2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“点到直线的距离公式”及“两条平行直线间的距离”，通过复习直线方程一般式导入，衔接直线方程知识，为后续圆的方程学习搭建支架，系统呈现公式推导与应用。 其亮点在于以坐标法、向量法推导公式培养数学思维（逻辑推理、运算能力），结合AI思考辨析和例题变式（如动点距离最小值问题）发展数学眼光（抽象能力），公式应用实例（三角形面积计算）体现数学语言（模型意识）。学生能深化公式理解，教师可高效落实核心素养教学。

第二章　直线和圆的方程 2.3.3　点到直线的距离公式　2.3.4　两条平行直线间的距离 学 习 目 标 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程,发展数学运算与逻辑思维素养. 2.掌握点到直线的距离公式,并能灵活应用. 3.理解两条平行线间的距离公式的推导,会求两条平行直线间的距离. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1　点到直线的距离 1.点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的 　　 　　的长度,其中Q是垂足.  2.公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d=　　　　　　　.  垂线段PQ AI·思考辨析 点P(x0,y0)到x轴、y轴、直线y=a,x=b的距离分别是什么? 提示 到x轴的距离d=|y0|,到y轴的距离d=|x0|,到y=a的距离d=|y0-a|,到x=b的距离d=|x0-b|. 体验新知 1.(2026安徽合肥高二期中)点A(2,1)到直线x-2y+10=0的距离为　　　　　. 2 解析 点A(2,1)到直线x-2y+10=0的距离d==2. 2.(北师大版教材例题)求点P(-2,1)到下列直线的距离: (1)3x+4y-1=0; (2)y=2x+3; (3)2x+5=0. 解 (1)根据点到直线的距离公式,得d=. 即点P(-2,1)到直线3x+4y-1=0的距离为. (2)直线方程y=2x+3可化为一般式2x-y+3=0. 根据点到直线的距离公式,得d=. 即点P(-2,1)到直线y=2x+3的距离为. (3)直线方程2x+5=0可化为x=-,这条直线垂直于x轴, 所以d=.即点P(-2,1)到直线2x+5=0的距离为. 知识点2　两条平行直线间的距离 1.概念:两条平行直线间的距离是夹在两条平行直线间的　　　　　　的长.  2.求两条平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离. 3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离 d=. 此公式的应用前提是l1与l2方程中x,y分别对应的系数相等 公垂线段 AI·思考辨析 如果直线l1有两个点A和B到l2的距离相等,此时l1与l2平行吗? 提示 直线l1与l2不一定平行.直线l1与l2可能平行或线段AB的中点在直线l2上. 体验新知 1.(2026山西太原高二期中)直线x+y=0与直线x+y+2=0之间的距离是(　　) A. B.1 C. D.2 C 解析 由平行线间的距离公式可得d=.故选C. 2.(2026河北高二期中)直线l1:6x+8y=5与l2:3x+4y=0之间的距离为　　 　. 解析 由题可得,l1:6x+8y-5=0,l2:6x+8y=0, 则直线l1与直线l2之间的距离为. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　求点到直线的距离 【例1—1】 (1)已知点P(-1,2)到直线l:4x-3y+m=0的距离为1,则m的值为 (　　) A.-5或-15 B.-5或15 C.5或-15 D.5或15 D 解析 ∵点P(-1,2)到直线l:4x-3y+m=0的距离为1, ∴=1,解得m=15或m=5.故选D. (2)(北师大版教材习题)已知△ABC的三个顶点分别为A(1,4),B(-2,-1),C(4,1),求△ABC的面积. ★★【例1—2】 (1)已知A(-2,0),B(4,a)两点到直线l:3x-4y+1=0的距离相等,则a=(　　) D (2)已知动点M(a,b)在直线3x+4y+10=0上,则 的最小值为 　　　　　.  2 变式训练1　★★(1)(2026广东高二期中)已知实数x,y满足4x-3y+2=0,则的最小值是(　　) A. B. C.1 D. A 解析 当取最小值时,即为点(1,1)到直线4x-3y+2=0的距离d=.故选A. ★★(2)(2026江苏淮安高二期中)已知A(-2,-1),B(6,3)两点到直线l: ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为(　　) A.0 B.- C.0或-1 D.-1或- D 解析 由题意可得,即|2a|=|6a+4|,解得a=-1或a=-. 故选D. (3)已知直线l与直线3x-y=0垂直,且点Q(2,-5)到直线l的距离为,则直线l的方程为　　　　　　 　.  x+3y+3=0或x+3y+23=0 能力提升点二　两平行线间的距离 【例2】 (北师大版教材例题)求下列各对平行直线间的距离: (1)l1:3x+4y-1=0,l2:3x+4y+3=0; (2)l1:y=3x+2,l2:y=3x-3; (3)l1:x-2y-1=0,l2:2x-4y+3=0. 解 (1)根据两条平行直线间的距离公式,得d=,即l1与l2间的距离为. (2)将所给直线方程化为一般式,得l1:3x-y+2=0,l2:3x-y-3=0.根据两条平行直线间的距离公式,得d=,即l1与l2间的距离为. (3)将直线l2的方程化简,得x-2y+=0,根据两条平行直线间的距离公式,得d=,即l1与l2间的距离为. 变式训练2 已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 ,求直线l1的方程. 解 (方法1)∵l1∥l2,∴可设l1的方程为x+y+C=0. 在直线l2上取一个点,如(1,0),则点(1,0)到直线l1的距离等于, 从而,∴|C+1|=2. ∴C=1或C=-3. ∴l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0. (方法2)∵l1∥l2,∴可设l1的方程为x+y+C=0. ∴l1与l2的距离为,|C+1|=2. ∴C=1或C=-3.从而l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)点到直线的距离公式的推导过程及点到直线的距离公式 d= ; (2)两条平行线间的距离公式及两平行线间的最值问题; 2.方法归纳:待定系数法、坐标法、公式法、解方程(组)法、数形结合法. 3.常见误区:(1)已知距离求参数问题易漏解;(2)设直线方程易忽略斜率是否存在;(3)运用两平行线间的距离公式时,必须保证两直线方程中x,y的系数分别对应相同. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 1.(2026江苏盐城高二期中)已知点(a,1)(a<0)到直线l:3x+4y+5=0的距离为3,则a=(　　) A.-2 B.-8 C.-2或-8 D.2 B 解析 由点到直线的距离公式得3=,即|3a+9|=15,解得a=2或a=-8. 又a<0,所以a=-8.故选B. 1 2 3 4 2.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0间的距离为(　　) C 1 2 3 4 3.到直线3x-4y-11=0的距离为1的直线方程为(　　) A.3x-4y-1=0 B.3x-4y-6=0或3x-4y-16=0 C.3x-4y+1=0或3x-4y-1=0 D.3x-4y+16=0或3x-4y-3=0 B 解析 设所求的直线方程为3x-4y+C=0,由题意得=1,解得C=-6或C=-16,故所求直线方程为3x-4y-6=0或3x-4y-16=0.故选B. 1 2 3 4 4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是　　　　.  8 解析 由x2+y2的实际意义可知,它表示直线x+y-4=0上的点到原点的距离的平方,它的最小值即为原点到该直线的距离的平方, 所以(x2+y2)min==8. 本 课 结 束 解 由题得,|AB|=, AB边所在直线的方程为y+1=(x+2),即5x-3y+7=0, 所以AB边上的高h=. 所以S△ABC==12. A.2 B. C.2或-8 D.2或 解析 若A(-2,0),B(4,a)在l:3x-4y+1=0的同侧, 则kAB=kl=,所以,解得a=. 若A(-2,0),B(4,a)在l:3x-4y+1=0的异侧, 则A(-2,0),B(4,a)的中点在直线l:3x-4y+1=0上, 所以4-2a=0,解得a=2.故选D. 解析 因为表示动点M(a,b)到坐标原点O(0,0)的距离, 所以的最小值为O(0,0)到直线3x+4y+10=0的距离d==2. 解析 因为直线l与直线3x-y=0垂直, 所以直线l的斜率为-. 设直线l:y=-x+b,即x+3y-3b=0. 由题意得,解得b=-1或b=-, 所以直线l的方程为x+3y+3=0或x+3y+23=0. A. B. C. D. 解析 由题意可得,解得a=6,故两条平行直线6x+8-24=0与6x+8y+11=0间的距离为d=.故选C. $