第4章 第4讲 简单的三角恒等变换 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦三角恒等变换与求值，以题载法构建"公式应用-角变换-范围判断"的逻辑体系，强化数学运算与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|1-4题|给值求值|二倍角公式→半角公式→诱导公式的递进应用| |角变换综合|5-8题|角的拆分与构造|已知角表示未知角，如β=(β-α)+α的转化| |综合解答|9-14题|多公式交叉应用|三角函数定义、恒等变换与方程思想的综合运用|

1．已知sin 2α＝，则cos2(α＋)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．cos2(α＋) ＝[cos(2α＋)＋1] ＝(－sin 2α＋1) ＝×(－＋1)＝. 2．(2026·河南调研)设cos 20°＝a，则＝(　　) A． B． C．a D．a2 解析：选C．＝＝＝＝＝cos 20°＝a. 3．已知α是第二象限角，且终边经过点(－4，3)，则tan ＝(　　) A．3 B． C．2 D．或2 解析：选A．因为α是第二象限角，且终边经过点(－4，3)，所以sin α＝，cos α＝－，所以tan ＝＝＝＝＝3. 4．已知α为锐角，且tan α＋tan (＋α)＝1，则＝(　　) A． B．－3 C．－2 D． 解析：选C．因为α为锐角，所以tan α>0，则tan α＋tan (＋α)＝tan α＋＝tan α＋＝1， 整理可得tan2α－3tanα＝0，解得tan α＝3， 所以＝ ＝ ＝＝＝＝－2. 5．已知tan (β－α)＝，tan α＝－，α，β∈(0，π)，则2β－α＝(　　) A．－ B． C． D．－ 解析：选D．因为tan (β－α)＝，tan α＝－<0，α，β∈(0，π)， 所以tan β＝tan [(β－α)＋α] ＝＝∈(0，1)， 可知α∈(，π)，β∈(0，)，则2β－α∈(－π，0)，又tan 2β＝＝＝，可得tan(2β－α)＝＝＝1，所以2β－α＝－. 6．(多选)(2026·绵阳月考)已知α∈(，π)，β∈(0，π)，cos 2α＝－，cos (β－α)＝－，则(　　) A．tan α＝－ B．sin (β－α)＝－ C．α＋β＝ D．cos αcos β＝－ 解析：选BD．因为<α<π，cos 2α＝－，所以tan α＝－＝－2，故A错误；因为－π<－α<－，0<β<π，－π<β－α<，又cos (β－α)＝－<0，所以－π<β－α<－，所以sin (β－α)＝－＝－，故B正确；由<α<π，cos2α＝－，可得sin 2α＝－，则sin (α＋β)＝sin [2α＋(β－α)]＝sin 2αcos (β－α)＋cos 2αsin (β－α)＝，又<α＋β<2π，所以α＋β＝，故C错误；由α＋β＝，可得cos (α＋β)＝－，所以cos αcos β＝＝×(－－)＝－，故D正确． 7．化简：··＝________． 解析：原式＝··＝＝＝1. 答案：1 8．若α∈(0，)，且cos2α＝cos (α－)，则α＝ ________． 解析：由cos 2α＝cos (α－)， 得cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α). 因为α∈(0，)，所以cos α＋sin α≠0，故cos α－sin α＝，所以cos (α＋)＝. 由α∈(0，)，得α＋∈(，)， 则α＋＝，解得α＝. 答案： 9．(13分)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<)，且cos 2φ＋cos φ＝0. (1)求f()的值；(6分) (2)若f()＝(0<α<π)，求sin α的值．(7分) 解：(1)因为cos 2φ＋cos φ＝2cos2φ－1＋cosφ＝0，0<φ<， 所以cos φ＝－1(舍去)或cos φ＝， 所以φ＝，故f(x)＝sin (2x＋)， 故f()＝sin (π＋)＝－. (2)由(1)及题意知f()＝sin (α＋)＝<，又<α＋<， 所以<α＋<π， 所以cos (α＋)＝－＝－， 所以sinα＝sin [(α＋)－] ＝sin (α＋)cos －cos (α＋)sin ＝×＋×＝. 10．(2026·郴州模拟)已知α＋β＝，sin 2α＋sin 2β＝，则cos 2α＋cos 2β＝(　　) A．± B． C．－ D． 解析：选C．sin 2α＋sin 2β＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＋sin [(α＋β)－(α－β)] ＝2sin (α＋β)cos (α－β)＝， 由α＋β＝，得sin (α＋β)＝，cos (α＋β)＝－，则cos (α－β)＝， cos 2α＋cos 2β＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＋cos [(α＋β)－(α－β)]＝2cos (α＋β)cos (α－β)＝2×(－)×＝－. 11．(多选)已知角α是锐角，角β是第四象限角，且3cos α＋cos β＝，3sin α－sin β＝，tan α＝，则下列结论正确的是(　　) A．cos (α＋β)＝ B．sin (α＋β)＝－ C．tan (2α＋β)＝ D．tan β＝－3 解析：选ABD．因为tan α＝，所以＝.因为角α是锐角，角β是第四象限角，所以sin α>0，cos α>0，sin β<0，cos β>0.因为sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝，cos α＝.因为3sin α－sin β＝，所以－sin β＝，解得sin β＝－.因为3cos α＋cos β＝，所以＋cos β＝，解得cos β＝，所以cos (α＋β)＝×－×(－)＝，故A正确； sin (α＋β)＝×＋×(－)＝－，故B正确； 因为sin β＝－，cos β＝， 所以tan β＝＝－3，故D正确； 由二倍角公式得tan 2α＝＝＝，得tan(2α＋β)＝＝，故C错误． 12．(2025·浙江名校联盟联考)已知α，β∈(0，)，且满足sin αtan β＝1－cos α，sin (α－β)＝，则cos α＝________． 解析：方法一：由sin αtan β＝1－cos α， 得sin αsin β＝cos β－cos αcos β， 因此cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β) ＝cos β， 由α，β∈(0，)，得α－β∈(－，)， 所以α－β＝β，所以α＝2β，则sin (α－β)＝sin β＝，cos α＝cos 2β＝1－2sin2β＝. 方法二：由sinαtan β＝1－cos α，得tan β＝＝tan ，由α，β∈(0，)，∈(0，)，得＝β，α＝2β，则sin (α－β)＝sin β＝，cos α＝cos 2β＝1－2sin2β＝. 答案： 13．(13分)已知0<α<，cos(α＋)＝. (1)求sin α的值；(5分) (2)若－<β<0，cos (－)＝，求α－β的值．(8分) 解：(1)因为0<α<，所以<α＋<. 又cos (α＋)＝，所以sin (α＋)＝＝， 所以sin α＝sin [(α＋)－] ＝sin (α＋)cos －cos (α＋)sin ＝×(－)＝. (2)因为cos (－)＝， sin β＝cos (β－)＝cos [2(－)] ＝2cos2(－)－1＝2×－1＝－. 又－<β<0，所以cosβ＝＝.由(1)知，cosα＝＝，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×(－)＝.因为0<α<，－<β<0，则0<α－β<π，所以α－β＝. 14．(2026·河南部分学校月考)年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形，就将圆十七等分．设将圆十七等分后每份圆弧所对的圆心角为α，则＝________． 解析：由题意可知α＝，又 ＝＝ ＝2cos2＝1＋coskα， 所以＝16＋coskα ＝16＋cos . 因为cos ＝ ＝ ＝＝＝－1， 所以＝16＋cos ＝16－1＝15. 答案：15 学科网（北京）股份有限公司 $