3.4 分式方程 第3课时 教学设计 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦列分式方程解决实际问题，通过复习列方程解应用题步骤，衔接分式方程解法，搭建旧知到新知的学习支架，梳理数量关系分析与方程建模的脉络。 特色在于以“情境探究—小组合作—梯度例题”展开，如A、B两市交通问题引导学生用表格梳理关系，培养模型意识与推理能力，多例题覆盖行程、工程等场景，强化验根双重意义，提升学生数学语言表达与应用意识，为教师提供清晰教学流程与多样化实例，助力高效教学。

第三章 分式 3.4 分式方程 第3课时   一、教材分析 《分式方程(第3课时)》是青岛版初中数学八年级上册第三章《分式》第四节的内容，是在学生掌握分式性质、分式运算及分式方程解法的基础上展开的．它既是对分式方程知识的实际应用延伸，又为后续学习更复杂的方程建模和实际问题解决奠定基础，是连接数学理论与现实生活的重要纽带，能帮助学生体会数学模型在刻画现实数量关系中的作用．   二、学情分析 八年级学生已具备列一元一次方程解应用题的基础，掌握了分式的基本性质与分式方程的解法，但在分析实际问题中复杂数量关系、建立分式方程模型方面仍有不足．他们思维活跃，具备一定的小组合作与探究能力，不过对实际问题中“验根”的双重意义（既验证方程解的正确性，又判断是否符合实际情境）理解易不透彻，需要通过具体案例引导深化认知．  三、教学目标 1．能准确理解实际问题中的数量关系，明确已知量、未知量及它们之间的等量关系，会用字母表示未知量，通过分析实际问题中的数量关系，经历“从实际问题抽象为数学模型（分式方程）”的过程，提升数学建模能力． 2．掌握列分式方程解决实际问题的完整步骤：设未知数、找等量关系、列方程、解分式方程、检验、写答案，培养逻辑推理能力和严谨的解题习惯． 3．通过小组讨论、例题分析、练习等活动，学会多角度思考问题，提升分析问题、解决问题的能力．   四、教学重难点 重点：掌握列分式方程解决实际问题的完整步骤，能根据实际问题中的等量关系列出分式方程． 难点：准确分析实际问题中的复杂数量关系，找出等量关系并建立分式方程，同时理解“验根”的双重意义．   五、教学过程 · 复习回顾 列方程解应用题的一般步骤是什么？ ①审清题意； ②设未知数； ③列式子，找出等量关系，建立方程； ④解方程； ⑤检查方程的解是否符合题意； ⑥作答． 这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用．这节课，我们将学习列分式方程解应用题．分式方程是刻画现实世界数量关系的重要模型． 师生活动：教师通过提问引导学生回忆列方程解应用题的一般步骤，学生独立思考后举手回答，教师针对学生回答的遗漏点（如“检验”步骤）进行补充，随后点明该步骤对分式方程应用题同样适用，引出本节课主题——列分式方程解应用题． 设计意图：通过复习旧知，唤醒学生对列方程解应用题步骤的记忆，为分式方程应用题的学习搭建知识桥梁，降低学习难度，同时自然过渡到本节课新内容，激发学生的学习兴趣． · 探究新知 活动一：探究分式方程的应用 做一做： A，B两市之间的公路里程约为240km，高速铁路里程约为320 km．已知高速列车平均速度是汽车平均速度的4倍，小亮从A市到B市乘坐高速列车比乘坐汽车节省2小时．求高速列车的平均速度． 问题中有哪些已知量，哪些未知量？ 已知量：公路里程；高速铁路里程；高速列车平均速度是汽车平均速度的4倍；小亮从A市到B市乘坐高速列车比乘坐汽车节省2小时． 未知量：高速列车平均速度、汽车平均速度． 设汽车的平均速度为xkm/h，可以得到： 路程/km 速度/（km/h） 时间/h 乘坐汽车 240 x 乘坐高速列车 320 4x 如何表达它们之间的等量关系？ 这个问题中的等量关系：高速列车运行速度=汽车行驶速度的4倍． 这个问题中的另一个等量关系：汽车所用时间-高速列车所用时间＝2 h． 解：设汽车平均速度为xkm/h．根据题意，得 　　　　　 解方程， 得． 经检验，是原分式方程的解． 因为， 所以，高速列车的平均速度为320km/h． 注意：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；时间要统一． 若以汽车所用时间来设未知数，如何列方程解决问题？ 解：设汽车所用时间为xh，根据题意，得 　　　　　． 解方程， 得． 经检验，是原分式方程的解． 高速列车的速度320÷(3−2)=320(km/h)， 所以，高速列车的平均速度为320km/h． 师生活动：教师呈现“A、B两市交通”的问题情境，先引导学生找出已知量与未知量，再组织学生小组讨论，填写表格梳理路程、速度、时间的关系；之后教师提问引导学生提炼等量关系，学生尝试独立列方程，教师巡视指导有困难的学生，最后选取学生代表展示解题过程，师生共同点评，强调“验根”的重要性，同时探讨不同设未知数的方法． 设计意图：通过问题情境和小组讨论，让学生主动参与数量关系梳理过程，培养合作探究能力；通过不同设元方法的对比，拓宽学生解题思路，帮助学生初步掌握分式方程解决实际问题的核心——找等量关系，为后续学习奠定基础． 活动二：探究分式方程解决实际问题的步骤 议一议：分式方程解决实际问题的一般步骤如下： 列分式方程解应用题： （1）审清题意； （2）设未知数（要有单位）； （3）找出等量关系，列出方程； （4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； （5）写出答案（要有单位）． 师生活动：教师展示分式方程解决实际问题的步骤流程图，组织学生结合活动一的解题过程，小组讨论归纳步骤；之后各小组派代表发言，教师补充完善，明确每一步的关键要点（如设未知数带单位、检验需结合实际情境），最后让学生用自己的语言复述步骤，强化记忆． 设计意图：通过小组讨论归纳步骤，让学生经历“实践→总结→提炼”的过程，提升归纳概括能力；流程图的呈现使步骤更直观，帮助学生构建清晰的解题框架，为后续规范解题提供依据． · 应用新知 例1．某市为解决城市内涝的难题，计划改造一段长3600m的老街道地下管网．施工过程中，实际每天的施工效率比原定计划提高了20%，按此进度可以比原计划提前10天完成任务．求实际施工时，每天改造管网的长度． 分析：这个问题中的等量关系： 实际施工效率=(1+20%)×原计划施工效率， 实际施工天数=原计划天数−10． 解：设原计划每天改造管网xm．根据题意，得．　　　　 解方程，得． 经检验，是原分式方程的解． 因为， 所以，实际每天改造管网72m． 例2．A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度． 分析：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，可得到 路程（千米） 速度（千米／时） 时间（小时） 大汽车 135 小汽车 135 等量关系：大车用的时间-小车用的时间=． 解：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，根据题意， 得，　解方程，得． 经检验，时，，符合题意． 所以，大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时． 总结： 围绕路程、速度、时间的基本关系，借助设元转化速度，以时间差为桥梁列方程，实现问题求解． 例3．阳光小区有A型和B型两种户型的住宅出售，A型和B型住宅每平方米的价格分别是全楼每平方米平均价格的1.1倍与0.9倍，而且一套A型比一套B型的面积少40m² .如果A型与B型两种住宅的售价分别为66万元与81万元.求全楼每平方米的平均价格． 分析：本题围绕价格、面积和售价的关系展开，通过设全楼每平米平均价格为未知数，利用A、B型住宅每平米价格与它的倍数关系，结合面积差建立分式方程． 设全楼每平方米的为x万元，根据题意可得 平均价格（万元/平方米） 售价（万元） 面积（） A型 B型 解：设全楼每平方米的平均价格为x万元，则A型住宅每平方米的价格为万元，B型住宅每平方米的价格为万元. 根据题意，得． 整理，得，解得. 经检验可知，是原分式方程的根，并符合题意. 所以，全楼每平方米的平均价格为0.75万元． 总结：通过设元，用分式表示面积，依托实际面积差列方程． 师生活动：教师出示例1、例2、例3，先带学生分析例1的数量关系与等量关系，再让学生自主完成例2表格与方程列写、小组交流，独立解答例3；教师巡视指导，选取典型过程展示，针对难点点拨，每道例题均强调检验步骤，规范解题书写． 设计意图：通过工程、行程、经济类梯度例题，让学生掌握分式方程在不同场景的应用；以“引导-自主-交流-点拨”模式，落实学生主体地位，强化解题关键步骤，培养数学建模与逻辑推理素养． · 课堂练习 1．某日，小亮前往图书馆，总路程为18km．他先步行了2km，然后乘公交车前往，共用1h到达．如果公交车的速度是小亮步行速度的8倍，求小亮步行的速度． 解：设小亮步行的速度为xkm/h．根据题意，得 ， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的解． 所以，小亮步行的速度为4km/h． 2．甲制作90个零件所用的时间和乙制作120个零件所用的时间相同．已知两人1h共制作35个零件，求甲、乙1h各制作多少个零件． 解：设甲1h制作x个零件，则乙1h制作个零件． 根据题意，得　　　　 解方程，得 ． 经检验，是原分式方程的解． 乙制作的零件数为：（个）． 所以，甲1h制作15个零件，则乙1h制作20个零件． 师生活动：学生独立完成两道课堂练习题，教师巡视，对解题有困难的学生进行个别指导；完成后选取部分学生的解题过程展示，师生共同批改，重点分析方程列写是否正确、检验是否到位，最后让学生同桌间互相讲解解题思路． 设计意图：通过独立练习检验学生对知识的掌握程度，及时发现并解决学生的问题；同桌互讲的环节，既能帮助学生巩固解题思路，又能提升语言表达能力，强化对列分式方程解应用题步骤的掌握． 限时训练 1．甲，乙两人分别从相距36km的A，B两地出发，相向而行.甲从A地出发至1km时，发现遗忘物品在A地，便立即返回，取了物品又立即从A地向B地行走，这样甲，乙两人恰在AB中点处相遇.又知甲比乙每小时多走0.5km.求甲，乙两人的速度？ 解：设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为， 则由题意得，．解得. 经检验是原方程的解． 当时，符合题意． 所以，甲的速度是5km/h，乙的速度是4.5km/h． 总结：核心方法是抓住行程问题中“时间、路程、速度”的关系． 2．甲，乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知A，B两地的距离为14km，甲的速度是乙的2倍，并且比乙先到28分钟．求甲，乙两人每小时各走多少千米？ 分析：根据路程 = 速度×时间的关系来求解. 解：设乙的速度是每小时xkm，甲的速度是每小时3xkm． 由题意得，28分钟=小时，，解得 . 经检验是原方程的解． 当时，符合题意． 所以，甲的速度是每小时30 km，乙的速度是每小时15km． 总结：解题关键在于准确用速度表示出时间，利用时间差列方程，且要检验分母不为0保证解的有效性． 3．某工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天．今两队合作2天后，其余工程再由乙独做，正好按期完工，问该工程限期是多少天？ 分析：这是一道工程问题，解题关键在于利用工作总量、工作效率和工作时间的关系． 解：设该工程限期是x天，则甲队独做正好用x天，乙完成用天， 由题意得，．解得 . 经检验是原方程的解． 所以，该工程限期是6天． 总结：用未知数表示工作效率，借助工作流程构建等式． 4．小明，小亮两人合打一份文稿，4小时后，小明因另有任务，由小亮单独完成余下的工作，又过5小时完成了任务，比原定(两人共同完成)的时间拖后1小时，问小明，小亮单独完成这项任务分别需多长时间？ 分析：通过设单独完成时间表示工作效率，依据“工作总量 = 各部分工作量之和”，结合实际与原定工作时间的关系列方程求解． 解：设小明单独完成需要x小时，则他的工作效率是，小亮的工作效率是． 　　由题意得，，解得． 　　经检验是原方程的解. 　　小亮单独完成这项任务需要时间． 　　所以，小明，小亮单独完成这项任务分别需40小时，10小时． 　　总结：遇合作场景时，梳理各阶段工作量，以工作总量为等量关系列方程． 师生活动：教师设定限时，学生独立完成4道限时训练题，教师巡视把控答题进度；时间结束后，教师公布答案，学生自行批改，之后针对错误率较高的题目，组织学生小组讨论错误原因，教师再进行集中讲解，强调解题关键． 设计意图：限时训练能培养学生的解题速度和时间管理能力，通过多样化的题目（行程、工程、合作问题），让学生熟练运用分式方程解决不同类型实际问题；小组讨论错题的环节，能帮助学生主动发现问题、解决问题，深化对知识的理解． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．列分式方程解实际问题与列一元一次方程解应用题，在步骤上有哪些相同点和不同点？ 3．为什么分式方程解应用题时，一定要进行检验？检验时要关注哪些方面？ 设计意图：通过师生共同回顾本节课内容，帮助学生梳理知识脉络，构建完整的知识体系；引导学生反思解题过程中的要点和易错点，强化对列分式方程解应用题步骤和“验根”意义的理解，提升知识迁移和应用能力．   六、板书设计 　　3.４ 分式方程（第３课时） 列分式方程解应用题步骤 1. 审清题意 2. 设未知数（带单位） 3. 找等量关系，列方程 4. 解方程 5. 检验（方程解+实际意义） 6. 写答案（带单位） 例1　　　　例2　　　　例3 学科网（北京）股份有限公司 $