微专题 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

微专题 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组） 目录 题型一、已知直线与坐标轴交点求方程的解 1 题型二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 3 题型三、利用图象法解一元一次方程 8 题型四、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 12 题型五、根据两条直线的交点求不等式的解集 15 题型六、两直线的交点与二元一次方程组的解 20 题型七、图象法解二元一次方程组 25 题型八、求直线围成的图形面积 34 题型一、已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． 【详解】解：根据函数图象可得与轴交于点 ∴关于x的方程的解， 故选：B． 2．已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据函数图象求方程的解． 根据函数图象作答即可． 【详解】解：根据函数图象可知，一次函数经过， 即， ∴关于的方程的解为． 故答案为：． 3．已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，一次函数图象与轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知：一次函数图象与轴的交点横坐标为， ∴关于的方程的解是． 故答案为： 4．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与x轴的交点的横坐标是一次函数的函数值为0时所得方程的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴则关于的方程的解为， 故答案为：． 题型二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 5．如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质、两条直线相交或平行问题、三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出点的坐标，再求出，根据待定系数法求出直线的解析式，设点，利用三角形面积关系建立方程求出值，继而得到点的坐标． 【详解】解：在中，当时，， ， ∵ ∴， 由图象得：， ， 由条件可知：， 解得， 直线的解析式为， 设点， ， 解得或， 或． 故答案为：或． 6．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象不经过第一象限 C．函数图象与轴的交点坐标是 D．函数图象与函数的图象平行 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括增减性、图象所经象限、与坐标轴的交点及图象的平行．根据一次函数解析式，分析各选项的正误即可． 【详解】A．∵，∴函数值随自变量增大而减小，结论正确，不符合题意． B．∵，，函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，结论正确，不符合题意． C．令，解方程得，故与轴交点为，而非，结论错误，符合题意． D．函数与的自变量系数均为，故两图象平行，结论正确，不符合题意． 故选C． 7．已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 【答案】(1)， (2)， (3)12 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）利用勾股定理求得，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线l的距离； （3）根据三角形面积公式即可得到结论． 【详解】（1）直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 设点O到直线l的距离为h，则， ∴， ∴， ∴点O到直线l的距离为；； （3）如图，过O作于C，反向延长交于D， 将直线l向下平移20个单位长度得到直线， ∴直线为，， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线l与之间的距离为12． 9．在平面直角坐标系中，已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点（如图所示），直线交x轴于点C． (1)点A、B的坐标，并求出直线位于x轴上方所有点的横坐标的取值范围； (2)现将直线平移，使其经过点B，交x轴于点D，如果，求a的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用直线确定A、B的坐标，利用直线确定C的坐标，然后利用一次函数的性质求解即可； （2）根据三线合一的性质可得出，则，根据平移的性质可设，把点D的坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：直线分别交x轴、y轴于A、B两点， 当时，；当时，，解得， ， 直线交x轴于点C， 当时，，解得， ， 直线位于x轴上方所有点的横坐标的取值范围． （2）解：将直线平移，经过点，交x轴于点D，且， ， ， 直线由直线平移而得到， 两直线平行， 设， 把代入，得， ． 题型三、利用图象法解一元 一次方程 10．如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 11．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键．先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：把代入得， 解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 13．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)函数的图象关于轴对称．（答案不唯一） (4)①2；②；③ 【分析】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． （1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论； ③根据函数图象分情况作答即可； 【详解】（1）解：将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． 故答案为：，； （2）解：根据表格描点、连线，如图所示： （3）解：观察图象，可知：函数的图象关于轴对称． 故答案为：函数的图象关于轴对称； （4）解：①观察图象可知， 的图象与有两个交点， 故方程有2个解； 故答案为：2； ②观察图象可知，的图象与直线有一个交点， 在的下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 故答案为：； ③当时，， 即函数必过， 当时，如图，当时，与右半段平行，此时与有1个交点， 即当时，与有2个交点，此时； 当时，同理可得当时，与有2个交点，此时； 当时，，由①可知此时与有2个交点； 综上所述，当时，关于的方程有两个不相等的实数解． 题型四、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 14．如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数的图象进行求不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 故选：A． 15．如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，及一次函数与不等式．熟悉结合一次函数的图像，及其在某一点的函数值，求自变量的取值范围是解题的关键．本题中根据已知点的坐标，和图像中随的增大而减小，即可得出所求的的取值范围． 【详解】解：由图像可知当时，，且随的增大而减小， ∴当时，． 故选：． 16．如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 直接根据函数图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可得：当时函数的函数值小于2，故不等式的解集为． 故选：A． 17．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 18．一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是理解不等式的解集就是函数的图象在轴上方时的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点横坐标为2， ∴当时，， 又∵由图象可知该一次函数随的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为； 故选：C． 19．如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为_____．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在的左侧所对应的自变量的值即可． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 题型五、根据两条直线的交点求不等式的解集 20．如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 21．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与直线交点的横坐标为，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，关于的不等式的解集为． 22．如图，函数与的图象相交于点，则当时，的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：观察图象可知，当时，函数的图象位于函数的图象下方， 当时，的取值范围是． 23．如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】直接利用函数图象，结合，得出x的取值范围． 【详解】解：∵交点坐标可知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集为 24．如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的图象过定点，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，当时，， 所以一次函数的图象过定点． 由得，， 所以点B坐标为． 将代入得，， 所以点A坐标为． 当一次函数图象经过点A时， ， 解得． 当一次函数图象经过点B时， ， 解得， 所以当一次函数的图象与有交点时，k的取值范围是：． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由求出，把代入即可得b的值； （2）由数形结合思想直接可得，当时，x的取值范围是； （3）设点D的坐标为，根据，，得出，，，分两种情况：当时，当时，分别根据勾股定理，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 即b的值是； （2）解：由图像可得：当时，就是在图象下方，且两个图象都在x轴的下方，x的取值范围，即； （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴点不可能为直角顶点； 当时，， ∴， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， ∴， 整理得：， 即， ， 开平方得：， 解得：或（舍去）， 此时点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查两条直线相交的问题，两点间距离公式，勾股定理，利用平方根解方程，理解数形结合是解题的关键． 题型六、两直线的交点与二元一次方程组的解 26．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴点的坐标同时满足两个直线的解析式， ∴方程组的解是． 27．如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与方程组解的关系．把代入求出的值，根据函数图象即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解是． ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 28．如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【分析】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 29．已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，理解题意，灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况是解题关键．过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线，由图象可知，的最小值是和交点的纵坐标的值，联立两直线求出交点坐标，即可得答案． 【详解】解：过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线， 由图象可知，在直线的左侧，的取值为直线的值，在直线和直线中间，的取值为直线的值，在直线右侧，的取值为直线的值， ∴的最小值是和交点的纵坐标值， 联立直线和解析式得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值是． 故选：C． 30．若二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组的解的关系． 二元一次方程组的解即为对应两条直线的交点坐标，因此直接使用给定的解即可得到交点坐标． 【详解】解：由题意可知，二元一次方程组即的解为， ∴直线与直线的交点坐标为． 故答案为：． 31．一次函数与函数的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查数形结合，一次函数的图象与性质；一次函数经过定点，函数是将的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，形如V字，开口向下，顶点在，通过分情况讨论和时方程的解，找出两个交点存在的条件即可． 【详解】 ∵一次函数与函数的图象交点由方程决定， ∴当时，，方程化为，即， 若，则，且 ，解得， 当时，，方程化为，即， 若，则，且需，解得或， ∴， 当或时，仅有一个交点；当或且时，也仅有一个交点， 故恰好有两个交点时，的取值范围是． 故答案为：． 32．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】求出点的坐标，再根据待定系数法和两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：把点代入得：， ∴点， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 将，代入可得，解得：， 故直线的表达式为． 题型七、图象法解二元一次方程组 33．如图直线与直线相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数与函数关于y轴对称，函数与函数关于y轴对称，故它们的交点也关于y轴对称即可求解． 【详解】解：∵的图像与的图像关于y轴对称， 的图像与的图像关于y轴对称， ∴直线与直线的交点也关于y轴对称，且对称后的坐标为(-1，-2)，, ∴方程组的解为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，使用数形结合的方法即可求解． 34．如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 35．综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： … … … … 表格中_______，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ (4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)； (4)，；见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，即可求解； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据图像得：当时 函数有最小值，最小值为； （4）解：方程的解为：，， 理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为，， 关于的方程的解为：，． 36．（1）知识再现： 如图1，在中，，顶点C在直线l上．过点A、B分别作于点D，于点E，求证：． （2）活动探究： 我们知道，在平面直角坐标系中，点的位置与n的取值有关．小明同学想研究点N的位置是否均在某一个函数图象上，于是联想到课本中的方法：①研究函数图象性质的方法，即列表、描点、连线、验证；②类比解方程组的消元法，即设，，用消元法可求得y与x的关系，即可以知道点N在什么函数的图象上． 请你任选上述一种方法判断：对于m取任意一实数，相应的点是否在某一个函数图象上？请说明你的判断理由． （3）拓展应用： 如图2，在直角坐标系中，点轴于点A,轴于点C,P是线段上的一个动点，第一象限内的点Q是直线与直线的交点，点R在平面内．若以A、P、Q、R，为顶点的四边形是以为对角线的正方形，求a的值． 【答案】（1）见解析；（2）符合点M在直线上；（3）或 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）方法一：画出图象，根据图象即可发现这些点在同一直线上，利用待定系数法求解即可； 方法二：设，，用消元法可求y与x的表达式； （3）求得Q点坐标，可得点在直线上，分两种情况：通过证得三角形全等，得出关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ． 在与中， ， ． （2）解：点在的图象上． 方法一： 列表： … 0 1 2 3.5 … … 0 1 2.5 … … … 描点：如图 连线：如图 通过描点观察发现这些点在同一直线上， 设一次函数的解析式为，取点和点代入， 得，解得， 所以y和x的函数关系式为， 验证：当时，， 所以符合点M在直线上． 方法二： ∵， ∴， ∴． ∴y和x的函数关系式为． ∴符合点M在直线上． （3）解：由，得， 所以点． 由题可知以A、P、Q、R为顶点的四边形是以为对角线正方形有两种情形． （1）情形一： 点Q在线段下方，如图， 因为四边形是正方形，所以， 过Q作直线轴于点M，交线段与点N，同理（1）得， 所以， 因为， 所以， 所以； （2）情形二： 点Q在线段上方，如图，因为四边形是正方形，所以， 过Q作直线轴于点M，交所在直线于点N， 同理（1）得， 所以，因为， 所以，所以． 综上或． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程、求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 37．在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点． (1)由题意可知， ______， ______； (2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质； (3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2，2 (2)画图见解析，y随x的增大而增大(不唯一) (3) 【分析】(1)把点与点分别代入解析式，即可求得； (2)通过列表—描点—连线的方法即可画出函数图象，再根据函数图象写出一条性质即可； (3)当直线经过点时，可求得t的值，再结合图象即可解答． 【详解】（1）解：把点代入，得，解得， 把点代入，得，解得， 故答案为：2，2； （2）解：函数解析为， 列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 3 6 9 12 … 描点、连线如下： 由图象可知：y随x的增大而增大(不唯一)； （3）解：当直线经过点时， 得，解得， 即此时该函数与y轴的交点坐标为， 画图如下： 由图象可知：当时，直线与这个函数的图象有两个交点． 【点睛】本题考查了坐标与图形，画函数图象及函数的性质，一次函数图象交点问题，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 题型八、求直线围成的图形面积 38．我们规定一次函数是一次函数的“孪生函数”，如是的“孪生函数”．若和它的“孪生函数”的图象与轴围成的三角形面积为2，则的值为_________． 【答案】5或 【分析】本题考查了一次函数图象和性质的关系，一次函数图象上点的坐标特征，明确新定义，求得“孪生函数”是解题的关键． 根据定义求得两函数与轴的交点以及两函数的交点，根据题意得到，解得 【详解】解：∵， ∴它的“孪生函数”为， 令，代入 得，即点． 令，代入得，即点． ∴， ． 当时，， 代入，得， 即交点． ∵和它的“孪生函数”与y轴围成的三角形面积为2， ∴三角形顶点为、和， ∴底边在轴上，长度为，高为交点横坐标的绝对值，面积． 解得或． 故答案为：5或． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C，点E在线段上，过点E作x轴的垂线与直线交于点F，与x轴交于点D，且，则的面积为____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标．根据两条直线的关系式求出交点坐标，设，则 ，根据列方程求出a值，进而求出结论即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为； 设，则，， ，， ， ， 解得：， ， 的面积为， 故答案为：． 40．一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)结合图象，当时，直接写出x的取值范围； (3)若一次函数的图象与y轴交于点B，一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】(1)点A的坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法，三角形面积的求法，掌握相关知识点是解题的关键． （1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）连接，令与y轴的交点为点D，求出点坐标，根据，即可求解． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得， 解得， 点A的坐标为． （2）解：根据函数图象，可知当时，x的取值范围是． （3）解：如图，连接，令与y轴的交点为点D， 当时，，， 点B坐标为，点D坐标为， ， 当时，，解得， 点C坐标为， ． 41．如图，直线与直线相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)将直线沿x轴正方向平移，记平移后的直线为，若直线与直线相交于点D，且点D的横坐标为1，求的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】此题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交或平行问题，待定系数法，关键是求出C点坐标，A点坐标，D点坐标． （1）根据y轴上点的坐标特征可求B点坐标，再根据，可求C点坐标，根据点A的纵坐标为3，可求A点坐标，根据待定系数法可求直线的解析式； （2）根据点D的横坐标为1，可求D点坐标，再由即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 点A的纵坐标为3， ， 解得， ， 则， 解得． 故直线的解析式为； （2）解：点D的横坐标为1， ， ， 的面积 ． 42．如图1，直线分别交x轴和y轴交于点且． (1)求直线的解析式； (2)若点P为x轴上一动点，且，求此时的P点坐标； (3)如图2，将直线向上平移4个单位得到直线，平移后的直线经过点，若点M为平面内一点，且以A，B，C，M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b值，从而求得A、B的坐标，再用待定系数法求解好戏可； （2）根据，得，即，求出即可求解； （3）先根据一次函数平移规律求得直线的解析式为，从而可求出点，再根据平行四边形的性质，根据平移的坐标变换规律求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∴，， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式． （2）解：∵，， ∴，， ∵ ∴ 解得：，， ∴点P的坐标为或． （3）解：∵直线的解析式，将直线向上平移4个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴， 当以为对角线的平行四边形时， ∵， ∴向左平移4个单位，向上平移1个单位，可以得到， ∵ ∴点M的坐标为； 当以为对角线的平行四边形时， 同理可得点M的坐标为； 当以为对角线的平行四边形时， 同理可得点M的坐标为； 综上，点M的坐标为或或． 【点睛】本师考查非负数的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一次函数图象的平移，平行四边形的性质，平移坐标变换，熟练掌握算术平方根的非负性、待定系数法求一次函数解析式、平移坐标变换规律是解题的关键． 43．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； (2)结合图形直接写出的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①解方程得到，，得，根据勾股定理得，代入数据计算即可； ②根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论； （2）根据图形可知，两函数图象的交点，再结合图形可得结论； （3）利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①在中， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的长度为， 故答案为：； ②∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）∵直线与直线交于点，直线与轴交于点， 当时，直线的图象在直线的下方且在轴的上方， ∴的解集为； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键． 44．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)直线为，直线； (2)3； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可； （3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：连接， ∵直线与轴和轴相交于点和点， ∴当时，解得，即点，， 当时，得，解得，即点，， ∵直线与轴相交于点， ∴当时，得，解得，即点，， ∴， ∴． （3）解：法一： 依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 法二： ∵， ∴， 得， 由①得， ， ， ， 由②得， ， ， 综上，． 试卷第1页，共3页 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组） 目录 题型一、已知直线与坐标轴交点求方程的解 1 题型二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 3 题型三、利用图象法解一元一次方程 8 题型四、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 12 题型五、根据两条直线的交点求不等式的解集 15 题型六、两直线的交点与二元一次方程组的解 20 题型七、图象法解二元一次方程组 25 题型八、求直线围成的图形面积 34 题型一、已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为______． 3．已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是________． 4．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为____________． 题型二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 5．如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为______． 6．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象不经过第一象限 C．函数图象与轴的交点坐标是 D．函数图象与函数的图象平行 7．已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 9．在平面直角坐标系中，已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点（如图所示），直线交x轴于点C． (1)点A、B的坐标，并求出直线位于x轴上方所有点的横坐标的取值范围； (2)现将直线平移，使其经过点B，交x轴于点D，如果，求a的值． 题型三、利用图象法解一元 一次方程 10．如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 11．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是_______． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 13．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 题型四、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 14．如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（   ） A． B． C． D． 15．如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 16．如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 17．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 19．如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为_____．    题型五、根据两条直线的交点求不等式的解集 20．如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 21．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 22．如图，函数与的图象相交于点，则当时，的取值范围是______． 23．如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 24．如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 题型六、两直线的交点与二元一次方程组的解 26．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（） A． B． C． D． 27．如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 28．如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 29．已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 30．若二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为________． 31．一次函数与函数的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是________． 32．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 题型七、图象法解二元一次方程组 33．如图直线与直线相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 34．如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 35．综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： … … … … 表格中_______，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ (4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的． 36．（1）知识再现： 如图1，在中，，顶点C在直线l上．过点A、B分别作于点D，于点E，求证：． （2）活动探究： 我们知道，在平面直角坐标系中，点的位置与n的取值有关．小明同学想研究点N的位置是否均在某一个函数图象上，于是联想到课本中的方法：①研究函数图象性质的方法，即列表、描点、连线、验证；②类比解方程组的消元法，即设，，用消元法可求得y与x的关系，即可以知道点N在什么函数的图象上． 请你任选上述一种方法判断：对于m取任意一实数，相应的点是否在某一个函数图象上？请说明你的判断理由． （3）拓展应用： 如图2，在直角坐标系中，点轴于点A,轴于点C,P是线段上的一个动点，第一象限内的点Q是直线与直线的交点，点R在平面内．若以A、P、Q、R，为顶点的四边形是以为对角线的正方形，求a的值． 37．在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点． (1)由题意可知， ______， ______； (2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质； (3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围． 题型八、求直线围成的图形面积 38．我们规定一次函数是一次函数的“孪生函数”，如是的“孪生函数”．若和它的“孪生函数”的图象与轴围成的三角形面积为2，则的值为_________． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C，点E在线段上，过点E作x轴的垂线与直线交于点F，与x轴交于点D，且，则的面积为____________________ ． 40．一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)结合图象，当时，直接写出x的取值范围； (3)若一次函数的图象与y轴交于点B，一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 41．如图，直线与直线相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)将直线沿x轴正方向平移，记平移后的直线为，若直线与直线相交于点D，且点D的横坐标为1，求的面积． 42．如图1，直线分别交x轴和y轴交于点且． (1)求直线的解析式； (2)若点P为x轴上一动点，且，求此时的P点坐标； (3)如图2，将直线向上平移4个单位得到直线，平移后的直线经过点，若点M为平面内一点，且以A，B，C，M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 43．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1)填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； (2)结合图形直接写出的解集； (3)求的面积． 44．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 试卷第1页，共3页 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $