第3章圆的基本性质 培优测试卷 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 浙教版九年级上数学第3章圆的基本性质培优测试卷，120分钟120分，覆盖圆的核心知识点，梯度设计合理，适配单元复习，体现几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|点与圆位置关系（1）、圆周角定理（2）、垂径定理推论（3）|基础巩固，辨析易混概念（如3题考查垂径定理推论）| |填空题|6/18|弦心距计算（11）、内接四边形性质（12）、赵爽弦图与圆综合（16）|文化传承（16题赵爽弦图），空间观念（14题扇形与矩形面积）| |解答题|8/72|圆与等腰三角形综合（7）、动态旋转与圆（10）、圆内接四边形证明（24）|能力提升，创新应用（24题三问递进，考查推理与模型意识）|

浙教版2026-2027学年九年级上数学第3章圆的基本性质 培优测试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是(4，3)，则点 P与⊙O的位置关系是 (　　) A．点 P 在⊙O内 B．点 P 在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法确定 2．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB=60°，则∠ACB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° （第2题） （第4题） （第5题） （第6题） 3．下列命题正确的是 (　　) A．平分弦的直径平分弦所对的弧 B．垂直平分弦的直线必定经过圆心 C．相等的圆心角所对的弧一定相等 D．相等的弦所对的圆周角一定相等 4． 如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， 点E在BC延长线上， 若∠DCE=50°， 则∠BOD 等于(　　) A．100° B．115° C．140° D．150° 5．如图，正n边形内接于⊙O，点A，B是正n边形的两个相邻顶点，点C是异于A，B的一个顶点，若∠ACB=18°，则n为(　　) A．8 B．10 C．12 D．20 6． 如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽为、高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高）为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=45°，以AC为直径作半圆，交BC于点 D，交AB于点 E，连结AD， CE相交于点 F.已知 CD=3，则AF的长为(　　) A． B． C．6 D．8 （第7题） （第8题） （第9题） （第10题） 8．如图，四边形内接于，是直径，连接，若，，，则的长为（　　） A．3 B． C． D． 9． 如图，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，直径AD 平分∠BAC 交BC 于点 E，EF⊥AB 于点F，EG⊥AC 于点G，连结 DF，DG，要求四边形AFDG 的面积，只需知道下列选项中某个三角形的面积，则这个三角形是 (　　) A．△AEG B．△BEF C．△ABC D．△DEG 10．如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，将弧AC绕着点A按逆时针方向旋转得到弧AD，点D恰好落在⊙O上，弧AD与AB相交于点E，若OE=BE=2，则BC的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11． 如图，AB 是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD=8，弦CD 与直径 AB 之间的距离为3，则AB= . （第11题） （第12题） （第13题） 12．如图，四边形ABCD 是⊙O的内接四边形，DE是⊙O 的直径，连接AE，若 则∠BAE=　 　°. 13．如图，AB是⊙O的直径，的度数是55°，的度数是21°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为　 　． 14．如图，点D在圆心角为90°的扇形AOB的半径OA上，矩形OBCD与交于点E，EF⊥OB于点F.若OD=OF=1，则图中阴影部分的面积是　 　. 15． 如图，已知菱形OABC的顶点A在⊙O上，且边AB， BC分别与⊙O相交于D， E两点，连结AE.若点D为AB的中点，则 的值为　 　. 16．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH。延长BE交以AD为直径的半圆于点M，连接MH。若则的值为　 　。 （第14题） （第15题） （第16题） 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．如图，，是的两条弦，且． （1）求证：； （2）连接，，求证：． 18．已知某正多边形的一个内角比相邻的外角大140°. （1）求这个正多边形每个外角的度数； （2）求这个正多边形的边数. 19． 如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ABC＋∠ADC＝180°； （2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分． 20． 如图， AB 是⊙O的直径， AC平分∠BAD， CE⊥AB， 垂足为E， BD交CE于点 F. （1） 求证： CF=BF. （2） 若AD=6， ⊙O的直径为10， 求 BC的长. 21．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE=2 ，∠DPA=45°． （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 22．如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， BD为直径， AC平分∠BCD， （1） 若BC=5cm，CD=12cm， 求AB的长； （2） 求证： 23． 如图，在中，，以AB为直径作半圆，交BC于点，交AC于点. （1） 求证：. （2） 若，求的度数. （3） 过点作于点，若，，求DF的长. 24．如图1，圆内接四边形ABCD， BD为直径， 点E在 上，且满足 连结 DE 并延长交AB 的延长线于点 F，DE与BC交于点 G. （1） 若 ⊙O的半径为3，求劣弧 的长. （2） 如图2， 连结AE， 若AE=DG. 求证： （3） 如图3， 在 (2) 的条件下， 求△BFG的周长. 学科网（北京）股份有限公司 浙教版2026-2027学年九年级上数学第3章圆的基本性质 培优测试卷 解析版 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是(4，3)，则点 P与⊙O的位置关系是 (　　) A．点 P 在⊙O内 B．点 P 在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法确定 【答案】C 【解析】∵点P的坐标是（4，3），且点O为原点，∴OP5， 又∵⊙O的半径为5，∴OP等于圆的半径， ∴点P在⊙O上． 故选：C． 2．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB=60°，则∠ACB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【解析】∵∠AOB=60° ∴ 故选：A. 3．下列命题正确的是 (　　) A．平分弦的直径平分弦所对的弧 B．垂直平分弦的直线必定经过圆心 C．相等的圆心角所对的弧一定相等 D．相等的弦所对的圆周角一定相等 【答案】B 【解析】 根据垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦并平分弦所对的弧，但若被平分的弦是另一条直径，则平分它的直径未必垂直于它 ，故A选项不正确； 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分该弦，其逆命题为：若一条直线垂直平分弦，则该直线必为直径所在的直线，即经过圆心，因此命题B正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.但C选项未 限定同圆或等圆 ，则命题不成立，即C选项不正确； 相等的弦所对的圆心角相等，但圆周角可能对应优弧或劣弧，导致角度相等或互补，故选项D不正确. 故答案为：B. 4． 如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， 点E在BC延长线上， 若∠DCE=50°， 则∠BOD 等于(　　) A．100° B．115° C．140° D．150° 【答案】A 【解析】∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．如图，正n边形内接于⊙O，点A，B是正n边形的两个相邻顶点，点C是异于A，B的一个顶点，若∠ACB=18°，则n为(　　) A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【解析】如图，连接OA， OB， 则∠ 所以有 解得n=10， 经检验，n=10是原方程的解， 即这个多边形是十边形， 故选： B. 6． 如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽为、高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高）为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，交于点，过点O作，延长并延长交于点E， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直径， ， ， ， ， ∴， ∴改建后门洞的高是， 故选：B． 7．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=45°，以AC为直径作半圆，交BC于点 D，交AB于点 E，连结AD， CE相交于点 F.已知 CD=3，则AF的长为(　　) A． B． C．6 D．8 【答案】C 【解析】∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6. 8．如图，四边形内接于，是直径，连接，若，，，则的长为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，过点D作于点H，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴，； 又∵， ∴点O在DH上， ∴O、D、H三点共线， 在中，由勾股定理得， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：B. 9． 如图，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，直径AD 平分∠BAC 交BC 于点 E，EF⊥AB 于点F，EG⊥AC 于点G，连结 DF，DG，要求四边形AFDG 的面积，只需知道下列选项中某个三角形的面积，则这个三角形是 (　　) A．△AEG B．△BEF C．△ABC D．△DEG 【答案】C 【解析】连接BD， DC， ∵AD为直径， 同理 = S△ABC， 故选： C. 10．如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，将弧AC绕着点A按逆时针方向旋转得到弧AD，点D恰好落在⊙O上，弧AD与AB相交于点E，若OE=BE=2，则BC的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解析】连接CD交AB于点F，连接AC，DE，OC，如图所示：， ∵OE=BE=2， ∴OB=OE+BE =4， ∵AB为圆O的直径，BC是弦， ∴OC=OB=4。 由旋转的性质可知：弧AD所在的圆与圆O是等圆， 即， ∴AC =AD ∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在Rt△ACB和Rt△ADB中，AB =AB，AC =AD'， ∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL)， ∴BC=BD，∠CAB=∠DAB ∴， 根据垂径定理得，CD⊥AB. ∵弧长AD所在的圆与圆O是等圆，∠CAB=∠DAB， 而 ∴BC = DE，BD=DE， ∴△DBE是等腰三角形， ∵CD⊥AB， ∴BF=EF=BE=1，OF=OB-BF=4-1=3， 在Rt△OCF中，CF=， 在Rt△BCF中，BC = 故答案为：C. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11． 如图，AB 是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD=8，弦CD 与直径 AB 之间的距离为3，则AB= . 【答案】10 【解析】过O 作 于点 H， ∴ 故答案为：10. 12．如图，四边形ABCD 是⊙O的内接四边形，DE是⊙O 的直径，连接AE，若 则∠BAE=　 　°. 【答案】 【解析】∵是的直径， ∴， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，AB是⊙O的直径，的度数是55°，的度数是21°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为　 　． 【答案】52° 【解析】如图，作C、E关于直径AB的对称，对称点为M、N， 则，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN， ∵ ∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE， ∴∠AFM=∠BFD，∠BGN=∠AGD， ∵A、F、G、B共线， ∴D、F、M三点共线，D、G、N三点共线， ∵的度数是55°，的度数是21°， ∴、的度数分别为55°、21°， ∴的度数为180°-55°-21°=104°， 根据圆周角定理知， ∠FDG的度数为的度数， 即∠FDG=×104°=52°. 故答案为： 52°. 14．如图，点D在圆心角为90°的扇形AOB的半径OA上，矩形OBCD与交于点E，EF⊥OB于点F.若OD=OF=1，则图中阴影部分的面积是　 　. 【答案】 【解析】连接OE，如图， ∵四边形OBCD为矩形， ∴四边形ODEF和四边形BCEF都为矩形， ∴四边形ODEF为正方形， ∴由AD、DE和弧AE所围成的图形的面积=由BF、FE和弧BE所围成的图形的面积， ∴图中阴影部分的面积 故答案为： 15． 如图，已知菱形OABC的顶点A在⊙O上，且边AB， BC分别与⊙O相交于D， E两点，连结AE.若点D为AB的中点，则 的值为　 　. 【答案】 【解析】过点O作OG⊥BC于点G，OF⊥AB于点F，过点E作EH⊥OA于点H，则四边形OHEG是矩形， 设AD=2a，则AG=4a ∵OG⊥BC，OF⊥AB， ∴CE=2CG，AD=2AF，∠OCG=∠OAF， 又∵OABC是菱形， ∴∠C=∠A，OA=OC=AB=BC=4a， ∴△OGC≌△OFA， ∴CG=AF， ∴CE=AD=2a，OH=CG=AF=a， ∴HA=3a，EH=OG=， ∴， ∴， 故答案为：. 16．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH。延长BE交以AD为直径的半圆于点M，连接MH。若则的值为　 　。 【答案】 【解析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为， 由题意，， 连接， ∵为半圆的直径，， ∴，， ∴，， ∴四点共圆， ∴，， ∴， 将绕点旋转，得到，则，，， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：. 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．如图，，是的两条弦，且． （1）求证：； （2）连接，，求证：． 【答案】（1）证明：∵∴， ∴，∴， ∴ （2）证明：如图， 由（1）知：， ∵所对的弧是，所对的弧是， ∴， ∴ 18．已知某正多边形的一个内角比相邻的外角大140°. （1）求这个正多边形每个外角的度数； （2）求这个正多边形的边数. 【答案】（1）解：设该正多边形的内角为x°， 由题意，得x-(180-x)=140， 解得x=160. 即这个正多边形的外角是20°； （2）解：因为多边形的外角和是360°，所以 ∴这个正多边形是十八边形. 19． 如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ABC＋∠ADC＝180°； （2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分． 【答案】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， 20． 如图， AB 是⊙O的直径， AC平分∠BAD， CE⊥AB， 垂足为E， BD交CE于点 F. （1） 求证： CF=BF. （2） 若AD=6， ⊙O的直径为10， 求 BC的长. 【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC， ∵AB 是⊙O 的直径，点C在圆上， ∴∠ACB=90°， ∵CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°， ∴∠BCE=∠BAC， ∵∠DAC=∠DBC，∴∠BCE=∠DBC， ∴CF=BF. （2）解：连接OC交BD于G， ∵AB=10， AB=6， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC=∠BAC， ∴ ∴OG是△ABD的中位线， ∴CG=OC-OG=5-3=2， 在 Rt△BCG 中，由勾股定理得： 21．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE=2 ，∠DPA=45°． （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）解：∵直径AB⊥DE， ∴CE= DE= ． ∵DE平分AO，∴CO= AO= OE． 又∵∠OCE=90°， = ， ∴∠CEO=30°． 在Rt△COE中， OE= = =2． ∴⊙O的半径为2 （2）解：连接OF． 在Rt△DCP中， ∵∠DPC=45°， ∴∠D=90°﹣45°=45°． ∴∠EOF=2∠D=90°． ∴S扇形OEF= ×π×22=π． ∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2， ∴SRt△OEF= ×OE×OF=2． ∴S阴影=S扇形OEF﹣SRt△OEF=π﹣2． 22．如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， BD为直径， AC平分∠BCD， （1） 若BC=5cm，CD=12cm， 求AB的长； （2） 求证： 【答案】（1）解：∵BD为直径， ∴∠BAD=∠BCD=90°， ∵CD=12cm， BC=5cm， ∴BD=13 (cm)， ∵AC平分∠BCD， ∴∠ABD=∠ADB=45°， ∴AB=AD， 故AB的长为 （2）证明：将△ACD 绕点 A 顺时针旋转90°后可得△ABC'， 由旋转性质可得： △ACD≌△ABC'， ∠CAC' =90°， AC=AC' ， ∴AC' =AC， CD=BC' ， ∠ADC=ABC' ， ∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC+∠ABC' =180°， 又∵∠CAC'=90°， AC=AC' ， ∴△C'AC是等腰直角三角形， ， 23． 如图，在中，，以AB为直径作半圆，交BC于点，交AC于点. （1） 求证：. （2） 若，求的度数. （3） 过点作于点，若，，求DF的长. 【答案】（1）证明：如图，连接AD， 是圆O的直径，， 又， （2）解：弧，，. 由（1）知，，则 ，. ， （3）解：由（1）得，，.AD 根据面积法： ， 24．如图1，圆内接四边形ABCD， BD为直径， 点E在 上，且满足 连结 DE 并延长交AB 的延长线于点 F，DE与BC交于点 G. （1） 若 ⊙O的半径为3，求劣弧 的长. （2） 如图2， 连结AE， 若AE=DG. 求证： （3） 如图3， 在 (2) 的条件下， 求△BFG的周长. 【答案】（1）解：劣弧. （2）解：连结BE， ∵BD为直径， ∴∠BED=∠BEF=90°， 设∠ADB=α， ∴∠ADB=∠GDC=∠AEB=α， ∴∠BGD=∠FEA=90°+α， ∴∠FAE=∠BDG， 在△AEF 和△DGB中， ∴△AEF≌△DGB (ASA) （3）解：连接BE， ∴AE=BC=2， ∵△AEF≌△DGB， ∴DG=2， ∵BD为直径， ∴∠BED=90°， ∴CG=1， ∠EDC=30°， ∴BG=1， ∴EF=1， ∵∠EBC=∠EDC=30°， △BFG的周长=. $