.m∈l6,+o C.m∈l8,+o D 3 m∈ 5,+00 第18页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.已知关于x的不等式ax2-2x+4a<0在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是() AB经+Cp-0,u2+m 【变式】已知函数fx=m+1X2-m-1x+m-1:若存在x∈0,2：使得不等式fx≤X+2x 成立，求实数m的取值范围」 第19页 (整体最值) 24.已知命题 :Vx≥-1，x+4-ax+13-2a≥0若命题p为假命题，则实数的取值范围是 () A.6,+0 B.10,+∞ c.6,10 ◇ -0,6U10,+∞ 第20页 重难点04 一元二次不等式恒成立、有解问题 【实数范围内的二次恒成立问题】 【重难点一 一元二次在R上恒成立、解集为R】 实数范围内的二次恒成立问题 1.题目描述方式： ①不等式对一切实数都成立（恒成立） ②不等式的解集为R （或） 2.原理：一元二次不等式对应的二次函数，其图象全在x轴的上方（或下方） 3.解题思路：结合二次函数的图象，从开口和判别式△两方面去判断 【注意】先判断是否是二次，若不一定是二次，要进行讨论 1．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 【变式】设函数．若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】问题等价于恒成立，然后分，两种情况可得答案. 【详解】由对任意实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即， 解得，所以的取值范围是． 2．已知函数.当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围 ； 【答案】(1) 【分析】（1）将代入，分情况讨论即可； 【详解】（1）当时，，不等式的解集为， 当时，，这是一次函数，解集不可能为，舍去； 当时，二次函数开口向下，的解集不可能为，舍去； 当时，需要满足， 展开并整理：， 因式分解：，解得， 所以实数的取值范围是。 【变式】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 3．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 【变式】若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围 ； 【答案】（2） 【分析】分别按照和讨论求出实数的取值范围； 【详解】①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. 【重难点二 含量词的一元二次恒成立问题】 含量词的一元二次不等式恒成立问题 1. 题目描述方式： ①，为真命题 ②，为假命题 2. 原理：“任意为真”，“存在为假”，都转化为恒成立问题 3. 解题思路：根据量词特征，转化为二次不等式在实数范围内的恒成立问题，结合二次函数图象进行判断列式 4．已知“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为“，”是真命题， 所以 . 所以实数的取值范围是. 【变式】已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，对任意恒成立，需满足： ，解得， 综上可得． 5．（多选）若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】AB 【详解】由题意可知：命题“”是真命题， 则，解得， 结合选项可知AB正确，CD错误. 【变式】若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 6．命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据命题为假命题求出的范围，再根据选项和必要不充分条件的判断确定答案. 【详解】∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， ∴，∴. 即命题“，使”是假命题等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求. ∴选项B正确. 【变式】使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为不等式恒成立问题，对参数进行分类讨论求出充要条件，然后分析即可得出结论. 【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题， 即，不等式恒成立， 当时，则不等式化简为恒成立， 当时，不等式恒成立， 则等价于，解得， 综上所述命题“，”是真命题的充要条件是 即命题“，”是假命题的充要条件是， 若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集. 【区间上的二次恒成立问题】 【重难点一 参变分离求最值】 区间上的二次恒成立问题解题方法（一）：参变分离求最值 1.区间上的二次恒成立问题，根本是转化为求该区间上的最值。 常用两种思路：参变分离求最值、分类讨论求整体最值 2.参变分离求最值，原理 在区间D上恒成立⇔ 在区间D上恒成立⇔ 3. 解题思路、步骤： ①分离参数，将参数移至不等式的一侧 ②求另一侧函数在区间上的最值：初等函数、复合函数 ③根据恒成立关系，得出参数与最值的大小关系 【注意】 1.能否分离参数，关键是看与参数相乘部分的符号是否确定 2.区间的开闭对最值的影响 7．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围为______． 【答案】/ 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 【变式1】使得，为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究真命题的充要条件，再分析必要条件就是满足真包含的集合即可. 【详解】若，为真命题，则时，， 而，故当时，取到最大值6，故， 因此是所求必要不充分条件的范围的真子集， 故选项中只有满足条件， 故选：C 【变式2】命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求出范围，利用不等式恒成立求解. 【详解】由，解得，所以 而恒成立，即恒成立，所以． 故选： 8．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 【变式】若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 9．已知关于的不等式．该不等式对于恒成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】（利用分离参数法求解. 【详解】因为对恒成立， 所以， 又在上单调递减，所以， 所以的取值范围为. 【变式】若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】含参恒成立问题，通过，，可直接分离参数，转化为在上恒成立问题，即，计算即可. 【详解】要使 在上恒成立， 即 ，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 10．已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得 . 即所求的取值范围为. 11．已知函数,对于，不等式恒成立，求的取值范围 . 【答案】 【分析】法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 【变式】已知函数 .若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】（1）将代入函数的表达式，通过解具体的一元二次不等式求其解集 （2）先将不等式进行化简，然后通过分离参数法，将问题转化为求函数的最值问题，进而求出实数的取值范围。 【详解】由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则， 令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立， 则， 所以实数的取值范围是. 12．已知关于x不等式．，恒成立，求实数a的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 【变式】设函数．若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围 ； 【答案】 【分析】分离参数，再通过化简，利用基本不等式求取值范围. 【详解】（1）由函数，由对一切实数恒成立， 即对恒成立， 当时，，所以， ∵，∴， 当且仅当时，即时等号成立，∴． 13．已知函数.记不等式的解集为，若，求实的取值范围 . 【答案】 【分析】根据不等式恒成立的性质，对原不等式进行化简，进行参变分离，进而构造函数，根据基本不等式，求出函数最大值即可. 【详解】依题意，， 不等式，即， 而， 则原命题等价于，，即， 令，则， 由基本不等式可知，当且仅当，即时取等号， 即 ，因此当时，，则， 所以的取值范围为. 【重难点二 分类讨论求整体最值】 区间上的二次恒成立问题解题方法（二）：分类讨论求整体最值 1. 适用情况：当没法参变分离或参变分离较为复杂时，可以考虑函数整体最值 2. 解题思路： ①移项变形，一侧变为0，确定另一侧二次函数的开口、对称轴 ②求二次函数在区间上的最值：判断区间与对称轴的关系，确定最值在顶点处，还是端点处 ③根据恒成立关系，得出参数与最值的大小关系 14．已知函数．若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围 ． 【答案】 【详解】因为开口向上，在区间上的最大值必在端点处取得， 所以要使对于任意的恒成立，需满足， 即， 解不等式组得，所以 ， 即的取值范围为． 【变式】已知不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元后结合二次函数的性质分对称轴的位置讨论可得. 【详解】令， 则不等式变为在上恒成立， 设，对称轴， 当时，函数在上单调递增，最小值为或，所以； 当时，最小值在对称轴处取得，即，解得或，所以， 综上，a的取值范围为. 故选：C. （开口不定，定轴定区间） 15．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】分情况讨论和，结合二次函数单调性及函数值判断参数范围. 【详解】当时，不等式为，恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 因为函数的图象的对称轴为，且图象过点， 故当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 综上，的取值范围是． 故答案为：． 【变式】“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，可推得关于的不等式在上恒成立，对的取值分类讨论，结合二次函数的图象性质列出关于的不等式，求解即得. 【详解】依题意，命题“”的否定为“”是真命题， 即在上恒成立. 显然当时不合题意； 若时，设，其图象对称轴为直线， 当时，方程的根的判别式， 即抛物线与轴相交，此时，显然不合题意； 当时，需使，解得. 综上，可得实数的取值范围为. 故选：D. 16．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 【二次有解问题】 【重难点一 实数范围内二次有解问题】 实数范围内的二次有解问题 1.题目描述方式： ①不等式有解 ②不等式的解集不为 ③，为真命题 ④，为假命题 2.原理：一元二次不等式对应的二次函数，有图象在x轴的上方（或下方） 3.解题思路：结合二次函数的图象，从开口和判别式△两方面去判断 【注意】先判断是否是二次，若不一定是二次，要进行讨论 17．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 【变式】（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 18．若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 【变式1】若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知在R上能成立，分类讨论参数，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，为真命题， 所以在R上能成立， 当，即时，在R上能成立，满足要求， 当，即时，的图象开口向上，满足要求， 当，即时，只需，则， 所以，即， 综上，. 故选：B 【变式2】若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 【重难点二 区间上的二次有解问题】 区间上的二次有解问题 1.区间上的二次有解问题，根本是转化为求该区间上的最值。 常用两种思路：参变分离求最值、分类讨论求整体最值 2.参变分离解决有解问题 在区间D上有解⇔ 在区间D上有解⇔ 3.分类讨论求整体最值 移项变形后，转化求二次函数在区间上的最值，结合图象，从开口、对称轴、端点值进行圈定 19．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. （初等：双勾） 20．设函数.若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由分离参数，结合基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1），，. ，. 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式成立 即时，能成立. 所以大于的最小值 由基本不等式得 当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 21．已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合二次函数图象性质可得答案 【详解】令， 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在上单调递减，且当趋向于时，趋向于， 由函数连续性可知，必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在使得不等式成立，满足要求； 当时，抛物线开口向上，需满足以下条件，，解得， 此时对称轴为， 所以在上，函数最小值为，满足要求， 即当时，存在，使得， 综上，实数的取值范围为. 22．（多选）当时，关于的不等式有解的必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，转化为在上有解，即，利用换元法求得的最小值，得到的取值范围为，结合选项，即可求解. 【详解】当时，关于的不等式有解， 即在上有解，即， 令，可得，因为，则， 将代入，可得，其中， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以，即的取值范围为， 设满足题意的必要不充分条件构成集合，则满足，即为的真子集， 结合选项，可得AB项符合题意. 故选：AB. 23．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用分离参数法变形为，然后利用基本不等式求得函数的最值，即可求解. 【详解】由题可得， 又因为，当且仅当，即时取等号， 又因为不等式在上有解， 所以，故A正确． 故选：A. 【变式】已知函数．若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可． 【详解】不等式，即， ， 恒成立， ， 问题转化为：存在，使得成立， ， 设，令，则， （当且仅当，即时取等号）， ，当且仅当时取等号， 综上，的取值范围为． 24．已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得为真命题，令函数，讨论函数的对称轴，即可求得函数的最小值，建立不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴. ∴， 故选：A. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $