3.5分式与比 第3课时教案 2026--2027学年青岛版八年级数学上册

该教案聚焦比例线段与连比的概念及应用，通过复习比例基本性质及拓展形式导入，以提问引导学生回顾旧知，搭建代数比例与几何图形的知识桥梁，为后续相似图形学习奠定基础。 资料特色在于以具象图形观察抽象概念，培养数学眼光中的几何直观，通过“排序—求比—比较—判断”四步法和连比转化的最小公倍数法训练推理意识，设比例系数法解决几何问题体现模型意识，帮助学生提升代数推理与数形结合能力，为教师提供阶梯式问题设计参考，高效突破教学重难点。

第三章 分式 3.5 分式与比   一、教材分析 《分式与比(第3课时)》是青岛版初中数学八年级上册第三章《分式》第五节的内容，是比例知识在几何领域的延伸与应用．此前学生已掌握比例基本性质，本节课通过探究比例线段、连比的概念及应用，搭建起代数比例与几何图形的桥梁，为后续学习相似图形、三角函数等知识奠定基础，同时培养学生运用数形结合、方程思想解决问题的能力，在初中数学知识体系中起到承上启下的重要作用．   二、学情分析 八年级学生已掌握比例的基本性质及分式运算，具备一定的代数推理能力和初步的几何观察能力，但对“比例与几何图形结合”的理解仍存在不足．他们能进行简单的比例计算，却难以将线段比、连比与几何图形的形状、边长等建立关联，且在处理单位不统一的线段比、连比转化及复杂比例方程求解时易出错，需要教师通过具象实例和阶梯式问题引导，帮助其突破认知难点．  三、教学目标 1．通过观察形状相同的图形，抽象出比例线段的概念，能准确判断四条线段是否成比例，理解连比的意义及转化方法，建立代数比例与几何图形的联系． 2．能运用比例基本性质、设比例系数法解决比例线段及连比的实际问题，在求解过程中规范运算步骤，提升代数推理和方程求解能力． 3．将几何中的边长计算、周长求解等问题转化为比例方程模型，体会数形结合与方程思想，能运用所学知识解决生活及数学中的相关实际问题，培养应用意识．   四、教学重难点 重点：理解比例线段和连比的概念，能运用比例基本性质及设比例系数法解决几何中的比例问题． 难点：连比的转化方法，以及将几何图形中的边长关系转化为比例方程并准确求解．   五、教学过程 · 复习回顾 1．比例的基本性质？ 比例的基本性质： 在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积． 如果()，那么． 2．比例基本性质相关拓展 如果(a，b，c，d均不为0)，那么等式 ． 今天我们来学习比在几何问题中的应用． 师生活动：教师通过提问引导学生回顾比例基本性质，板书“若（），则”，再追问“若（a，b，c，d均不为0），能推出哪些比例式”，鼓励学生自主推导并展示，教师补充完善拓展的四个比例式，最后点明本节课主题——比例在几何中的应用，引发学生思考． 设计意图：通过复习比例基本性质及拓展形式，唤醒学生已有知识储备，为后续学习比例线段和连比在几何中的应用做好铺垫，同时以问题驱动激发学生的探究兴趣，实现新旧知识的自然衔接． · 探究新知 活动一：探究比例线段 在纸上任意画两条大小不同的线段AB和CD： 如何刻画两条线段之间的大小关系呢？ 选用cm为单位长度，用刻度尺分别度量线段AB和CD的长度，计算AB：CD. AB：CD=5：3. 选用mm为单位长度，用刻度尺分别度量线段AB和CD的长度，计算AB：CD. AB：CD=5：3. 你发现两条线段的比与选用的单位长度有关吗?与同学交流! 没有关系，但是两条线段长度的比，必须在同一单位长度下计算. 1．设线段，，两条线段的长度比是：． 2．设线段，，两条线段的长度比是：． 注意：求线段的比时，单位不同的情况下，先统一单位． 在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比． 如果四条线段a，b，c，d的长成比例，我们就把这四条线段a，b，c，d称为成比例线段，简称比例线段． 做一做 请同学们判断下面的每四条线段是否成比例． (1)2cm，4cm，6cm，12cm； (2)3cm，5cm，7cm，4cm． 解：(1)2:4=1:2，6:12=1:2，2:4=6:12， 所以，这四条线段成比例． (2)3:4≠5:7，所以，这四条线段不成比例． 判断线段是否成比例的“四个步骤”： (1)排序：先把线段按照题目要求进行排列． (2)求比：分别求出排序后第一、二条线段和第三、四条线段的比． (3)比较：比较上述所求的比是否相等． (4)判断：判断线段是否成比例． 师生活动：教师展示包含形状相同但大小不同的图形（如不同尺寸的长方形、三角形），让学生找出形状相同的图形并观察差异；接着以线段AB与AC为例，分单位相同和不同两种情况计算长度比，强调统一单位的重要性，引出线段比的定义；再通过“做一做”让学生判断两组线段是否成比例，教师引导学生总结“排序—求比—比较—判断”四步法，期间对学生的错误及时纠正，加深对比例线段概念的理解． 设计意图：通过具象图形观察，帮助学生直观感知形状相同图形的线段关系，从具体实例抽象出线段比和比例线段的概念，降低理解难度；“做一做”和四步法总结，让学生在实践中掌握判断比例线段的方法，提升逻辑推理和归纳总结能力． 活动二：探究连比的概念 议一议 如图：已知线段AB=5cm，CD=2cm，EF=3cm． AB：CD=5：2，CD：EF=2：3． 根据上面的结果，可以把线段AB，CD，EF的比写成AB：CD：EF=5：2：3． 在AB：CD和CD：EF这两个比中，CD是相同的． 当前一个比的后项与后一个比的前项相同时，可以将这两个比连起来，得到的形式，这种形式叫作连比． 例如，中，，，则三个角，，的比为． 注意：把与写成连比的关键：把前一比的后项与后一个比的前项化为相同的数．办法：取前一个比的后项与后一个比的前项的最小公倍数为连比的中间项．可以理解为，但不能理解为． 议一议 已知有理数a，b，c都不等于0，下列命题是真命题吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． (1)如果，那么； (2)如果，那么． 解：(1)是真命题．理由：()，则，，，所以． (2) 是假命题．反例：当，，时，条件成立，结论不成立． 一般地，若有理数m，n，k都不等于0，在与中，能够使得的条件是哪个？请说明理由． 解：能够使得的条件是． 理由：，则，，，所以．如果，，反例：当，，且，，时，条件成立，结论不成立． 师生活动：教师以中，为例，说明连比的形成条件，引出连比定义；强调将与化为连比的关键是统一中间项，通过最小公倍数法演示转化过程；再通过“议一议”的两个命题，组织学生分组讨论，判断真假并说明理由，教师巡视指导，对假命题引导学生举出反例，最后总结能得出的条件及理由． 设计意图：从角的比例关系实例引入连比，让学生易于理解；通过分组讨论和命题判断，激发学生思维碰撞，帮助其掌握连比的转化方法及比例条件的辨析，培养学生的逻辑思维和合作探究能力． · 应用新知 例1． 如图，已知，且，，．求AE的长． 分析：本题涉及比例的基本性质，即在比例中，． 解：因为，AB=40，， 所以，． 因为，所以．解关于AE的方程，得． 经检验，是原方程的解．所以AE的长为10.5． 例2．的周长为52cm，，求三条边的长． 分析：设三边的长度分别为、、，然后根据三角形周长的定义列出方程求解． 解：设，，．根据题意，得． 解方程，得． 所以，，． 所以AB，BC，AC的长分别是12cm，16cm，24cm． 总结：通过设比例系数，将几何问题转化为代数方程求解，体现了数形结合与方程思想． 例3．若，且，试求. 分析：通过设比值为k，将a、b、c用含k的式子表示出来，再代入已知等式求出k，进而求得a、b、c的值，最终得出. 解：设，则，，. 因为，所以， 解得,所以，，， 所以． 总结：此类方法常用于连比比例问题，当题目出现多个量的比例关系且需关联其他等式时，设比例系数k可高效建立方程求解． 师生活动：教师出示例1、例2、例3，先引导学生分析题目中的已知条件和所求问题，例1侧重比例基本性质的应用，例2和例3突出设比例系数法的运用；让学生先独立思考解题思路，再小组内交流，然后请学生上台板演，教师针对板演情况进行点评，强调解题规范（如检验步骤、单位标注），总结解题方法和数学思想（数形结合、方程思想）． 设计意图：通过典型例题，让学生将比例线段和连比知识应用于几何问题求解，在独立思考和合作交流中掌握解题方法；教师点评和总结，帮助学生规范解题过程，深化对数学思想的理解，提升知识应用能力． · 课堂练习 　　1.已知线段，，求． 　　　解：因为， 　　　所以，． 注意：单位不同的情况下，先统一单位再求比． 2．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，．求d的长． 解：因为a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得，，即， 代入，，，得3d = 2×6，解得，则． 3．已知正方形A的面积恰好等于长方形B的面积，那么A的边长a与B的长b，宽c之间满足什么关系?可以用哪些方式描述它们的关系？ 解：根据正方形面积公式，长方形面积公式． 因为正方形A的面积恰好等于长方形B的面积， 所以． 那么A的边长a与B的长b，宽c之间的关系：； 其他描述他们关系的方法： ①a是b和c的比例中项； ②． 师生活动：教师布置3道课堂练习题，学生独立完成，教师巡视，对解题困难的学生进行个别指导；完成后，邀请3名学生分别讲解每题的解题思路和过程，其他学生补充质疑，教师对共性问题进行集中讲解，强调注意事项（如单位统一、比例中项的理解）． 设计意图：通过课堂练习及时巩固比例线段、连比的概念及解题方法，检验学生的学习效果；学生讲解和师生互动，不仅能让教师了解学生的掌握情况，还能培养学生的表达能力和问题分析能力，及时查漏补缺． 限时训练 1．已知a、b、c分别是的三条边的边长，且，，求的周长． 分析：先根据三边比例设出未知数，再代入已知等式求出未知数的值，最后计算三角形的周长． 解：设，，（）， 代入，得，解得， 则，，， 所以的周长是． 总结：整个过程利用比例设元简化计算，体现了用代数方法解决几何边长问题的思路． 2．如图，已知，若，，，求OB的长． 分析：过对已知比例式变形，建立起与所求OB相关的等式，求解即可. 解：因为，，， 所以，． 因为，所以，即，解得 ． 经检验，是原方程的解．所以OB的长为4.8． 3．已知a，b，c是的三边长，且． (1)求的值；(2)若的周长为90，求各边的长． 分析：通过设比例系数，将多元问题转化为一元问题求解． 解：设，则，，． (1)． (2)由题意，得，解得． 所以，，． 师生活动：教师设定15分钟限时，让学生独立完成3道限时训练题，模拟测试场景；时间结束后，教师公布答案，学生自行批改，然后以小组为单位讨论错题，教师收集高频错题，进行集中讲解，重点分析解题思路和易错点，如比例设元的技巧、线段长度关系的转化等． 设计意图：限时训练能提高学生的解题速度和效率，培养其时间观念；通过自行批改和小组讨论，让学生主动发现问题、解决问题，教师针对高频错题讲解，帮助学生突破难点，强化知识掌握． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．学习的比例线段和之前学的比例有什么区别与联系？ 3．判断四条线段是否成比例的关键步骤是什么？你在计算时容易忽略哪个环节？ 设计意图：通过师生共同回顾本节课内容，梳理比例线段、连比的概念及解题方法，形成知识体系，帮助学生加深记忆；同时引导学生反思学习过程中的收获与不足，培养其归纳总结能力，促进知识的内化与迁移．   六、板书设计 　 　3.5 分式与比（第3课时） 线段比：同一单位下，两条线段长度的比 比例线段：四条线段，b，c，d成比例，即 连比：前一个比的后项与后一个比的前项相同时，可写成形式 方法： 判断比例线段：排序求比比较判断 连比转化：统一中间项（最小公倍数法） 解题思想：数形结合，方程思想（设比例系数k) 例1　　　　例2　　　　例3 学科网（北京）股份有限公司 $