3.5分式与比 第2课时教案 2026--2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教案聚焦比例的概念、项的分类及基本性质，通过复习小学比例知识并提出整式比例的问题，衔接新旧知识，搭建学习支架，为深入探究奠定基础。 以同心圆直径与周长比实例引导学生用数学眼光观察，自主推导比例性质培养推理思维，结合重力、影长等实际问题强化模型意识。助力学生提升抽象与应用能力，为教师提供清晰教学流程和分层练习设计。

第三章 分式 3.5 分式与比 第2课时   一、教材分析 《分式与比(第2课时)》是青岛版初中数学八年级上册第三章《分式》第五节的内容，承接分式的基本性质与比的概念，聚焦比例的定义、项的分类及基本性质，既是对前期分式与比知识的深化，也为后续相似图形、比例线段等内容的学习奠定基础，在初中数学“数与代数”领域中起到承上启下的作用，同时能帮助学生建立从具体数量关系到抽象比例模型的认知，提升用数学解决实际问题的能力．   二、学情分析 八年级学生已掌握分式的基本性质、比的概念及等式性质，具备一定的观察、分析和简单推理能力，但对抽象的比例概念及性质的推导理解可能存在困难，且在将实际问题转化为比例模型、灵活运用比例性质解决问题时，容易出现思路不清晰或变形错误的情况，需要教师通过具象实例和逐步引导，帮助学生突破认知难点．  三、教学目标 1．通过实例观察、计算与分析，学生能准确说出比例的定义，区分比例的内项、外项及比例中项，理解比与比例的区别和联系，发展数学抽象核心素养． 2．依据等式性质，学生能自主推导比例的基本性质，以及由基本性质延伸的其他比例变形，提升逻辑推理与数学运算核心素养． 3．能运用比例的概念和基本性质，解决与比例相关的计算问题（如求比值、求比例中项）及实际问题（如重力比例、影长比例问题），建立数学模型，培养数学应用核心素养．   四、教学重难点 重点：理解比例的概念，掌握比例的基本性质，并能运用性质进行比例变形与简单计算． 难点：比例基本性质的推导过程理解，以及灵活运用比例性质解决复杂计算和实际问题．   五、教学过程 · 复习回顾 ①什么是比例？ 表示两个比相等的式子叫作比例． ②比例的各部分名称是什么？ 组成比例的四个数，叫作比例的项．两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项． 例如： 16　 ：　2　　＝　　32　：　4 　　　　　　内项 　　　　　　外项　 ③比例的基本性质是什么？ 在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这是比例的基本性质． 思考：上面是小学学过的比例知识，能帮我们解决整数、小数和分数的比例问题，如果比例中的项变成含有字母的整式，这些概念、名称和性质还能直接用吗？ 师生活动：教师先明确提问“什么是比例？比例的各部分名称是什么？比例的基本性质是什么？”，引导学生回忆并回答，结合“16:2 = 32:4”的示例，让学生分别指出外项和内项，强化对比例各部分名称的认知，最后通过师生问答确认比例基本性质的具体内容，完成知识回顾． 设计意图：快速唤醒学生对比例基础概念、项的分类及基本性质的记忆，为本节课深入探究比例的应用与变形做好知识铺垫，帮助学生快速衔接新内容，降低学习难度． · 探究新知 活动一：探究比例的概念 1．如图，已知⊙的半径为，直径为，周长为；⊙的半径为，直径为，周长为． 分别计算；． ， ． 观察计算结果，你能得到什么结论？ 两个比相等．即． 2．表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例． 如果a与b的比等于c与d 的比，那么就说 a，b，c，d 四个数成比例． 可以写成或 ． 注意：不能说“某个比例是多少”，只能说“两个比能否组成比例”． 在比例中，a，b，c，d 叫作组成比例的项，其中a与d叫作比例的外项，b与c叫作比例的内项．当比例的两个内项相等，即当时，b 叫作a和c的比例中项． 3． 比和比例有什么联系和区别？ 联系：比例是由两个相等的比组成的， 没有比就没有比例，比是构成比例的基础． 区别： 师生活动：教师呈现两个同心圆的相关数据（半径、直径、周长），引导学生自主计算两圆直径之比、周长之比；学生完成计算后，教师组织小组讨论“计算结果有什么规律”，并请小组代表分享结论；随后教师结合结论给出比例的定义，讲解比例的内项、外项及比例中项，通过“3:2与3:2=6:4”的对比，引导学生总结比与比例的区别和联系，期间教师针对学生疑问进行补充讲解． 设计意图：通过具体的圆的直径、周长计算，让学生在动手操作中直观感知“两个比相等”，为抽象比例概念提供具象支撑；小组讨论与师生互动的形式，能促进学生主动思考与合作交流，帮助学生清晰区分比与比例，准确理解比例的相关概念，为后续学习比例性质打下坚实基础． 活动二：探究比例的基本性质 比例是一个包含比的等式，依据等式的基本性质，你能推出比例具有什么性质？ 问题1：如果四个数a，b，c，d成比例，即，那么吗？ 在等式的两边同时乘bd，根据等式的性质2，可得． 比例的基本性质：在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积．如果，那么． 问题2：如果，那么等式还成立吗？ 在等式的两边同时除以bd(a，b，c，d均不为0)，根据等式的性质2，可得． 注意：在等式中，四个数 a，b，c，d可以为任意数；而在分式中，分母不能为0． 如果(a，b，c，d均不为0)，那么等式． 已知四个数a，b，c，d成比例(a，b，c，d均不为0)，即①． 下列各式成立吗？若成立，请说明理由． ②， ， ④． 解：由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立．由①式得．在上式两边同除以cd，得，即式成立．在①式两边都加上1，得，通分得，即④式成立． 师生活动：教师提出核心问题“比例是含比的等式，结合等式性质，大家能推出比例有什么特殊性质吗？”，引导学生以“”为例自主探究；学生尝试在等式两边乘bd推导，教师巡视指导，对推导困难的学生提示“利用等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍成立”；推导得出“”后，教师进一步提问“若（a，b，c，d均不为0），能反推吗？”，组织学生验证；随后教师给出比例基本性质的完整表述，并通过“已知，判断等式子是否成立”的问题，引导学生延伸探究，总结比例变形规律． 设计意图：以问题为导向，让学生依据已有等式性质自主推导比例基本性质，充分发挥学生的主体作用，培养逻辑推理与数学运算能力；通过“正向推导+反向验证”的过程，帮助学生全面理解比例基本性质的双向性；延伸探究比例变形，能深化学生对性质的理解，提升灵活运用性质的能力，同时渗透“转化”的数学思想． · 应用新知 例1．宇航员在空间站与地球上所受的重力比大约是1:5000．如果一名宇航员在地球上所受的重力为650N，那么他在空间站上所受的重力约为多少？ 分析：利用宇航员在空间站与地球上所受重力比为1:5000，明确比例关系，利用比例的基本性质求解． 解：设该宇航员在空间站上所受的重力约为N． 根据题意，得． 利用比例的基本性质，得．解方程，得． 所以，该宇航员在空间站上所受的重力是0.13N． 总结：核心在于找准比例关系，运用比例性质进行计算． 例2．已知，求． 分析：根据已知的比例等式，通过运用比例的基本性质进行变形和推导，从而求出a与b的比值． 解：因为， 所以利用比例的基本性质，得， 所以．所以，． 思考：你还有其他解法吗？ 解法二：因为， 所以1-，得 所以利用比例的基本性质，得．所以，． 例3．已知，那，各等于多少？ 分析：根据已知的的值，利用分式的性质分别对和进行变形，进而求出它们的值． 解：因为，所以． 所以，，则． 总结：拆分分式时要遵循分式加法法则，保证变形正确．通过这两种不同形式分式的求值，体现了分式变形与代入计算的灵活运用，巩固分式运算知识． 师生活动：教师呈现例1、例2、例3，先引导学生分析每个例题的解题关键；随后请学生独立完成解题，教师选取典型解题过程进行展示，针对学生出现的错误（如例3拆分分式时忽略分式加法法则）进行点评与纠正；最后组织学生总结每个例题的解题思路，教师补充完善，形成规范的解题方法． 设计意图：通过不同类型的例题（纯计算、分式变形、实际应用），让学生全面接触比例性质的应用场景，巩固所学知识；独立解题与典型展示结合，既能检验学生的学习效果，也能通过错误分析帮助学生规避误区；解题思路总结则能帮助学生梳理方法，形成系统的解题策略，提升数学应用能力． · 课堂练习 1．填空： （1）如果，那么　　　　　　； （2）如果，那么　　　　　　； （3）如果，且，那么　　　　　　； （4）已知3是x与4的比例中项，写成比例式应为　　　 　，其中　　　　． 答案：（1） （2） （3） （4） 2．已知，求的值． 解：因为，所以，， 即， 所以，，所以，． 师生活动：教师分发课堂练习题目，要求学生在规定时间内独立完成，期间教师巡视，对解题有困难的学生进行个别指导；学生完成后，教师采用“学生互评+教师点评”的方式核对答案，先请学生分享填空、计算题的解题步骤，再针对第2题（分式比例变形）的关键步骤（如交叉相乘去分母）进行强调，确保学生掌握解题要点． 设计意图：通过基础填空与计算练习，及时巩固比例概念及基本性质的应用，检验学生对本节课核心知识的掌握程度；个别指导能关注学生的个体差异，帮助学困生跟上进度；学生互评与教师点评结合，既能激发学生的参与度，也能通过针对性讲解，强化易错点和重难点，夯实学习基础． 限时训练 1．根据下列条件，求的值： （1）；（2）． 解：（1）因为，所以，． （2）因为，所以，． 2．已知比例式，根据比例的基本性质求x的值． 分析：利用比例的基本性质，交叉相乘，得到关于x的一元一次方程，求解即可． 解：因为， 根据比例的基本性质，得， 解方程得，． 总结：通过比例基本性质“去比例化”，转化为熟悉的一元一次方程求解． 3．已知某天某一时刻某地物体高度与其影长的比为5∶6，在当地同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少米？ 分析：根据物体高度和影长的比例关系来求解楼的高度. 解：设这栋楼的高度为x米，根据题意，得， 利用比例的基本性质，得，解方程，得． 所以，这栋楼的高度为25米． 总结：应用比例解决实际问题的步骤：①设未知数；②找比例关系；③利用比例的基本性质解未知数． 4．已知，求的值． 分析：通过对已知等式进行合理变形，从而求出的值.可以采用两种常见方法，一种是利用比例基本性质去分母化简，另一种是对等式进行适当变形，将分子拆分后再求解． 解：解法一：由比例的基本性质可得． 所以，则． 解法二：由，得，所以，则． 总结：无论是哪种解法，核心都是对已知等式进行合理变形，消去分母或拆分分式，建立起的表达式来求解． 师生活动：教师明确限时训练的时间（10分钟）和要求，呈现训练题目（求比值、解比例方程、实际影长问题、分式变形）；学生在规定时间内完成，教师严格计时；训练结束后，教师快速核对答案，统计正确率，对正确率较低的题目（如解比例方程、分式变形）进行集中讲解，分析错误原因，补充解题技巧，同时表扬解题速度快、正确率高的学生． 设计意图：限时训练能营造适度的紧张氛围，培养学生快速审题、高效解题的能力，模拟考试场景，提升学生的应试素养；通过正确率统计和集中讲解，能精准定位学生的知识薄弱点，及时进行查漏补缺，同时通过表扬激励学生，增强学习自信心． · 总结归纳 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．本节课我们学习的核心概念是什么？它和我们之前学的“比”有什么区别和联系？ 3．比例的基本性质是什么？我们是如何利用已有知识推导出这个性质的？ 设计意图：通过师生共同回顾本节课内容，帮助学生梳理比例的概念、项的分类、基本性质及应用方法，形成完整的知识体系，避免知识碎片化；同时引导学生反思解题过程中的思路与方法，提升归纳总结能力，为后续复习和应用奠定基础．   六、板书设计 　 　3.5 分式与比（第2课时） 一、比例的概念 1.比例：表示两个比相等的式子，形式为： 或　 ． ２．比例的项：外项：a和d　　内项:b和c　 比例中项：若，则b是a和 的比例中项（） 2、 比例的基本性质 1.若，则. 2.若(a，b，c，d≠0)，则. 例1　　　　例2　　　　例3 学科网（北京）股份有限公司 $