3.2 平面直角坐标系 题型专练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以“典例引领+举一反三”分层设计，覆盖平面直角坐标系9大核心知识点，从基础概念到综合应用，培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|坐标表示、象限特征等单一知识点|典例聚焦核心概念，如点的坐标转换、象限判断| |巩固层|点到坐标轴距离、与坐标轴平行直线上点的特征|举一反三结合实际情境，如长征路线坐标、北斗七星定位| |提升层|综合应用与特殊图形点的坐标|融入新定义（如“a级关联点”）、等腰直角三角形等图形性质，发展逻辑推理|

北师大版（2024）八年级上册 3.2 平面直角坐标系 题型专练 【题型1】在坐标系中用坐标表示点的位置 【典例】方格纸上有A，B两点，若以B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，-2)，若以A为原点建立平面直角坐标系(横轴与纵轴的正方向与原平面直角坐标系一致)，则点B的坐标为 A.(3，2)   B.(3，-2) C.(-3，2)   D.(-3，-2) 【举一反三1】如图，从韩愈的《早春呈水部张十八员外》和刘禹锡的《浪淘沙·其一》中各选取一句放在平面直角坐标系中，则“看”的坐标是 A.(3，2)   B.(3，3) C.(3，4)   D.(4，3) 【举一反三2】在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，若点Q是点P的“a级关联点”(其中a为常数，且a≠0)，则点Q的坐标为(ax+y，x+ay).例如，点M(1，4)的“2级关联点”为点N(2×1+4，1+2×4)，即点N(6，9).若点A的“5级关联点”点B的坐标为(9，-3)，则点A的坐标为　　　　　. 【举一反三3】如图，在所给的平面直角坐标系中描出下列各点：（1，8），（﹣2，2），（0，2），（0，﹣6），（2，﹣6），（2，2），（4，2），（1，8）．依次连接各点，观察所得到的图形，你觉得它像什么？ 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中（每个小正方形的边长均为1），解析下列问题： （1）图中的点A、点B的坐标分别为 　　． （2）在图中标出表示（﹣2，3）和（4，﹣1）的点． 【题型2】四个象限中点的坐标特征 【典例】如图，小手盖住的点的坐标可能为 A.(3，4) B.(-1，2) C.(-3，-2) D.(4，-3) 【举一反三1】泉湖公园是白云区打造“诗意白云·云中七卷”的开篇之作.若以贵阳市白云区人民政府为原点建立平面直角坐标系，则点A所在象限为(　　) A.第一象限   B.第二象限 C.第三象限   D.第四象限 【举一反三2】在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是(　　) A.(1，2)   B.(1，-2) C.(-1，2)   D.(-1，-2) 【举一反三3】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a，b)，且a，b满足(a-2)2+|b+3|=0，则点A在第　　　　象限. 【举一反三4】已知点P（x，y）在x轴的上方，且|x|＝3，y2＝4，求点P的坐标 【题型3】坐标轴上的点的坐标 【典例】已知点P(x+3，x-4)在x轴上，则x的值为(　　) A.3   B.-3   C.-4   D.4 【举一反三1】如果点A（a，a+2）在x轴上，那么点B（a+3，a﹣1）的坐标为（　　） A.（1，﹣3） B.（2，4） C.（4，2） D.（3，﹣1） 【举一反三2】已知点P（a，1）不在第一象限，则点Q（0，﹣a）在（　　） A.x轴正半轴上 B.x轴负半轴上 C.y轴正半轴或原点上 D.y轴负半轴上 【举一反三3】若点A（2，3m﹣1）在x轴上，点B（2n+1，3）在y轴上，则代数式6m+4n的值是 　　． 【举一反三4】已知点P(2m-4，3m+2)，分别根据下列条件求出点P的坐标. (1)点P在y轴上； (2)直线PQ∥x轴，且点Q的坐标为(3，5). 【举一反三5】已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a+2，3a-1). (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)点B的坐标为(3，5)，若AB∥x轴，求出点A的坐标. 【题型4】点到坐标轴的距离 【典例】已知函数y=2x-1的图象上有一点P，若点P到x轴的距离为5，则点P的坐标为(　　) A.(3，5)   B.(3，5)或(2，5) C.(-2，-5)   D.(3，5)或(-2，-5) 【举一反三1】点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A.（5，﹣3） B.（﹣5，3） C.（3，﹣5） D.（﹣3，5） 【举一反三2】在平面直角坐标系中，点A(-4，2)到y轴的距离是　　　　. 【举一反三3】点P(-2，3)到x轴的距离是　　　　. 【题型5】综合应用 【典例】已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，则M的坐标为 　　． 【举一反三1】已知点P（m，2m﹣3）是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标． （1）若点P在y轴上，则点P的坐标为 　　． （2）若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为 　　． （3）若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为 　　． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点P(2m-1，6m-7)在第一象限角平分线OC上，∠APB的两边与x轴、y轴分别交于A点、B点.求P点的坐标. 【举一反三3】平面直角坐标系中，有一点M(a-1，2a+7)，试求满足下列条件的a的值. (1)点M在x轴上； (2)点M在第三象限的角平分线上； (3)点M到y轴的距离是1. 【题型6】建立坐标系表示位置 【典例】2025年是红军长征胜利90周年，伟大的长征精神，是中国革命史上不朽的丰碑，在历史长河中散发着永恒的光芒，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为（1，3），瑞金的坐标为（4，﹣3），则表示会宁会师的点的坐标为（　　） A.（0，2） B.（2，1） C.（0，﹣2） D.（﹣2，1） 【举一反三1】如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点P的坐标为(-1，2)，点Q的坐标为(-3，-1)，则坐标原点为 A.点A    B.点B C.点C    D.点D 【举一反三2】北斗七星由天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七颗星组成，它们组成的图形像是古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为(-4，2)，表示“开阳”的点的坐标为(0，3)，则表示“天权”的点(正好在网格点上)的坐标为　　　　　. 【举一反三3】红领巾公园健走步道环湖而建，以红军长征路为主题．如图是利用平面直角坐标系画出的健走步道路线上主要地点的大致分布图，这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，如果表示遵义的点的坐标为（﹣5，7），表示腊子口的点的坐标为（4，﹣1），那么表示泸定桥的点的坐标是 　　． 【举一反三4】已知在Rt△ABC中，两条直角边AC=4，BC=3，请建立适当的平面直角坐标系并准确写出各顶点的坐标. 【题型7】与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 【典例】下列说法正确的是 A.点(1，-a2)一定在第四象限 B.若ab=0，则点P(a，b)表示原点 C.已知点A(3，-1)，AB∥y轴，且AB=2，则B点的坐标为(3，1) D.已知点A(-3，-3)与点B(-3，3)，则直线AB平行y轴 【举一反三1】已知点A(-1，3)和点B(3，m-1)，如果直线AB⊥y轴，那么m的值为 A.1   B.-4   C.-1   D.4 【举一反三2】在平面直角坐标系中，下列说法正确的是 A.点P(3，2)到x轴的距离是3 B.若ab=0，则点P(a，b)表示原点 C.若A(2，-2)，B(2，2)，则直线AB∥x轴 D.第三象限内点的横、纵坐标同号 【举一反三3】已知线段AB平行于x轴，点A的坐标是(-2，3)，线段AB的长为5，则点B的坐标为　　　　. 【举一反三4】若线段AB∥x轴且AB=3，点A的坐标为(-2，1)，则点B的坐标为　　　　. 【举一反三5】在平面直角坐标系中，点P的坐标为(a-5，3a+1). (1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为　　　　； (2)若点P在第三象限，且点P到x轴的距离为2. ①点P的坐标为　　　　； ②若PQ∥y轴，且PQ=5，则点Q的坐标为　　　　　　　　. 【举一反三6】(课本P61例2)在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接. ①D(-3，5)，E(-7，3)，C(1，3)，D(-3，5)； ②F(-6，3)，G(-6，0)，A(0，0)，B(0，3). 观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题： (1)图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？ (2)线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的纵坐标有什么关系？线段EC上其他点的坐标呢？ (3)点F和点G的横坐标有什么关系，线段 FG 与 y 轴有怎样的位置关系？ 【题型8】特殊图形上的点的坐标特征 【典例】如图，在平面直角坐标系中A(0，4)，C(6，0)，BC⊥x轴，存在第一象限的一点P(a，2a-5)使得△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标(　　) A.(3，1)或(3，3)   B.(5，5) C.(3，1)或(5，5)   D.(3，3) 【举一反三1】如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(-3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是 A.(2，-3)    B.(2，3) C.(3，2)    D.(3，-2) 【举一反三2】如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，腰AC长4，那么点C的坐标是(　　) A.(2，1) B.(2，2) C.(22) D.(1，2) 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B的坐标为(8，4)，点D的坐标为(3，0)，在边BC上找一点P，使得△DCP是以CD为腰的等腰三角形.则点P的坐标为　　　　. 【举一反三4】已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，点P与点O不重合，写出符合条件的所有点P的坐标　　　　　. 【举一反三5】平面直角坐标系中，点M的坐标为（m+2，m），点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（1，0）． （1）若点M在y轴上，求点M的坐标； （2）在（1）的条件下，判断△ABM的形状并证明． 【题型9】两点之间的距离 【典例】已知点A（﹣3，2），B（3，2），则A，B两点相距（　　） A.3个单位长度 B.5个单位长度 C.4个单位长度 D.6个单位长度 【举一反三1】点P（3，﹣4）到原点的距离为（　　） A.5 B.4 C.3 D.﹣3 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点A(2，0)和B(0，3)两点之间的距离是 A.    B. C.13   D.5 【举一反三3】若点M在第二、四象限的角平分线上，且点M到原点的距离为则点M的坐标是　　　　. 【举一反三4】如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（6，4），求△ABC的周长与面积． 【举一反三5】（1）A（1，﹣2）、B（﹣2，2）两点间的距离为　　； （2）C（﹣5，0）、D（3，0）两点间的距离为　　； （3）E（0，3）、F（0，9）两点间的距离为　　． 北师大版（2024）八年级上册 3.2 平面直角坐标系 题型专练（参考答案） 【题型1】在坐标系中用坐标表示点的位置 【典例】方格纸上有A，B两点，若以B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，-2)，若以A为原点建立平面直角坐标系(横轴与纵轴的正方向与原平面直角坐标系一致)，则点B的坐标为 A.(3，2)   B.(3，-2) C.(-3，2)   D.(-3，-2) 【答案】C 【举一反三1】如图，从韩愈的《早春呈水部张十八员外》和刘禹锡的《浪淘沙·其一》中各选取一句放在平面直角坐标系中，则“看”的坐标是 A.(3，2)   B.(3，3) C.(3，4)   D.(4，3) 【答案】D 【举一反三2】在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，若点Q是点P的“a级关联点”(其中a为常数，且a≠0)，则点Q的坐标为(ax+y，x+ay).例如，点M(1，4)的“2级关联点”为点N(2×1+4，1+2×4)，即点N(6，9).若点A的“5级关联点”点B的坐标为(9，-3)，则点A的坐标为　　　　　. 【答案】 【解析】设点A的坐标为(x，y)， 因为点A的“5级关联点”点B的坐标为(9，-3)， 根据题意有 解得 故点A的坐标为(2，-1). 【举一反三3】如图，在所给的平面直角坐标系中描出下列各点：（1，8），（﹣2，2），（0，2），（0，﹣6），（2，﹣6），（2，2），（4，2），（1，8）．依次连接各点，观察所得到的图形，你觉得它像什么？ 【答案】解：如图： ∴如图即为所求， 我觉得它像空心箭头． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中（每个小正方形的边长均为1），解析下列问题： （1）图中的点A、点B的坐标分别为 　　． （2）在图中标出表示（﹣2，3）和（4，﹣1）的点． 【答案】解：（1）图中的点A、点B的坐标分别为（3，4），（﹣4，﹣2）． 故答案为：（3，4），（﹣4，﹣2）． （2）如图所示： 【题型2】四个象限中点的坐标特征 【典例】如图，小手盖住的点的坐标可能为 A.(3，4) B.(-1，2) C.(-3，-2) D.(4，-3) 【答案】C 【解析】 因为小手盖住的点的横坐标和纵坐标都小于0， 所以小手盖住的点在第三象限， (3，4)在第一象限，故A错误； (-1，2)在第二象限，故B错误； (-3，-2)在第三象限，故C正确； (4，-3)在第四象限，故D错误. 【举一反三1】泉湖公园是白云区打造“诗意白云·云中七卷”的开篇之作.若以贵阳市白云区人民政府为原点建立平面直角坐标系，则点A所在象限为(　　) A.第一象限   B.第二象限 C.第三象限   D.第四象限 【答案】C 【举一反三2】在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是(　　) A.(1，2)   B.(1，-2) C.(-1，2)   D.(-1，-2) 【答案】D 【解析】 (1，2)在第一象限，故A错误； (1，-2)在第四象限，故B错误； (-1，2)在第二象限，故C错误； (-1，-2)在第三象限，故D正确. 【举一反三3】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a，b)，且a，b满足(a-2)2+|b+3|=0，则点A在第　　　　象限. 【答案】 四 【解析】 因为(a-2)2+|b+3|=0， 所以a-2=0，b+3=0， 所以a=2，b=-3， 所以点A的坐标为(2，-3)， 所以点A在第四象限. 【举一反三4】已知点P（x，y）在x轴的上方，且|x|＝3，y2＝4，求点P的坐标 【答案】解：∵|x|＝3，y2＝4， ∴x＝±3，y＝±2， 又∵点P（x，y）在x轴的上方， ∴y＞0， ∴y＝2， ∴点P的坐标为（3，2）或（﹣3，2）， 【题型3】坐标轴上的点的坐标 【典例】已知点P(x+3，x-4)在x轴上，则x的值为(　　) A.3   B.-3   C.-4   D.4 【答案】D 【举一反三1】如果点A（a，a+2）在x轴上，那么点B（a+3，a﹣1）的坐标为（　　） A.（1，﹣3） B.（2，4） C.（4，2） D.（3，﹣1） 【答案】A 【解析】解：∵点A（a，a+2）在x轴上， ∴a+2＝0，即a＝﹣2， ∴a+3＝1，a﹣1＝﹣3， 则点B坐标为（1，﹣3）． 故选：A． 【举一反三2】已知点P（a，1）不在第一象限，则点Q（0，﹣a）在（　　） A.x轴正半轴上 B.x轴负半轴上 C.y轴正半轴或原点上 D.y轴负半轴上 【答案】C 【解析】解：∵点P（a，1）不在第一象限， ∴a≤0， 则﹣a≥0， 故点Q（0，﹣a）在：y轴正半轴上或原点． 故选：C． 【举一反三3】若点A（2，3m﹣1）在x轴上，点B（2n+1，3）在y轴上，则代数式6m+4n的值是 　　． 【答案】0． 【解析】解：∵点A（2，3m﹣1）在x轴上，点B（2n+1，3）在y轴上， ∴3m﹣1＝0，2n+1＝0， 解得， ∴． 故答案为：0． 【举一反三4】已知点P(2m-4，3m+2)，分别根据下列条件求出点P的坐标. (1)点P在y轴上； (2)直线PQ∥x轴，且点Q的坐标为(3，5). 【答案】 解　(1)因为点P在y轴上，且点P的坐标为(2m-4，3m+2)， 所以2m-4=0， 解得m=2， 则3m+2=8， 所以点P的坐标为(0，8). (2)因为直线PQ∥x轴，且点Q的坐标为(3，5)， 所以3m+2=5， 解得m=1， 则2m-4=-2， 所以点P的坐标为(-2，5). 【举一反三5】已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a+2，3a-1). (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)点B的坐标为(3，5)，若AB∥x轴，求出点A的坐标. 【答案】 解　(1)因为点A的坐标为(a+2，3a-1)，点A在y轴上，所以a+2=0， 所以a=-2， 所以3a-1=3×(-2)-1=-7， 所以点A的坐标为(0，-7). (2)因为点A的坐标为(a+2，3a-1)，点B的坐标为(3，5)，AB∥x轴， 所以3a-1=5， 所以3a=6， 所以a=2， 所以a+2=2+2=4， 所以点A的坐标为(4，5). 【题型4】点到坐标轴的距离 【典例】已知函数y=2x-1的图象上有一点P，若点P到x轴的距离为5，则点P的坐标为(　　) A.(3，5)   B.(3，5)或(2，5) C.(-2，-5)   D.(3，5)或(-2，-5) 【答案】D 【解析】 因为点P在一次函数y=2x-1的图象上，点P到x轴的距离为5， 所以点P的纵坐标为±5， 所以当y=5时，x=3，当y=-5时，x=-2， 所以点P的坐标为(3，5)或(-2，-5). 【举一反三1】点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A.（5，﹣3） B.（﹣5，3） C.（3，﹣5） D.（﹣3，5） 【答案】D 【解析】解：∵点P位于第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度， ∴点的坐标为（﹣3，5）． 故选：D． 【举一反三2】在平面直角坐标系中，点A(-4，2)到y轴的距离是　　　　. 【答案】 4 【解析】 在平面直角坐标系中，点A(-4，2)到y轴的距离是|-4|=4. 【举一反三3】点P(-2，3)到x轴的距离是　　　　. 【答案】 3 【解析】 因为点P的纵坐标为3， 所以点P到x轴的距离是|3|=3. 【题型5】综合应用 【典例】已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，则M的坐标为 　　． 【答案】（﹣5，﹣10）． 【解析】解：由题意得： 3（m﹣1）＝2（3m+2）+5， 解得m＝﹣4， ∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10， ∴M的坐标为（﹣5，﹣10）． 故答案为：（﹣5，﹣10）． 【举一反三1】已知点P（m，2m﹣3）是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标． （1）若点P在y轴上，则点P的坐标为 　　． （2）若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为 　　． （3）若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为 　　． 【答案】（1）P（0，﹣3）； （2）P（1，﹣1）； （3）P（3，3）． 【解析】解：（1）∵点P（m，2m﹣3）在y轴上， ∴m＝0， ∴2m﹣3＝﹣3， ∴点P的坐标为（0，﹣3）； 故答案为：（0，﹣3）； （2）∵点P的纵坐标与横坐标互为相反数， ∴m+2m﹣3＝0， 解得m＝1， ∴2m﹣3＝﹣1， ∴点P的坐标为（1，﹣1）； 故答案为：（1，﹣1）； （3）∵点P在一、三象限角平分线所在直线上， ∴m＝2m﹣3， 解得m＝3， ∴2m﹣3＝3， ∴点P的坐标为（3，3）． 故答案为：（3，3）． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点P(2m-1，6m-7)在第一象限角平分线OC上，∠APB的两边与x轴、y轴分别交于A点、B点.求P点的坐标. 【答案】 解　作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，如图所示. 根据题意得，PE=PF， 所以2m-1=6m-7， 所以m=1.5， 所以P(2，2)， 所以点P的坐标为(2，2). 【举一反三3】平面直角坐标系中，有一点M(a-1，2a+7)，试求满足下列条件的a的值. (1)点M在x轴上； (2)点M在第三象限的角平分线上； (3)点M到y轴的距离是1. 【答案】 解　(1)要使点M在x轴上，a应满足2a+7=0，解得a=- 所以当a=-时，点M在x轴上. (2)由题意，得a-1=2a+7，解得a=-8. (3)要使点M到y轴距离是1，a应满足|a-1|=1，解得a=2或a=0， 所以当a=2或a=0时，点M到y轴的距离是1. 【题型6】建立坐标系表示位置 【典例】2025年是红军长征胜利90周年，伟大的长征精神，是中国革命史上不朽的丰碑，在历史长河中散发着永恒的光芒，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为（1，3），瑞金的坐标为（4，﹣3），则表示会宁会师的点的坐标为（　　） A.（0，2） B.（2，1） C.（0，﹣2） D.（﹣2，1） 【答案】A 【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示：会宁会师的点的坐标为（0，2）． 故选：A． 【举一反三1】如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点P的坐标为(-1，2)，点Q的坐标为(-3，-1)，则坐标原点为 A.点A    B.点B C.点C    D.点D 【答案】C 【解析】 因为点P的坐标为(-1，2)， 所以P在第二象限， 所以点P在x轴负方向1个单位长度，y轴正方向2个单位长度处， 因为点Q的坐标为(-3，-1)， 所以点Q位于第三象限， 所以点Q在x轴负方向3个单位长度，y轴负方向1个单位长度处， 由此可知点C符合. 【举一反三2】北斗七星由天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七颗星组成，它们组成的图形像是古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为(-4，2)，表示“开阳”的点的坐标为(0，3)，则表示“天权”的点(正好在网格点上)的坐标为　　　　　. 【答案】 (5，-1) 【解析】 由表示“摇光”的点的坐标为(-4，2)与表示“开阳”的点的坐标为(0，3)得平面直角坐标系，如图. 可知，表示“天权”的点(正好在网格点上)的坐标为(5，-1). 【举一反三3】红领巾公园健走步道环湖而建，以红军长征路为主题．如图是利用平面直角坐标系画出的健走步道路线上主要地点的大致分布图，这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，如果表示遵义的点的坐标为（﹣5，7），表示腊子口的点的坐标为（4，﹣1），那么表示泸定桥的点的坐标是 　　． 【答案】（3，5）． 【解析】解：∵坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示遵义的点的坐标为（﹣5，7），表示腊子口的点的坐标为（4，﹣1）， ∴如下图所示，原点坐标是表示瑞金的点的坐标， 由图可知，表示泸定桥的点是由表示瑞金的点先向东移动3格，再向北移动5格得到， ∴表示泸定桥的点的坐标为：（3，5）， 故答案为：（3，5）． 【举一反三4】已知在Rt△ABC中，两条直角边AC=4，BC=3，请建立适当的平面直角坐标系并准确写出各顶点的坐标. 【答案】 解　①如图所示. A(0，4)，B(3，0)，C(0，0). ②如图所示. A(-2，0)，B(2，3)，C(2，0). ③如图所示. A(3.2，0)，B(-1.8，0)，C(0，2.4).(答案不唯一) 【题型7】与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 【典例】下列说法正确的是 A.点(1，-a2)一定在第四象限 B.若ab=0，则点P(a，b)表示原点 C.已知点A(3，-1)，AB∥y轴，且AB=2，则B点的坐标为(3，1) D.已知点A(-3，-3)与点B(-3，3)，则直线AB平行y轴 【答案】D 【解析】 当a=0时，点(1，-a2)在x轴上，故A错误； 若ab=0，则a=0或b=0或a，b都为0， 所以点P(a，b)可能在x轴上，可能在y轴上，也可能表示原点， 故B错误； 因为点A(3，-1)，AB∥y轴， 所以B点的横坐标为3， 因为AB=2， 所以B点的坐标为(3，1)或(3，-3)， 故C错误； 因为点A(-3，-3)，点B(-3，3)， 所以直线AB平行y轴， 故D正确. 【举一反三1】已知点A(-1，3)和点B(3，m-1)，如果直线AB⊥y轴，那么m的值为 A.1   B.-4   C.-1   D.4 【答案】D 【解析】 因为AB⊥y轴，所以AB∥x轴，所以直线AB上所有点的纵坐标相同， 所以m-1=3， 解得m=4. 【举一反三2】在平面直角坐标系中，下列说法正确的是 A.点P(3，2)到x轴的距离是3 B.若ab=0，则点P(a，b)表示原点 C.若A(2，-2)，B(2，2)，则直线AB∥x轴 D.第三象限内点的横、纵坐标同号 【答案】D 【解析】 点P(3，2)到x轴的距离是2，故A选项不符合题意； 若ab=0，则点P(a，b)表示原点或坐标轴上的点，故B选项不符合题意； 若A(2，-2)，B(2，2)，则直线AB∥y轴，故C选项不符合题意； 第三象限内点的横、纵坐标都是负号，故D选项符合题意. 【举一反三3】已知线段AB平行于x轴，点A的坐标是(-2，3)，线段AB的长为5，则点B的坐标为　　　　. 【答案】 (-7，3)或(3，3) 【解析】 因为AB∥x轴， 所以A，B两点的纵坐标相等，都是3， 又因为点A的坐标是(-2，3)，线段AB的长为5， 所以当点B在点A左边时，点B的坐标为(-7，3)， 当点B在点A右边时，点B的坐标为(3，3). 【举一反三4】若线段AB∥x轴且AB=3，点A的坐标为(-2，1)，则点B的坐标为　　　　. 【答案】 (-5，1)或(1，1) 【解析】 因为AB∥x轴，点A的坐标为(-2，1)， 所以A，B两点纵坐标都是1， 又因为AB=3， 所以当点B在点A左边时，B的坐标为(-5，1)， 当点B在点A右边时，B的坐标为(1，1). 【举一反三5】在平面直角坐标系中，点P的坐标为(a-5，3a+1). (1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为　　　　； (2)若点P在第三象限，且点P到x轴的距离为2. ①点P的坐标为　　　　； ②若PQ∥y轴，且PQ=5，则点Q的坐标为　　　　　　　　. 【答案】 (1)(-8，-8)　(2)①(-6，-2) ②(-6，3)或(-6，-7) 【解析】 (1)因为点P在第一、三象限的角平分线上， 所以a-5=3a+1， 解得a=-3， 所以a-5=-8，3a+1=-8， 所以点P的坐标为(-8，-8). (2)①因为点P(a-5，3a+1)在第三象限，且点P到x轴的距离为2， 所以3a+1=-2， 解得a=-1， 所以a-5=-6， 所以点P的坐标为(-6，-2). ②因为点P的坐标为(-6，-2)，PQ∥y轴，且PQ=5， 所以-2+5=3，-2-5=-7， 所以点Q的坐标为(-6，3)或(-6，-7). 【举一反三6】(课本P61例2)在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接. ①D(-3，5)，E(-7，3)，C(1，3)，D(-3，5)； ②F(-6，3)，G(-6，0)，A(0，0)，B(0，3). 观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题： (1)图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？ (2)线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的纵坐标有什么关系？线段EC上其他点的坐标呢？ (3)点F和点G的横坐标有什么关系，线段 FG 与 y 轴有怎样的位置关系？ 【答案】 解　如图，各点连接起来的图形像“房子”. (1)线段 AG 上的点都在 x 轴上，它们的纵坐标都是 0； 线段 AB 上的点、线段CD与y轴的交点都在 y 轴上，它们的横坐标都是 0. (2)线段EC与x轴平行，点E和点C的纵坐标相同； 线段EC上其他点的纵坐标也相同，都是3. (3)点 F 和点G 的横坐标相同，线段 FG 与 y 轴平行. 【题型8】特殊图形上的点的坐标特征 【典例】如图，在平面直角坐标系中A(0，4)，C(6，0)，BC⊥x轴，存在第一象限的一点P(a，2a-5)使得△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标(　　) A.(3，1)或(3，3)   B.(5，5) C.(3，1)或(5，5)   D.(3，3) 【答案】C 【解析】 ①当点P在AB的上方时，过点P作x轴的平行线交y轴于E，交CB延长线于点F，如图1， 则∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a-5)，F(6，2a-5)， 所以PE=a，PF=6-a，AE=2a-9， 因为∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°， 所以∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB， 所以△AEP△PFB(AAS)， 所以AE=PF， 所以2a-9=6-a，解得a=5， 所以P(5，5)； ②当点P在AB的下方时，同样过点P作x轴的平行线交y轴于点E，交CB于点F，如图2， 则∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a-5)，F(6，2a-5)， 所以PE=a，PF=6-a，AE=9-2a， 因为∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°， 所以∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB， 所以△AEP△PFB(AAS)， 所以AE=PF， 所以9-2a=6-a，解得a=3， 所以P(3，1)， 综上，点P的坐标为(3，1)或(5，5). 【举一反三1】如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(-3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是 A.(2，-3)    B.(2，3) C.(3，2)    D.(3，-2) 【答案】C 【解析】 因为点A坐标为(0，a)， 所以点A在该平面直角坐标系的y轴上， 因为点C，D的坐标为(b，m)，(c，m)， 所以点C，D关于y轴对称， 因为正五边形ABCDE是轴对称图形， 所以该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴， 所以点B，E也关于y轴对称， 因为点B的坐标为(-3，2)， 所以点E的坐标为(3，2). 【举一反三2】如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，腰AC长4，那么点C的坐标是(　　) A.(2，1) B.(2，2) C.(22) D.(1，2) 【答案】C 【解析】 过点C作CD⊥AB于点D，如图所示. 因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， 所以AB==AC=4AD=BD=AB =2 所以CD===2 所以点C的坐标是(22). 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B的坐标为(8，4)，点D的坐标为(3，0)，在边BC上找一点P，使得△DCP是以CD为腰的等腰三角形.则点P的坐标为　　　　. 【答案】 (6，4)或(5，4) 【解析】 因为四边形OABC为矩形，点B的坐标为(8，4)， 所以C(0，4)， 设P(x，4)，而D(3，0)， 所以CP2=x2，DP2=(x-3)2+42，CD2=32+42=25， 因为△DCP是以CD为腰的等腰三角形， 所以CD=CP或CD=PD， 当CD=CP时，x2=25， 解得x=5，x=-5(舍去)，此时P(5，4)； 当CD=PD时，(x-3)2+42=25， (x-3)2=9， 解得x=0或x=6， 经检验，x=0不符合题意，舍去，此时P(6，4). 所以P(5，4)或P(6，4). 【举一反三4】已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，点P与点O不重合，写出符合条件的所有点P的坐标　　　　　. 【答案】 (0，4)，(4，0)，(4，4) 【解析】 如图所示，因为以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等， 所以点P的坐标为(0，4)或(4，0)或(4，4). 【举一反三5】平面直角坐标系中，点M的坐标为（m+2，m），点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（1，0）． （1）若点M在y轴上，求点M的坐标； （2）在（1）的条件下，判断△ABM的形状并证明． 【答案】（1）M（0，﹣2）； （2）∴△ABM的形状为直角三角形． 【解析】解：（1）由题意得：m+2＝0，解得：m＝﹣2，所以M（0，﹣2）； （2）∵AB2＝（1+4）2＝25， AM2＝42+22＝20， MB2＝22+12＝5， 即：AB2＝AM2+MB2， ∴△ABM的形状为直角三角形． 【题型9】两点之间的距离 【典例】已知点A（﹣3，2），B（3，2），则A，B两点相距（　　） A.3个单位长度 B.5个单位长度 C.4个单位长度 D.6个单位长度 【答案】D 【解析】解：∵点A（﹣3，2），B（3，2）的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∴AB＝3﹣（﹣3）＝6． 故选：D． 【举一反三1】点P（3，﹣4）到原点的距离为（　　） A.5 B.4 C.3 D.﹣3 【答案】A 【解析】解：OP＝＝5， 即点P（3，﹣4）到原点的距离为5． 故选：A． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点A(2，0)和B(0，3)两点之间的距离是 A.    B. C.13   D.5 【答案】A 【解析】 因为A(2，0)，B(0，3)， 所以OA=2，OB=3， 所以AB===. 【举一反三3】若点M在第二、四象限的角平分线上，且点M到原点的距离为则点M的坐标是　　　　. 【答案】 (1，-1)或(-1，1) 【解析】 由条件可设点M的坐标为(a，-a)， 因为点M到原点的距离为 所以a2+(-a)2=()2， 解得a=±1， 所以点M的坐标是(1，-1)或(-1，1). 【举一反三4】如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（6，4），求△ABC的周长与面积． 【答案】解：∵A（0，2），B（4，0），C（6，4）， ∴AB＝＝2，BC＝＝2，AC＝＝2， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2+2+2＝4+2； ∵AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°， ∴△ABC的面积＝•2•2＝10． 【举一反三5】（1）A（1，﹣2）、B（﹣2，2）两点间的距离为　　； （2）C（﹣5，0）、D（3，0）两点间的距离为　　； （3）E（0，3）、F（0，9）两点间的距离为　　． 【答案】5 8 6 【解析】解：（1）AB＝＝5． 故答案为：5； （2）CD＝|﹣5﹣3|＝8； 故答案为：8； （3）EF＝|3﹣9|＝6． 故答案为：6． 学科网（北京）股份有限公司 $