第一章 集合与常用逻辑用语（单元测试-冲刺卷）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语单元冲刺卷，150分120分钟，基础巩固与创新应用结合，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合交并补、命题否定、充分条件|第8题戴德金分割融入数学史，第5题运动会参赛人数结合现实情境| |填空题|3题15分|创新定义集合运算、子集表示|第14题“好集合”性质判断，考查抽象思维| |解答题|5题77分|集合关系、命题真假、性质探究|第18题性质证明、第19题排列距离，突出逻辑推理与综合应用|

第一章 集合与常用逻辑用语（冲刺卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 8．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. ①是一个戴德金分割； ②M没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 上述选项中，可能成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 10．全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 11．用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 13．设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 14．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16．（15分）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 17．（15分）已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 18．（17分）已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 19．（17分）已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，. (1)若（），写出集合； (2)若（），且（），求的最小值. (3)若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第1章 集合与常用逻辑用语（冲刺卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 8．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. ①是一个戴德金分割； ②M没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 上述选项中，可能成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 10．全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 11．用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 13．设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 14．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16．（15分）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 17．（15分）已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 18．（17分）已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 19．（17分）已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，. (1)若（），写出集合； (2)若（），且（），求的最小值. (3)若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合与常用逻辑用语（冲刺卷） 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A D B D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 010101 14．③④⑤ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为.------------------------7分 （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得.------------------------13分 16．(15分) 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为.------------------------4分 （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是.------------------------8分 （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或，------------------------12分 若、都是真命题，则，------------------------14分 所以若、至多有一个为真命题，则， 即实数的取值范围是.------------------------15分 17．(15分) 【详解】（1）当时，，又， .------------------------5分 （2）若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为；------------------------15分 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为.------------------------15分 18．(17分) 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质.------------------------6分 （2）因为集合 具有性质， 所以，且，-----------------------10分 所以 ，所以 或， 所以 .------------------------12分 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ，------------------------14分 且都满足： .------------------------15分 （3）略------------------------17分 19．(17分) 【详解】（1）.------------------------3分 （2）①当为偶数时：． 中含有个整数对，其中， 将所有这样的整数对交换位置变为组成， 此时每一个整数对中对应数字之差均为1，那么，则的最小值为；------------------------8分 ②当为奇数时： 假设，，不妨设， 则或3，若则，矛盾，以此类推，值，矛盾． 所以．------------------------12分 将中所有数字分成个整数组， 共中含有个整数对，个整数组． 将所有这样的整数对交换位置变为． 此时每一个整数对中对应数字之差均为1， 整数组中对应数字之差为1，1，2，因此， 则的最小值为．------------------------15分 （3）略------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（冲刺卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设及并集定义可得答案. 【详解】由并集定义可得： 3．已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题， 命题的否定命题． 4．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 5．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 6．设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况进行讨论分析，可得实数m的取值范围. 【详解】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或, 即. 故选：D. 7．若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 【答案】C 【分析】根据题意，得到，得到，再由，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合为型集合，则， 因为对任意，与至少有一个属于， 则，所以， 又因为，则， 根据集合元素的互异性，可得，所以. 故选：C. 8．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. ①是一个戴德金分割； ②M没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 上述选项中，可能成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项①，因为，，，故①错误； 对选项②，设，，满足戴德金分割，则中没有最大元素，有一个最小元素，故②正确； 对选项③，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，，故③错误； 对选项④，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最小元素，故④正确. 故选：. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 【答案】BC 【详解】对于A，因集合有且仅有2个子集，则集合中只有一个元素， 于是有或，即或，A不正确； 对于B，因为，则，即，所以，根据集合相等及互异性， 所以，解得或（舍），所以，B正确； 对于C，当时，；当时，或，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D， 故有6个元素 ， D不正确. 10．全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 11．用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BCD 【分析】根据已知得，且，根据判别式符号确定根的个数，结合求参数范围，即可得. 【详解】由或，则必有， 当，或时，， 当，时，， 当，时，， 由，则， 由，可得或， 所以或或. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 【答案】 【分析】根据定义得到，所以所有元素乘积为. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合中所有元素乘积为， 故答案为： 13．设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 【答案】010101 【分析】利用集合的新定义得出，再由集合的字符表示即可求解. 【详解】由，，得，则， 因此此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1，其余字符均为0， 所以表示的6位字符串是010101. 故答案为：010101 14．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【分析】根据题意，结合集合的新定义中性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 16．设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 17．已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【详解】（1）当时，，又， . （2）若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 18．已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： . （3）略 19．已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，. (1)若（），写出集合； (2)若（），且（），求的最小值. (3)若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数. 【详解】（1）. （2）①当为偶数时：． 中含有个整数对，其中， 将所有这样的整数对交换位置变为组成， 此时每一个整数对中对应数字之差均为1，那么，则的最小值为； ②当为奇数时： 假设，，不妨设， 则或3，若则，矛盾，以此类推，值，矛盾． 所以． 将中所有数字分成个整数组， 共中含有个整数对，个整数组． 将所有这样的整数对交换位置变为． 此时每一个整数对中对应数字之差均为1， 整数组中对应数字之差为1，1，2，因此， 则的最小值为． （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $