2.3.4两条平行直线间的距离（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条平行直线间的距离”，通过路灯测量的生活情境导入，前情回顾直线交点、两点及点到直线距离等知识，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是运用转化思想将线线距转化为点线距，结合生活实例培养数学眼光，例题涵盖基础计算与最值问题发展数学思维，系统小结定义、公式与性质，助力教师高效教学，提升学生应用与推理能力。

第二章 直线和圆的方程 2.3.4 两条平行直线间的距离 前情回顾 两点之间的距离 两条直线的交点 直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们 可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。 最后来探讨这个简单的问题吧！ 两点间的距离公式： 点到直线的距离公式： 点到直线的距离 两平行直线的距离 将两条直线的方程联立，得方程组：， 若方程组有唯一解 学 习 目 标 1 2 3 理解两条平行直线间的距离与点线距的联系. 会运用两条直线间的距离公式求线线距和直线方程. 能灵活应用公式解决两条直线间距离的最值问题. 我们一起来探究“两条平行直线间的距离”吧！ 读教材 阅读课本P78-P79，5分钟后完成下列问题： 1. 两条平行直线间的距离的定义是什么？ 2. 平面直角坐标系中两条平行直线间的距离公式是什么？ 新课引入 当今城市，一座座高楼大厦拔地而起，道路两旁树木茂盛、花朵五颜六色、灯火辉煌，一盏盏路灯就像两条平行的彩虹线. 如何准确测量两盏路灯间的距离？ 学习过程 01 03 02 目录 1 两条平行直线间的距离 2 题型训练 新知探究1 怎么求两条直线间的距离呢？ 思考1 什么是两条平行直线间的距离？ Q P O 两条平行直线间的距离是指： 夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 两平行线间的距离处处相等 思考2 如何求两条平行直线间的距离？ 求两条平行直线间的距离 点到直线的距离 转化 新知探究1 探究1 两条平行直线，， 求与间的距离. 解：与轴的交点的坐标为 点到直线的距离， 所以与间的距离为. 思考：能否推导出两平行直线间距离的一般公式呢？ A(4,0) Q P O 新知探究1 探究1 直线,直线, 如何求直线与直线间的距离？ Q P O 解析：在直线上任取一点，点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离，即 因为点在直线上， 所以，即 因此. 平行直线间的距离 转化 点到直线的距离 概念 两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离公式: 两条平行直线与间的距离公式为： 注：(1)用此公式时直线方程必须先化成一般式，分子含有绝对值； (2)两条直线方程中的系数必须分别相等. 分子是直线一般式方程的常数项之差左边后的绝对值 分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根 练习巩固 练习1 求下列两条平行线间的距离： (1) : ， : ； (2): ， : . 解：(1) (2) 练习巩固 练习2 已知两条平行直线: 与: 间 的距离为3，求的值？ 解：由两条平行直线间的距离公式得： 解得21或－9. 练习巩固 练习3 如图，已知直线: 与直线: ，在上任 取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点的三等分点， 过点作的平行线， 求与间的距离？ 解：设 则，， 由=得：=()， ===()+()=－2. 与间的距离即为点直线: 的距离： 学习过程 01 03 02 目录 1 两条平行直线间的距离 2 题型训练 平行直线间的距离的应用 题型1 题型探究 例1 求与直线平行且与直线距离为的直线方程？ 解：设与平行的直线方程为， 根据两平行直线间的距离公式得， 解得或. 所以所求直线方程为或. 平行直线间的距离的应用 题型1 题型探究 例2(1) 已知直线和平行，求它们之间的距离？ (2) 已知直线与两直线和的距离相等， 的方程？ 解：(1)由题意得∴， 将直线化为，由两平行线间距离公式，得 . (2)设直线的方程为，由题意得. 解得， ∴直线的方程为. 平行直线间的距离的应用 题型1 题型探究 例3 若直线与直线平行， 则两条平行线间的距离为___________. 解：由直线与直线平行， 则－1=0，解得±1， 当－1时，直线与直线重合，舍去. 当1时，直线与直线平行， 故两条平行线间的距离 ＝ . 平行直线间的距离的应用 题型1 题型探究 例4 已知直线，，且两直线间的距离为， 求实数的值？ 解：由两平行直线间的距离公式得： ＝2，解得－3或1. 平行直线间距离的最值问题 题型2 题型探究 例5 已知两直线与，直线经过点，直线经过点，且． (1)若与 的距离为4，求两直线的方程？ 解：(1)若，的斜率都存在，设其斜率为，由斜截式得的方程为 ， 即，由点斜式得的方程为 ，即 与的距离为4解得 ， ， ． 若，的斜率都不存在，则的方程为，的方程为 ， 它们之间的距离为4，满足条件. 综上，，或 ， ． 平行直线间距离的最值问题 题型2 题型探究 例5 已知两直线与，直线经过点，直线经过点，且． (1)若与 的距离为4，求两直线的方程； (2)若与 的距离最大，求两直线的方程？ 解：(2)连接，当直线，与直线垂直时，与的距离最大， 直线 的斜率为， 直线与的斜率均为， ， ． 平行直线间距离的最值问题 题型2 题型探究 例6 已知分别为直线上任一点， 的最小值？ 解：可化为，则两直线平行， 的最小值即为两平行线之间的距离， 故min＝ ＝ ＝3. 平行直线间距离的最值问题 题型2 题型探究 例7 两条互相平行的直线分别过(6，2)和(－3，－1)两点，如果两条平行直线间 的距离为， 求：(1)的取值范围；(2)当取最大值时，两条直线的方程？ 解：(1)如图，当两条平行直线与B垂直时， 两平行直线间的距离最大， |B| 当两条平行线各自绕点B，逆时针旋转时，距离逐渐变小， 越来越接近于0，所以0<≤ 所求的的取值范围是. 平行直线间距离的最值问题 题型2 题型探究 例7 两条互相平行的直线分别过(6，2)和(－3，－1)两点，如果两条平行直线间 的距离为， 求：(1)的取值范围；(2)当取最大值时，两条直线的方程？ 解：(2)当取最大值3时，两条平行线都垂直于B， 它们的斜率－＝－3. 故所求的直线方程分别为和 即和. 课堂小结 两条平行直线间的距离是指： 夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 两条平行直线与间的距离公式为： 分子是直线一般式方程的常数项之差左边后的绝对值 分母是直线方程中未知数的系数平方和的算术根 Q P O 两平行线间的距离处处相等 两条平行直线间的距离公式: 感谢聆听! $