3.1 函数的概念及其表示 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的概念及其表示核心知识点，系统梳理从初中变量定义到高中集合对应定义的过渡，构建函数三要素（定义域、对应关系、值域）的认知框架，涵盖定义域求解规则、三种表示法、分段函数及区间表示等内容，形成递进式学习支架。 该资料通过概念辨析（如同一函数判断）和方法归类（定义域五规则、值域九方法）培养数学思维，以区间表示、分段函数求值训练数学语言，例题分层设计辅助课堂教学，易错点总结与课后练习助力学生课后查漏补缺，提升知识应用能力。

第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 一、学习目标 1. 掌握高中函数严格集合定义，彻底区分初中变量定义与高中对应关系定义； 2. 掌握函数三要素，会判断两个函数是否为同一函数； 3. 熟练掌握定义域求解全部题型，掌握区间表示法； 4. 认识分段函数，会分段求值、理解分段函数为一个函数。 二、知识点精讲 1. 函数定义 设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数。 记作：y = f(x)，x∈A。 2. 函数三要素 定义域：一个函数中，所有可以取到的自变量 x 的全部取值的集合，简单说就是 x 能取哪些数； 对应关系：给定一个定义域内的 x，按照固定规则算出唯一 y 的运算法则，是 x 和 y 之间的联系桥梁； 值域：把定义域里所有 x 全部代入对应关系计算，得到的所有 y 值的集合 判断两个函数是否为同一个函数：定义域相同 + 对应关系相同，与字母无关。 例：y=f(x) 与 y=f(t) 是同一个函数。 3. 定义域求解规则 （1）整式函数：定义域为全体实数R； （2）分式函数：分母不等于0； （3）偶次根式：被开方数大于或等于0； （4）零次幂：底数不等于0； （5）多个结构叠加：取所有限制条件的交集。 4. 函数三种表示法 ①解析法 定义：用含有自变量的代数式等式来表示两个变量的函数关系，这个等式叫做函数解析式。 优点：简洁、清楚，能直接从式子看出变量间运算关系，方便代入计算、研究函数性质（单调性、最值、不等式等）。 缺点：部分函数无法用简单式子表达，看不出变量变化趋势。 例子： y=2x+1、y=x²-3x+2、y=1/x、y=A(x-1) ②图像法 定义：把自变量x作为横坐标，对应函数值y作为纵坐标，在平面直角坐标系描出所有点，由这些点组成的图形就是函数图像。 优点：直观形象，能一眼看出函数增减、最高点最低点、取值范围。 缺点：精确数值不好读取，计算不方便。 例子：一次函数直线、二次函数抛物线。 ③列表法 定义：列出一张表格，表格里一行是自变量x的取值，另一行对应写出y的值，用表格对应关系表示函数。 优点：不用计算，直接查表就能得到对应函数值，数据一目了然。 缺点：只能体现表格里有限几组数值，无法表示全部取值，难以分析整体变化规律。 例子： x 1 2 3 4 5 6 7 y 3 5 7 9 11 13 15 小结 ：做题研究函数性质优先用解析法；观察变化趋势、数形结合看图像法；实际统计、查表求值用列表法。 5.分段函数 一个函数在定义域不同区间对应不同解析式，分段函数是一个函数，不是多个函数。求值必须先看自变量范围，再代入对应解析式。 常见的分段函数： ①绝对值 y=|x|， ②取整函数y=[x]，[x] 含义：不超过 x 的最大整数 6.区间 ①区间概念(a，b为实数，且a<b) ②应用区间时的3个注意点 1）区间是数集，区间的左端点小于右端点． 2）在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． 3）用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． 7.求值域的方法 求值域常用方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、判别式法、单调性法、基本不等式法、分段讨论法与图像法。 ①简单一次、绝对值、根式基础函数，优先用观察法； ②二次函数、含二次式复合函数，选用配方法； ③分子分母均为一次的分式函数，用分离常数法； ④带根号函数，使用换元法； ⑤分子分母均为二次且定义域为全体实数的分式，采用判别式法； ⑥给定有限取值区间、能判断增减的函数，用增减性法； ⑦基本不等式法； ⑧分段函数分段求解值域，再取并集； ⑨便于作图的函数，直接用图像法观察最值确定值域。 三、例题解析 例1：把下列不等式写成区间形式 ①x＜-2 ；② 3≤x＜7 ③ x≠3 ④x＜1 或 x＞4 解: 1. (-∞,-2) 2. [3,7) 3. (-∞,3)∪(3,+∞) 4. (-∞,1)∪(4,+∞) 例2：求函数 f(x) = + 的定义域。 解： 由题意得： x-2 ≥ 0 且 x-3 ≠ 0 解得 x ≥ 2 且 x ≠ 3 定义域：{x | x≥2且x≠3}，区间表示：[2,3)∪(3,+∞) 例3：下列各组函数表示相同函数的是(    ) A.， B. ， C. ， D. ， 解： 与的值域不同，不是同一函数，故A错误； ，定义域不同，不是同一函数，故B错误； 的定义域为，的定义域为，不是同一函数，故C错误； 与的定义域都为，对应关系相同，是同一函数，故D正确． 故选：． 例4：设函数则(    ) A. B. C. D. 解： 已知函数 则，所以， 故选D． 例5：3.下列所给的四个图象中，可以作为函数的图象的有(    ) A. B. C. D. 解： (1) 在内，有两个值和对应，不满足函数中的唯一性， 当时，有两个值和对应，不满足函数中的唯一性， 满足函数的定义， 故选： 例6：已知，若且 求的表达式；   求的值． 解： 由，得， ， 又， ， ，解得：， 由得：．  例7：已知函数，且． 写出函数的解析式； 求的值； 若，求实数的值． 解： (1) 由于，故， 解得， 所以； 由可知， 所以，； 当时，， 解得，舍去， 当时，， 解得或， 所以， 综上所述，实数的值为．  例8：已知点在函数的图象上． 求的定义域； 求的值域． 解： 由题意，解得，故． 故，即， 故的定义域为． (2) ， 故的值域为． 4、 课堂分层练习 1.区间等于(    ) A. B. C. D. 解：C  2.下列各组函数中，同一函数的是(    ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解： 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故B错误； 对于，定义域和对应关系相同，是同一函数，故C正确； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误． 故选C． 3.设，则(    ) A. B. C. D. 解： 当时，，故，当时，． 故． 故选：． 4.下图中，能作为函数的图象的是(    ) A. B. C. D. 解： 对于、两图，可以找到一个与两个值对应的情形 对于图，当时，有两个值与之对应 对于图，每个都有唯一的值与之对应，因此，图可以表示函数故选D． 5.已知函数，则函数的解析式为(    ) A. B. C. D. 解： 因为，令，则，则 ，所以故选B． 6.函数的定义域为          ． 解： 由 得且． 故的定义域为 7.已知二次函数满足，． 求的解析式； ，恒成立，求的取值范围． 解： 设， 则，则，； ，则； ，恒成立． ， 当时取等号，故． 即的取值范围为  8.已知，． 求的定义域； 求，的值，的值域． 解： 要使该函数有意义，只需满足， 解得，且， 函数的定义域为且； 由，得， ，  ， ， 即的值域为．  【解析】本题考查具体函数的定义域与值域的求法，求函数值，是基础题． 要使该函数有意义，只需满足，即可求得结果； 直接代入求值即可，求值域时，根据二次函数的性质直接求解即可． 五、易错点总结 1. 零次幂底数不为0极易遗漏； 2. 判断同一函数必须先看定义域，很多解析式相同但定义域不同不是同一函数； 3. 分段函数求值不看区间乱代解析式是高频错误。 六、课后作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列集合不能用区间形式表示的是(    )；是三角形；，且；；，或； A. B. C. D. 2.函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 3.下列各组函数的图象相同的是(    ) A. B.   C. D. 4.下列函数中，值域为的是(    ) A. B. ， C. ， D. ， 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列说法正确的是(    ) A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知一次函数满足，则 D. 定义在上的函数满足，则 6.若函数的图象为如图所示的曲线和线段，曲线与直线无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是(    ) A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在的定义域内任取一个值，总有唯一的值与之对应 D. 在的值域内任取一个值，总有唯一的值与之对应 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 已知函数， 画出函数的大致图像 求在上的值域． 8.本小题分 函数． 若函数的定义域为，求的值域； 若的值域为，且定义域为，求的最大值． 1.【答案】  【解析】集合中的元素是不连续的四个实数，故不能用区间表示；  所有三角形构成的集合只能用描述法表示，不能用区间表示；  集合，且中的元素不连续，不能用区间表示；  空集中不含任何元素，不能用区间表示；  集合，或可以用区间表示为；  集合中的元素不连续，不能用区间表示．  所以不能用区间表示的有故选D． 2.【答案】  【解析】 本题主要考查具体函数的定义域，属于基础题． 依题意可得，解得即可． 解：由题意可得，， 解得且， 所以函数的定义域为． 故选：． 3.【答案】  【解析】 本题考查函数的概念，是基础题． 两个函数图象相同，则要求对应法则相同，定义域相同、值域相同，逐项判断即可得． 解：对于，函数的定义域为，值域为， 而 的定义域为，值域为，故A不合题意； 对于，函数的定义域为，值域为， 而 ，则与的定义域、值域均相同，解析式相同，故B符合题意； 对于，函数的定义域为，但的定义域为，定义域不同，故 不合题意； 对于，两个函数的解析式不同，故D不合题意； 故选B． 4.【答案】  【解析】对于，由二次函数性质可知，，所以，则函数的值域为，A正确对于，因为，所以，则函数的值域为，故B错误对于，，，则该函数的值域为，故C错误对于，举反例：，所以该函数的值域不为，故D错误． 5.【答案】  【解析】 本题考查求具体函数的解析式，求抽象函数的解析式，属于基础题． 根据函数解析式的求法逐一判定即可． 解：对于，   ，故A正确； 对于，  ， 由，可得， 所以  ，故B正确； 对于，设  ， 则   ， 所以  ， 解得  或  所以  或  ， 故C错误； 对于，由 ，  可得 ， 所以由  ， 可得 ，故D正确． 故选：． 6.【答案】  【解析】由题意得定义域为，A错误的最小值为，故值域为，B正确由函数定义及图象可知，在的定义域内任取一个值，总有唯一的值与之对应，C正确在的值域内任取一个值时，有两个值与之对应，D错误故选BC． 7.【答案】解：当时，， 当时，， 当时，， ，      其大致图象如下图所示： 由可知，函数在和上单调递增，在上单调递减， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则当时，，， 故在上的值域为．  【解析】本题考查函数图像及函数的值域，属于基础题． 去绝对值符号得到 ，然后画出图象即可； 利用中的图象，得到函数的最值在，，，中取到，分别求值即可． 8.【答案】解：因为，所以其图象的对称轴为． 故在上单调递增，所以的值域为，即． 因为时，是的最小值， 所以，令， 得，， 根据的图象知当，时， 取最大值． 【解析】本题主要考查了二次函数的性质，函数的定义域与值域，属于基础题． 由函数解析式可得函数图象的对称轴，易得函数在上单调递增，即的值域为，求解即可． 根据函数的最小值等于函数值域的最小值，可得，再令，求解的值，结合函数图象，即可求出的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 一、学习目标 1. 掌握高中函数严格集合定义，彻底区分初中变量定义与高中对应关系定义； 2. 掌握函数三要素，会判断两个函数是否为同一函数； 3. 熟练掌握定义域求解全部题型，掌握区间表示法； 4. 认识分段函数，会分段求值、理解分段函数为一个函数。 二、知识点精讲 1. 函数定义 设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数。 记作：y = f(x)，x∈A。 2. 函数三要素 定义域：一个函数中，所有可以取到的自变量 x 的全部取值的集合，简单说就是 x 能取哪些数； 对应关系：给定一个定义域内的 x，按照固定规则算出唯一 y 的运算法则，是 x 和 y 之间的联系桥梁； 值域：把定义域里所有 x 全部代入对应关系计算，得到的所有 y 值的集合 判断两个函数是否为同一个函数：定义域相同 + 对应关系相同，与字母无关。 例：y=f(x) 与 y=f(t) 是同一个函数。 3. 定义域求解规则 （1）整式函数：定义域为全体实数R； （2）分式函数：分母不等于0； （3）偶次根式：被开方数大于或等于0； （4）零次幂：底数不等于0； （5）多个结构叠加：取所有限制条件的交集。 4. 函数三种表示法 ①解析法 定义：用含有自变量的代数式等式来表示两个变量的函数关系，这个等式叫做函数解析式。 优点：简洁、清楚，能直接从式子看出变量间运算关系，方便代入计算、研究函数性质（单调性、最值、不等式等）。 缺点：部分函数无法用简单式子表达，看不出变量变化趋势。 例子： y=2x+1、y=x²-3x+2、y=1/x、y=A(x-1) ②图像法 定义：把自变量x作为横坐标，对应函数值y作为纵坐标，在平面直角坐标系描出所有点，由这些点组成的图形就是函数图像。 优点：直观形象，能一眼看出函数增减、最高点最低点、取值范围。 缺点：精确数值不好读取，计算不方便。 例子：一次函数直线、二次函数抛物线。 ③列表法 定义：列出一张表格，表格里一行是自变量x的取值，另一行对应写出y的值，用表格对应关系表示函数。 优点：不用计算，直接查表就能得到对应函数值，数据一目了然。 缺点：只能体现表格里有限几组数值，无法表示全部取值，难以分析整体变化规律。 例子： x 1 2 3 4 5 6 7 y 3 5 7 9 11 13 15 小结 ：做题研究函数性质优先用解析法；观察变化趋势、数形结合看图像法；实际统计、查表求值用列表法。 5.分段函数 一个函数在定义域不同区间对应不同解析式，分段函数是一个函数，不是多个函数。求值必须先看自变量范围，再代入对应解析式。 常见的分段函数： ①绝对值 y=|x|， ②取整函数y=[x]，[x] 含义：不超过 x 的最大整数 6.区间 ①区间概念(a，b为实数，且a<b) ②应用区间时的3个注意点 1）区间是数集，区间的左端点小于右端点． 2）在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． 3）用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． 7.求值域的方法 求值域常用方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、判别式法、单调性法、基本不等式法、分段讨论法与图像法。 ①简单一次、绝对值、根式基础函数，优先用观察法； ②二次函数、含二次式复合函数，选用配方法； ③分子分母均为一次的分式函数，用分离常数法； ④带根号函数，使用换元法； ⑤分子分母均为二次且定义域为全体实数的分式，采用判别式法； ⑥给定有限取值区间、能判断增减的函数，用增减性法； ⑦基本不等式法； ⑧分段函数分段求解值域，再取并集； ⑨便于作图的函数，直接用图像法观察最值确定值域。 三、例题解析 例1：把下列不等式写成区间形式 ①x＜-2 ；② 3≤x＜7 ③ x≠3 ④x＜1 或 x＞4 例2：求函数 f(x) = + 的定义域。 例3：下列各组函数表示相同函数的是(    ) A.， B. ， C. ， D. ， 例4：设函数则(    ) A. B. C. D. 例5：3.下列所给的四个图象中，可以作为函数的图象的有(    ) A. B. C. D. 例6：已知，若且 求的表达式；   求的值． 例7：已知函数，且． 写出函数的解析式； 求的值； 若，求实数的值． 例8：已知点在函数的图象上． 求的定义域； 求的值域． 4、 课堂分层练习 1.区间等于(    ) A. B. C. D. 2.下列各组函数中，同一函数的是(    ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与． 3.设，则(    ) A. B. C. D. 4.下图中，能作为函数的图象的是(    ) A. B. C. D. 5.已知函数，则函数的解析式为(    ) A. B. C. D. 6.函数的定义域为          ． 7.已知二次函数满足，． 求的解析式； ，恒成立，求的取值范围． 8.已知，． 求的定义域； 求，的值，的值域． 五、易错点总结 1. 零次幂底数不为0极易遗漏； 2. 判断同一函数必须先看定义域，很多解析式相同但定义域不同不是同一函数； 3. 分段函数求值不看区间乱代解析式是高频错误。 六、课后作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列集合不能用区间形式表示的是(    )；是三角形；，且；；，或； A. B. C. D. 2.函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 3.下列各组函数的图象相同的是(    ) A. B.   C. D. 4.下列函数中，值域为的是(    ) A. B. ， C. ， D. ， 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列说法正确的是(    ) A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知一次函数满足，则 D. 定义在上的函数满足，则 6.若函数的图象为如图所示的曲线和线段，曲线与直线无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是(    ) A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在的定义域内任取一个值，总有唯一的值与之对应 D. 在的值域内任取一个值，总有唯一的值与之对应 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 已知函数， 画出函数的大致图像 求在上的值域． 8.本小题分 函数． 若函数的定义域为，求的值域； 若的值域为，且定义域为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $