云南省玉溪第一中学2026-2027学年高二上学期开学数学试题

**基本信息** 立足高二开学学情，以函数、几何、统计等模块为载体，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及数学建模能力，适配开学初知识回顾与能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|命题否定、不等式恒成立、幂函数性质等|聚焦基础概念，强化数学抽象能力| |多选|3/18|统计量计算、概率事件关系、圆锥与球综合|设置多情境辨析，培养逻辑推理素养| |填空|3/15|复数运算、函数单调性、立体几何翻折|结合空间观念，考查数学眼光的直观性| |解答|5/77|三角函数周期、统计直方图、解三角形、立体几何、血药浓度模型|第19题以药品浓度为背景构建函数模型，体现数学语言表达现实世界的应用意识|

玉溪一中2026—2027学年上学期高二开学考 数学试题评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A C B B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD ABC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案       四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分） 解：（1）由题意得， ， ， 所以函数的最小正周期； （2）因为，得， 又因为是锐角，所以， 因为是锐角，所以，且，所以， 则， ， 故． 16.（15分） 解：（1）由图知，组距，由，得． （2）各组中点值和相应的频率依次为： 中点值 频率 所以， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 所以中位数满足关系， 由，解得． （3）由已知，果实重量在和内的分别有个和个， 分别记为，，，和，，， 从中任取个的取法有： ，，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，共种取法， 其中都是优质果实的取法有，，，共种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率． 17.（15分） 解：（1）因为，由正弦定理可知：， ， ， 又为三角形内角，所以 （2）由，得，又，在中由余弦定理得： ， 所以． 18.（17分） 解：（1）证明：取的中点，连接， 因为▲PAB是边长为的等边三角形， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在▲PBC中，， 所以，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）取的中点，连接，    因为为线段的中点， 所以，， 由（1）知，平面， 又平面，所以，所以， 过点作，垂足为，连接， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以∠EGO为二面角的平面角， 因为平面， 又平面，所以， 又，所以， 所以， 即，解得， 因为平面，平面， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 即二面角的余弦值为； （3）因为平面，平面， 所以， 又▲PAB是边长为的等边三角形，点是棱的中点， 所以， 又，平面， 所以平面， 显然点不同于点，过点作，垂足为， 又平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成的角为， 设， 所以，， 在中，， 所以，即， 所以， 所以， 解得或舍，即． 19.（17分） （1）选择模型，理由如下： 对于，当时，， 与表格中数据不符，因此不符合题意． 对于， 易知其在定义域内单调递减，不符合题意． 对于，代入和，得 解得 所以，经检验，符合题意，故选． （2）当时，将，代入， 得解得 所以 当时，令，则 当时，令，则． 又，所以注射该药品时能达到的有效治疗时长为小时． （3）设从第一次注射起，经小时后，血药浓度为， 则， 由得， 故， 当且仅当， 即时，等号成立． 由得． 设从第一次注射起，经小时后，血药浓度为， 则， 易知其为单调递减函数． 所以的最小值为， 由得． 综上，故要使随后的小时内该药品能够持续有效治疗，则的最小值为． 数学试题评分参考第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 玉溪一中2026—2027学年上学期高二开学考 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知命题：“，”，则它的否定为 A．， B．， C．， D．， 2．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 A． B． C．或 D．或 3．已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则 A． B． C．或 D． 4．函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 5．已知向量，，，则的值是 A． B． C． D． 6．在三棱锥中，，且线段的中点恰好是三棱锥的外接球的球心．若三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 7．不等式的解集为或，则 A．3 B．1 C． D． 8．函数且的图象恒过定点，且点在直线上，，则的最小值为 A． B．8 C． D．10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去天苹果的日销售量单位：，结果如下：则这天苹果日销售量的 A．第百分位数为 B．平均数为 C．极差为 D．方差为 10．某不透明盒子中共有个大小质地完全相同的小球，其中有个白球个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是 A．若不放回取球，则甲乙相互独立 B．若有放回取球，则甲乙为互斥事件 C．若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D．若有放回取球，则甲乙相互独立 11．如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，若是边长为的等边三角形，为底面圆的一条直径与不重合，则下列说法正确的是 A．球的表面积为 B．圆锥的侧面积为 C．四面体的体积的取值范围是 D．若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设复数，则复数的共轭复数为 ． 13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 14．如图，在直角梯形中，，，是中点，且，设，将沿折起向点旋转旋转过程中点记为，且与不重合，则与平面所成角的大小为 ，点到平面的距离的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若锐角满足，求． 16．（15分） 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量单位：克，按照，，分为组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这种植物果实重量的平均数和中位数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （3）已知这种植物果实重量不低于克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取个，求抽到的都是优质果实的概率． 17．（15分） 记的内角，，的对边分别为，，，满足． （1）求角A； （2）若，，是中线，求的长． 18．（17分） 如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，点是棱的中点，点是棱上的一点． （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 19．（17分） 某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射该药品，从注射时间起血药浓度单位：与该药品在体内的时间单位：小时的关系如下： 已知当时，与的关系服从下列三个函数模型中的一个：，，当时，与的关系满足当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射该药品不超过． （1）选择合适的函数模型，作为时与的关系式，并说明理由； （2）求出当时，与的关系式，并计算注射该药品时能达到的有效治疗时长； （3）若注射该药品，则从注射时间起血药浓度为，若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和已知病人第一次注射该药品，小时之后又注射了该药品，要使随后的小时内该药品能够持续有效治疗，求的最小值． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $