2.3.4 两条平行直线间的距离 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条平行直线间的距离”，通过“路灯距离测量”情境导入，衔接点到直线距离知识，以定义、图示、公式推导构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合逻辑推理、直观想象与数学运算核心素养，如例3通过几何意义转化距离最值问题，跟踪训练结合正方形性质应用公式。分层练习与通性通法总结，助力学生巩固基础，教师高效教学。

2.3.4　 两条平行直线间的距离 新课程标准解读 核心素养 1.理解两条平行直线间的距离公式的 推导 逻辑推理、 直观想象 2.会求两条平行直线间的距离 数学运算 目录 数学·选择性必修第一册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　当今城市，一座座高楼大厦拔地而起，道路两旁树木茂盛、花朵 五颜六色、灯火辉煌，一盏盏路灯就像两条平行的彩虹线. 【问题】　如何准确测量两盏路灯间的距离？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点　两条平行直线间的距离 1. 定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 ⁠ 的长. 2. 图示： 公垂 线段　 目录 数学·选择性必修第一册 3. 公式：两条平行直线 l1： Ax ＋ By ＋ C1＝0与 l2： Ax ＋ By ＋ C2＝0 （ A ， B 不同时为0， C1≠ C2）之间的距离 d ＝ ⁠. 提醒　使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为 一般式；二是两直线方程中 x ， y 的系数分别相同. 　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）连接两平行直线上任意两点，即得两平行直线间的距离. （　×　） （2）若直线 l1： x ＋ y －1＝0上有 A （1，0）， B （0，1）， C （－ 1，2）三点，则点 A ， B ， C 到直线 l2： x ＋ y ＋1＝0的距离相 等. （　√　） （3）已知直线 l1： x ＝ x1， l2：2 x ＝ x2，则直线 l1， l2间的距离为｜ x2－ x1｜. （　×　） × √ × 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知直线 l1： x ＋ y ＋1＝0， l2： x ＋ y －1＝0，则 l1， l2之间的距离 为（　B　） A. 1 D. 2 解析：　由题意知 l1∥ l2，则 l1， l2之间的距离为 ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·云浮月考）已知两平行直线 x ＋2 y －5＝0与2 x ＋4 y ＋ m ＝0 间的距离为 ，则 m ＝（　　） A. 0或－10 B. 0或－20 C. 15或－25 D. 0 解析： 　∵2 x ＋4 y ＋ m ＝0可化为 x ＋2 y ＋ ＝0，∴两平行直线 间的距离为 ＝ ＝ ，解得 m ＝0或 m ＝－20. 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 【例1】　（1）（2024·莆田月考）两平行直线 l1： x －2 y － ＝ 0， l2：4 y －2 x －3 ＝0之间的距离为（　A　） B. 3 解析： 直线 l1： x －2 y － ＝0⇔ l1：2 x －4 y －2 ＝ 0，直线 l2：4 y －2 x －3 ＝0⇔2 x －4 y ＋3 ＝0，两平行 直线之间的距离 d ＝ ＝ .故选A. A 题型一 两平行直线间的距离 目录 数学·选择性必修第一册 （2）已知直线5 x ＋12 y －3＝0与直线10 x ＋ my ＋20＝0平行，则它们 之间的距离为 ⁠. 解析： 由两条直线平行可得 ＝ ，解得 m ＝24.则直线 10 x ＋24 y ＋20＝0，即5 x ＋12 y ＋10＝0，由两条平行直线间的 距离公式得 d ＝ ＝1. 1　 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求两平行直线间的距离的方法 （1）转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点 到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时， 常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算； （2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中 x ， y 的系 数对应相等. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 直线 － ＝1与 y ＝ x ＋1之间的距离为（　　） D. 24 解析： 　两直线变形为3 x －2 y －12＝0与3 x －2 y ＋2＝0，则两直 线间的距离 d ＝ ＝ ＝ .故选B. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·绍兴月考）已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3 x ＋2 y ＋1＝0和3 x ＋2 y ＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为 4 x －6 y ＋ c1＝0和4 x －6 y ＋ c2＝0，则｜ c1－ c2｜＝（　　） D. 6 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　直线3 x ＋2 y ＋1＝0与3 x ＋2 y ＋4＝0间的距离 d1＝ ＝ ，直线4 x －6 y ＋ c1＝0与4 x －6 y ＋ c2＝0间的距离 d2 ＝ ＝ ｜ c1－ c2｜.又由正方形可知 d1＝ d2，即 ＝ ｜ c1－ c2｜，则｜ c1－ c2｜＝6，故选D. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 平行线间距离公式的应用 角度1　直线方程的确定 【例2】　（多选）已知直线 l1：2 x ＋3 y －1＝0和 l2：4 x ＋6 y －9＝ 0，若直线 l 到直线 l1的距离与到直线 l2的距离之比为1∶2，则直线 l 的 方程为（　　） A. 2 x ＋3 y －8＝0 B. 4 x ＋6 y ＋5＝0 C. 6 x ＋9 y －10＝0 D. 12 x ＋18 y －13＝0 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　设直线 l ：4 x ＋6 y ＋ m ＝0， m ≠－2且 m ≠－9，直线 l 到 直线 l1和到直线 l2的距离分别为 d1， d2.则 d1＝ ， d2＝ .因为 ＝ ＝ ，即2｜ m ＋2｜＝｜ m ＋9｜，解得 m ＝5或 m ＝－ ，所以直线 l 的方程为4 x ＋6 y ＋5＝0 或12 x ＋18 y －13＝0.故选B、D. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然 后由两条平行直线间的距离求参数，从而确定直线方程. 目录 数学·选择性必修第一册 角度2　平行直线间距离的最值问题 【例3】　（2024·丽水月考）已知直线 l1经过点 P （0，1），直线 l2经 过点 Q （5，0），且 l1∥ l2. （1）求 l1与 l2之间的最大距离，并求此时两直线的方程； 解： 连接 PQ （图略），则当直线 l1， l2均与直线 PQ 垂直 时， l1与 l2之间的距离最大. 因为直线 PQ 的斜率为 ＝－ ，所以此时直线 l1与 l2的斜率均 为5， l1与 l2之间的最大距离为 ＝ ，直线 l1的方程为 y ＝5 x ＋1， 即5 x － y ＋1＝0，直线 l2的方程为 y ＝5（ x －5），即5 x － y － 25＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若 l1与 l2间的距离为5，求两直线的方程. 解： ①若 l1， l2的斜率都存在，设其斜率为 k ，则 l1的方程 为 y ＝ kx ＋1，即 kx － y ＋1＝0， l2的方程为 y ＝ k （ x －5），即 kx － y －5 k ＝0.由题意得 ＝5，解得 k ＝ ，所以直线 l1 的方程为 y ＝ x ＋1，即12 x －5 y ＋5＝0，直线 l2的方程为 y ＝ （ x －5），即12 x －5 y －60＝0. ②若 l1， l2的斜率都不存在，则 l1的方程为 x ＝0， l2的方程为 x ＝5， 它们之间的距离为5，符合题意.综上所述，两直线的方程为 l1：12 x － 5 y ＋5＝0， l2：12 x －5 y －60＝0或 l1： x ＝0， l2： x ＝5. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　解决两平行直线间距离的最值问题要深刻理解题目条件所表示的 几何意义，将“数”转化为“形”，利用图形的直观性或两平行直线 特有的性质加以解决. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知直线 l 与直线 l1：3 x － y ＋3＝0和 l2：3 x － y －1＝0的距离相 等，则直线 l 的方程是（　　） A. 3 x － y ＋2＝0 B. 3 x － y －2＝0 C. 3 x － y －3＝0 D. 3 x － y ＋1＝0 解析： 　设直线 l 的方程为3 x － y ＋ c ＝0.因为直线 l 与直线 l1：3 x － y ＋3＝0和 l2：3 x － y －1＝0的距离相等，所以 ＝ ，解得 c ＝1，所以直线 l 的方程为3 x － y ＋1＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 2. P ， Q 分别为直线3 x ＋4 y －12＝0与6 x ＋8 y ＋6＝0上任一点，则｜ PQ ｜的最小值为 ⁠. 解析：6 x ＋8 y ＋6＝0可化为3 x ＋4 y ＋3＝0，则两直线平行，｜ PQ ｜的最小值即为两平行线之间的距离，故｜ PQ ｜min＝ ＝ ＝3. 3　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 两平行直线 x ＋ y －1＝0与2 x ＋2 y ＋1＝0之间的距离是（　　） C. 2 D. 1 解析： 　2 x ＋2 y ＋1＝0可化为 x ＋ y ＋ ＝0，由两平行直线间的 距离公式，得 d ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·舟山月考）两条平行直线3 x ＋4 y －12＝0与 ax ＋8 y ＋11＝0 间的距离为（　　） 解析： 　直线3 x ＋4 y －12＝0即直线6 x ＋8 y －24＝0，由题意 知， a ＝6，故两条平行直线3 x ＋4 y －12＝0与 ax ＋8 y ＋11＝0间的 距离为 ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 3. 分别过点 A （－2，1）和点 B （3，－5）的两条直线均垂直于 x 轴，则这两条直线间的距离是 ⁠. 解析：两直线方程分别是 x ＝－2和 x ＝3，故两条直线间的距离 d ＝｜－2－3｜＝5. 5　 目录 数学·选择性必修第一册 4. 求与三条直线 l1： x － y ＋2＝0， l2： x － y －3＝0， l3： x ＋ y －5＝ 0可围成正方形的直线方程. 解：易知 l1∥ l2，且它们之间的距离 d ＝ ＝ . 设所求直线为 l4，则 l4∥ l3， 所以可设 l4： x ＋ y ＋ c ＝0，则 ＝ ， 解得 c ＝0或－10， 所以所求直线方程为 x ＋ y ＝0或 x ＋ y －10＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 两条平行直线3 x －4 y －2＝0与3 x －4 y ＋3＝0之间的距离为 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　由两条平行直线间的距离公式，得 d ＝ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·温州月考）两条平行直线2 x － y ＋3＝0和 ax －3 y ＋4＝0间 的距离为 d ，则（　　） 解析： 　根据两条平行直线2 x － y ＋3＝0和 ax －3 y ＋4＝0，可得 ＝ ≠ .可得 a ＝6.可得两条平行直线为6 x －3 y ＋9＝0和6 x －3 y ＋4＝0，故它们间的距离 d ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 若直线 l1：2 x － ay ＋1＝0与 l2：（ a －1） x － y －1＝0平行，则 l1与 l2之间的距离为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 因为直线 l1：2 x － ay ＋1＝0与 l2：（ a －1） x － y －1＝0 平行，所以2×（－1）＝－ a ×（ a －1），解得 a ＝－1或 a ＝2.当 a ＝－1时， l1：2 x ＋ y ＋1＝0与 l2：－2 x － y －1＝0重合，故舍去； 当 a ＝2时， l1：2 x －2 y ＋1＝0与 l2：2 x －2 y －2＝0之间的距离 d ＝ ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·扬州月考）若直线2 x ＋ y －3＝0与直线4 x ＋2 y ＋ a ＝0之间 的距离不大于 ，则实数 a 的取值范围为（　　） A. （－∞，4] B. [－16，4] C. [－4，16] D. [4，16] 解析： 　直线2 x ＋ y －3＝0化为4 x ＋2 y －6＝0，则两直线之间的 距离 d ＝ ≤ ，即｜ a ＋6｜≤10，解得－16≤ a ≤4，所 以实数 a 的取值范围为[－16，4]，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）到直线2 x ＋ y ＋1＝0的距离等于 的直线方程可能为 （　　） A. 2 x ＋ y －1＝0 B. 2 x ＋ y －2＝0 C. 2 x ＋ y ＝0 D. 2 x ＋ y ＋2＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 因为所求直线与直线2 x ＋ y ＋1＝0的距离为 ，所以 可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2 x ＋ y ＋ c ＝0 （ c ≠1），则 d ＝ ＝ ，解得 c ＝0或 c ＝2，故所求直线方 程为2 x ＋ y ＝0或2 x ＋ y ＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）若两条平行直线 l1： x －2 y ＋ m ＝0与 l2：2 x ＋ ny －6＝0之 间的距离是2 ，则 m ＋ n ＝（　　） A. 3 B. －17 C. －3 D. 17 解析： 　由题意， n ≠0，－ ＝ ，所以 n ＝－4，所以 l2：2 x － 4 y －6＝0，即 x －2 y －3＝0，由两平行直线间的距离公式得 ＝2 ，解得 m ＝7或 m ＝－13，所以 m ＋ n ＝3或 m ＋ n ＝－17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 若两条平行直线 Ax －2 y －1＝0与6 x －4 y ＋ C ＝0之间的距离为 ，则 C ＝ ⁠. 解析：两条平行直线 Ax －2 y －1＝0与6 x －4 y ＋ C ＝0，可得 A ＝ 3，即两直线方程分别为6 x －4 y －2＝0，6 x －4 y ＋ C ＝0，两平行 直线间的距离为 ＝ ，解得 C ＝11或－15. 11或－15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 已知直线 l 过点 A （－1，3），直线 l 上任意一点到直线 x －2 y ＋3 ＝0的距离都相等，则直线 l 的方程为 ⁠. 解析：由题意知，直线 l 与 x －2 y ＋3＝0平行，设直线 l 的方程为 x －2 y ＋ a ＝0，将 A （－1，3）代入可得 a ＝7，故直线 l 的方程为 x －2 y ＋7＝0. x －2 y ＋7＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. （2024·南平月考）垂直于直线 x ＋3 y －5＝0且与点 P （－1，0）的 距离为 的直线方程为 ⁠. 解析：设所求直线方程为3 x － y ＋ c ＝0，由题意，可得点 P 到直线 的距离等于 ，即 d ＝ ＝ ，解得 c ＝9或 c ＝－3，所 以所求直线方程为3 x － y ＋9＝0或3 x － y －3＝0. 3 x － y ＋9＝0或3 x － y －3＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 已知直线 l1：2 x ＋ y ＋2＝0； l2： mx ＋4 y ＋ n ＝0. （1）若 l1⊥ l2，求 m 的值； （1）若 l1⊥ l2，则 k1 k2＝ ＝－1，所以 m ＝－2. 解：设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1＝－2， k2＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解：若 l1∥ l2，则－2＝－ .所以 m ＝8. 所以直线 l2的方程可以化简为2 x ＋ y ＋ ＝0， 所以直线 l1与 l2间的距离为 ＝ ， 所以 n ＝28或 n ＝－12. （2）若 l1∥ l2，且它们间的距离为 ，求 m ， n 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 已知两平行直线 l1， l2分别过点 P （－1，3）， Q （2，－1），它 们分别绕点 P ， Q 旋转，但始终保持平行，则 l1， l2之间的距离的 取值范围是（　　） A. （0，＋∞） B. [0，5] C. （0，5] 解析： 　当直线 l1， l2与直线 PQ 垂直时，它们之间的距离 d 达到 最大，此时 d ＝ ＝5，所以0＜ d ≤5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. 已知 m ， n ， a ， b ∈R，且满足3 m ＋4 n ＝6，3 a ＋4 b ＝1，则 的最小值为（　　） C. 1 解析： 　（ m ， n ）为直线3 x ＋4 y ＝6上的动点，（ a ， b ）为直 线3 x ＋4 y ＝1上的动点， 可理解为两动 点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离 d ＝ ＝1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 若直线 m 被两平行直线 l1： x － y ＋1＝0与 l2： x － y ＋3＝0所截得 的线段的长为2 ，则直线 m 的倾斜角为 ⁠. 解析：记直线 m 的倾斜角为θ.由题意知直线 l1， l2间的距离等于 ＝ .又直线 m 被直线 l1， l2所截得的线段的长是2 ，因此直线 m 与直线 l1的夹角的正弦值等于 ＝ ，所以直线 m 与直线 l1的夹 角是30°，又直线 l1的倾斜角是45°，所以θ＝15°或θ＝75°. 15°或75°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. （2024·惠州月考）如图，已知直线 l1： x ＋ y －1＝0，现将直线 l1 向上平移到直线 l2的位置，若 l2， l1和坐标轴围成的梯形面积为4， 求 l2的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解：设 l2的方程为 x ＋ y － b ＝0（ b ＞1）， 则 A （1，0）， D （0，1）， B （ b ，0）， C （0， b ）. ∴｜ AD ｜＝ ，｜ BC ｜＝ b . 梯形的高 h 就是 A 点到直线 l2的距离， 故 h ＝ ＝ ＝ ， 由梯形的面积公式得 × ＝4， ∴ b2＝9， b ＝±3. 又 b ＞1，∴ b ＝3. 从而得直线 l2的方程是 x ＋ y －3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. （2024·龙岩月考）设两条直线的方程分别为 x ＋ y ＋ a ＝0， x ＋ y ＋ b ＝0，已知 a ， b 是方程 x2＋ x ＋ c ＝0的两个实根，且0≤ c ≤ ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由已知得两条直线间的距离是 d ＝ ，因为 a ， b 是方程 x2＋ x ＋ c ＝0的两个根，所以 a ＋ b ＝－1， ab ＝ c ，则｜ a － b ｜＝ ＝ ，因为0≤ c ≤ ≤ ≤ ≤ d ≤ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 已知三条直线： l1：2 x － y ＋ a ＝0（ a ＞0）， l2：－4 x ＋2 y ＋1＝ 0， l3： x ＋ y －1＝0，且 l1与 l2之间的距离是 . （1）求 a 的值； 解： l2可化为2 x － y － ＝0， ∴ l1与 l2的距离 d ＝ ＝ ， ∴｜ a －（－ ）｜＝ .∵ a ＞0，∴ a ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）能否找到一点 P ，使得 P 点同时满足下列三个条件：① P 是 第一象限的点；② P 点到 l1的距离是 P 点到 l2的距离的 ；③ P 点到 l1的距离与 P 点到 l3的距离之比是 ∶ ？若能，求 P 点坐标；若不能，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解： 设点 P （ x0， y0），若点 P 满足条件②，则点 P 在 与 l1， l2平行的直线l'：2 x － y ＋ C ＝0上，且 ＝ × ，即 C ＝ 或 C ＝ . ∴2 x0－ y0＋ ＝0或2 x0－ y0＋ ＝0. 若点 P 满足条件③，由点到直线的距离公式有 ＝ · ， 即｜2 x0－ y0＋3｜＝｜ x0＋ y0－1｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 ∴ x0－2 y0＋4＝0或3 x0＋2＝0. ∵点 P 在第一象限，∴3 x0＋2＝0不合题意，舍去. 由不合题意，舍去. 由 即点 P （ ）同时满足三个条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $