【金考密卷】2026-2027学年九年级第一次数学月考仿真卷（浙江卷）

**基本信息** 聚焦浙教版九年级第1-2章，以投壶试验、节能减排等真实情境设计原创与改编题，融合数学文化（数学家邮票）与生活应用，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|不可能事件、二次函数平移与性质、概率计算|投壶试验频率估计概率（新考法）| |填空题|6题18分|二次函数点坐标比较、概率、分类讨论|射水鱼水柱抛物线分类讨论（数学思维）| |解答题|8题72分|二次函数建模、概率树状图、新定义|拱桥与节能减排数学建模（数学模型）、“差反点”新定义探究（创新应用）|

学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 【金考密卷】2026-2027学年第一次月考仿真卷（浙江卷） 九年级数学命题表 题号 难度 知识点 一、选择题 1 容易（原创） 事件的分类 2 容易 二次函数图象的平移 3 容易 y=ax²的图象和性质 4 容易 根据概率公式计算概率 5 容易（改编） 由频率估计概率 6 容易 y=ax²+bx+c的图象与性质,y=ax²+bx+c的最值 7 容易 判断一次函数的增减性,y=ax²+k的图象和性质 8 适中 抛物线与x轴的交点问题,根据二次函数的定义求参数 9 适中 根据概率公式计算概率,判断几个事件概率的大小关系 10 困难（改编） 其他问题(二次函数综合),两直线的交点与二元一次方程组的解,待定系数法求二次函数解析式,y=a（x-h）²+k的图象和性质 二、填空题 11 容易 y=a（x-h）²+k的图象和性质 12 容易 已知二次函数的函数值求自变量的值,根据二次函数的定义求参数 13 容易 根据概率公式计算概率,列表法或树状图法求概率 14 适中 根据概率公式计算概率 15 适中 待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象的平移,已知二次函数的函数值求自变量的值,喷水问题(实际问题与二次函数) 16 困难 y=ax²+bx+c的图象与性质 三、解答题 17 容易 y=ax²+bx+c的图象与性质,y=ax²+bx+c的最值,把y=ax²+bx+c化成顶点式 18 容易（原创） 待定系数法求二次函数解析式,拱桥问题(实际问题与二次函数) 19 容易 根据概率公式计算概率,列表法或树状图法求概率 20 容易 y=ax²+bx+c的图象与性质,y=ax²+bx+c的最值,把y=ax²+bx+c化成顶点式 21 适中（改编） 根据概率公式计算概率,列表法或树状图法求概率 22 适中 求某事件的频率,由频率估计概率,用频率估计概率的综合应用 23 适中 y=ax²+bx+c的图象与性质,y=ax²+bx+c的最值,待定系数法求二次函数解析式,面积问题(二次函数综合) 24 困难（改编） 其他问题(二次函数综合),利用二次根式的性质化简,y=ax²+bx+c的最值,点坐标规律探索,求一次函数自变量或函数值 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 【金考密卷】2026-2027学年第一次月考仿真卷（浙江卷） 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 涂卡必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4. 本试卷测试范围：浙教版九年级第1—2章（浙江11市专用） 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） （原创）1．（本题3分）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．1＋1=2 B．买彩票中了500万大奖 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 【答案】D 【分析】本题主要考查了事件的分类． 不可能事件即在一定条件下一定不会发生的事件． 【详解】解：A、1＋1=2是必然事件，不符合题意； B、买彩票中了500万大奖是随机事件，不符合题意； C、任意三角形的两边，其差小于第三边是必然事件，不符合题意； D、在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球是不可能事件，符合题意； 故选：D． 2．（本题3分）将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据二次函数平移的规则“左加右减，上加下减”，逐步进行平移变换即可求解． 【详解】解：将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是， 故选：A． 3．（本题3分）二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项中点的横坐标代入验证即可得解． 【详解】解：当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D不符合题意． 4．（本题3分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是绿球的概率为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵袋子中共有个球，其中绿球有个， ∴随机取出个球恰好是绿球的概率为． （新考法·改编）5．（本题3分）某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近，取试验次数足够大时的稳定频率即可得到概率的估计值． 【详解】∵由表格数据可得，随着投掷次数逐渐增大，投中频率逐渐稳定在常数附近， ∴投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为． 6．（本题3分）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 7．（本题3分）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．中，，∴y随x的增大而增大，不符合题意； B．中，，∴y随x的增大而减小，符合题意； C．是二次函数，开口向下，对称轴为y轴，时y随x的增大而增大，时y随x的增大而减小，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意； D．是二次函数，开口向上，对称轴为y轴，时y随x的增大而减小，时y随x的增大而增大，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意． 8．（本题3分）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 9．（本题3分）口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 【答案】B 【分析】先求总摸球等可能结果数，再求甲、乙各自获胜的结果数并计算概率，最后比较大小即可． 【详解】解：口袋中球的总数为个，从12个球中摸出2个球，所有等可能的结果总数为种， 甲获胜对应摸出2个红球，结果数为种，概率为， 乙获胜对应摸出2个黑球，结果数为种，概率为， ∵， ∴乙获胜的概率更大． （数学思维·改编）10．（本题3分）如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】联立与，联立与，可得，，得，，得． 【详解】解：联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3（对应点P）和 ∴， ∴， 联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3和， ∴， ∴， ∵点A、B在直线上， ∴ ∴ ， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，函数的交点性质，一元二次方程的根与系数的关系，两点之间的距离公式，是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共6题，共18分） 11．（本题3分）已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】/ 【分析】将点，两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 12．（本题3分）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征．将点代入二次函数解析式，得到关于的方程，解方程并根据条件确定的值． 【详解】解：点在二次函数（）的图象上， 代入得： 整理得， 由于， 解得：或 又， 故． 故答案为：． 13．（本题3分）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 【答案】/0.5 【分析】利用画树状图法求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有4种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色小球的等可能性一共有2种， 故两次都摸到相同颜色的小球的概率是． 14．（本题3分）在1到10这十个数中任意选一个，能使71，113，134这三个数除以它有相同的余数的概率是___________． 【答案】 【分析】法一：分别计算71，113，134除以1到10这十个数中任意选一个，得出对应的余数，找出1到10中符合条件的数后计算概率. 法二：根据同余性质，所求数是两个数差的公约数，找出1到10中符合条件的数后计算概率. 【详解】解：法一：余0；余1；余2；余3；余1；余5；余1；余7；余8；余1； 余0；余1；余2；余1；余3；余5；余1；余1；余5；余3； 余0；余0；余2；余2；余4；余2；余1；余6；余8；余4； ∴总共有种等可能的选法，符合条件的数是，共个，有种， ∴ 所求概率为 . 法二： ∵ 若三个数除以同一个数余数相同，则能整除任意两个数的差， 而，， ∴ 是和的公约数， 又和的公约数为，其中在到范围内的数是，共个， ∵ 总共有种等可能的选法，符合条件的有种， ∴ 所求概率为 . （数学数学·分类讨论）15．（本题3分）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 【答案】或 【分析】首先确定原始抛物线的解析式为，设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，得到平移后的抛物线解析式为，把代入解析式求解即可． 【详解】解：根据题意，得y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为， 故抛物线的解析式为， 由抛物线经过原点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 当时，， 故点不在抛物线上， 设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫， 故平移后的抛物线解析式为， 把代入解析式，得， 整理，得， 或， 解得或， 故需要水平向右游动或的距离才能击中昆虫． 16．（本题3分）已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得离对称轴越远，函数值越大，根据题意可得点A一定在点B的左侧，那么点A和点B不能同时在对称轴右侧，据此可得，当t≤-3时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足；当时，则的最小值一定要大于的最大值，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点A一定在点B的左侧， 又∵， ∴点A和点B不能同时在对称轴右侧（在对称轴右侧y随x增大而增大，此时必定不满足题意）， ∴， ∴； 当，即t≤-3时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足； 当时，， ∵要恒成立， ∴的最小值一定要大于的最大值， ∴， 解得， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 三．解答题（共8题，共72分） 17．（本题8分）已知二次函数． (1)求出函数顶点坐标； (2)当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； (3)当时，的取值范围为_____________． 【答案】(1) (2)增大 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的增减性进行判断即可； （3）根据二次函数的增减性求出函数值的范围即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：由（2）可知，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，值最大，为；当时，函数有最小值为， ∴． （数学模型·原创）18．（本题8分）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 19．（本题8分）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左转或右转．假设这三种可能性相同，现有嘉嘉和琪琪两人经过该路口． (1)嘉嘉从这三种情况中任选一个可能右转的概率是______； (2)利用树状图或列表法求两人之中至少有一人直行的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，经过路口共有3种等可能的情况，其中右转只有1种情况，因此嘉嘉右转的概率为； （2）解：画树状图为： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中至少有一人直行的结果有5种. 因此两人之中至少有一人直行的概率为． 20．（本题8分）为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义． (2)若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？ (3)根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值． 【答案】(1)，当减少碳排放量等于吨时，最大利润为万元； (2)当利润达到万元时，需要减少吨或吨； (3)满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元． 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握顶点式，二次函数函数值、自变量值的计算是关键． （1）由二次函数解析式，根据对称轴直线的计算公式，顶点坐标的计算方法，顶点坐标表示的含义计算即可求解； （2）当时，代入计算即可求解； （3）根据题意图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，确定最大值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：， ∴对称轴直线为， 当时，， ∴顶点坐标为， ∵，即图象的开口象限， ∴当减少碳排放量等于吨时，最大利润为万元； （2）解：当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∴当利润达到万元时，需要减少吨或吨； （3）解：二次函数解析式为， ∵，顶点坐标为， ∴图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量， ∴当时，确定最大值， ∴， ∴满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元． （数学故事·改编）21．（本题8分）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_______________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用概率公式，符合条件数量除以总数量； （2）画树状图列举全部等可能结果，统计含华罗庚图案的结果数，求出概率． 【详解】（1）解：共有张卡片，其中是数学家刘徽邮票图案的有张， 故抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是． （2）解：从，，，四张卡片中随机抽取张卡片，画树状图如下：           共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有种结果， 故（小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案）． 22．（本题10分）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 23．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求出点P的坐标； (3)设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)8，． 【分析】（1）将两个已知交点代入抛物线方程，解二元一次方程组求即可； （2）由知到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，设，列方程求解并舍去不合题意的根即可； （3）设 ，作铅垂线交于，用表示三角形面积，得到二次函数后配方求最大值及对应点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：如图1，作轴于点D， ∵，， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则， ∵点P在第四象限， ∴，， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：如图2，设点P的坐标为， 作轴于点F，交线段于点E， 当时，则， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且 ∴当时，， ∴S的最大值为8，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数解析式求解、坐标系内角度条件转化及面积最值的铅垂高法， 关键是将转化为到坐标轴距离相等，以及将面积用水平宽与铅垂高表示，最终通过解方程和二次函数配方求得最值． （新定义·改编）24．（本题12分）在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“差反点”． (1)判断点，，，哪个是点的“差反点”？ (2)若直线上的点A是点的“差反点”，求点A的坐标； (3)对于点，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且当时，n的最大值为，求t的值． 【答案】(1)和 (2) (3)或 【分析】（1）先根据“差反点”的定义，直接代入定义验证即可； （2）设出直线上点的坐标，结合定义列方程求解； （3）联立差反点满足的关系式和抛物线解析式，由唯一交点得到判别式为，整理出关于的二次函数，再根据对称轴位置分类讨论，结合最大值条件求解的值。 【详解】（1）解： 根据“差反点”定义，若是的差反点，满足， 对，，等式成立， 对，，等式不成立， 对，，等式成立， 因此和是点的差反点。 （2）设点，因为是的差反点， 根据定义得：， 解得， 代入得， 因此点的坐标为． （3）设的差反点坐标为，根据定义得，即， 因为该点在抛物线上， 代入得： 整理得， 因为抛物线上存在唯一的差反点， 所以一元二次方程判别式， 化简得， 是关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论：①当时，在范围内，在处取得最大值， 代入得：， 整理得， 解得， 因为，舍去，得； ②当时，在范围内， 在处取得最大值，代入得：， 整理得，方程无实数解，此情况不成立。 ③当时，在范围内，在处取得最大值， 代入得：， 解得（满足） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 【金考密卷】2026-2027学年第一次月考仿真卷（浙江卷） 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 涂卡必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4. 本试卷测试范围：浙教版九年级第1—2章（浙江11市专用） 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） （原创）1．（本题3分）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．1＋1=2 B．买彩票中了500万大奖 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 2．（本题3分）将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是绿球的概率为（     ） A． B． C． D．1 （新考法·改编）5．（本题3分）某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． 6．（本题3分）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 7．（本题3分）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 9．（本题3分）口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 （数学思维·改编）10．（本题3分）如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 二、填空题（每题3分，共6题，共18分） 11．（本题3分）已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 12．（本题3分）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则m的值为________． 13．（本题3分）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 14．（本题3分）在1到10这十个数中任意选一个，能使71，113，134这三个数除以它有相同的余数的概率是___________． （数学数学·分类讨论）15．（本题3分）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 16．（本题3分）已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 三．解答题（共8题，共72分） 17．（本题8分）已知二次函数． (1)求出函数顶点坐标； (2)当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； (3)当时，的取值范围为_____________． （数学模型·原创）18．（本题8分）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 19．（本题8分）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左转或右转．假设这三种可能性相同，现有嘉嘉和琪琪两人经过该路口． (1)嘉嘉从这三种情况中任选一个可能右转的概率是______； (2)利用树状图或列表法求两人之中至少有一人直行的概率． 20．（本题8分）为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义． (2)若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？ (3)根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值． （数学故事·改编）21．（本题8分）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_______________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 22．（本题10分）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 23．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求出点P的坐标； (3)设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． （新定义·改编）24．（本题12分）在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“差反点”． (1)判断点，，，哪个是点的“差反点”？ (2)若直线上的点A是点的“差反点”，求点A的坐标； (3)对于点，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且当时，n的最大值为，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $