第3章 分式（复习讲义）数学青岛版2024八年级上册

第3章 分式（复习讲义） 1．理解分式的基本概念及其基本性质。 ①理解分式的基本概念；②掌握分式的基本性质；③能够分式有无意义的条件及分式为0的条件解决相关问题。 2．理解分式的加减乘除及乘方法则并熟练利用法则进行计算。 ①掌握分式加减乘除法及乘方法则；②熟练掌握约分，通分，最简分式，最简公分母等概念；③能够熟练进行分式的计算和化简。 3．掌握分式方程的概念及解法，理解分式与比的关系，并且能解决相关实际问题。 ①理解分式方程的概念；②掌握分式方程的解法；③理解分式与比的关系；④并能够应用所学知识解决实际问题。 知识点01 分式及其基本性质 1）分式的概念：如果把A÷B写成的形式，其中A、B都是整式，且B中含有字母，那么代数式就叫做分式．其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。 2）分式有意义的条件：（1）分式有意义的条件是分母不等于零。 （2）分式无意义的条件是分母等于零。 （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号。 （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 3）分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。 4）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 知识点02 分式的乘法与除法 1）约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． 2）最简分式的定义：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式． 3）把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 4）分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 5）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 6）分式的乘方法则：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 知识点03 分式的加法与减法 1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。 2）通分的定义：这种不改变每个分式的值，把几个异分母的分式化成同分母分式的变形叫做分式的通分。 3）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 4）异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先把他们通分，变为同分母分式，再加减。 5）分式的混合运算法则：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 知识点04 分式方程 1）分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3）增根的定义：在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 4）解分式方程的一般步骤： 知识点05 分式方程的应用 1） 列分式方程解应用题的一般步骤： 2）要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度＝路程÷时间； 工作量问题：工作效率＝工作量工作×时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 知识点06 分式方与比 1）比的定义：两个整式A与B(B≠0)相除，叫作A与B的比，记作A:B或 ，其中A叫作比的前项，B叫作比的后项。 2)比例的定义：表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。如果a与b的比等于c与d的比，那么就说a，b，c，d四个数成比例。可以写成a:b=c:d或=。在比例中，a，b，c，d叫作组成比例的项，其中a与d叫作比例的外项， b与c叫作比例的内项。当比例的两个内项相等，即当时，b叫作a和c的比例中项。 3）比例的基本性质：在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积。如果=，那么ad = bc. 4)两条线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比。 5)成比例线段：如果四条线段a，b，c，d的长成比例，我们就把这四条线段a，b，c，d称为成比例线段，简称比例线段。 题型一 分式有意义的条件 【例1】当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（1）若要使有意义，则的取值范围是 ． （2）若要使无意义，则的值是 ． 【变式1-3】当x取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型二 分式值为0的条件 【例2】当 时，分式的值为零． 【变式2-1】若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【变式2-2】如果分式的值为零，那么的值是 ． 【变式2-3】若分式的值为0，则m的值是 ． 题型三 判断分式变形是否正确 【例3】下列等式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】根据分式的基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】填空： （1）； ①          （2）； ② （3）； ③      （4）． ④ 题型四 分式的乘除 【例4】计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：可化为最简分式；乙：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【变式4-2】计算： (1)； (2)． 【变式4-3】先化简，后求值：，当代入求值． 题型五 分式的乘方 【例5】计算：的结果是（　　） A． B． C． D．． 【变式5-1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】计算： （1） ；（2） ；（3） ． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； 题型六 分式的加减 【例6】化简 (1) (2) 【变式6-1】计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 【变式6-2】老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米（），老李家种植一块长方形土地，长为米，宽为b米，他们种的都是花生，并且今年的总产量都是200千克，试问：谁家种植的花生单位面积产量高？老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的花生单位面积产量的多少倍？ 【变式6-3】已知，求，的值． 题型七 解分式方程 【例7】解下列分式方程： (1)； (2)． 【变式7-1】方程的解是 ． 【变式7-2】解方程： (1)； (2)． 【变式7-3】解下列分式方程： (1)； (2) 题型八 根据分式方程解的情况求值 【例8】若方程有增根，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．以上都不对 【变式8-1】若是分式方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】若关于的分式方程的解为负数，则的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式8-3】若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 题型九 分式方程无解问题 【例9】若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数的值为 ． 【变式9-1】当 时，关于的方程无解． 【变式9-2】若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【变式9-3】若关于的分式方程无解，则的值为 ． 题型十 分式方程的应用 【例10】某校初三年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时起跑，两人到达终点的时间和为9分钟，其中乙同学的速度是甲同学的速度的1.25倍，则乙同学的速度是 米/分钟． 【变式10-1】某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 【变式10-2】随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．购进一个A产品需要多少元？ 【变式10-3】甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零件各多少个？ 题型十一 分式与比 【例11】加工一批零件、甲要时，乙要时，甲、乙工效比是 ． 【变式11-1】某厂原来男、女职工的人数之比为，在新调入男职工36人后，男、女职工的人数之比为，现在的男职工比女职工少( )人． 【变式11-2】《考工记》中记载了我国古代创制的六种铜锡比例不同的合金成分配比，称之为“六齐”，是中国也是世界上最早的合金配制记载．其中记载制作钟鼎所用的铜和锡的质量之比为，一位工艺大师按照这种方法制作了一个质量为180千克的鼎，这个鼎含铜多少千克？（请用比例的方法解答） 【变式11-3】一辆汽车从甲地到乙地，前3小时行了156千米，照这样速度，从甲地到乙地共需8小时，甲、乙两地相距多少千米？（用比例解） 基础巩固通关测 一、单选题 1．如果代数式的值为0，那么实数满足（    ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知A为整式，计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．时，分式无意义，则 ． 7．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 8．比例12：的解是 ． 9．化简： ． 10．某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期是 天． 三、解答题 11．解下列分式方程： (1) (2) 12．先化简，再求值：，其中 13．已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 14．某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，求现在平均每天生产多少台机器？   15．A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米，如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，且这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由 能力提升进阶练 一、单选题 1．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 2．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 5．如果均不为0，且和互为倒数，，则等于（    ）． A．1 B．0.5 C．0.4 D．0.2 二、填空题 6．若分式的值为0，则的值为 ． 7．写出一个同时满足下列条件的分式： ． ①只含有字母，且当时无意义； ②当，分式的值为0． 8．计算的结果是 ． 9．如果，那么 ． 10．已知是分式方程 的解，则实数 ． 三、解答题 11．解方程 (1) (2)； 12．已知（是常数），求的值． 13．已知关于的分式方程 (1)若分式方程无解，求的值； (2)若分式方程的解是负数，求的取值范围．  14．北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 15．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 分式（复习讲义） 1．理解分式的基本概念及其基本性质。 ①理解分式的基本概念；②掌握分式的基本性质；③能够分式有无意义的条件及分式为0的条件解决相关问题。 2．理解分式的加减乘除及乘方法则并熟练利用法则进行计算。 ①掌握分式加减乘除法及乘方法则；②熟练掌握约分，通分，最简分式，最简公分母等概念；③能够熟练进行分式的计算和化简。 3．掌握分式方程的概念及解法，理解分式与比的关系，并且能解决相关实际问题。 ①理解分式方程的概念；②掌握分式方程的解法；③理解分式与比的关系；④并能够应用所学知识解决实际问题。 知识点01 分式及其基本性质 1）分式的概念：如果把A÷B写成的形式，其中A、B都是整式，且B中含有字母，那么代数式就叫做分式．其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。 2）分式有意义的条件：（1）分式有意义的条件是分母不等于零。 （2）分式无意义的条件是分母等于零。 （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号。 （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 3）分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。 4）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 知识点02 分式的乘法与除法 1）约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． 2）最简分式的定义：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式． 3）把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 4）分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 5）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 6）分式的乘方法则：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 知识点03 分式的加法与减法 1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。 2）通分的定义：这种不改变每个分式的值，把几个异分母的分式化成同分母分式的变形叫做分式的通分。 3）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 4）异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先把他们通分，变为同分母分式，再加减。 5）分式的混合运算法则：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 知识点04 分式方程 1）分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3）增根的定义：在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 4）解分式方程的一般步骤： 知识点05 分式方程的应用 1） 列分式方程解应用题的一般步骤： 2）要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度＝路程÷时间； 工作量问题：工作效率＝工作量工作×时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 知识点06 分式方与比 1）比的定义：两个整式A与B(B≠0)相除，叫作A与B的比，记作A:B或 ，其中A叫作比的前项，B叫作比的后项。 2)比例的定义：表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。如果a与b的比等于c与d的比，那么就说a，b，c，d四个数成比例。可以写成a:b=c:d或=。在比例中，a，b，c，d叫作组成比例的项，其中a与d叫作比例的外项， b与c叫作比例的内项。当比例的两个内项相等，即当时，b叫作a和c的比例中项。 3）比例的基本性质：在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积。如果=，那么ad = bc. 4)两条线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比。 5)成比例线段：如果四条线段a，b，c，d的长成比例，我们就把这四条线段a，b，c，d称为成比例线段，简称比例线段。 题型一 分式有意义的条件 【例1】当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式1-1】若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意得，， 解得：， 故选：C． 【变式1-2】（1）若要使有意义，则的取值范围是 ． （2）若要使无意义，则的值是 ． 【答案】 【解析】解：（1）∵有意义， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）∵无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1-3】当x取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)x取任何实数 【解析】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：由题意得：， 解得：； （4）解：由题意得：， 解得：； （5）， 取任何实数． 题型二 分式值为0的条件 【例2】当 时，分式的值为零． 【答案】 【解析】解：由题意，得 ， 解得：， 故答案为：． 【变式2-1】若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且， ∴， 故选：D． 【变式2-2】如果分式的值为零，那么的值是 ． 【答案】 【解析】解：分式的值为零， ， 解得 故答案为： 【变式2-3】若分式的值为0，则m的值是 ． 【答案】 【解析】解：∵分式的值为0， ∴且 ， 解得：  ． 故答案为： 题型三 判断分式变形是否正确 【例3】下列等式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：例如，当，，时， ∴以A选项错误． 当时，的分母为，分式无意义，此时变形不成立． 所以B选项错误． 在分母位置， ， ， 分子分母同时除以，分式的值不变，即 ∴C选项正确． 当和异号时，例如，，，，此时 所以D选项错误． 故选：C． 【变式3-1】根据分式的基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， 故选：C． 【变式3-2】下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、，分子中的负号可以提到分式前，等式成立，正确； B、，分子分母同时乘以3（非零数），分式值不变，正确； C、，分子与分母中的约分，结果为，正确（默认）； D、，分子分母同时减2，违背分式基本性质，例如，取，，左边为，右边为，显然不等，错误； 综上，计算错误的是D． 故选：D． 【变式3-3】填空： （1）； ①          （2）； ② （3）； ③      （4）． ④ 【答案】 【解析】解：（1）分子分母同乘以，则； （2）分子分母同乘以5，则； （3）分子分母同除以，则； （4）分子分母同除以，则， 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 题型四 分式的乘除 【例4】计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：原式 ． 故选：C 【变式4-1】已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：可化为最简分式；乙：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【解析】解：， 当时，，此时，原分式无意义， 只有甲正确． 故选：C． 【变式4-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-3】先化简，后求值：，当代入求值． 【答案】， 【解析】解： ， 当时，原式． 题型五 分式的乘方 【例5】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： ． 故选：C． 【变式5-1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：． 故选C． 【变式5-2】计算： （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【解析】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：； （2）解：． 题型六 分式的加减 【例6】化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ； （2）解： 【变式6-1】计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 将代入上式得， 原式． 【变式6-2】老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米（），老李家种植一块长方形土地，长为米，宽为b米，他们种的都是花生，并且今年的总产量都是200千克，试问：谁家种植的花生单位面积产量高？老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的花生单位面积产量的多少倍？ 【答案】老李家种植的花生单位面积产量高，老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的花生单位面积产量的倍 【详解】解析：根据题意表示出老王、老李家种植的花生的单位面积产量，比较即可得出结果． 答案：解：老王家种植的花生的单位面积产量是千克，老李家种植的花生的单位面积产量千克．∵，∴，即，∴，即老李家种植的花生单位面积产量高．，即老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的花生单位面积产量的倍． 题型解法：弄清题目中存在的数量关系是解决此类问题的关键，另外要注意，本题中老王家种植的是两块正方形土地，而不是一块． 【变式6-3】已知，求，的值． 【答案】A的值为，的值2． 【解析】解： ， ∵ ∴， ∴， 解得． 答：A的值为，的值2． 题型七 解分式方程 【例7】解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【解析】（1）解：去分母得： 解得： 经检验是分式方程的解 （2）解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解 【变式7-1】方程的解是 ． 【答案】/ 【解析】解：整理，得：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解， 故答案为：． 【变式7-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)原分式方程无解． 【解析】（1）解：， ， ， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 当时，， ∴分式方程无解． 【变式7-3】解下列分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【解析】（1）解：， 两边同时乘以，得：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1，得， 检验：当时，， ∴是该方程的解； （2）解： 两边同时乘以，得 去括号得， 移项合并同类项得， 解得： 检验，当时， ∴是原方程的增根，原方程无解． 题型八 根据分式方程解的情况求值 【例8】若方程有增根，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．以上都不对 【答案】B 【解析】解：方程两边同乘以得，， 解得， 方程有增根， ， 解得， 故选：B． 【变式8-1】若是分式方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：把代入方程得，， 解得， 故选：． 【变式8-2】若关于的分式方程的解为负数，则的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】解：解分式方程， 两边同乘得：， 展开化简得：， 移项合并同类项得：． 因为方程的解为负数， 所以， 解得． 又因为分母不能为，即，， 所以且， 解得且． 所以的取值范围是且， 则的最小整数值是． 故选：C． 【变式8-3】若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【答案】，， 【解析】解：，， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，2，3，6， 整数m的值为，，，1， ，即， ， 即， 整数m的值为，，， 故答案为：，，． 题型九 分式方程无解问题 【例9】若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数的值为 ． 【答案】1 【解析】解：， 去分母得：， 即， 关于x的分式方程的实数范围内无解， ， ， ． 故答案为：1． 【变式9-1】当 时，关于的方程无解． 【答案】或1或6 【解析】解：由原方程得：， 整理得： （i）当，即时，原方程无解； （ii）当，原方程有增根， 当时，，即； 当时，，即， 即当，或时原方程无解， 故答案为：，或． 【变式9-2】若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】0或2 【解析】解：， 去分母得， 解得， ①当时，即时，整式方程无解，从而原分式方程也无解； ②当时，， ∵分式方程无解， ∴，即， 解得， 故答案为：0或2． 【变式9-3】若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【解析】解：去分母得， ， 整理得：， 当时，即，方程无解； 当时，即， 原方程无解， ， 解得：，代入中， 得， 解得：； 综上，a的值为或 故答案为：或． 题型十 分式方程的应用 【例10】某校初三年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时起跑，两人到达终点的时间和为9分钟，其中乙同学的速度是甲同学的速度的1.25倍，则乙同学的速度是 米/分钟． 【答案】200 【解析】解：设甲同学的速度是，则乙同学的速度为， 则有：， ， ， ， 解得：， 经检验：是方程的解； ∴． 故答案为： ． 【变式10-1】某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 【答案】模型A每小时能处理数据 【解析】解：设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：模型A每小时能处理数据． 【变式10-2】随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．购进一个A产品需要多少元？ 【答案】购进一个A产品元 【解析】解：设购进一个B产品元，则购进一个A产品元，那么有 ， 解得，， 当时，， ∴是原分式方程的解， 则（元） 答：购进一个A产品元． 【变式10-3】甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零件各多少个？ 【答案】甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件 【解析】解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工个零件，根据题意得 ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件． 题型十一 分式与比 【例11】加工一批零件、甲要时，乙要时，甲、乙工效比是 ． 【答案】 【解析】解：∵甲要时，乙要时， ∴甲的工效为：，乙的工效为：， ∴甲、乙工效比是：． 故答案为：． 【变式11-1】某厂原来男、女职工的人数之比为，在新调入男职工36人后，男、女职工的人数之比为，现在的男职工比女职工少( )人． 【答案】54 【解析】解：人， 人， 答：现在的男职工比女职工少54人． 故答案为：54 【变式11-2】《考工记》中记载了我国古代创制的六种铜锡比例不同的合金成分配比，称之为“六齐”，是中国也是世界上最早的合金配制记载．其中记载制作钟鼎所用的铜和锡的质量之比为，一位工艺大师按照这种方法制作了一个质量为180千克的鼎，这个鼎含铜多少千克？（请用比例的方法解答） 【答案】150千克 【解析】解：设这个鼎含铜x千克，根据题意得： ， ， 解得：， 答：这个鼎含铜150千克． 【变式11-3】一辆汽车从甲地到乙地，前3小时行了156千米，照这样速度，从甲地到乙地共需8小时，甲、乙两地相距多少千米？（用比例解） 【答案】甲、乙两地相距千米． 【解析】解：设甲、乙两地相距x千米． 答：甲、乙两地相距千米． 基础巩固通关测 一、单选题 1．如果代数式的值为0，那么实数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵代数式的值为0， ∴， ∴， 故选：A． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：． 故选：D． 3．下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、，选项错误，不符合题意； B、当时，，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：． 故选：D． 5．已知A为整式，计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ． 故选：A． 二、填空题 6．时，分式无意义，则 ． 【答案】 【解析】解：由题意得，，即， 所以， 故答案为：． 7．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 【答案】2 【解析】解：， 去分母，得， 分式方程增根是：，即， 把代入，得 ， 解得：， 故答案为：2． 8．比例12：的解是 ． 【答案】4.8 【解析】解： 即 ， 故答案为4.8． 9．化简： ． 【答案】 【解析】解： ． 故答案为：． 10．某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期是 天． 【答案】6 【解析】解：设规定的工期是天， 由题意得， 解这个方程得， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：规定工期是6天． 故答案为：6 三、解答题 11．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【解析】（1）解：方程两边同乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为； （2）解：方程两边同乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根，原方程无解． 12．先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】解： ∵ ∴原式． 13．已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【答案】第三步错误，见解析 【解析】解： 方程两边同乘，得，第一步， 整理，得，第二步， 当，即时，此时满足原方程无解， 当时，， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， ∴第三步出现错误． 14．某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，求现在平均每天生产多少台机器？ 【答案】现在平均每天生产台机器． 【解析】解：设现在平均每天生产台机器，则原计划平均每天生产台机器， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合实际，     答：现在平均每天生产台机器． 15．A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米，如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，且这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由 【答案】符合规定，理由见解析 【解析】解：列车提速后速度符合规定．理由： 设列车提速前速度是每小时x千米， 则， 解得，或 (舍去）， ∴提速后的速度为， 经检验，是原方程的解， 又因速度不能为负， 故舍去， ∴提速后的速度为， 故符合规定符合规定． 能力提升进阶练 一、单选题 1．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【解析】解：分式有意义， ， 且， 故选：C 2．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．是最简分式，不能再约分，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项符合题意； D．是最简分式，不能再约分，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式． 故选：B． 4．芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元， 根据题意可得． 故选：A． 5．如果均不为0，且和互为倒数，，则等于（    ）． A．1 B．0.5 C．0.4 D．0.2 【答案】D 【解析】解：∵和互为倒数， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：D． 二、填空题 6．若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】2 【解析】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 又∵，即， ∴， 故答案为：2． 7．写出一个同时满足下列条件的分式： ． ①只含有字母，且当时无意义； ②当，分式的值为0． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：只含有字母，且当时无意义， 该分式的分母可以是． 当，分式的值为， 该分式的分子可以为． 故符合条件的分式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 8．计算的结果是 ． 【答案】 【解析】解： ， 故答案为：． 9．如果，那么 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．已知是分式方程 的解，则实数 ． 【答案】3 【解析】解：将代入， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， 故答案为：3． 三、解答题 11．解方程 (1) (2)； 【答案】(1) (2)原方程无解 【解析】（1）解：， 等式两边同时乘得： 整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． （2）解：， 等式两边同时乘得：， 整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的增根． ∴原方程无解. 12．已知（是常数），求的值． 【答案】 【解析】解： ， ， 解得． 13．已知关于的分式方程 (1)若分式方程无解，求的值； (2)若分式方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或或； (2)且． 【解析】（1）解: 方程两边同时乘以， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当整式方程无解时，则， 即 ， 当整式方程的解为分式方程的增根时， 则， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，     综上所述，的值为或或； （2）解：由得： ， ， 解得：， 又， ， 且， 的取值范围为且． 14．北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【答案】公里/天 【解析】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走公里， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里． 15．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$