专题05 一次函数与二元一次方程综合压轴 （压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

专题05 一次函数与二元一次方程综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、几何综合压轴（高频大题） 题型二、参数型压轴（难点题型） 题型三、实际方案选择压轴（期末高频应用题） 题型四、新定义压轴（难题拉分题） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 适用于所有几何综合、动点、参数、实际应用压轴题，固定解题流程，规避思路混乱、漏解等问题。 第一步：求全解析式：用待定系数法，求出题干中所有一次函数的完整表达式，夯实解题基础。 第二步：求临界交点：联立任意两条直线解析式，解二元一次方程组，求出所有交点坐标，确定取值范围的临界值。 第三步：数形结合判范围：以交点横坐标为分界点，观察图像上下位置关系，判断函数值大小，准确写出不等式解集。 第四步：约束条件筛选 几何题型：重点考虑动点位置、线段长度非负、绝对值化简、分类讨论； 实际应用题：优先锁定自变量取值范围（正数、整数、题干限制条件），再对比方案、求解最值。 核心解题思想：数看方程算，形看图像看，范围看交点。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、几何综合压轴（高频大题） 【典例1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在直线上，轴，交直线于点E，若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，求出一次函数解析式和数形结合是关键． （1）求出，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，设，由轴，得，根据列方程求解即可求出答案． 【详解】（1）解：把代入得， ， 设直线的解析式为，将点坐标代入： ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）在中，令，得， ， ， 设，由轴，得， ， 解得或， 或． 【典例2】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)若的面积是4，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数与几何综合． （1）求出点，点，进而根据待定系数法求解即可； （2）根据三角形面积公式求出，将两种情况分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵直线交轴和轴于点和点， 当时，，当时，， ∴点，点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由题意得， 解得， 当时，； 当时，； ∴点的坐标为或． 【典例3】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点． (1)若点的坐标为． ①求的值； ②横坐标为的点在轴上，过点作轴的垂线分别与一次函数的图象和直线交于两点，若线段的长度等于1，求的值； (2)若一次函数对于除0之外的任意实数，其图象都经过一个定点，点与点关于轴对称，求的面积． 【答案】(1)或 (2)6 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数与几何综合、一次函数图象与对称问题 【分析】本题主要考查一次函数的性质、点关于y轴对称的性质以及三角形面积的计算． （1）①已知一次函数图象上一点的坐标，将其代入函数表达式即可求出k的值； ②先根据k的值确定一次函数表达式，再分别表示出B、C两点的纵坐标，根据的长度列出方程求解t的值． （2）先将一次函数表达式变形，找出定点D的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征求出的坐标，最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：①已知一次函数的图象与轴交于点； 将点A的坐标代入一次函数表达式得． 解得． 答：的值为． ②由①知，则一次函数表达式为． 横坐标为的点在轴上，且轴， 点B的横坐标也为t，将代入，可得B点纵坐标为． 同理，点C的横坐标也为t，将代入可得C点纵坐标为． ， ，即． 化简得∶ ． 则有或． 当时，解得∶． 当时，解得∶ 答∶t的值为或． （2）解：将一次函数变形为． 对于除0之外的任意实数k，函数图象都经过一个定点， 则，解得． 此时． 定点D的坐标为． 点与点关于轴对称， 的坐标为． ，， 平行于x轴，且，点O到的距离就是D(或)的纵坐标的绝对值，即3． 答∶ 的面积是6． 题型模版 1.题型特征：结合直线与坐标轴交点、围成三角形面积、竖/水平动线、动点线段长度、参数范围，融合方程与不等式综合考查，为期末必考核心大题。 2.核心考点：交点求解、三角形面积计算、动点线段最值、参数取值范围、绝对值不等式求解。 【变式1-1】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求直线与的表达式； (2)若点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，求一次函数解析式，解决问题的关键是掌握一次函数的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，得出，设点，根据三角形面积公式得出，求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：； 把代入解析式得：， 解得：， ， 把代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：， ． 设点． 则有， 解得或， 或． 【变式1-2】．（2025八年级上·安徽宣城·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点． (1)求和的值； (2)直线与轴交于点，动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动（不与点重合）．设点的运动时间为秒．若的面积为，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C的坐标代入中，即可求出m的值，进而得到点C的坐标，再把点C的坐标代入中即可求出b的值； （2）求出点A的坐标，根据（1）所求求出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入直线中得， ， 直线过点， ， ； （2）解：在中，当时，， ∴， 由（1）得，直线的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， 即 【变式1-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一次函数，解决下列问题： (1)如果这个函数的图象经过，求的值． (2)不论取何值，的图象一定经过某个定点，求这个点的坐标． (3)在平面直角坐标系中，点，如果此坐标系中，函数的图象与的边有两个交点（过三角形顶点也是交点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何的综合题，掌握知识点是解题的关键． （1）由一次函数的图象经过，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）将变形为，代入可求出，进而可得出不论取何实数这个函数的图象都过定点； （3）将代入，求出，将代入，求出，再结合图像，即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数经过， ∴， 解得， 答：m的值为； （2）解：函数变形为， 当，即时，与x无关， 所以一次函数的图象一定经过定点； （3）解：如图，令点为， 将代入，得 ， 解得， 将代入，得 ， 解得， ∴由图可得，当时，函数的图象与的边有两个交点（过三角形顶点也是交点）． 题型二、参数型压轴（难点题型） 【典例4】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，直线与直线交于点． (1)直接写出方程组的解． (2)若点在直线的下方，直线的上方，求出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数的图像，将题目与图像相结合是解题的关键． （1）根据两直线的交点即为二元一次方程组的解进行求解即可； （2）根据题意可知，据此求解即可． 【详解】（1）解：由图象的交点坐标得方程组的解是． （2）解：由点在直线的下方，直线的上方， 得． 当时，，， 的取值范围是． 题型模版 1.题型特征：直线解析式含未知参数（k、m等），根据直线位置关系、交点情况、不等式解集反求参数，核心考“三条直线不能围成三角形”“直线与线段有交点”两类高频考点。 2.核心结论：三条直线不能围成三角形，仅有两种情况：①任意两条直线平行；②三条直线交于同一点。 【变式2-1】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线：，直线：，与相交于点P，，分别与y轴相交于点A，B． (1)求点P的坐标． (2)结合图象，直接写出当时，x的取值范围． (3)点为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交和于点E，F，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，与不等式的关系． （1）联立直线，直线的函数表达式，解方程组求解交点坐标； （2）求得直线与x轴的交点，然后根据图象即可求得； （3）根据题意表示出E、F的坐标，再由得到关于m的方程，解之可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：在直线中，令，解得， 由图象可知：若，x的取值范围是； （3）解：由题意可知，， ∵， ∴， 解得：或． 【变式2-2】．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，直线：与直线：相交于点，直线，与轴分别交于，两点． (1)求的值，并结合图象写出关于，的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，若线段与线段的长度之和为10，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一元一次方程的应用（几何问题），三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并运用数形结合思想是解题的关键． （1）把点代入，得，则，由直线：与直线：相交于点可得，方程组的解为，由此即可得出方程组的解； （2）先求出直线：与轴的交点的坐标，再求出直线：与轴的交点的坐标，然后求出线段的长，再利用三角形的面积公式可得，由此即可求出的面积； （3）由题意得，直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，由可得，即，分情况讨论解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：将代入，得， 所以， 所以方程组的解为； （2）对于直线：，令，则， 解得，所以． 对于直线：，令，则， 解得，所以． 所以， 所以． （3）由题意，得点的坐标为，点的坐标为． 则． 对于直线：，令， 则，解得，即点的横坐标为， 对于直线：，令， 则，解得，即点的横坐标为， 则． 因为，即，整理得． 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得，不满足，舍去． 综上，的值为或． 【变式2-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知直线：与直线：交于点． (1)关于x，y的方程的解为 ； (2)若点P在直线上，且点P到y轴的距离为2，求点P的坐标； (3)将直线向左平移2个单位，若得到的直线对应的函数是正比例函数，求a的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求点到坐标轴的距离、正比例函数的定义、一次函数图象平移问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组、点到坐标轴的距离、一次函数的平移、正比例函数的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据方程组的解对应两直线交点的坐标求解即可； （2）由题意可得点P的横坐标为2或，然后代入直线的解析式求得点P的坐标即可； （3）直线：交于点可得直线：；将直线：向左平移两个单位得：；由平移后为正比例函数，即，然后求解即可解答． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：交于点， ∴关于x，y的方程的解为． （2）解：∵点P到y轴的距离为2， ∴点P的横坐标为2或， 当点P的横坐标为2时，点P的纵坐标为，即点P的坐标为； 当点P的横坐标为时，点P的纵坐标为，即点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或． （3）解：∵直线：交于点． ∴，即， ∴直线：， 将直线：向左平移两个单位得：， ∵将直线向左平移2个单位，若得到的直线对应的函数是正比例函数， ∴是正比例函数， ∴，解得：． 题型三、实际方案选择压轴（期末高频应用题） 【典例5】．（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍． (1)求、两种道具包的单价； (2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答） 【答案】(1)道具包的单价为元，道具包的单价为元； (2)购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】（1）设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍为相等关系列出方程求解即可 （2）设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，道具包的总采购价格道具包的总采购价格，进而根据学校预算不超过元，道具包数量不高于道具包数量的倍可得自变量的取值范围，那么根据函数的增减性和自变量的取值范围可得最低采购成本． 【详解】（1）解：设道具包的单价为元，则道具包的单价为元， ， 解得：， 经检验：是原方程的解． ∴． 答：道具包的单价为元，道具包的单价为元； （2）解：设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个， 得：， ∵， ∴随的增大而减小， 由题意得：， 解得：， ∴当时，最小，， ∴． 答：购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元． 【典例6】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【答案】(1)， 、． (2)当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【详解】（1）利润等于总售价减去总进价，总售价等于． 方案A：每本进价元，总进价等于， ． 方案B：分两种情况讨论： 1、当时，总进价为， ． 2、当，前100本进价10元，超过部分进价6元， 总进价， ． 综上，方案B的函数关系式： 、． （2）已知，分两段分析： 当时： ，显然，此时方案A利润更大． 当时： 比较和： 令，解得； 令，解得； 即时，； 时，． 综上所述，当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【典例7】．为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材300件，已知某体育用品店，甲种器材每件20元，乙种器材每件15元，且该店对同时购买两种器材有两种销售方案．（只能选择其中一种） 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折； 方案二：甲、乙种器材每件均打八折； 设购买甲种器材件，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少． 【答案】(1)， (2)当时，两种方案费用一样；当时时，方案二支付的费用较少；当时时，方案一支付的费用较少 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用； （1）根据题意分别求出两种方案的费用即可； （2）先求出两种方案费用相等的情况，再分类讨论即可． 【详解】（1）由题意得： ， ； （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∵，， ∴， ∴当时，两种方案费用一样；当时时，方案二支付的费用较少；当时时，方案一支付的费用较少． 题型模版 题型特征：以购物、租车、收费、生产等实际场景为背景，给出两套及以上收费方案，构建两个一次函数，通过方程组求临界值、通过不等式判断最优方案。 【变式3-1】．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 【答案】(1)且为整数) (2)共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题． （1）根据租车总费用、两种车的费用之和，列出函数关系式即可； （2）列出不等式，求出自变量的取值范围，利用函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解： ； ∵，， ∴； 函数解析式为，自变量取值范围为：且为整数； （2）解：， ， ， 因为取整数， 所以x可取20，21，22，23，24，25，26， 所以有种方案. 在中， 随的增大而增大， 所以当时，最省钱，费用元， 答：共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元． 【变式3-2】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）为了表彰在学年智慧阅读活动表现优异的同学，学校决定购买A，B两种奖品共42件，已知A，B两种奖品的单价分别是50元/件和40元/件，且购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件．设购买A种奖品x件，购买这两种奖品共花费y元． (1)求计划购买这两种奖品所需的费用y（元）关于x（件）的函数解析式． (2)共有多少种不同的购买方案？购买这些奖品最少需要多少元？ (3)采购人员在采购奖品时，恰逢商场正在促销：A种奖品每件降价a元，B种奖品每件降价b元．采购人员通过计算发现，购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关，请求出的值． 【答案】(1) (2)共有8种不同的购买方案，购买这些奖品最少需要1780元 (3) 【知识点】求不等式组的解集、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、求不等式组的解集，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出关于的函数解析式，再结合题意列出关于的不等式组，求出的取值范围，即可解答； （2）结合的取值范围以及是整数，得出不同的购买方案的种数，再利用一次函数的性质求出的最小值，即可解答； （3）根据题意得，再结合 “购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关”，得出，即可求解． 【详解】（1）解：设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件， 由题意得，， ∵购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件， ∴， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：∵，且是整数， ∴可以取10，11，12，13，14，15，16，17， ∴共有8种不同的购买方案， ∵， ∴中随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴购买这些奖品最少需要1780元； （3）解：由题意得，， ∵购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关， ∴， 整理得：． 【变式3-3】．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多7个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出A，B两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)A,B两种书架的单价分别为1200元，1000元 (2)；费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个 (3) 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次方程的求解，解题的关键是根据题意建立正确的数学模型，先通过分式方程求出单价，再利用一次函数的单调性求费用最小值，最后根据价格调整后的费用列方程求解． 先设B种书架单价，根据A、B单价关系表示A种单价，再由素材二列分式方程求解；接着根据购买数量的限制条件，建立总费用与购买数量的一次函数关系，利用函数单调性求最优方案；最后根据价格调整后的总费用，代入最优方案列方程求解的值． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得，  解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴A种书架的单价为（元）． 答：两种书架的单价分别为元，元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用，即， 由题意得，a应满足：，解得． ∵， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 答：w与a的函数关系式为，费用最少时购买A种书架8个，B种书架个． （3）解：由题意得，解得． 题型四、新定义压轴（难题拉分题） 【典例8】．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即． （1）当时，________； （2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________． 【答案】 3 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线的交点问题等知识， 分情况讨论是解题的关键． （1）将代入两个一次函数求出函数值，取最大值即可； （2）先联立两一次函数求出交点，确定“顶函数”的分段图象，再分析直线过定点的特性，通过讨论直线与顶函数两段图象的交点所在区间，解不等式确定k的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，，因为，所以， （2）解：联立，解得， 即两直线交点为． 当 时，，故； 当时，，故； 当时，； 直线整理为，可知其过定点． ① 联立，得， 当时，，要求， 解不等式， 解得或． ② 联立，得， 当时，， 要求，解不等式，通分变形得， 解得． 要使直线与顶函数图象有2个交点，需直线与两段图象各有一个交点且不重合（时直线过交点，仅1个交点），取两个解集公共部分得． 即k的取值范围是． 【典例9】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的启明函数． （1）若，则函数、的启明函数是______； （2）设函数与的图象相交于点P．当时，点P在函数、的启明函数图象的上方，则的取值范围为______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了新定义下的一次函数运算与不等式求解，熟练掌握一次函数的交点计算、新定义的代入应用以及不等式的性质是解题的关键． （1）直接代入启明函数的定义式，将给定的、和两个一次函数表达式代入计算． （2）先联立两个一次函数求出交点的坐标，再根据启明函数的定义写出表达式，代入点横坐标得到函数值，结合点在启明函数图象上方的条件建立不等式，最后结合的条件求解的取值范围． 【详解】解：（1） ； （2）∵，， ∴联立得， ∴， 代入得， ∴， 启明函数将代入启明函数： ， ∵点在启明函数图象上方 ∴， 移项得 ， 提取公因式得 ， ∵ ， ∴ ， ∴必须有 ， ∴ ， 故答案为：（1）；（2）． 【典例10】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）我们定义：在平面直角坐标系中，点，，若，，且，则称点是点的“阶变换点”．例如，点是点的“3阶变换点” （1）若点，则点的“2阶变换点”为______； （2）已知点，点的“阶变换点”记为，点的“3阶变换点”记为，若直线经过点和点，则直线在轴上的截距为______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、求一次函数解析式 【分析】本题考查了新定义运算，求一次函数的解析式以及一次函数图象与坐标轴的交点问题； （1）根据“阶变换点”的定义直接计算坐标； （2）先求两点坐标，待定系数法求得解析式，进而令，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，点的2阶变换点： ，， 故点为； 故答案为：． （2）解：点的阶变换点： ，， 即； 的3阶变换点： ，， 即； 将，代入 ， 解得： ∴ 当时， 故答案为：． 【典例11】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）定义：在函数中，我们把关于x的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题： （1）一次函数的对称函数在y轴上的截距为______； （2）若一次函数的对称函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为8，则k的值为______． 【答案】 8 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，解题的关键是理解题目中对称函数的概念． （1）先根据对称函数的定义写出一次函数的对称函数的解析式，再令，求出对应的y值即可； （2）先求出的对称函数，再求出的长度，利用三角形面积公式列出等式，即可求解． 【详解】解：（1）根据对称函数的定义， 可知一次函数的对称函数是， 当时，， 一次函数在轴上的截距为， 故答案为：； （2）根据对称函数的定义， 可知一次函数的对称函数为， 当时，， 点坐标为， ， ， 当时，， 点坐标为， ， 三角形的面积为8， ， 解得或（舍， 故答案为：8． 题型模版 1.题型特征：多问递进式考题，融合新定义运算、一次函数图像、方程组求解、不等式范围、动点存在性、面积最值，综合性极强，作为试卷最后一道压轴题。 2.解题思路：逐问拆解、化繁为简，先求基础解析式与交点，再结合分类讨论、绝对值化简、取值范围约束，逐步解决探究性问题。 【变式4-1】．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）定义新运算：对于任意实数都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)若，且，求的值； (2)对于变量，满足，求出关于的函数关系式，并求出该函数图象上与轴距离为2的点的坐标． 【答案】(1)， (2)，或 【知识点】加减消元法、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，函数的关系式，理解新定义是解题的关键． （1）根据新运算可得，然后解二元一次方程组即可； （2）根据新运算可得y关于x的函数关系式，再分别把和代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， 联立方程组， ①＋②得，，解得， 把代入②得，； （2）解：， 即； 把代入得，，解得或0， 该函数图象上与轴距离为2的点的坐标是或． 【变式4-2】．（25-26八年级上·安徽六安·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________， (2)若一次函数的“不动点”为，求，的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上不与原点重合的一个动点，使得，求满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数图象平移问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题． （1）根据“不动点”定义，联立一次函数与的方程组，求解即可得到交点坐标． （2）先利用“不动点”在上求出的值，再将“不动点”坐标代入一次函数解析式求出的值． （3）先根据直线无“不动点”得出两直线平行，求出的值，进而得到直线解析式，求出、两点坐标，设出点坐标，利用三角形面积公式列方程求解，注意排除与原点重合的点． 【详解】（1）解：联立 将代入，得 解得，则 一次函数的“不动点”为． （2）解：“不动点”在上 解得 又点在上，且 解得 ． （3）解：直线上没有“不动点”， 直线与直线平行， ， 直线解析式为 令，则，得 令，则，得 设，且 两边同时乘2，得 即 解得或 不与原点重合 舍去 答：满足条件的点坐标为． 【变式4-3】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“近点”，例如求的“近点”，联立，得方程组，解得，则的“近点”为． (1)由定义可知，一次函数的“近点”为____________； (2)一次函数的“近点”为，求，的值； (3)已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线上没有“近点”．若点为直线上一点，且点在第一象限，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练地利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“近点”为，代入求得q，进而把点的坐标代入求得p即可； （3）根据题意可得，设直线 与 轴交于 ，则，根据得出点的纵坐标为，代入直线，即可求解． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“近点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“近点”为； 故答案为：； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∵点又在上， ， ∴， （3）解：∵直线上没有“近点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， ∴ ∴ 依题意，点为直线上一点， 如图，设直线 与 轴交于 ，则 ∵点在第一象限， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴点的纵坐标为 ∵点为直线上一点， 将代入得 解得 ∴． 【变式4-4】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为，其中“分移值”为1． (1)已知点在的“分移函数”的图象上，求的值； (2)已知点，在函数的“分移函数”的图象上，求的值； (3)点，．已知函数的“分移函数”中的“分移值”为5，且此“分移函数”的图象与线段有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】（1）由，故将点代入解析式即可； （2）将点，代入函数的“分移函数”的解析式，可得关于m和b的二元一次方程组，求解即可； （3）根据函数的“分移函数”图像，通过计算函数图像分别过点A和过点B时k的值，即可确定图像与线段有两个交点时k的取值范围． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴将点代入， 得 解得， （2）根据题意，将点代入， 得  ① 将点代入， 得  ② ①+②得， ∴； （3）∵函数的“分移函数”的“分移值”为5， ∴， 当时，函数图象与线段没有交点， 当时，当函数图象经过点时，将点的坐标代入，解得，此时该“分移函数”的图象也经过点．即当时，此“分移函数”的图象与线段有两个交点．再结合该“分移函数”的图象易得，当此“分移函数”的图象与线段有两个交点时，的取值范围为 故的取值范围为： 【点睛】本题考查了一次函数与新定义的综合，涉及待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的图像和性质，理解“分移函数”的含义并运用数形结合思想是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 将代入，即可求出的值，即可求解． 【详解】解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， 即方程组的解为： ， 故选：A． 二、填空题 2．已知：函数与的图象相交于点P． （1）点P的横坐标为：________（用含有t的代数式表示） （2）过点P作x轴的垂线l，与函数交于点Q，若，且点P在点Q的上方，求t的取值范围是________． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线交点坐标问题等知识．点P为两函数图象的交点，联立得到方程即可求解横坐标；根据点P在点Q上方，得出纵坐标不等式，结合条件化简求解t的范围即可． 【详解】解：（1）由与相交于点P， 联立方程得， 解得，故点P的横坐标为． 故答案为：； （2）∴点P的坐标为， 过点P作x轴的垂线l，方程为． 函数化为， 点Q在l上，横坐标为，纵坐标． 由点P在点Q上方，得， 即． 化简得． 已知，即， 故， 解得． 故答案为． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 【答案】 ； 【分析】本题考查一次函数的定点问题以及一次函数与线段的交点问题，关键在于掌握恒过定点的求法，以及通过计算直线经过线段端点时的值来确定的取值范围． （1）对于直线，令含的项的系数为0，即可求出恒过的定点坐标； （2）先分别求出直线经过线段的两个端点、时的值，再结合定点与线段的位置关系，确定直线与线段有且只有一个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：对于直线，当时，无论取何值，， ∴直线恒过的定点坐标是； 故答案为：． （2）解：当直线经过点时，将，代入， 得，解得； 当直线经过点时，将，代入， 得，解得； ∵直线恒过定点， ∴结合线段的位置可知，当直线的系数满足时，直线与线段有且只有一个交点． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， _____； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ____________________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象及性质，能够根据定义，画出分段函数的图象，数形结合解题是关键． （1）利用新定义求得即可； （2）根据题意，当时，，当时，，再数形结合解题即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 如图： 当直线经过点时，， 当与直线平行时，， 时，直线与函数的图象有两个交点， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·安徽池州·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点” ． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则___，___； （2）若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”，___． 【答案】 1 2 6或 【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法． （1）由点在正比例函数的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出m的值，由点是y关于x的正比例函数的“阶和点”，可求出n的值； （2）利用分类讨论的方法和“5阶和点”的定义求得“5阶和点”，再利用待定系数法解答即可． 【详解】解：（1）∵点是y关于x的正比例函数的点， ∴， ∴， ∵点到两坐标轴的距离之和等于2， ∴点是y关于x的正比例函数的“2阶和点”， ∴． 故答案为：1，2； （2）设一次函数图象的“5阶和点”为，则，， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ∴，， ∴一次函数图象的“5阶和点”为， ∴一次函数的图象经过， ∴， ∴； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ∴，， ∴一次函数图象的“5阶和点”为， ∴一次函数的图象经过， ∴， ∴． 综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”，k的值为6或， 故答案为：6或． 三、解答题 6．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）定义：若关于x的一次函数，满足，则称这两个一次函数互为“未来伴侣函数”． (1)已知关于x的一次函数和互为“未来伴侣函数”，求a，b的值． (2)若关于x的一次函数有“未来伴侣函数”，这两个函数的图象与y轴所围成的三角形的面积为8，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，求直线围成的三角形面积等知识； （1）根据“未来伴侣函数”的定义，直接由绝对值之和为0得出方程求解； （2）先根据定义求出伴侣函数，再求两函数与y轴的交点及交点坐标，利用三角形面积公式建立方程求解． 【详解】（1）解：∵互为“未来伴侣函数”， 根据定义，，其中， ∴， ∵ 绝对值非负， ∴ ， ∴； （2）解：设的“未来伴侣函数”为， 根据定义，，其中， ∴， ∴且。 ∴， ∴， 对于，当时，，即点， 对于，当时，，即点， 解方程 ， ∵（否则两直线重合，无三角形）， ∴， 代入，即点， 三角形顶点为，，， 底边在y轴上，长度， 高为点C到y轴距离1， 由题意得： ， ∴或， 7．（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于，，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，点横坐标为，且，过点作直线平行于轴，该直线与直线交于点，且，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)的坐标为或 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了求两直线交点，求直线围成的三角形的面积，线段长度问题，根据题意列出方程是解题的关键． （1）运用待定系数法求出直线的解析式，联立解析式即可求解； （2）根据题意，求得，设，根据列出方程，解方程即可求解； （3）点在直线上，点横坐标为，则，，根据，则M在N点的上方，根据，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设经过，两点的解析式为， 由题意得， 解得：， ：， 联立， 解得：， 点的坐标为； （2）解：， ， ∵点的坐标为， ∴， 由点P在y轴上，可设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 的坐标为或； （3）解：∵点在直线上，点横坐标为， ，， ， ， ， 点的坐标为． 8．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图所示，直线经过点，与x轴交于点B，且与直线平行，且直线与直线的交点为点C． (1)求直线的函数表达式，并求出点C的坐标； (2)根据图象，写出关于x的不等式组的解集； (3)若点P是直线上一点，过点P作轴交直线于点Q，当，求P点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查用待定系数求一次函数解析式，求两条直线交点坐标，一次函数与一元一次不等式，一次函数与几何综合； （1）由直线与直线平行可得，再将点代入即可求出； （2）不等式组的解集是直线在x轴及上方，且在直线的下方的部分，结合图象即可得出结果； （3）由轴，可得点P与点Q的横坐标相同，且点P在直线上，点Q在直线上，可设P点坐标为，则点Q坐标为，分类讨论：当在C点左侧，；当在C点右侧，，即可求解. 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， ∴直线对应的函数表达式为， 解方程组得 ∴点C的坐标为. （2）解：∵直线，令，得，解得：， ∴与x轴的交点坐标是， 由图象可知：可得当，直线在x轴及上方即， 当时，直线在直线的下方，即， ∴当时，， 即关于x的不等式组的解集为. （3）解：∵轴， ∴点P与点Q的横坐标相同，且点P在直线上，点Q在直线上， 设P点坐标为，则点Q坐标为， 当在C点左侧，则，解得，此时P点坐标为， 当在C点右侧，则，解得，此时P点坐标为， ∴P点的坐标为或. 9．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式． (2)求的面积． (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)； (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）将点，分别代入两个解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）连接,先求得的坐标，进而根据，即可求解． （3）根据不等式组的解集是一次函数在下方，且在轴下方部分对应的自变量的取值范围，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，直线和直线相交于点， ，． ，． 直线为，直线． （2）如图，连接． 直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点， 对于，当时，，当时，， 对于，当时， ，，． ，． 又， ． （3）由题意得，不等式组的解集是一次函数在下方，且在轴下方部分对应的自变量的取值范围， 结合函数图象可得，． 10．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图；在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q，若，求t的值． 【答案】(1) (2)4 (3)3 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）先根据题意得，，再根据，得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，， ∴， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q， ∴，， ∵，， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． 11．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，函数与的图象交于． (1)求出的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)在函数的图象上找一点，使的面积等于面积一半，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数解析式，两直线交点求不等式解集．解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质．体会数形结合的思想． （1）把代入，求出，再将代入，可得m的值； （2）根据函数图象交点位置，利用数形结合思想可得答案； （3）由的面积等于面积一半，得，求出，进而求出的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得； ∴， 把代得：， 解得； （2）解：不等式的解集为； （3）解：∵的面积等于面积一半， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∴的坐标为或． 12．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡元； 方案一的租金（元），方案二的租金（元）分别与租用件数（件）之间的函数关系如图所示． (1)长安汉服体验馆年卡________元； (2)请求出每件汉服租金的原价是多少元，并写出两种方案的租金与租用件数之间的函数表达式？ (3)若当该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种租用方案更划算？ 【答案】(1)480 (2)每件汉服租金的原价是120元；； (3)选择方案二更划算 【分析】本题考查了一次函数的实际应用（方案选择问题），解题的关键是根据题意建立租金与租用件数的函数关系式，结合函数图象与已知条件求解参数，并通过代入预算值比较方案的性价比． （1）由时的数值得年卡； （2）设原价为，利用时列方程求原价，再写两种方案的函数表达式； （3）将预算代入函数式求租用件数，比较件数判断更划算的方案． 【详解】（1）解：由图象，当时，，即年卡； 故答案为：480． （2）解：设每件汉服租金原价为元， 由题意得，， 当时，，则， 解得． 即每件汉服租金的原价是120元． 方案一的函数表达式：； 方案二的函数表达式：． （3）解：当租金预算为4800元时，代入，得，解得； 代入，得，解得． ， 选择方案二更划算． 13．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线与y轴的交点坐标是． (1)求a，b的值； (2)过直线上一点作x轴的垂线交直线于点C，交直线于点D． ①当时，求m的值； ②讨论与的大小关系，直接写出你的结论． 【答案】(1)， (2)①；②当时，；当时，；当时，． 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，解不等式和方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将，代入求解即可； （2）①首先求出，，然后根据列方程求解即可； ②首先表示出，然后分三种情况讨论，分别列出不等式和方程求解即可． 【详解】（1）将，代入得， ，解得； （2）①∵， ∴ 将代入得 ∴ 将代入得 ∴ ∵ ∴ ∴； ②将代入得， 解得 ∵，， ∴ ∴当时，由图象可得，； 当时，， ∴当时， ∴； ∴当时， ∴； ∴当时， ∴； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 14．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)点是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，两直线交点的计算，图象法求不等式解集，掌握一次函数图象的性质是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）联立方程组求解得到，结合图象即可得到不等式组的解集； （3）根据题意得到，，设，由面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：直线经过点，与轴相交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数关系式为； （2）解：∵直线交于点， ∴联立方程组得，， 解得，， ∴，且， ∴由图象可得，当时，， ∴解集为：； （3）解：直线与轴相交于点， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴或， 解得，或， ∴或． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线分别交x轴、y轴于点和点B；直线交直线于点，交y轴于D． (1)求直线、的表达式； (2)求的面积； (3)点M是直线上一点，过点M作直线平行于y轴，交于N，若，求点M的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）将代入直线可得，从而得出直线的解析式为；将代入直线的解析式可得，推出，将代入直线计算即可得解； （2）求出点、的坐标，从而可得，再由三角形的面积公式计算即可得解； （3）设，则，表示出，结合，得出，求解即可． 【详解】（1）解：将代入直线可得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 将代入直线的解析式可得，即， ∴， 将代入直线可得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， 在中，当时，，即， ∴， ∴的面积 （3）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴点的坐标为或． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为_____________； (2)点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数： （1）将分别代入求出坐标； （2）先求得的坐标，根据面积相等得到的坐标，再用待定系数法求得直线的函数表达式； （3）设直线的函数表达式为，先求出表达式，再分情况讨论：当点在线段上时以及当点在线段上时，根据列式求解． 【详解】（1）一次函数的图象分别交轴，轴于点， 令，则， 解得：， ； 令，则， ； 故答案为：； （2）因为点的纵坐标为， 把代入，得， 所以， 设， 因为的面积与的面积相等， 所以， 解得，所以， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得． 所以直线的函数表达式为． （3） 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， 所以直线的函数表达式为， 设， 所以， 如图-1，当点在线段上时， 因为， 所以 所以， 所以点的坐标为； 如图-2，当点在线段上时， 因为， 所以， 所以， 所以点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 17．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 【答案】(1)①，②，③ (2)； (3)甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：180吨；乙地运往厂：240）吨，乙地运往厂：160吨， 【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意． （1）设从甲地运吨木材到厂，根据“甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨”列代数式即可； （2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可； （3）根据总运费得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意得，①，②，③， 故答案为：①，②，③； （2）解：由题意得，； ； （3）解：因为，即， 可得， 得， 又， 得． ∵， 一次函数中，， 故随增大而减小， ∴内，取最大值120时，总最小． 故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨， 所以（元）． 18．在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． (1)特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值； (2)一般证明 ①时，直接写出_____； ②求出的值； (3)类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1；②1； (3)是， 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解等知识，解题的关键是： （1），，则； （2）①先求出点、的坐标分别为：、，将点的坐标，，代入一次函数表达式得：，然后代入计算可； ②由①知，，，，则； （3）待定系数法求出直线的表达式为，设直线的表达式为：，联立方程组求出点，求出，，代入，整理得，即可求解． 即可求解． 【详解】（1）解：当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， 则； （2）解：①当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， ∴当，时，， ∴， ∴， 故答案为：1； ②由①知，，，， 则； （3）解：设直线的表达式为：， 则， 解得 ∴， 设直线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：，则点， 由点、的坐标得，，则， 同（2）可求点，则， ，即， 解得：， 则， 当时，， 即直线过定点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数与二元一次方程综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、几何综合压轴（高频大题） 题型二、参数型压轴（难点题型） 题型三、实际方案选择压轴（期末高频应用题） 题型四、新定义压轴（难题拉分题） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 适用于所有几何综合、动点、参数、实际应用压轴题，固定解题流程，规避思路混乱、漏解等问题。 第一步：求全解析式：用待定系数法，求出题干中所有一次函数的完整表达式，夯实解题基础。 第二步：求临界交点：联立任意两条直线解析式，解二元一次方程组，求出所有交点坐标，确定取值范围的临界值。 第三步：数形结合判范围：以交点横坐标为分界点，观察图像上下位置关系，判断函数值大小，准确写出不等式解集。 第四步：约束条件筛选 几何题型：重点考虑动点位置、线段长度非负、绝对值化简、分类讨论； 实际应用题：优先锁定自变量取值范围（正数、整数、题干限制条件），再对比方案、求解最值。 核心解题思想：数看方程算，形看图像看，范围看交点。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、几何综合压轴（高频大题） 【典例1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在直线上，轴，交直线于点E，若，求点D的坐标． 【典例2】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)若的面积是4，求点的坐标． 【典例3】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点． (1)若点的坐标为． ①求的值； ②横坐标为的点在轴上，过点作轴的垂线分别与一次函数的图象和直线交于两点，若线段的长度等于1，求的值； (2) 若一次函数对于除0之外的任意实数，其图象都经过一个定点，点与点关于轴对称，求的面积． 题型模版 1.题型特征：结合直线与坐标轴交点、围成三角形面积、竖/水平动线、动点线段长度、参数范围，融合方程与不等式综合考查，为期末必考核心大题。 2.核心考点：交点求解、三角形面积计算、动点线段最值、参数取值范围、绝对值不等式求解。 【变式1-1】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求直线与的表达式； (2)若点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 【变式1-2】．（2025八年级上·安徽宣城·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点． (1)求和的值； (2)直线与轴交于点，动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动（不与点重合）．设点的运动时间为秒．若的面积为，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【变式1-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一次函数，解决下列问题： (1)如果这个函数的图象经过，求的值． (2)不论取何值，的图象一定经过某个定点，求这个点的坐标． (3)在平面直角坐标系中，点，如果此坐标系中，函数的图象与的边有两个交点（过三角形顶点也是交点），求的取值范围． 题型二、参数型压轴（难点题型） 【典例4】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，直线与直线交于点． (1)直接写出方程组的解． (2)若点在直线的下方，直线的上方，求出的取值范围． 题型模版 1.题型特征：直线解析式含未知参数（k、m等），根据直线位置关系、交点情况、不等式解集反求参数，核心考“三条直线不能围成三角形”“直线与线段有交点”两类高频考点。 2.核心结论：三条直线不能围成三角形，仅有两种情况：①任意两条直线平行；②三条直线交于同一点。 【变式2-1】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线：，直线：，与相交于点P，，分别与y轴相交于点A，B． (1)求点P的坐标． (2)结合图象，直接写出当时，x的取值范围． (3)点为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交和于点E，F，当时，求m的值． 【变式2-2】．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，直线：与直线：相交于点，直线，与轴分别交于，两点． (1)求的值，并结合图象写出关于，的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，若线段与线段的长度之和为10，求的值． 【变式2-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知直线：与直线：交于点． (1)关于x，y的方程的解为 ； (2)若点P在直线上，且点P到y轴的距离为2，求点P的坐标； (3)将直线向左平移2个单位，若得到的直线对应的函数是正比例函数，求a的值． 题型三、实际方案选择压轴（期末高频应用题） 【典例5】．（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍． (1)求、两种道具包的单价； (2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答） 【典例6】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【典例7】．为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材300件，已知某体育用品店，甲种器材每件20元，乙种器材每件15元，且该店对同时购买两种器材有两种销售方案．（只能选择其中一种） 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折； 方案二：甲、乙种器材每件均打八折； 设购买甲种器材件，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少． 题型模版 题型特征：以购物、租车、收费、生产等实际场景为背景，给出两套及以上收费方案，构建两个一次函数，通过方程组求临界值、通过不等式判断最优方案。 【变式3-1】．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 【变式3-2】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）为了表彰在学年智慧阅读活动表现优异的同学，学校决定购买A，B两种奖品共42件，已知A，B两种奖品的单价分别是50元/件和40元/件，且购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件．设购买A种奖品x件，购买这两种奖品共花费y元． (1)求计划购买这两种奖品所需的费用y（元）关于x（件）的函数解析式． (2)共有多少种不同的购买方案？购买这些奖品最少需要多少元？ (3)采购人员在采购奖品时，恰逢商场正在促销：A种奖品每件降价a元，B种奖品每件降价b元．采购人员通过计算发现，购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关，请求出的值． 【变式3-3】．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多7个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出A，B两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 题型四、新定义压轴（难题拉分题） 【典例8】．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即． （1）当时，________； （2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________． 【典例9】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的启明函数． （1）若，则函数、的启明函数是______； （2）设函数与的图象相交于点P．当时，点P在函数、的启明函数图象的上方，则的取值范围为______． 【典例10】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）我们定义：在平面直角坐标系中，点，，若，，且，则称点是点的“阶变换点”．例如，点是点的“3阶变换点” （1）若点，则点的“2阶变换点”为______； （2）已知点，点的“阶变换点”记为，点的“3阶变换点”记为，若直线经过点和点，则直线在轴上的截距为______． 【典例11】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）定义：在函数中，我们把关于x的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题： （1）一次函数的对称函数在y轴上的截距为______； （2）若一次函数的对称函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为8，则k的值为______． 题型模版 1.题型特征：多问递进式考题，融合新定义运算、一次函数图像、方程组求解、不等式范围、动点存在性、面积最值，综合性极强，作为试卷最后一道压轴题。 2.解题思路：逐问拆解、化繁为简，先求基础解析式与交点，再结合分类讨论、绝对值化简、取值范围约束，逐步解决探究性问题。 【变式4-1】．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）定义新运算：对于任意实数都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)若，且，求的值； (2)对于变量，满足，求出关于的函数关系式，并求出该函数图象上与轴距离为2的点的坐标． 【变式4-2】．（25-26八年级上·安徽六安·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________， (2)若一次函数的“不动点”为，求，的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上不与原点重合的一个动点，使得，求满足条件的点坐标． 【变式4-3】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“近点”，例如求的“近点”，联立，得方程组，解得，则的“近点”为． (1)由定义可知，一次函数的“近点”为____________； (2)一次函数的“近点”为，求，的值； (3)已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线上没有“近点”．若点为直线上一点，且点在第一象限，若，求点的坐标． 【变式4-4】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为，其中“分移值”为1． (1)已知点在的“分移函数”的图象上，求的值； (2)已知点，在函数的“分移函数”的图象上，求的值； (3)点，．已知函数的“分移函数”中的“分移值”为5，且此“分移函数”的图象与线段有两个交点，请直接写出的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．已知：函数与的图象相交于点P． （1）点P的横坐标为：________（用含有t的代数式表示） （2）过点P作x轴的垂线l，与函数交于点Q，若，且点P在点Q的上方，求t的取值范围是________． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， _____； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ____________________． 5．（24-25八年级上·安徽池州·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点” ． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则___，___； （2）若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”，___． 三、解答题 6．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）定义：若关于x的一次函数，满足，则称这两个一次函数互为“未来伴侣函数”． (1)已知关于x的一次函数和互为“未来伴侣函数”，求a，b的值． (2)若关于x的一次函数有“未来伴侣函数”，这两个函数的图象与y轴所围成的三角形的面积为8，求k的值． 7．（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于，，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，点横坐标为，且，过点作直线平行于轴，该直线与直线交于点，且，求点的坐标． 8．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图所示，直线经过点，与x轴交于点B，且与直线平行，且直线与直线的交点为点C． (1)求直线的函数表达式，并求出点C的坐标； (2)根据图象，写出关于x的不等式组的解集； (3)若点P是直线上一点，过点P作轴交直线于点Q，当，求P点坐标． 9．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式． (2)求的面积． (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 10．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图；在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q，若，求t的值． 11．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，函数与的图象交于． (1)求出的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)在函数的图象上找一点，使的面积等于面积一半，求出点的坐标． 12．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡元； 方案一的租金（元），方案二的租金（元）分别与租用件数（件）之间的函数关系如图所示． (1)长安汉服体验馆年卡________元； (2)请求出每件汉服租金的原价是多少元，并写出两种方案的租金与租用件数之间的函数表达式？ (3)若当该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种租用方案更划算？ 13．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线与y轴的交点坐标是． (1)求a，b的值； (2)过直线上一点作x轴的垂线交直线于点C，交直线于点D． ①当时，求m的值； ②讨论与的大小关系，直接写出你的结论． 14．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)点是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线分别交x轴、y轴于点和点B；直线交直线于点，交y轴于D． (1)求直线、的表达式； (2)求的面积； (3)点M是直线上一点，过点M作直线平行于y轴，交于N，若，求点M的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为_____________； (2)点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标． 17．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 18．在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． (1)特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值； (2)一般证明 ①时，直接写出_____； ②求出的值； (3)类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $